Matrizen Matrizen

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1 Matrizen 29 2 Matrizen Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit Matrizen. Sie eignen sich insbesondere zur Darstellung von Gleichungssystemen und linearen Abbildungen. Wir führen eine Addition und eine Multiplikation für Matrizen ein, und wir werden sehen, dass die so entstehende Rechenstruktur einen Ring mit Einselement bildet. Für die Lösung von linearen Gleichungssystemen ist der Rang der Koeffizientenmatrix von Bedeutung. Deshalb betrachten wir den Rang einer Matrix sowie Matrizenumformungen, die den Rang invariant lassen. Die Umformungen, die die Zeilen einer Matrix betreffen, sind ebenfalls bei Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme von Bedeutung. Nach dem Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie alle Grundbegriffe über Matrizen kennen und an Beispielen erläutern können, erklären können, dass Matrizen mit Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation einen Ring mit Einselement bilden, wissen, was der Rang einer Matrix ist, diesen bestimmen können und die elementaren Matrizenumformungen kennen, die den Rang invariant lassen. Lernziele 2. Definitionen und elementare Eigenschaften In diesem Abschnitt betrachten wir insbesondere im Hinblick auf die Betrachtungen in den folgenden Abschnitten Begriffe zu Matrizen und deren elementare Eigenschaften. Definition 2. Es sei m, n N und K ein Körper. Eine (m n)-matrix (m n)- A über K ist gegeben durch Matrix a, a,2... a,n A =(a i,j ) i m = j n a 2, a 2,2... a 2,n... a m, a m,2... a m,n wobei a i,j K, i m, j n, ist. 2 Während wir mit A =(a i,j ) die gesamte Matrix darstellen, bedeutet ( A ) ij = a ij das Element von A in der i-ten Zeile und j-ten Spalte. 2 Falls keine Missverständnisse möglich sind, schreiben wir anstelle von a i,j auch a ij sowie anstelle von A =(a i,j ) i m auch A =(a i,j )odera =(a ij ). j n K.-U. Witt, Lineare Algebra für die Informatik, DOI 0.007/ _ 2, Springer Fachmedien Wiesbaden 203

2 30 Definitionen und elementare Eigenschaften Zeilenvektor Für i m heißt a i =(a i,a i2,...,a in ) die i-te Zeile oder i-ter Zeilenvektor sowie für j n heißt a j =(a j,a 2j,...,a mj ) Spaltenvektor Gleichheit von Matrizen Nullmatrix Transponierte einer Matrix die j-te Spalte oder j-ter Spaltenvektor von A. Mit M K mn bezeichnen wir die Menge aller (m n)-matrizen über K. Zwei Matrizen A, B M K mn sind gleich, falls a ij = b ij, i m, j n, gilt. Gilt für eine Matrix A, dassa ij =0, i m, j n, dannheißta Nullmatrix (Schreibweise: A = 0 mn oder A = 0). Sei A M K mn, dann heißt die Matrix A T M K nm definiert durch ( ) A T = ij at ij = a ji =(A ) ji, i m, j n die Transponierte von A. Transponieren bedeutet also quasi das Vertauschen von Zeilen und Spalten. Quadratische Die Matrizen A M K mm (anstelle von M K mm schreiben wir auch M K m)heißen Matrix quadratisch. Obere, untere Eine quadratische Matrix A M K m mit a ij = 0 für i > j heißt obere Dreiecksmatrix Dreiecksmatrix. Entsprechend heißt eine quadratische Matrix A M K m mit a ij =0für i<juntere Dreiecksmatrix. Diagonalelemente Diagonalmatrix, falls a ij =0für alle i j ist, d.h. alle Elemente, die keine Die Elemente a ii einer Matrix heißen Diagonalelemente. Eine Matrix heißt Diagonalmatrix Diagonalelemente sind, sind gleich Null. Einheitsmatrix Eine Diagonalmatrix A M K m mit a ii =, i m, heißteinheitsmatrix (Schreibweise: A = E m oder A = E). Symmetrische Gilt für eine quadratische Matrix A, dassa ij = a ji, i, j m, ist dann Matrix heißt A symmetrisch. Folgerung 2. a) Für alle Matrizen A M K mn gilt: ( A ) T T = A. b) A M K m ist genau dann symmetrisch, falls A = A T ist. Mankann(m n)-matrizen über einem Körper K auch als Vektoren des Vektorraums K m n betrachten, indem man etwa alle Spalten oder alle Zeilen hintereinander auflistet. Die folgende Definition und die anschließende Folgerung 2.2 a) sind uns so gesehen bereits aus dem vorigen Kapitel bekannt. Definition 2.2 Es seien A, B M K mn sowie α K.Dannist a) C = A + B definiert durch c ij = a ij + b ij die Summe von A und B; b) α A definiert durch ( α A ) ij = α a ij das skalare Produkt von α und A.

