Anwendungsbezogene Lineare Algebra

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1 Jens Helling Herausgeber: Klaus Schilling Anwendungsbezogene Lineare Algebra für die Allgemeine Hochschulreife an Beruflichen Schulen. Auflage Bestellnummer 8

2 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine an Autor und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Bildungsverlag EINS GmbH Hansestraße, 9 Köln ISBN Copyright : Bildungsverlag EINS GmbH, Köln Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

3 Vorwort Vorwort Der vorliegende Band ist einer von drei Bänden aus der Reihe Anwendungsbezogene Mathematik. Zusätzlich ist eine Formelsammlung erhältlich, die die drei Sachgebiete Analysis, Lineare Algebra und Stochastik abdeckt. Ziel ist, die Frage Und wofür braucht man das? anhand anwendungsbezogener Aufgaben- und Problemstellungen beispielhaft zu beantworten. Bei der Erstellung dieses Schulbuches wurde besonderer Wert auf eine für Schülerinnen und Schüler anschauliche und verständliche Darstellung der mathematischen Inhalte und Verfahren gelegt, damit sie mit diesem Buch eigenständig im Unterricht und zu Hause arbeiten können. Eine große Zahl von anwendungsbezogenen Lernsituationen mit ausführlich dargestellten, algebraischen und rechnergestützten Lösungen ermöglicht den Schülerinnen und Schülern einen selbstständigen Erwerb mathematischer und anwendungsbezogener Kompetenzen. Sämtliche Lernsituationen mit Lösungsweg sind mit dem nebenstehenden Puzzle-Symbol und einem blauen Balken gekennzeichnet. Für die Situationen und dazugehörigen Lösungen wichtige Informationen sind mit einem Informationssymbol und einem gelben Balken markiert. Ein Teil der Aufgaben kann auch mit einem grafikfähigen Taschenrechner GTR) oder einem Computer-Algebra-System CAS) gelöst werden. Ein Taschenrechnersymbol kennzeichnet Lösungen, die mit einem TI-8 Plus berechnet wurden. Darüber hinaus befindet sich im Anhang eine Übersicht mit allen wichtigen Funktionen des Taschenrechners für das Sachgebiet Lineare Algebra. GTR Die mehr als überwiegend anwendungsbezogenen Übungsaufgaben bieten Gelegenheit, das Gelernte zu festigen. Sie werden durch das Verzahnungssymbol und einen grünen Balken gekennzeichnet. Am Ende jedes Kapitels finden sich weitere offene Lernsituationen zum jeweiligen Kapitel. Diese eignen sich besonders zur Verknüpfung unterschiedlicher Kompetenzen und können auch zum Einstieg in ein neues Themengebiet verwendet werden. Ich wünsche allen Schülerinnen und Schülern sowie allen Kolleginnen und Kollegen mit diesem Buch viel Erfolg im Unterricht. Jens Helling

4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Mathematische Zeichen, Symbole und verwendete Bezeichnungen Grundlagen der Matrizen- und Vektorrechnung Matrizen und Vektoren Besondere Matrizen Quadratische Matrix Einheitsmatrix Diagonalmatrix Dreiecksmatrix Nullmatrix Transponierte Matrix Grundlegende Rechenoperationen Addition und Subtraktion Skalarmultiplikation Multiplikation von Vektoren Multiplikation von Matrix und Vektor Multiplikation von Matrizen Inverse Matrix Offene Lernsituationen zu den Grundlagen der Matrizenund Vektorrechnung Lineare Gleichungssysteme Einführung Lösungsverfahren Gauß-Algorithmus Cramer sche Regel Lösbarkeitsuntersuchungen Rang einer Matrix Eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme Mehrdeutig lösbare lineare Gleichungssysteme Nicht lösbare lineare Gleichungssysteme Offene Lernsituationen zu linearen Gleichungssystemen.... 8

