Ausführliche Lösungen

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1 Bohner Ott Deusch Mathematik für berufliche Gymnasien Lineare Algebra Mathematische Beschreibung von Prozessen durch Matrizen Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab. Auflage 6 ISBN Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Merkur Verlag Rinteln Cover frhuynh Fotolia.com, kleines Bild oben: Picture-Factory Fotolia.com, kleines Bild unten: Africa Studio Fotolia.com

2 Lehrbuch Seite 4 a) x x x ( 7 ) 7 + ( ) ( ) + ( ( 5 ) ) 8 Dreiecksform Letzte Gleichung: x = 8 Einsetzen von x = 4 in die x = 4 zweite Gleichung x + 5x = : x = Einsetzen von x = 4 und x = in x = die erste Gleichung x + x x = : x 4 = x = Lösungsvektor: x = ( 4 ) b) x x x 5 ( ) ) + ( + ( ) 6 + ( ) 5 Letzte Gleichung: x = 5 x =,5 Einsetzen von x =,5 ergibt: 4x 8,5 = 6 x = Einsetzen von x =,5 und x = : x +,5 = 5 x = Lösungsvektor: x = (,5 )

3 Lehrbuch Seite 5 7 Es können x ME an W, x ME an W und xme an W hergestellt werden. W W W T T 4 T Gleichungen x + x + x = 448 4x + x = 44 x + x = LGS in Matrixschreibweise x x x ( Ergebnis: x 6 = ( 88 9 ) ) ( ~ ) ~ ( ) Es können 6 ME an W, 88 ME an W und 9 ME an W hergestellt werden.

4 4 Lehrbuch Seite c) ( 4 6 x x x ( ) 4,5 ) 4,5 : ( ) + ( 4 8 ) 4,5 + ( 4 8 ) Das LGS ist mehrdeutig lösbar. Aus der. Zeile: 4x 8x = Wir wählen z. B. x = r, r R (x ist frei wählbar). Durch Einsetzen berechnet man x in Abhängigkeit von r: 4x 8r = x =,5 r Einsetzen in x + x + x = ergibt: x + (,5 r) + r = x =,5 + r Lösungsvektor:,5 + r x =,5 r ( r ) ; r R Lösungsmenge: L = {,5 + r x x = (,5 r ; r R} r )

5 5 Lehrbuch Seite d) ( 5 ( 5 5 ( 5 5 x x x 7 5 ) ) ) + ( ) + ( 5) + ( ) Das LGS ist mehrdeutig lösbar. Aus der. Zeile: 5x 5x = 5 Wir wählen z. B. x = r, r R (x ist frei wählbar). x in Abhängigkeit von r: 5x 5r = 5 x = + r Einsetzen in x + 5x x = 5 ergibt: x + 5 ( + r) r = 5 x = 7r Lösungsvektor: 7r x = + r ( r ) ; r R Lösungsmenge: L = { 7r x x = + r ( r ) ; r R}

6 6 Lehrbuch Seite 9 ( 5 ) ~ ( 9 6 ) ~ ( ) Das LGS ist mehrdeutig lösbar. x = r, r R (frei wählbar): x + r = x in Abhängigkeit von r: x = r x berechnen: x ( r) + r = x = r Lösungsvektor: x r = ( r ) r Vergleich der Vektoren x r = ( r r ) und x = ( 5 8 ) r Gleichsetzen ergibt: ( r r ) = ( 5 8 ) Es gibt kein r, so dass alle drei Gleichungen erfüllt sind. Der Vektor x = ( 5 ) ist kein Lösungsvektor. 8 r = 7,5 r = 8 r = 8 Gleichung: x + x + x = x = r; x = r; x = r: r + r + r = r =,5

7 7 Lehrbuch Seite 5 Es werden x, x, x g der Präparate P, P, P genommen. Tagesbedarf an Vitamin A beträgt mg:,x +,x +,x = Tagesbedarf an Vitamin B beträgt mg: x + x + x = Die Kosten betragen, :,x +,5x +,5 x =, ( LGS,,,,5,,5, ) ~ (,5,5 ) ( ~ 4 4 ) Das LGS ist eindeutig lösbar. Lösungsvektor: x = ( 5 ) Die Mischung enthält 5 g von P, g von P und g von P.