3 Matrizen 3 Folgerung 2.2 a) M K mn bildet einen Vektorraum über K. b) Es seien A, B M K mn und α K.Für die Matrixtransposition gelten folgende Rechenregeln: ( A + B ) T = A T + B T sowie ( α A ) T = α A T Umgekehrt kann man einen Vektor x K l als Zeile betrachtet auch als ( l)-matrix ansehen. x T stellt dann diesen Vektor als (l )-Matrix, bestehend aus einer Spalte, dar. Diese Notation haben wir schon im Kapitel.6 beim Skalarprodukt von Vektoren benutzt. Wir verallgemeinern nun diese Definition auf Matrizen, indem wir ein Matrizenprodukt durch skalare Multiplikation der Zeilenvektoren der einen mit den Spaltenvektoren der anderen Matrix festlegen. Definition 2.3 Es sei A M K ml sowie B M K ln. Dann ist das Produkt Produkt C = A B M K von Matrizen mn definiert durch C =(c ) i m ij j n mit c ij = l a ik b kj, i m, j n k= Unter Beachtung der Bemerkungen vor der Definition können wir die Multiplikation auch wie folgt festlegen (siehe Definition.3): c ij = a i b j, i m, j n Folgerung 2.3 Sei A M K mn, danngilte m A = A und A E n = A, womit die Bezeichnung Einheitsmatrix für die Matrizen E k, k, gerechtfertigt ist. Nach den bisherigen Darstellungen ist die Aussage des folgenden Satzes nicht überraschend und lässt sich leicht verifzieren. Satz 2. M K m bildet mit den Operationen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation einen (im Allgemeinen nicht kommutativen) Ring mit Einselement. Mit der Frage, ob es eine Menge von quadratischen Matrizen gibt, die sogar einen Körper bilden, d.h. insbesondere mit der Frage, ob es bezüglich der Multiplikation invertierbare Matrizen gibt, und wenn ja, wie diese beschaffen sind, beschäftigen wir uns in Kapitel 4.2. Für Multiplikation und Transposition gilt die folgende Rechenregel (Fortsetzung von Folgerungen 2. und 2.2 b): ( A B ) T = B T A T (2.) Dies können wir mithilfe obiger Definitionen und Eigenschaften wie folgt nachrechnen:

