Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen innermathematisch und in Sachzusammenhängen lösen. D Integralrechnung Seite / +

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1 8 Kompetenzübersicht C C1 C2 Mathematische Modellierungen mithilfe der Differenzialrechnung eine sinnvolle Wahl des Koordinatensystems begründen und den Verlauf eines Graphen im Sachzusammenhang der Aufgabenstellung interpretieren. ganzrationale Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften bestimmen (auch in Sachzusammenhängen, z. B. Trassierungen). C3 Exponentialfunktionen aus gegebenen Bedingungen bestimmen. 36 C4 C5 C6 in Anwendungen ein passendes Modell für das exponentielle, beschränkte oder logistische Wachstum aufstellen, seine Tragfähigkeit untersuchen und Schlussfolgerungen im Sachzusammenhang interpretieren sowie Verdopplungs und Halbwertszeiten berechnen. nur ea: den Zusammenhang zwischen einer Wachstumsfunktion und ihrer Ableitungsfunktion mithilfe einer Differen zialgleichung beschreiben und einfache Differenzialgleichungen für Wachstumsprozesse lösen. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen innermathematisch und in Sachzusammenhängen lösen. Seite / + D Integralrechnung Seite / + D1 D2 D3 D4 D5 D6 Stammfunktionen zu den gängigen Funktionen bestimmen und den Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung zur Berechnung bestimmter Integrale anwenden. Flächeninhalte von Flächenstücken zwischen einem Funktionsgraphen und der x Achse und Flächeninhalte von Flächenstücken zwischen Funktionsgraphen berechnen. Mittelwerte von kontinuierlich veränderten Größen mit der Integralrechnung berechnen. in Anwendungen Gesamtänderungen aus gegebenen Änderungsraten mit bestimmten Integralen berechnen. nur ea: Inhalte ins Unendliche reichender Flächen mit uneigentlichen Integralen und den dabei erforderlichen Grenzwertbetrachtungen ermitteln. nur ea: das Volumen von Rotationskörpern berechnen und die erforderlichen Berandungsfunktionen für reale rotationssymmetrische Körper modellieren

2 48 Basiswissen Analysis D4 Gesamtänderungen aus gegebenen Änderungsraten exakt mit bestimmten Integralen berechnen. Ist eine stetige Funktion v für die momentane Änderungsrate (z. B. Zuflussgeschwindigkeit, Bewegungsgeschwindigkeit, ) einer Größe in Abhängigkeit von der Zeit t gegeben, so wird die Gesamtänderung (z. B. Füllmenge, zurückgelegte Wegstrecke, ) im Zeitintervall [t a ;t e ] t e mit dem Integral v (t) dt berechnet. t a Zu einer gegebenen Messreihe für die momentane Änderungsrate in verschiedenen Zeitpunkten kann oft eine Funktion v durch eine sinnvolle Regression ermittelt werden. Beispiel Gegeben ist die Bewegungsgeschwindigkeit Die Geschwindigkeit v eines aus der Ruhe von einem Turm fallenden Steins ist gegeben durch v (t) = 9,81 t. Dabei wird die Zeit t in Sekunden und die Geschwindigkeit v in Meter pro Sekunde angegeben. Beobachtet man, dass der Stein nach einer Falldauer von Sekunden auf dem Boden aufschlägt, kann man die Höhe des Turms berechnen, indem man die als momentane Änderungsrate gegebene Geschwindigkeit v (t) über dem Zeitintervall [; ] integriert: h = 9,81 t dt = [ 9,81 2 t2 ] t e 9,81 t dt = 1 [ 9,81 t 2 ] e t2 = 1 9,81 2 t e 5,23 Der Turm hat eine Höhe von etwa 5,23 m. Ist andererseits die Fallhöhe mit h = 1 m gegeben, so kann man auch die entsprechende Falldauer berechnen. Diesmal ist der Wert des Integrals bekannt. Zu bestimmen ist die obere Integrationsgrenze t e. 2 = 1 t e = 9,81 4,5 t e 4,5 Hinweis: Die negative Lösung der quadratischen Gleichung entfällt hier im Sachzusammenhang. Der Stein trifft nach etwa 4,5 Sekunden auf dem Boden auf. Beispiel Gegeben ist die Bewegungsgeschwindigkeit Die Geschwindigkeit v eines aus der Ruhe von einem Turm fallenden Steins ist gegeben durch v (t) = 9,81 t. Dabei wird die Zeit t in Sekunden und die Geschwindigkeit v in Meter pro Sekunde angegeben. Beobachtet man, dass der Stein nach einer Falldauer von Sekunden auf dem Boden aufschlägt, kann man die Höhe des Turms berechnen, indem man die als momentane Änderungsrate gegebene Geschwindigkeit v (t) über dem Zeitintervall [; ] integriert: h = 9,81 t dt = [ 9,81 2 t2 ] 5,23 Der Turm hat eine Höhe von etwa 5,23 m.