5 Inhaltsverzeichnis Mehrstufige Produktionsprozesse Darstellungsarten Produktionsmengen und Bedarfsplanung Produktionskosten und Gewinn Offene Lernsituationen zu mehrstufigen Produktionsprozessen Käufer- und Wählerverhalten Darstellungsarten Fixvektor Grenzmatrix Offene Lernsituationen zum Käufer- und Wählerverhalten Populationsentwicklung Darstellungsarten Zyklisch stabile Populationen Zyklisch abnehmende Populationen Zyklisch unbegrenzt wachsende Populationen Offene Lernsituationen zur Populationsentwicklung Leontief-Modell Darstellungsarten Veränderung der Produktionsmenge Änderung des Konsumverhaltens Leontief-Modell mit Parametern Offene Lernsituationen zum Leontief-Modell Lineare Optimierung Grafische Lösung Eckpunktmethode Simplex-Algorithmus Offene Lernsituationen zur linearen Optimierung GTR-Funktionen Sachwortverzeichnis Bildquellenverzeichnis

6 Mathematische Zeichen, Symbole und verwendete Bezeichnungen Mathematische Zeichen, Symbole und verwendete Bezeichnungen Zeichen, Symbol, Abkürzung Sprechweise, Bedeutung Beispiel gleich ungleich ist ungefähr gleich,99, < kleiner als < > größer als > kleiner gleich x größer gleich x { } Menge L {;;} b Betrag von b unendlich daraus folgt L {;;} L gleichbedeutend mit, ist äquivalent mit/zu lässt sich umformen zu und oder a b c b c a für die gilt {x x > } Element von z nicht Element von, z ) es existiert B A B B A E a a s a A zs s Matrix A mit den Elementen 8 A a a, a,, a zs zs a a z a a a z ) zs A T Transponierte Matrix A A T 8 9) 9) ) A Inverse Matrix) zur Matrix A A _ )

7 Mathematische Zeichen, Symbole und verwendete Bezeichnungen Zeichen, Symbol, Abkürzung Sprechweise, Bedeutung Beispiel A v Um den Vektor v erweiterte Matrix A Koeffizientenmatrix) A v det A) A Determinante der Matrix A det ) ) rga) Rang der Matrix A rg ) ) E EinheitsmatrixE nn O Nullmatrix O zs v v a z ) v z z Spaltenvektor a v ) 8 9 b s v v v s ) s Zeilenvektor b v ) RZ ZE Rohstoff-Zwischenprodukt- Matrix. Produktionsmatrix) Zwischenprodukt-Endprodukt- Matrix. Produktionsmatrix) RZ ZE Rohstoff-Endprodukt-Matrix RE RE Bedarfsmatrix) m Produktionsmengenvektor m ) r Rohstoffbedarfsvektor r 8 8) k R Rohstoffkosten k R ) k Z k E ) ) ) Herstellkosten der Zwischenprodukte k Z ) Fertigungskosten der Endprodukte k E ) v Anfangsverteilung v,8,) ) )zs ) nn

8 )nn Mathematische Zeichen, Symbole und verwendete Bezeichnungen Zeichen, Symbol, Abkürzung Sprechweise, Bedeutung Beispiel v v v v n ) n Fixvektor v,,,) v v A v v v v v n v n n) v nn Grenzmatrix A x x x ) Gesamtproduktionsvektor x y y y ) Konsumvektor y ) S nn s s s T nn x s x s s ) nn s x s x Sektorenmatrix S,,, ) _ Technologiematrix T ) ) _,,,,) 8

9 Mehrstufige Produktionsprozesse. Darstellungsarten In der Realität werden in Industrieunternehmen häufig Rohstoffe zu Zwischendiagramm Verflechtungsprodukten verarbeitet und aus diesen Zwischenprodukten die Endprodukte produziert. Um z. B. bei einer eingehenden Bestellung einen Überblick darüber zu erhalten, ob die zur Produktion benötigten Rohstoffe am Lager sind, kann Matrizen mithilfe der Matrizenrechnung der Rohstoffbedarf für die zu produzierenden Endprodukte berechnet werden. Tabellen verbale Beschreibung Der Produktionsprozess kann dabei auf vier verschiedene Arten beschrieben werden, die alle gleichwertig sind und sich jeweils in jede andere Darstellungsart umwandeln lassen. 8

