5 Matrizen. In dem linearen Gleichungssystem. wollen wir die Koeffizienten zusammenfassen zu einer Matrix A =

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1 74 5 Matrizen K sei ein fest gewählter Körper In dem linearen Gleichungssystem α ξ + α 2 ξ 2 + +α n ξ n = 0 α 2 ξ + +α 2n ξ n = 0 α m ξ + + +α mn ξ n = 0 wollen wir die Koeffizienten zusammenfassen zu einer Matrix α α n A = α m α mn Die naive Definition einer (m n)-matrix ist also ein rechteckiges Schema mit m Zeilen und n Spalten, dessen Einträge Elemente in K sind Formal definieren wir: Definition Es seien m, n natürliche Zahlen Eine (m n)-matrix ist eine Abbildung A : {,, m} {,, n} K Schreibweise (i) α ij := A(i, j) K, A = (α ij ) i m j n α α n = α m α mn Man sagt, A hat m Zeilen und n Spalten Die α ij heißen Komponenten (Einträge) der Matrix A Die Indizes i bzw j heißen der Zeilenindex bzw der Spaltenindex Definition (i) Eine Matrix heißt quadratisch, falls m = n Ist A eine quadratische Matrix, so heißen die Einträge α ii mit i n die Diagonalelemente (iii) Eine quadratische Matrix A heißt eine Diagonalmatrix, falls α ij = 0 für i j, d hfalls α A = α nn

2 5 MATRIZEN 75 Definition (i) K (m n) := Mat(m, n; K) := {A; A = (α ij ) ist (m n)-matrix über K} heißt der Raum der (m n) Matrizen Mat(n; K) := Mat(n, n; K) Bemerkung Mat(m, n; K) ist in natürlicher Weise ein K-Vektorraum (vgl Beispiel (2) auf Seite 47) Addition: Mat(m, n; K) Mat(m, n; K) Mat(m, n; K) ist wie folgt erklärt: Für A = (α ij ), B = (β ij ) ist (A, B) A + B (A + B) := (α ij + β ij ) Neutrales Element: Inverses Element: A = = 0 0 α α n α m α mn Skalarmultiplikation: Die Abbildung ist definiert durch K Mat(m, n; K) Mat(m, n; K) (λ, A) λa (λa) := (λα ij ) Das Nachprüfen der Vektorraumaxiome ist trivial Bemerkung (i) K ( n) = Mat(, n; K) = K n (α,, α n ) (α,, α n )

3 76 K (m ) = Mat(m, ; K) = m K α α m α α m Im folgenden seien m, n fest gewählt Definition Das Kroneckersche δ-symbol ist definiert durch { falls i = j δ ij := 0 falls i j Definition Für k m; l n definieren wir durch E kl := (e kl ij) i m j n (e kl ij) ij := δ ik δ jl Die Matrizen E kl heißen Elementarmatrizen Mat(m, n; K) Bemerkung E kl ist die Matrix, die in der k-ten Zeile und der l-ten Spalte den Eintrag, und sonst überall den Eintrag 0 hat: 0 0 E kl = k-te Zeile 0 0 l-te Spalte Satz 5 Die Matrizen E kl ; k m, l n bilden eine Basis von Mat(m, n; K) Insbesondere ist dim K Mat(m, n; K) = m n Beweis Es liegt ein Erzeugendensystem vor, denn für α α n A = (α ij ) = α m α mn

4 5 MATRIZEN 77 hat man A = n m α kl E kl l= k= Die lineare Unabhängigkeit gilt, da aus n m α α n 0 = α kl E kl = l= k= α m α mn sofort α kl = 0 für alle k, l folgt Definition Die Matrix E n := (δ ij ) i n j n = 0 0 heißt die Einheitsmatrix der Größe n Schreibweise E = E n = E (n) Transposition einer Matrix Sei A = ( α α n α m α mn ) Mat(m, n; K) Definition Die zu A transponierte Matrix ist definiert durch wobei t A := ( t α ij ) i n j m t α ij := α ji Mat(n, m; K) Beispiel (i) A = ( ) 2 3 ; t A = Im quadratischen Fall hat man α α n A = ; α n α nn α α n t A = α n α nn

5 78 d hman erhält die transponierte Matrix durch Spiegeln an der Hauptdiagonalen Transponieren einer Matrix bedeutet, daß man die Rolle der Zeilen und Spalten vertauscht Lemma 52 (i) Für A, B Mat(m, n; K); α, β K gilt: t (αa + βb) = α t A + β t B t ( t A) = A Beweis (i) (αa + βb) = (αα ij + ββ ij ) Dann gilt: t (αa + βb) = (αα ji + ββ ji ) = α(α ji ) + β(β ji ) = α t A + β t B A = (α ij ) t A = (α ji ) t ( t A) = (α ij ) Korollar 53 Die Abbildung ist ein Vektorraumisomorphismus Mat(m, n; K) Mat(n, m; K) A t A Beweis Die ist ein Homomorphismus wegen Lemma (52) (i) Wegen Lemma (52) ist Mat(n, m; K) Mat(m, n; K) B t B eine Umkehrabbildung Definition (i) Eine Matrix A Mat(n; K) heißt symmetrisch, falls t A = A Man nennt Sym(n; K) := {A Mat(n; K); t A = A} den Raum der symmetrischen (n n) Matrizen A heißt schiefsymmetrisch (alternierend), falls t A = A Man nennt Alt(n, K) := {A Mat(n, K); t A = A} den Raum der alternierenden (n n) Matrizen über K Bemerkung Sym(n, K) und Alt(n, K) sind Unterräume von Mat(n; K)