4 32 Definitionen und elementare Eigenschaften ( ( A B ) T ) ij =(A B ) ji = a j b i =(a j,...,a ji,...,a jk ) (b i,...,b ii,...,b ki ) = a j b i a ji b ii a jk b ki = b i a j b ii a ji b ki a jk = b T ia T j b T iia T ij b T ika T kj = ( ) ( ) b T i b T ii b T ik a T j a T ij a T kj = b T i a T j = ( B T A T ) ij Durch geeignete Partitionierung lässt sich die Matrizenmultiplikation in speziellen Fällen vereinfachen. Sei A eine (m l)-matrix und B eine (l n)- Matrix. Wir teilen diese in jeweils zwei Matrizen A und A 2 bzw. B und B 2 wie folgt auf: ( ) B A =(A A 2 ) bzw. B = Dabei habe A p Spalten und B p Zeilen, p l. Dann gilt: B 2 A B = A B + A 2 B 2 Das entspricht quasi der skalaren Multiplikation zweier Vektoren. Beispiel 2. Durch die Wahl der folgenden Beispielmatrizen wird klar, wann diese Art der Aufteilung bei der Multiplikation Vorteile (Effizienzgewinne) bringen kann. ( ) 2 3 ( ) ( ) ( ) = + ( 0 0 ) ( ) 2 3 = Diese blockweise Multiplikation kann sogar noch verallgemeinert werden, indem man die Matrizen A und B in weitere kompatible Blöcke einteilt: ( A ) A 2 ( B ) B 2 A = A 3 A 4 bzw. B = B 3 B 4 Dann gilt: ( ) A B + A 2 B 3 A B 2 + A 2 B 4 A B = A 3 B + A 4 B 3 A 3 B 2 + A 4 B 4 Das entspricht quasi der Multiplikation zweier (2 2)-Matrizen, wenn man die Blöcke als Matrixelemente ansieht.

5 Matrizen 33 Beispiel 2.2 ( ) 2 3 ( = ) = ( ) Elementare Matrizenoperationen Für die Bestimmung des Rangs einer Matrix, den wir im nächsten Abschnitt betrachten, sowie für das Gausssche Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, welches wir im nächsten Kapitel kennen lernen, benötigen wir Operationen, um Matrizen in eine bestimmte Form zu transformieren. Diese Transformationen können durch Multiplikation mit geeigneten Matrizen durchgeführt werden. In diesem Abschnitt führen wir diese Matrizen ein und betrachten die Eigenschaften, die für die genannten Anwendungen von Bedeutung sind. Definition 2.4 E ij Matrizen E ij M K m definiert durch {, r = i, s = j rs ) r,s m mit e rs = 0, sonst ij =(e rs heißen Matrizeneinheiten. Diese Matrizen haben also die Gestalt i j Matrizeneinheit (dabei stehen die Punkte für Nullen), d.h. das Element e ij ist geich, alle anderen Elemente sind 0. Satz 2.2 a) Es sei E ij M K m und A M K mn, dann gilt E ij A = a j... a jj... a jn i

6 34 Elementare Matrixoperationen Die Linksmultiplikation einer Matrix mit der Matrizeneinheit E ij erzeugt also eine Matrix, deren i-te Zeile gleich der j-ten Zeile von A ist, und alle anderen Matrizenelemente sind gleich Null. Wir bezeichnen diese Matrix mit A r j i (r steht für row, Zeile), d.h. b) A E ij = A r j i j i = E ij A 0... a i a ii a mi... 0 j Die Rechtsmultiplikation einer Matrix mit der Matrizeneinheit E ij erzeugt eine Matrix, deren j-te Spalte gleich der i-ten Spalte von A ist, und alle anderen Matrizenelemente sind gleich Null. Wir bezeichnen diese Matrix mit A c i j (c steht für column, Spalte), d.h. A c i j ij i j = A E ij Folgerung 2.4 a) Für i j gilt E 2 ij = 0, und es gilt E 2 kk = E kk. b) E kk A ist die Matrix, die als k-te Zeile die k-te Zeile von A enthält, alle anderen Elemente sind gleich Null. Wir nennen diese Matrix A r k, d.h. es ist A r k = A r k k = E kk A Analog ist A E kk die Matrix, die als k-te Spalte die k-te Spalte von A enthält, alle anderen Elemente sind gleich Null. Wir nennen diese Matrix, d.h. es ist A A c k c kk k = A c k k = A E kk c) Für α Kist α A r k die Matrix, die als k-te Zeile die mit α multiplizierte k-te Zeile von A enthält, alle anderen Elemente sind gleich Null. Analog ist α A c k die Matrix, die als k-te Spalte die mit α multiplizierte k-te Spalte von A enthält, alle anderen Elemente sind gleich Null. Wir führen nun mithilfe von Matrizeneinheiten formal die Operationen a) Zeilentausch, b) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar und c) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen sowie die entsprechenden Spaltenoperationen ein.