10 . Darstellungsarten Verflechtungsdiagramm Mithilfe eines Verflechtungsdiagramms oder auch Gozintographen ) lassen sich auch komplexere Produktionsprozesse übersichtlich darstellen. Der nebenstehende Gozintograph bildet einen zweistufigen Produktionsprozess mit jeweils zwei Rohstoffen R, Zwischenprodukten Z und Endprodukten E ab. R R Dabei wird deutlich, dass für die Produktion von ME des Zwischenprodukts Z ME vom Rohstoff R und ME vom Rohstoff R benötigt werden. Darüber hinaus werden ME von Z und ME von Z benötigt, um ME vom Endprodukt E zu produzieren. Die übrigen Zahlen sind entsprechend zu interpretieren. Z E Z E Tabellen Die in dem Verflechtungsdiagramm enthaltenen Informationen lassen sich auch mithilfe von Tabellen darstellen. Für jede Produktionsstufe wird dabei eine eigene Tabelle aufgestellt.. Produktionsstufe Rohstoff Zwischenprodukt. Produktionsstufe Zwischenprodukt Endprodukt Z Z E E R Z R Z Matrizen Der Produktionsprozess lässt sich auch mithilfe von Matrizen eindeutig beschreiben. Jede Produktionsstufe wird durch eine eigene Matrix dargestellt. Matrizen werden in der Regel mit einem Großbuchstaben benannt. Im Falle von Produktionsprozessen ist es zweckmäßig, die Matrizen gemäß ihrer Aussage zu benennen. ) in Anlehnung an engl.): the part that) goes into 8

11 Mehrstufige Produktionsprozesse. Produktionsmatrix Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix RZ-Matrix) RZ ). Produktionsmatrix Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix ZE-Matrix) RZ ) Verbale Beschreibung Ein Unternehmen produziert in einem zweistufigen Produktionsprozess aus den Rohstoffen R und R die Zwischenprodukte Z und Z, die dann zu den Endprodukten E und E weiterverarbeitet werden: Für die Produktion von ME Z werden ME von R und ME von R benötigt. Für die Produktion von ME Z werden ME von R und ME von R benötigt. Für die Produktion von ME E werden ME von Z und ME von Z benötigt. Für die Produktion von ME E werden ME von Z und ME von Z benötigt. Situation In einem Industrieunternehmen werden in einem zweistufigen Produktionsprozess drei Endprodukte hergestellt. Der Produktionsprozess wird durch die beiden Tabellen beschrieben. Z Z E E E R Z R Z R Beschreiben Sie den Produktionsprozess verbal, durch Matrizen und mithilfe eines Verflechtungsdiagramms. Lösung Verbale Beschreibung In einem Industrieunternehmen werden in einem zweistufigen Produktionsprozess aus den Rohstoffen R, R und R zunächst die Zwischenprodukte Z und Z gefertigt, die anschließend zu den Endprodukten E, E und E weiterverarbeitet werden. Für die Produktion von ME Z werden ME von R, ME von R und ME von R benötigt. Für die Produktion von ME Z werden ME von R, ME von R und ME von R benötigt. Für die Produktion von ME E werden ME von Z und ME von Z benötigt. Für die Produktion von ME E werden ME von Z und ME von Z benötigt. Für die Produktion von ME E werden ME von Z und ME von Z benötigt. 8

12 . Darstellungsarten Matrizen RZ Verflechtungsdiagramm ) ZE ) R R R Z Z E E E 8