6 5 MATRIZEN 79 Spalten- und Zeilenrang Wir betrachten eine Matrix α α j α n A = α i α ij α in Mat(m, n; K) α m α mj α mn Definition (i) Die Vektoren a j := heißen die Spaltenvektoren von A Die Vektoren heißen die Zeilenvektoren von A α j α mj Schreibweise A = (a,, a n ) = m K (j =,, n) b i := (α i,, α in ) K n (i =,, m) b b m t a Bemerkung t A = ( t b,, t b m ) = t a n Definition (i) Der Spaltenrang von A ist definiert durch Spaltenrang A := dim K Span(a,, a n ) Der Zeilenrang von A ist definiert durch Zeilenrang A := dim K Span(b,, b m ) Bemerkung (i) Der Spaltenrang ist also die maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren in der Menge {a,, a n } der Spaltenvektoren von A Analog ist der Zeilenrang die maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren in der Menge {b,, b m } der Zeilen von A

7 80 Nach Definition gilt Spaltenrang A = Zeilenrang t A Zeilenrang A = Spaltenrang t A Beispiel Hier gilt Spaltenrang A = Zeilenrang A = A = Elementare Umformungen Es sei A eine Matrix gegeben durch ihre Spaltenvektoren, d h A = (a,, a n ) Mat(m, n; K) (a i m K) Wir betrachten folgende elementare Spaltenumformungen: (ES) Addition einer Spalte zu einer anderen Spalte: (a,, a i,, a j,, a n ) (a,, a i + a j,, a j,, a n ) (ES2) Multiplikation einer Spalte mit α K : (a,, a i,, a n ) (a,, αa i,, a n ) (ES3) Addition einer Linearkombination von Spalten zu einer weiteren Spalte (a,, a i,, a n ) (a,, a i + j i α j a j,, a n ) (ES4) Vertauschen zweier Spalten: (a,, a i,, a j,, a n ) (a,, a j,, a i,, a n ) Lemma 54 Die Operationen (ES3) und (ES4) ergeben sich durch endliche Anwendung der Operationen (ES) und (ES2)

8 5 MATRIZEN 8 Beweis (ES3): klar (ES4): A = (a,, a i,, a j,, a n ) (ES) (a,, a i,, a j + a i,, a n ) (ES2) (a,, a i,, a j + a i,, a n ) (ES) (a,, a i + (a j + a i ),, a j + a i,, a n ) (ES2) (a,, a j,, a j + a i,, a n ) (ES) (a,, a j,, a j + a i a j,, a n ) (ES2) (a,, a j,, a i,, a n ) Analog führt man elementare Zeilenumformungen (EZ),, (EZ4) ein Satz 55 Es sei A Mat(m, n; K) Dann gilt Zeilenrang A = Spaltenrang A Damit erhält man folgende wichtige Definition Der Rang einer Matrix A ist definiert durch Rang A := Zeilenrang A ( (55) = Spaltenrang A) Bemerkung Rang A = Rang t A Dies folgt aus: Rang A = Zeilenrang A (55) = Spaltenrang A = Zeilenrang t A = Rang t A Beweis von Satz (55) Es sei r := Spaltenrang A s := Zeilenrang A

9 82 b () A = (a,, a n ) = b m Wir betrachten das Vertauschen von Spalten (ES4): α α i α j α n α α j α i α n A = α m α mi α mj α mn α m α mj α mi α mn Dies ändert weder den Spaltenrang noch den Zeilenrang von A Nach einer geeigneten Umordnung kann man dann annehmen, daß die ersten r Spalten a,, a r linear unabhängig sind Ebenso kann man durch Vertauschen der Zeilen erreichen, daß die ersten s Zeilen b,, b s linear unabhängig sind (2) s r Wir beweisen dies durch Widerspruch und nehmen s > r an Dann betrachten wir folgendes Gleichungssystem () s α ik ξ i = 0 i= (k =,, r) Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit r Gleichungen und s Unbekannten Nach dem Fundamentallemma (42) gibt es aufgrund der Annahme s > r eine nicht-triviale Lösung x,, x s K Behauptung x b + + x s b s = 0 Dies ist ein Widerspruch zu der linearen Unabhängigkeit von b,, b s Beweis mit (2) der Behauptung a,, a r erzeugen Span(a,, a n ) D hes gibt ρ jk K a j = r ρ jk a k (j =,, n) k= Da a j = α j α mj kann man dies auch schreiben als (3) α ij = r ρ jk α ik (i =,, m; j =,, n) k=