8 8 Lehrbuch Seite 4 A = ( ), B = ( 5 4 ) ; x = ( 5 ) ; y = ( 4 ) a) A + B = ( b) A B = ( 4 5 = ( 4 ( c) (A + B) = ( ) + ( 5 7 ) ( 4 ) = ( 5 4 ) ) ( ) + ( ) 4 ) = ( 4 4 ) ) = ( ) 5 6,5 ) ( =,5,5,5 5,5 ) d) A 4 B = ( A 4 B = ( ) 7 ) 4 ( 5 4 ) = ( ) ( ) e) x y = ( 5 ) ( 4 ) = ( 5 ) f) y x + = ( 5 ) ( + 4 ) ( = 6 ) ( + 6 ) ( = )

9 9 Lehrbuch Seite 4 A = ( 5 5 a) A B = ( ), B = ( 5 5 b) B a = ( 4 c) B = B B = ( 4 5 ), a = ( ), b = ( 4) ) ( 4 5 ) ( ) ( = d) (A + E) B = ( ( = ( (A + E) B = ( ) ( e) A a = ( 5 5 f) b A = ( 4) ( g) b B A = ( 4) ( b B A = ( ) 5 ) ( = 7 5 ) 4 ) + ( ) ( ) ) ( ) ( = ) ) = ) ) ( ( Berechnung im Schema ) 4 Berechnung im Schema 6 8 ) 4 5 ) ) (,4 = 9 5 = ( 9) 5 ) 4 h) b a = ( 4) ( ) = 5 ) ( 5 5,45 ) ) = (9 6 ) ( 5 5 )

10 Lehrbuch Seite 4 5 a) A = ( 5 ) ( ; B = 8 ) Maschinenlaufzeiten der Automaten je Arbeitsperiode: A B = ( ) Automat I braucht für die Produktion von E, 8 E und E in Periode I: = 6 (Minuten) In Periode I läuft Automat I 6 Minuten, Automat II 64 Minuten und Automat III 9 Minuten. In Periode II läuft Automat I 5 Minuten, Automat II 64 Minuten und Automat III 8 Minuten. b) Maschinenlaufzeit in Periode I: 46 Minuten. Maschinenlaufzeit in Periode II: 45 Minuten. Auslastung in Periode I: 46 % = 64,% 7 Auslastung in Periode II: 45 % = 75,% 6

11 Lehrbuch Seite 47 a) A = ( ) Berechnung der Inversen ( A = 7 ( ) ( ) 7 ) ( ( 7 7 ) ) : ( 7) d) A = 4 ( ) Berechnung der Inversen 4 ( ) ( ) 6 ( 6 ) ( ( 8 ( 4 ( ) ) 8 6 ( 4) ) 8 ) ( ) 6 4 ( ) A = 4 ( )

12 Lehrbuch Seite 5 a) XB = C B von rechts XB B = C B X E = C B X = CB b) AX + B = C B AX = C B A von links X = A (C B) c) (E A)X = Y (E A) von links X = (E A) Y d) AX A = X + A AX = X + A X AX X = A (A E)X = A (A E) von links X = (A E) A e) XA = E + A A von rechts X = (E + A) A X = A + E f) AX A = A X + X AX A + X = A + A AX + X = A + A (A + E)X = A + A (A + E) von links X = (A + E) (A + A) g) (E X)A = XA A XA = XA + XA A = 4XA A von rechts E = 4X 4 X = 4 E