13 Mehrstufige Produktionsprozesse Übungsaufgaben In einem Industriebetrieb lässt sich der Produktionsprozess durch ein Verflechtungsdiagramm beschreiben. R R Z Z Z 8 E E Stellen Sie die RZ-Matrix und die ZE-Matrix auf. Der Produktionsprozess in einem Industrieunternehmen lässt sich durch die beiden Matrizen beschreiben. RZ 8 ) 9 ZE 9 Erstellen Sie das dazugehörige Verflechtungsdiagramm. In einem Industriebetrieb werden aus den vier Rohstoffen R bis R die drei Zwischenprodukte Z bis Z hergestellt, die Grundlage für die Produktion der drei Endprodukte E bis E sind. Für die Produktion von ME Z werden,, und ME von R, R, R und R benötigt. Für die Produktion von ME Z werden,, und ME von R, R, R und R benötigt. Für die Produktion von ME Z werden,, und ME von R, R, R und R benötigt. Für die Produktion von ME E werden, und ME von Z, Z und Z benötigt. Für die Produktion von ME E werden, und ME von Z, Z und Z benötigt. Für die Produktion von ME E werden 8, und ME von Z, Z und Z benötigt. a) Stellen Sie die RZ-Matrix und die ZE-Matrix auf. b) Erstellen Sie das dazugehörige Verflechtungsdiagramm. 8) 8

14 . Produktionsmengen und Bedarfsplanung. Produktionsmengen und Bedarfsplanung Eine RZ-Matrix beschreibt die erste Produktionsstufe. Sie wird daher auch häufig. Produktionsmatrix genannt. Die Dimension von RZ gibt an, wie viele unterschiedliche Rohstoffe Zeilen) in der ersten Produktionsstufe verwendet und wie viele unterschiedliche Zwischenprodukte Spalten) hergestellt werden. RZ In dieser RZ-Matrix gibt es somit zwei Rohstoffe, die zu drei Zwischenprodukten verar- ) beitet werden. Eine ZE-Matrix beschreibt die zweite Produktionsstufe. Sie wird daher auch häufig. Produktionsmatrix genannt. Analog zu RZ gibt die Dimension von ZE an, aus wie vielen unterschiedlichen Zwischenprodukten Zeilen) wie viele unterschiedliche Endprodukte Spalten) produziert werden. ZE 9 8 ) In dieser ZE-Matrix gibt es somit drei Zwischenprodukte, aus denen vier Endprodukte produziert werden. Werden die beiden Matrizen miteinander multipliziert, so ergibt sich RZ ZE RE. Aus der Dimension der entstandenen Rohstoff-Endprodukt-Matrix RE-Matrix) oder auch Bedarfsmatrix lässt sich ablesen, dass aus zwei unterschiedlichen Rohstoffen vier unterschiedliche Endprodukte produziert werden. RE RZ ZE ) 9 8 ) ) Die einzelnen Elemente von RE geben den Rohstoffbedarf der Endprodukte an. So bedeutet re, dass ME vom Rohstoff R benötigt werden, um ME des Endproduktes E herzustellen. RZ ZE RE Bedarfsmatrix Rohstoff-Endprodukt-Matrix) 8

15 Mehrstufige Produktionsprozesse Situation In einem Industriebetrieb lässt sich der zweistufige Produktionsprozess durch das nachfolgende Verflechtungsdiagramm beschreiben. R R R Z Z Z 9 E E E Erstellen Sie die Rohstoff-Zwischenprodukt- sowie die Zwischenprodukt-Endprodukt- Matrix und berechnen Sie den Rohstoffbedarf für jedes Endprodukt. Lösung RZ RE RZ ZE ) ZE ) 9 ) 9 9 ) Für die Produktion von ME E werden 9 ME von R benötigt. Für die Produktion von ME E werden ME von R benötigt. Die übrigen Elemente sind entsprechend zu interpretieren. 9 ) 88