7 Matrizen 35 Satz 2.3 Es seien E ii, E jj, E kk, E ij, E ji M K m Matrizeneinheiten, und es sei A M K mn. a) Das Vertauschen der Zeilen i und j von A wird erreicht durch: A A r i A r j + A r j i + A r i j = A E ii A E jj A + E ij A + E ji =(E E ii E ij + E ji )A ji A Wir setzen C(i, j) =E E ii ii E jj +E ij +E ji = Vertauschen von Zeilen d.h. es ist C(i, j) =(c rs ) r,s m mit, r = s, r, s i, i+ r, s j, j+ r, s m 0, r = s = i, r = s = j c rs =, r s, r = i, s = j, r s, r = j, s = i 0, sonst Das Vertauschen der i-ten mit der j-ten Zeile der Matrix A wird also durch die (Links-) Multiplikation C(i, j) A erreicht. Entsprechend wird das Vertauschen der i-ten mit der j-ten Spalte der Matrix A durch die (Rechts-) Multiplikation A C(i, j) erreicht. Vertauschen von Spalten b) Die Multiplikation der k-ten Zeile von A mit einem Skalar α Kwird Multiplikation erreicht durch: einer Zeile mit einem Skalar A A r k + α A r k = A E kk A + α E kk A = A +(α ) E kk A =(E +(α ) E kk ) A

8 36 Elementare Matrixoperationen Wir setzen M(k, α) =E +(α ) E kk =... 0 α 0... d.h. es ist M(k, α) =(m ij ) i,j m mit, i = j, i, j k, k+ i, j m m ij = α, i = j = k 0, sonst k k Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar Zeilenaddition Die Multiplikation der k-ten Zeile der Matrix A mit einem Skalar α K wird also durch die (Links-) Multiplikation M(k, α) A erreicht. Entsprechend wird die Multiplikation der k-ten Spalte der Matrix A mit einem Skalar α Kdurch die (Rechts-) Multiplikation A M(k, α) erreicht. c) Für i j wird die Addition des α-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile erreicht durch Wir setzen bzw. d.h. es ist A + αa r j i = A + αe ij A =(E + αe ij S(i, j, α) =E + αe ij = S(i, j, α) =E + αe ij =... S(i, j, α) =(s rs ) r,s m mit s rs = α α ij )A, r = s α, r = i, s = j 0, sonst