13 Lehrbuch Seite 5 h) A(E + X) = 4X A + AX = 4X AX A = 4X AX A = (4E A)X (4E A) von links X = (4E A) A i) A + BX = AX B AX A + BX AX = B A BX AX = B A (B A)X = (B + A) (B A) von links X = (B A) (B + A) oder: AX BX = B + A (A B)X = A + B X = (A B) (A + B) Lehrbuch Seite 5 9 Matrizengleichung M X = N + X M X X = N Ausklammern von X: (M E) X = N M = ( 5 ) ; N = ( 9 4 ) X = (M E) N M E = ( 5 ) ( ) = ( 5 ) (M E) : ( 5 ) X = ( 5 ) ( 9 4 ) = ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5) : ( )

14 4 Lehrbuch Seite 64 A: Rohstoff-Steckteile-Matrix: A = ( 5 ) B: Steckteile-Endprodukt-Matrix: B = ( C: Rohstoff-Endprodukt-Matrix: C = A B = ( 5 )( 4 4 ) ( = 7 4 ) )

15 5 Lehrbuch Seite 7 a) Für die Rohstoff-Endprodukt-Matrix C gilt: A B = C A B = ( 4 5 Tabelle: ) ( 5 ) = ( 7 5 ) 8 b) Aus B x z x = folgt B = ( 5 ) ( 5 7 ) ( = 7 74 ) Es müssen 5 ME S, 7 ME S und 74 ME S vorrätig sein. c) Aus A z r s = folgt: ( 4 ) ( s 66 5 s ) ( = 4 r ) Ausmultiplizieren ergibt ein lineares Gleichungssystem: s + s + s = 66 4s + s + s = 4 s + 5s + s = r M M R 7 5 R R 8 Vereinfacht: s + s = 66 I) 6s + s = 4 s + 5s r = II) III) Auflösung I) II) ergibt: s = 8 Einsetzen z. B. in Gleichung I) ergibt s =. Einsetzen z. B. in Gleichung III) ergibt r =. Das LGS ist eindeutig lösbar mit s = ; s = 8; r = Es müssen ME S, 8 ME S und ME S vorrätig sein. Vom Rohstoff R müssen ME bestellt werden.

16 6 Lehrbuch Seite 8 A = A RB; B = B BE; C = C RE a) A B = C = ( ) b) LGS: B x = ( 4 5 ) Auflösung ergibt: x = ( 5 ) c) C x = t ( t ), dabei ist t jeweils der Rohstoffvorrat von R und von R (C r ) = ( t t ) ~ ( t 5 4t ) ~ ( Das LGS ist lösbar für 4 6t = t = 5. Von R und R benötigt man 5 ME. Lösung des LGS: x = ( ) Dann müssen ME E und ME E produziert werden t 4 6t ) Alternative: LGS für die Unbekannten x, x und y: 4x + x = 9x + x y = 5x + 5x y = Lösung ergibt: x = ; x = ; y = 5 d) Variable Kosten: K v = ( k R C + k B B + k E) x = (,7,9) ( 5 5 ) = Durchschnittliche variable Kosten in GE/ME: =,

17 7 Lehrbuch Seite 9 In einem Zeitabschnitt findet folgendes Wechselverhalten statt: 5 % der Teilchen im Energiezustand I bleiben im Energiezustand I; 5 % der Teilchen wechseln in den Energiezustand II; 5 % der Teilchen wechseln in den Energiezustand III; % der Teilchen im Energiezustand II wechseln in den Energiezustand III 5 % der Teilchen im Energiezustand III bleiben im Energiezustand III; 5 % der Teilchen wechseln in den Energiezustand I; 5 % wechseln in den Energiezustand II. Lehrbuch Seite 94,8 A = (,,,7,,,,7 ) Startvektor: x = ( Stimmverteilung: A x = (,,45 ),7 6 ) oder auch x = (,,5 ),67 Erwartete Stimmverteilung nach der nächsten Wahl :, % P, 45 % P und,7 % P