16 . Produktionsmengen und Bedarfsplanung Die Bedarfsmatrix RE-Matrix) gibt immer nur den Rohstoffbedarf für jeweils eine Mengeneinheit der Endprodukte an. Um den Rohstoffbedarfsvektor r einer anderen Produktionsmenge bestimmen zu können, muss die Bedarfsmatrix RE mit dem Produktionsmengenvektor m multipliziert werden. RE m r Rohstoffbedarfsvektor Situation Ein Pharmakonzern stellt aus den Chemikalien C bis C zunächst die Grundmischungen G bis G her, die dann zu den Medikamenten M und M weiterverarbeitet werden. Der Produktionsprozess lässt sich durch die beiden nachfolgenden Tabellen beschreiben. G G G G M M C G C 8 G C G G Der Pharmakonzern möchte ME vom Medikament M und ME vom Medikament M herstellen. Berechnen Sie, wie viel ME der drei Chemikalien jeweils benötigt werden Rohstoffbedarf). Lösung CG 8 CM CG GM ) 8 ) GM ) ) ) 8 m ) r CM m 8 ) ) 9 8) Für die Produktion von ME des Medikaments M und ME des Medikaments M werden ME der Chemikalie C, 9 ME der Chemikalie C und 8 ME der Chemikalie C benötigt. 89

17 Mehrstufige Produktionsprozesse Bislang waren bei allen Aufgaben immer die. und. Produktionsmatrix bekannt, z. B. RZ und ZE. Die Bedarfsmatrix RE ließ sich dann als das Produkt von RZ ZE bestimmen. Wenn in einer Aufgabe jedoch nur eine der Produktionsmatrizen RZ oder ZE und die Bedarfsmatrix RE gegeben sind, lässt sich die fehlende Produktionsmatrix mithilfe der Inversen der gegebenen Produktionsmatrix ) bestimmen. Bestimmung der. Produktionsmatrix RZ ZE RE RZ ZE ZE RE ZE RZ E RE ZE RZ RE ZE RZ RE ZE Bestimmung der. Produktionsmatrix. Produktions- und Bedarfsmatrix sind gegeben) Bestimmung der. Produktionsmatrix RZ ZE RE RZ RZ ZE RZ RE E ZE RZ RE ZE RZ RE ZE RZ RE Bestimmung der. Produktionsmatrix. Produktions- und Bedarfsmatrix sind gegeben) ) Unter der Voraussetzung, dass die gegebene Produktionsmatrix eine quadratische Matrix ist. 9

18 . Produktionsmengen und Bedarfsplanung Situation In einem Industriebetrieb werden aus den Rohstoffen R, R und R die Zwischenprodukte Z und Z hergestellt, die dann zu den Endprodukten E und E weiterverarbeitet werden. Die dafür benötigten Mengen [ME] lassen sich dem Verflechtungsdiagramm entnehmen. R R R a b c d e f Z Z E E Bestimmen Sie die Variablen a bis f zur Bedarfsmatrix RE ). Lösung Aus dem Verflechtungsdiagramm lässt sich die. Produktionsmatrix ZE) bestimmen: ZE ) a b ) Die Variablen a bis f sind Elemente der. Produktionsmatrix RZ c d. Es gilt e f RZ RE ZE. Daher wird die Inverse von ZE benötigt. Diese kann mit dem Gauß- Jordan- Algorithmus, mithilfe der Determinante oder dem GTR bestimmt werden. Bestimmung der Inversen mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ) ) I ) 9

19 Mehrstufige Produktionsprozesse II ) 8 RZ RE ZE RZ _ ) _ ) ) a c e _ ) _ ) b d f : ) : 8) Situation In einem Industriebetrieb werden aus den Rohstoffen R und R die Zwischenprodukte Z und Z hergestellt, die dann zu den Endprodukten E, E und E weiterverarbeitet werden. Die dafür benötigten Mengen [ME] lassen sich dem Verflechtungsdiagramm entnehmen. R R 8 Z Z a b c d e f E E E Bestimmen Sie die Variablen a bis f zur Bedarfsmatrix RE 9 9 ). 9

