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1 MLAN1 1 MATRIZEN 1 1 Matrizen Eine m n Matrix ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 amn mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m n Zahlen Die Matrixelemente a ik, 1 i m, 1 k n, sind bis auf weiteres reelle Zahlen Beachten Sie unbedingt, dass der erste Index die Zeilennummer und der zweite Index die Spaltennummer ist Eine m n Matrix ist eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten Eine 1 1 Matrix ist eine gewöhnliche reelle Zahl Eine m 1 Matrix ist ein Vektor aus R m 11 Notationen und einfache Rechenregeln a ik für 1 i m, 1 k n ist eine Kurzschreibweise für das rechteckige Zahlenschema A Die Nullmatrix ist die m n Matrix 0 = Wenn m = n ist, dann ist die Einheitsmatrix die Matrix I n = 1 Wird die m n Matrix a ik an der Hauptdiagonalen gespiegelt, entsteht die zu A transponierte Matrix A T : A T ik = A ki A T = Eine n n Matrix D ist eine Diagonalmatrix, wenn höchstens die Diagonalelemente d ii, 1 i n, von Null verschieden sind d d 2 0 D = = diagd 1, d 2,, d n 0 0 d n Die Addition von Matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl werden wie bei Vektoren elementweise ausgeführt ungr/matrizentex

2 MLAN1 1 MATRIZEN 2 Zwei m n Matrizen A und B sind gleich, wenn ihre Elemente gleich sind B a ik = b ik für 1 i m, 1 k n Sind A und B zwei m n Matrizen, dann ist C := c ik = A + B = a ik + b ik für 1 i m, 1 k n B = C = A + B = Ist a ik und µ R, dann ist µ µ a ik, 1 i m, 1 k n µ = Die Matrixmultiplikation Diese Operation verwirrt die AnfängerInnen und ist deshalb gründlich von Hand zu üben! A sei eine m n Matrix und B sei eine n p Matrix Die Matrix A B ist nur definiert, wenn die Anzahl Kolonnen von A gleich der Anzahl Zeilen von B ist, inner matrix dimensions must agree A B ist eine m p Matrix Die Elemente c ik von C = A B = c ik berechnen sich wie folgt: a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a m1 a m2 a mn b 11 b 1k b 1p b 21 b 2k b 2p b n1 b nk b np = c 11 c 12 c 1k c 1p c i1 c i2 c ik c ip c m1 c m2 c mk c mp n c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + + a in b nk c ik = a ij b jk Das Element c ik ist das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A mit dem k-ten Spaltenvektor von B j=1 n p i te Zeile p c ik m A n B = m AB k te Spalte ungr/matrizentex

3 MLAN1 1 MATRIZEN 3 Vorsicht! Im allgemeinen ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ, dh A B B A Es ist möglich, dass A B = 0, auch wenn A 0 und B 0 sind 13 Regeln für das Rechnen mit Matrizen A + B = B + A A + B + C = A + B + C A + 0 = A 0 + A A + 0 A + 0 A B C = A B C A + B C = A C + B C A B + C = A B + A C µ ν µ ν A µ, ν R µ + ν µ A + ν A µ, ν R µ A + B = µ A + µ B µ R µ A B = µ A B = A µ B µ R A B T = B T A T ungr/matrizentex

4 MLAN1 1 MATRIZEN 4 14 Aufgaben Aufgabe a a, B = a Berechnen Sie A + B, 3 A, B, A B, 0 A, 2 B 3 A Aufgabe , B = Berechnen Sie A B und B A Aufgabe , B = 1 1 Berechnen Sie A B und B A Aufgabe 4 Berechnen Sie A 2 und A 3 A 2 = A A Aufgabe 5 Berechnen Sie für die Matrix A aus obiger Aufgabe alle Potenzen A k, k N 0, wobei A 0 := I 3 Aufgabe 6 a 11 a 1n, D = diagd 1, d 2,, d n, x = a n1 a nn Berechnen Sie A D, D A, A x und D x Verwenden Sie dabei auch das Summenzeichen x 1 x 2 x n ungr/matrizentex

5 MLAN1 1 MATRIZEN 5 Aufgabe , B = 1 0 0, C = Berechnen Sie A B C und A B C Aufgabe 8 Gegeben sind die Matrizen L und A L = 1 0 0, a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Berechnen Sie L A und beobachten Sie, was passiert Aufgabe 9 Gegeben ist die 3 3 Matrix a ik Geben Sie die 3 3 Matrix L so an, dass die Matrix L A aus A durch Vertauschen der ersten und der dritten Zeile entsteht Aufgabe 10 Gegeben ist die 3 3 Matrix a ik Geben Sie die 3 3 Matrix L so an, dass die Matrix L A aus A durch die Addition des r-fachen der dritten Zeile zur zweiten Zeile entsteht Aufgabe 11 Gegeben ist die 3 3 Matrix a ik Geben Sie die 3 3 Matrix L so an, dass die Matrix L A aus A durch Multiplikation der zweiten Zeile mit dem Faktor r entsteht Aufgabe 12 Gegeben ist die 3 3 Matrix a ik Geben Sie die 3 3 Matrix R so an, dass die Matrix A R aus A durch Vertauschen der ersten und der dritten Spalte entsteht Aufgabe 13 Gegeben ist die 3 3 Matrix a ik Geben Sie die 3 3 Matrix R so an, dass die Matrix A R aus A durch die Addition des r-fachen der dritten Spalte zur zweiten Spalte entsteht Aufgabe 14 Gegeben ist die 3 3 Matrix a ik Geben Sie die 3 3 Matrix R so an, dass die Matrix A R aus A durch Multiplikation der zweiten Spalte mit dem Faktor r entsteht ungr/matrizentex

6 MLAN1 1 MATRIZEN 6 15 Lösungen zu den Aufgaben Lösung 1 A + B = B = a a a a, , A B =, 2 B 3, 2 2 2a 4 a a 2a , Lösung 2 A B = Das Produkt B A ist nicht definiert! Lösung 3 A B = , B 1 1 Lösung 4 A 2 =, A 3 = Lösung 5 A k = 0 = für k 3 Lösung 6 A D: jeweils den k-ten Spaltenvektor von A mit d k multiplizieren, dh A D = a ik d k, 1 i n, 1 k n D A: jeweils den i-ten Zeilenvektor von A mit d i multiplizieren, dh D d i a ik, 1 i n, 1 k n ungr/matrizentex

7 MLAN1 1 MATRIZEN 7 A x: Summenzeichen verwenden, dh A x = n a 1k x k n a 2k x k k=1 k=1 n a nk x k k=1 D x: die Summen haben jeweils nur einen Summanden, dh d 1 x 1 d 2 x 2 D x = d n x n Lösung 7 A B C = A B C = Lösung 8 L a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23, A L = a 11 a 13 a 12 a 21 a 23 a 22 a 31 a 33 a 32 Beobachtung: Multipliziert man L von links an A, so werden in der Produktmatrix gegenüber A die Zeilen 2 und 3 vertauscht Multipliziert man hingegen L von rechts an A, so werden in der Produktmatrix gegenüber A die Spalten 2 und 3 vertauscht Lösung 9 Lösung 10 Lösung 11 Lösung 12 L = L = L = r r 0 R = ungr/matrizentex

8 MLAN1 1 MATRIZEN 8 Lösung 13 Lösung 14 R = L = r r 0 ungr/matrizentex

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