18 8 Lehrbuch Seite a) Übergangsmatrix A = (,5,5,5,5,5,5 b) Anfangsverteilung x = ( ),,8 ) Bedingung für die Verteilung der Vorwoche: A x = x x ( = ) Verteilung der. Folgewoche: A x = x x 6,5 ( = 5 ) 87,5 In der Folgewoche hat die Waschanlage W voraussichtlich etwa 6 Kunden, W 5 Kunden und W etwa 88 Kunden. c) Stabile Verteilung A x = x ergibt x = (,96,48 ) (,96 und damit die Grenzmatrix G =,48,556,556 Langfristige Verteilung G ( 5 5 ) ( = oder G ( ) ( = ),96,48,556,96,48,556 ) ) 556 Langfristig waschen etwa 96 Autofahrer ihr Fahrzeug in der Anlage W, 48 in W und 556 in W. Dies ist unabhängig von der Anfangsverteilung.

19 9 Lehrbuch Seite 4 4 a) Übergangsmatrix von Zustand nach Zustand,, ( ( A =,5,5 ) Startvektor:,5,5 ) Zustand und Zustand sind absorbierend, sie werden erreicht, aber dann nicht mehr verlassen. b) Nach Übergängen (Zustandsänderungen) hat Karl mit einer Wahrscheinlichkeit von,5 kein Geld mehr, mit,5 hat er und mit,5 hat er. Hinweis: Karl hat mit einer Wahrscheinlichkeit von,5 bereits nach einem Übergang kein Geld mehr. c) Möglicher Pfad zu Zustand : Wahrscheinlichkeit:,5 4 = 6,5 % Auf seinem Pfad können nur Zustand und Zustand als Zustände vorkommen.

20 Lehrbuch Seite 8 a) Übergangsdiagramm Aus 5 % der Eier werden Larven L, aus 5 % L werden Käfer (K). Jeder K legt 8 Eier (E). a =,5 a =,5 E L K v = 8 A ( ) ( = x b) A y ( z ) = ( Population: E, L und K ) x y z ) ergibt 8z = x,5x = y,5y = z (y = z) Einsetzen von 8z = x in,5x = y: y = z Lösung: x = 8z; y = z; z Damit sind x und y Vielfache von z. x Lösungsvektor: y ( z ) ( = z 8 ). Mögliche stationäre Verteilungen: 8 E; L und K oder 64 E; 6 L und 8 K ( c) A =,5 4 ) A = E A ist zyklisch mit n = a a v =,5,5 8 = Nach Monaten stellt sich die gleiche Population wieder ein. Hinweis: Jede Population reproduziert sich in Monaten. Es gibt aber auch Populationen, z. B. ( 8, die sich sich jeden Monat reproduzieren. )

21 Lehrbuch ( Seite ) 6 A = k x 4 =,8 ( 5 ) a) Übergangsgraph für k =,65 z.b. drei Altersstufen J, M, A a J =,65 a M =,8 A v = Populationsentwicklung für die ersten drei Zeitschritte A x ( =,65 A x = (,5 A x = (,8 ) x 5 = 5 ( 6 ) = x Gesamtzahl: 9 ) = x Gesamtzahl: 8,5 4 5 ) = x = x Gesamtzahl: 85 Diese Entwicklung verläuft zyklisch, da nach Zeitschritten die Anfangsverteilung erreicht wird, oder a a v = ;,65,8 = Maximale Anzahl an Säugetieren: 9 Die Anzahlen wiederholen sich. b) k =,7 und damit,7,8 =, Die Population wächst jetzt langfristig mit dem Faktor, innerhalb von Zeitschritten 4 Population nach drei Zeitschritten:, ( 5 ) ( = 44,8,4 8 ) 44,8 Population nach sechs Zeitschritten:,,4 ( 8 ) ( 5,76 = 5,88,6 ) c) Gesamtpopulation nach sechs Zeitschritten als Summe: 9,64 Da die Population zunimmt, müssen ab dem 7. Jahr Gegenmaßnahmen ergriffen werden.