20 . Produktionsmengen und Bedarfsplanung Lösung Aus dem Verflechtungsdiagramm lässt sich die. Produktionsmatrix RZ) bestimmen. RZ 8) Die Variablen a bis f sind Elemente der. Produktionsmatrix ZE. Es gilt ZE RZ RE. Daher wird von RZ die Inverse benötigt. Diese kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus, mithilfe der Determinante oder dem GTR bestimmt werden. Bestimmung der Inversen mithilfe der Determinante RZ 8) RZ 8 8 ) 8 ),,,, ) ZE RZ RE,, ZE,, ) 9 ) a b c d e f) 9 ) Zusammenfassung Die Matrix RZ ist die. Produktionsmatrix und beschreibt die erste Produktionsstufe. Ihre Dimension gibt an, wie viele unterschiedliche Rohstoffe Zeilen) in der ersten Produktionsstufe verwendet und wie viele unterschiedliche Zwischenprodukte Spalten) hergestellt werden. Die Matrix ZE ist die. Produktionsmatrix und beschreibt die zweite Produktionsstufe. Ihre Dimension gibt an, aus wie vielen unterschiedlichen Zwischenprodukten Zeilen) wie viele unterschiedliche Endprodukte Spalten) produziert werden. RE ist die Bedarfsmatrix. Die einzelnen Elemente von RE geben den Rohstoffbedarf der Endprodukte an. Die Anzahl der Zeilen gibt an, wie viele unterschiedliche Rohstoffe verwendet werden. Die Anzahl der Spalten gibt an, wie viele unterschiedliche Endprodukte produziert werden. Es gilt: RZ ZE RE. Der Rohstoffbedarfsvektor r gibt an, wie viele Rohstoffe für die Produktion einer bestimmten Menge m Endprodukte benötigt werden. Es gilt: RE m r. Die. Produktionsmatrix kann bei gegebener Bedarfsmatrix und gegebener quadratischer. Produktionsmatrix durch RZ RE ZE bestimmt werden. Die. Produktionsmatrix kann bei gegebener Bedarfsmatrix und gegebener quadratischer. Produktionsmatrix durch ZE RZ RE bestimmt werden. 9

21 Mehrstufige Produktionsprozesse Übungsaufgaben In einem Industriebetrieb lässt sich der Produktionsprozess durch die Matrizen RZ und ZE beschreiben. RZ 9) 8 ZE Bestimmen Sie die Bedarfsmatrix und interpretieren Sie das Element re sowie die erste Zeilen- und die zweite Spaltensumme anwendungsbezogen. Bestimmen Sie jeweils die fehlende Matrix. a) RZ c) ) 8 ) ZE e) CG 8 ) 8 ) b) 8 ) d) ) RZ 8 f) ) ) ZE 8 9 9) ) 9 FT 9 ) 9 9) ) Ein Getränkehersteller produziert aus drei Rohstoffen zunächst drei Zwischenprodukte in Sirupform, die anschließend zu zwei Multivitaminkonzentraten zusammengemischt werden. Der Verbraucher muss diese zu Hause nur noch mit Wasser verdünnen. R R R Z Z Z E E Bestimmen Sie den Rohstoffbedarf der beiden Konzentratsorten, wenn sich der Produktionsprozess durch das dargestellte Verflechtungsdiagramm beschreiben lässt. 9

22 . Produktionsmengen und Bedarfsplanung Ein Schrankhersteller produziert aus Nägeln, Schrauben, Brettern und Leim zunächst die drei Grundkonstruktionen G, G und G, die anschließend zu sechs ähnlichen Schränken unterschiedlicher Größe zusammengestellt werden. Die nachfolgenden Tabellen beschreiben den Produktionsprozess eindeutig. Die Mengen sind in ME angegeben. G G G S S S S S S Schrauben G Nägel G Bretter G Leim Berechnen Sie die benötigten Rohstoffmengen für jeden der sechs Schränke. In einer Pralinenfabrik werden aus Zucker, Kakaobutter, Kakaomasse und Milchpulver zunächst die Schokoladensorten Bitterschokolade, Milchschokolade und weiße Schokolade hergestellt. Im letzten Produktionsschritt werden die drei Schokoladensorten zu den Pralinen Tasty, Yummy und Delish verarbeitet. g Bitterschokolade enthalten g Zucker, g Kakaobutter und 8 g Kakaomasse. Dieselbe Menge Milchschokolade besteht aus 8 g Zucker, 8 g Kakaobutter, g Kakaomasse und g Milchpulver. g weiße Schokolade enthalten g Zucker und 8 g Kakaobutter, der Rest ist Milchpulver. g Tasty-Pralinen bestehen jeweils zur Hälfte aus Bitter- und weißer Schokolade. g Yummy bestehen zu jeweils einem Drittel aus allen drei Sorten und g Delish werden aus g Bitterschokolade, g Milchschokolade und g weißer Schokolade hergestellt. Zeichnen Sie ein Verflechtungsdiagramm, das den Produktionsprozess der Pralinen beschreibt, und berechnen Sie den Rohstoffbedarf für jeweils g Pralinen. In einem Industriebetrieb lässt sich der Produktionsprozess durch das nachfolgende Verflechtungsdiagramm beschreiben. R R Z Z 8 E E E 9