9 Matrizen 37 Die Addition des α-fachen der j-ten zur i-ten Zeile wird also durch die (Links-) Multiplikation S(i, j, α) A erreicht. Entsprechend wird die Addition des α-fachen der j-ten zur i-ten Spalte Spaltenaddition durch die (Rechts-) Multiplikation A S(j, i, α) erreicht. Aus den obigen Eigenschaften folgt unmittelbar Folgerung 2.5 Es gilt (C(i, j)) T = C(i, j), (M(k, α)) T = M(k, α) sowie (S(i, j, α)) T = S(j, i, α). Definition 2.5 Wir nennen für i, j, k m und α Kdie Matrizen Elementarmatrizen C(i, j), M(k, α), S(i, j, α) M K m Elementarmatrizen sowie für A M K mn die Linksmultiplikation L A bzw. die Rechtsmultiplikation A R mit L, R {E, C(i, j), M(k, α), S(i, j, α) } eine Elementaroperation auf A. Satz 2.4 Die Elementarmatrizen C(i, j), M(k, α), S(i, j, α) M K m sind invertierbar, und es gilt für A M K mn a) C (i, j) =C(i, j) und damit C(i, j) C(i, j) A = A, b) M (k, α) =M(k, α ) und damit M(k, α) M(k, α ) A = A, c) S (i, j, α) =S(i, j, α) und damit S(i, j, α) S(i, j, α) A = A für i j. Beweis a) Es ist Elementaroperationen C(i, j) C(i, j) =(E E ii E jj + E ij + E ji ) (E E ii E jj + E ij + E ji =... = E (... bedeutet langwierige Rechnerei aber es kommt letztendlich E heraus.) b) Es ist mit Folgerung 2.4 a) M(k, α) M(k, α ) =(E +(α )E kk ) (E +(α )E kk ) = E +(α )E kk +(α )E kk +(α )(α )E 2 kk = E + α E kk E kk + αe kk E kk +2E kk αe kk α E kk = E c) Es ist mit Folgerung 2.4 a) S(i, j, α) S(i, j, α) =(E + αe ij )(E αe ij = E αe ij + αe ij α 2 E 2 ij = E ij ) ji ) Womit insgesamt alle Behauptungen gezeigt sind.

10 38 Rang einer Matrix Aus dem Satz folgt unmittelbar Folgerung 2.6 a) Es sei L eine Elementaroperation, dann ist auch L eine Elementaroperation. b) Ist L = L k... L ein Produkt (man sagt auch eine Folge) von Elementaroperationen, dann ist L =(L k... L ) = L... L k ebenfalls ein Produkt (eine Folge) von Elementaroperationen. 3 Übungsaufgaben 2. Führen Sie auf die Matrix 2 3 A = M R Folgen von Elementaroperationen nach eigener Wahl aus! 2.3 Rang einer Matrix Zeilenrang Spaltenrang Betrachtet man die Zeilen oder Spalten einer Matrix A M K mn jeweils als Mengen von Vektoren, so können diese linear unabhängig oder linear abhängig sein. Wir nennen die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilen von A den Zeilenrang und entsprechend die Anzahl der unabhängigen Spalten den Spaltenrang von A. Den Zeilenrang bezeichnen wir mit rrang(a) bzw. den Spaltenrang mit crang(a). Zeilenreduktion Definition 2.6 a) Sei A M K mn eine Matrix und L = L k... L eine Folge von Elementaroperationen, dann heißt B = L A = L k... L A Zeilenreduktion von A. b) Sei A M K mn eine Matrix und R = R... R l eine Folge von Elementaroperationen, dann heißt Spaltenreduktion Spaltenreduktion von A. B = A R = A R... R l 3 In multiplikativen Strukturen gilt für invertierbare Elemente: (a b) = b a (siehe (A.6) im Anhang).