3 116 Aufgaben zum Trainieren Pflichtteil Aufgabe P17 Zur Herstellung von zwei Endprodukten E 1 und E 2 werden drei Zwischenprodukte Z 1, Z 2, Z 3 benötigt. Diese werden aus zwei Rohstoffen R 1 und R 2 hergestellt, vgl. das abgebildete Verflechtungsdiagramm (angegeben sind Mengeneinheiten). (1) Stellen Sie die zugehörigen Verflechtungsmatrizen A RZ und B ZE auf. (2) Zeigen Sie, dass für die Verflechtungsmatrix C RE gilt: C RE = ( ). (3) Berechnen Sie den Bedarf an Zwischenprodukten und an Rohprodukten für eine Bestellung von 2 Endprodukten E 1 und 1 Endprodukten E 2. (4) Der Preis für die Rohstoffe beträgt 3 für R 1, 2 für R 2. Berechnen Sie die anfallenden Rohstoffkosten. H7 (5) Für eine Bestellung wurden 82 ME von Rohstoff R 1 beschafft und 1927 ME von Rohstoff R 2. Beschreiben Sie, wie man die zugrunde liegende Bestellung aus diesen Angaben rekonstruieren kann. Trainingsaufgaben zum Pflichtteil Stochastik Aufgabe P18 Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit n = 1 und p =,3. (1) Das zugehörige Histogramm ist rechts abgebildet. Entnehmen Sie diesem näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P (E) für das Ereignis E: Mindestens ein Erfolg. J2 (2) Das Histogramm rechts ist durch Spiegelung aus dem Histogramm aus (1) entstanden. Geben Sie die diesem Histogramm zugrunde liegende Erfolgswahrscheinlichkeit sowie die Spiegelachse an. Beschreiben Sie das Ereignis, das eine Wahrscheinlichkeit hat, die gleich der in (1) abgelesenen Wahrscheinlichkeit P(E) ist. K2 (3) Für n = 9 Versuchsdurchführungen des Bernoulli Versuchs mit p =,3 ergibt sich die rechts stehende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Erläutern Sie, wie man mithilfe von Daten aus der Tabelle die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 4 Erfolge im 1-stufigen Bernoulli-Versuch mit p =,3 berechnen könnte. Geben Sie einen Term hierfür an. K2 k P(X = k),44 1,1556 2,2668 3,2668 4,1715 5,735 6,21 7,39 8,4 9,