23 Mehrstufige Produktionsprozesse Berechnen Sie den Rohstoffbedarfsvektor, wenn m ) ist. Ein Parfumhersteller produziert aus Geranium, Neroli, Tuberose, Bergamotte und Wasser zunächst drei Essenzen, aus denen dann die Parfums Sone, Arom, Apansch und Erei hergestellt werden. Eine Drogeriekette bestellt für seine Filialen alle vier Parfumsorten. Jede Filiale erhält 8 Flacons. Jeweils % sind Sone, % Arom und % Apansch. Der Rest ist Erei. Berechnen Sie den Rohstoffbedarf des Parfumherstellers, wenn Ihnen diese Daten vorliegen: E E E Geranium Neroli Tuberose Bergamotte Wasser Sone Arom Apansch Erei E E E 8 Ein Lebensmittelkonzern produziert vegetarische Fertiggerichte. Dazu werden aus den Zutaten Erbsen, Möhren, Kartoffeln und Soja zunächst die drei Grundkomponenten gemischt, aus denen dann drei verschiedene Bratlingmassen hergestellt werden. Für die Grundkomponente werden kg Erbsen, kg Möhren, kg Kartoffeln und kg Soja benötigt. Für die Grundkomponente werden kg Möhren und kg Soja benötigt. Die Grundkomponente setzt sich aus jeweils kg der vier Zutaten zusammen. In die Bratlingmasse gehen kg, kg und kg der Grundkomponenten bis ein. In die Bratlingmasse gehen kg, kg, und kg der Grundkomponenten bis ein. Die Bratlingmasse besteht zu jeweils kg aus den Grundkomponenten und. Im Lager befinden sich noch Tonnen Erbsen, Tonnen Möhren, Tonnen Kartoffeln sowie, Tonnen Soja. Überprüfen Sie, ob sich unter diesen Voraussetzungen noch jeweils ME Bratlingmasse produzieren lassen. 9

24 . Produktionsmengen und Bedarfsplanung 9 In einem Industriebetrieb werden aus drei Rohstoffen zunächst zwei Module gefertigt, die als Grundlage für drei Zwischenprodukte dienen. Aus den drei Zwischenprodukten werden im dritten Produktionsschritt vier Endprodukte gefertigt. Die in den einzelnen Produktionsstufen benötigten Mengen [ME] sind in dem nachfolgenden Verflechtungsdiagramm dargestellt. R R R M M Z Z Z E E E E Ein Kunde bestellt bei dem Unternehmen ME von E, ME von E und jeweils ME von E und E. Im Lager befinden sich momentan noch jeweils ME der Rohstoffe R bis R. Berechnen Sie, welche Mengen gegebenenfalls noch nachbestellt werden müssen, um den Auftrag abwickeln zu können. In einem Industriebtrieb werden aus den Rohstoffen R, R und R zunächst die Zwischenprodukte Z, Z und Z produziert und anschließend zu den vier Endprodukten E bis E weiterverarbeitet. Die jeweils benötigten Mengen [ME] lassen sich dem Verflechtungsdiagramm auf der Folgeseite entnehmen. 9