11 Matrizen 39 c) Zwei Matrizen A, B M K mn heißen äquivalent, falls es eine Zeilenreduktion L und eine Spaltenreduktion R gibt, so dass B = L A R gilt. Schreibweise: A B. Äquivalenz von Matrizen Der folgende Satz besagt, dass die Anwendung von Zeilen- und Spaltenreduktionen auf eine Matrix weder deren Zeilen- noch deren Spaltenrang ändert. Bei den Tauschoperationen und der Multiplikation von Spalten oder Zeilen mit Skalaren ist das offensichtlich, und da bei den anderen Operationen Zeilen- bzw. Spaltenvektoren linear miteinander verknüpft werden, kann man überlegen, dass die lineare Unabhängigkeit oder die lineare Abhängigkeit der Zeilen- bzw. der Spaltenvektoren insgesamt dadurch nicht verändert werden. Satz 2.5 Sind A, B M K mn Matrizen mit A B, dannist rrang(a) = rrang(b) und crang(a) = crang(b). Durch gezielte Anwendung von Zeilen- und Spaltenreduktionen kann jede Matrix auf eine bestimmte Form, die so genannte Stufenform, transformiert werden. Satz 2.6 Zu jeder Matrix A M K mn mit A 0 existiert eine eindeutige Zahl r, so dass A äquivalent zur Matrix ( ) E r Er 0 m,n = r,n r (2.2) 0 m r,r 0 m r,n r ist. Beweis Da A 0 ist, ist mindestens ein Element a ij von A ungleich 0. Falls a = 0 ist, erreichen wir durch C(,i) A C(,j), dass das Element in der ersten Zeile und ersten Spalte ungleich 0 ist. Aus diesem Grund gehen wir davon aus, dass das Element a der gegebenen Matrix A ungleich 0 ist. Durch Anwenden der Elementaroperation M(a, ) machen wir dieses Element zu. Wir nennen die bis dato transformierte Matrix weiterhin A und machen nun alle Elemente in der ersten Spalte unter der und alle Elemente in der ersten Zeile rechts neben der zu 0, indem wir für jedes a j 0,2 j n, die Folge S (j,, a j )von rechts sowie für jedes a i,2 i m, die Folge S (i,, a i ) von links auf A anwenden. Die Matrix A hat nun folgende Gestalt: x... x (2.3) x... x

12 40 Rang einer Matrix Stufenform Rang einer Matrix Solange die durch x gekennzeichnete Matrix noch mindestens ein von 0 verschiedenes Element enthält, verfahren wir mit dieser Matrix genau wie mit der Ausgangsmatrix A. Es ist offensichtlich, dass letztendlich mit diesem Verfahren die Matrix E r m,n erreicht wird. Definition 2.7 Die Form (2.2) E r m,n einer Matrix A M K mn heißt Stufenform von A. Aus den Sätzen 2.5 und 2.6 folgt unmittelbar, dass der Zeilenrang und der Spaltenrang jeder Matrix identisch ist. Folgerung 2.7 Es sei E r m,n die Stufenform der Matrix A M K mn, dann ist r = rrang(a) und r = crang(a) und damit rrang(a) =crang(a). Wir brauchen also nicht mehr zwischen dem Zeilenrang und dem Spaltenrang einer Matrix zu unterscheiden. Definition 2.8 Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) einer Matrix A M K mn heißt der Rang von A, dieser wird mit rang(a) bezeichnet. Folgerung 2.8 ist r = rang(a). Es sei E r m,n die Stufenform der Matrix A M K mn, dann Übungsaufgaben 2.2 Transformieren Sie die Matrix A = MR 4, in Stufenform und geben Sie den Rang von A an!

13 Matrizen Zusammenfassung m n-matrizen über einem Körper K bestehen aus m Zeilenvektoren und n Spaltenvektoren über K. Mit der elementweisen Addition zweier Matrizen und mit einer elementweisen skalaren Multiplikation bilden die Matrizen einen Vektorraum. Matrizen bilden mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen Ring mit Einselement; das Einselement ist die Einheitsmatrix. Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren einer Matrix ist immer gleich der Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren. Diese Anzahl ist der Rang der Matrix. Zeilen- oder Spaltenvertauschungen, Multiplikation einer Zeile oder einer Spalte mit einem Skalar sowie Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen oder Addition des Vielfachen einer Spalte zu einer anderen ändert den Rang einer Matrix nicht. Mit den genannten Matrizenumformungen lässt sich jede m n-matrix A in eine Matrix E r m,n umwandeln, die ( links oben ) die r r-einheitsmatrix E r enthält, und alle anderen Matrixelemente sind gleich 0. E r m,n ist die Stufenform zu A. r ist gleich dem Rang von A. Die genannten Matrizenumformungen können durch Links- und Rechtsmultiplikation mit geeigneten Elementarmatrizen realisiert werden. Elementarmatrizen ergeben sich durch geeignete Verknüpfung von Einheitsmatrix und Matrizeneinheiten.

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