4 164 Aufgaben zum Trainieren Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 1 Zweistufiger Produktionsprozess Eine Firma stellt die drei Endprodukte E 1, E 2 und E 3 her. Dazu werden die Rohstoffe R 1 bis R 4 benötigt und diese über die Zwischenprodukte Z 1 und Z 2 zu den Endprodukten verarbeitet. Der Graph veranschaulicht den zweistufigen Produktionsprozess. Dabei geben die Zahlen an den Pfeilen an, wie viele Einheiten von den Zwischenprodukten für die Endprodukte und wie viele Einheiten der verschiedenen Rohstoffe für die Zwischenprodukte benötigt werden. a) Bestimmen Sie die Bedarfsmatrizen für die beiden Produktionsstufen und daraus die Bedarfsmatrix für den Gesamtprozess. b) In einer bestimmten Woche sollen 1 5 Einheiten des Endproduktes E 1, 15 Einheiten des Endproduktes E 2 und 2 Einheiten des Endproduktes E 3 hergestellt werden. Berechnen Sie die Mengeneinheiten an Rohstoffen, die für diese Produktion benötigt werden. c) In einer Woche wurden für die Produktion 74 ME von R 1, 256 ME von R 2, 972 ME von R 3 und 636 ME von R 4 verarbeitet. Zeigen Sie, dass man hieraus nicht eindeutig erschließen kann, welche Bestellungen vorgelegen haben. Geben Sie ein Beispiel für eine mögliche Bestellung an. d) Die Rohstoffe werden aus dem Ausland bezogen. Als Lieferprobleme auftreten, muss die Firma überprüfen, ob die vorliegenden Aufträge aus den vorhandenen Lagerbeständen abgewickelt werden können. Insgesamt sind bestellt: 12 ME von E 1, 14 ME von E 2 und 18 ME von E 3. Im Lager sind noch vorhanden: 7 ME von Rohstoff R 1, 24 ME von R 2, 8 ME von R 3 und 5 ME von R 4. (1) Zeigen Sie, dass die Lagerbestände nicht ausreichen würden, um die vorliegenden Bestellungen abzuwickeln. (2) Die Geschäftsleitung entscheidet, dass auf jeden Fall alle Bestellungen an Endprodukten E 1 und E 2 aus den Lagerbeständen produziert werden sollen. Ermitteln Sie, wie viele Bestellungen an Endprodukten E 3 maximal möglich sind. H2 Lösung: a) Wenn man berechnen will, welche Mengeneinheiten an Rohstoffen benötigt werden, muss man zunächst überlegen, wie viele Zwischenprodukte vorhanden sein müssen, um die Aufträge zu erfüllen. Aus der Grafik entnehmen wir: Z 1 = 4 E E 2 + E 3 und Z 2 = 2 E E E 3 Dann können wir angeben, wie viel Rohstoffeinheiten aufgrund der berechneten Mengenangaben bei den Zwischenprodukten benötigt werden: R 1 = 3 Z Z 2 und R 2 = Z Z 2 und R 3 = 1 Z Z 2 und R 4 = 5 Z Z 2

5 214 Original Prüfungsaufgaben P (E 2 ) = P C (1. Wahl) =,84,2 =,42 Hinweis: Hier wurde nicht nach den bedingten Wahrscheinlichkeiten des umgekehrten Baumdiagramms gefragt! Wenn dies der Fall gewesen wäre, dann hätte sich das Baumdiagramm rechts ergeben: b) (1), (2) Mithilfe der Binomialverteilung erhält man: P (E 3 ) = P (X = 14),111. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung erhält man: P (E 4 ) = P (13 X 21) = P(X 21) P (X 12),486. (3) ( 5 32 ) gibt die Anzahl der Pfade mit 32 Erfolgen bei einer 5 stufigen Bernoulli Kette an.,25 32,75 18 gibt die Wahrscheinlichkeit eines solchen Pfades bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p =,25 an. c) (1) Mithilfe der intersect Option des GTR werden die 95 % Konfidenzintervalle zu den Stichprobenergebnissen X 1 = 49 bzw. X 2 = 24 bestimmt. Aus dem Ansatz p 49 1,96 p (1 p) bzw. 1,96 p (1 p) p 49 ergibt sich das Intervall,196 p 1,39, aus dem Ansatz p 24 1,96 p (1 p) bzw. p 24 1,96 p (1 p) das Intervall,82 p 2,1723: (2) Wenn ein Stichprobenergebnis vorliegt, dann weiß man nicht, ob es in dem Sinne repräsentativ ist für die Gesamtheit, d. h., dass es verträglich ist mit dem zugrunde liegenden Anteil p von Geräten 1. Wahl (das tritt in 95 % der Fälle ein) oder ob es von diesem signifikant abweicht (was nach Definition von signifikant