10 5 MATRIZEN 83 Also gilt s i= x i α ij (3) = = s i= r k= x i ρ jk r ρ jk α ik k= s x i α ik = 0 i= }{{} =0 nach () D h (4) Wegen bedeutet dies (5) s x i α ij = 0 (j =,, n) i= b i = (α i,, α in ) s x i b i = 0 i= (3) s r Dies folgt nun formal aus: r = Spaltenrang A = Zeilenrang t A = Zeilenrang A = s 2 Schritt Spaltenrang t A Korollar 56 Für eine (m n)-matrix A gilt Rang A Min(m, n) Satz 57 Elementare Spaltenumformungen und Zeilenumformungen ändern den Rang einer Matrix nicht Beweis Wegen Lemma (54) genügt es, dies für (ES) und (ES2) zu zeigen (ES2): Für α 0 gilt offenbar Span(a,, a i,, a n ) = Span(a,, αa i,, a n ) (ES): Zu zeigen ist: Span(a,, a i,, a j,, a n ) = Span(a,, a i,, a i + a j,, a n )

11 84 Hierzu genügt es zu zeigen, daß Span(a, b) = Span(a, a + b) Dies gilt, da Span(a, b) = {αa + βb; α, β K} = {αa + β(a + b) βa; α, β K} = {(α β)a + β(a + b); α, β K} = {γa + δ(a + b); γ, δ K} = Span(a, a + b) Beispiel A = ( ) 2 4 Mat(2, 3; Q) Dann gilt: ( ) 2 3 A = EZ2 ES ( ) ( ) EZ3 EZ3 ES3 ( ) ( ) ( ) Insbesondere gilt Rang A = 2 Kästchenschreibweise Es sei A Mat(m, n; K) Ferner sei p < m, q < n Man schreibt dann oft die Matrix α α q α,q+ α n } α A = p α pq α p,q+ α pn p } m p α p+, α p+,q α m α mq }{{} q α p+,q+ α p+,n α m,q+ α mn } {{ } n q in der Form ( A A A = 2 A 3 A 4 )

12 5 MATRIZEN 85 mit A Mat(p, q; K); A 2 Mat(p, n q; K) A 3 Mat(m p, q; K); A 4 Mat(m p, n q; K) Spezialfall: p=q=: α A = c b D α K, b K n c m K, D Mat(m, n ; K) Satz 58 Jede Matrix A Mat(m, n; K) vom Rang r kann durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen auf folgende Gestalt gebracht werden: A = ( Er Beweis Wir beweisen dies per Induktion nach r r = 0: Dann ist A = 0 und es ist nichts zu zeigen r r: Wir können annehmen, daß A 0 ist Nach endlich vielen Umformungen vom Typ (EZ4), (ES4) kann man annehmen, daß A = α b c A ) mit α 0 Mit (EZ2) erhält man A b c A Mit (EZ3), (ES3) kann man diese Matrix überführen in A A Es ist Rang A = + Rang A

13 86 Nach Induktionsvoraussetzung erhält man schließlich: A E 0 r = ( Er ) Matrizenmultiplikation Zur Motivation kommen wir nochmals auf homogene Gleichungssysteme zurück: () α ξ + + α n ξ n = 0 α i ξ + + α in ξ n = 0 α m ξ + + α mn ξ n = 0 Die Koeffizientenmatrix lautet dann α α n a A = α i α in = a i, α m α mn a m wobei a,, a n die Zeilenvektoren von A sind Führt man den Vektor ξ ξ = ein, so ist die i-te Zeile des Gleichungssystems () gerade das Skalarprodukt ξ a i ξ = (α i,, α in ) = α i ξ + + α in ξ n Damit schreibt man () abkürzend in der Form ξ n ξ n Aξ = 0

14 5 MATRIZEN 87 Wir haben damit das Produkt der (m n)-matrix A mit dem Vektor ξ definiert Dies wird verallgemeinert zur Matrizenmultiplikation Wir haben bereits die folgende Notation eingeführt: Damit ist insbesondere K (m n) = Mat(m, n; K) K ( n) = K n ; K (m ) = m K Die Matrizenmultiplikation ist eine Abbildung K (m n) K (n p) K (m p) (A, B) AB Definition erklärt durch Sei A K (m n), B K (n p) Dann ist das Produkt C := AB K (m p) C = (γ ij ), i m, j p mit γ ij := n α ik β kj k= Man erhält also des Eintrag γ ij von C als das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B α α n α i α in α m α mn β β j β p β n β nj β np = γ γ j γ p γ i γ ij γ ip γ m γ mj γ mp mit β j γ ij = (α i,, α in ) β nj = n α ik β kj k=

15 88 Beispiele () ( ) ( ) ( ) α α 2 β β 2 α β = + α 2 β 2 α β 2 + α 2 β 22 α 2 α 22 β 2 β 22 α 2 β + α 22 β 2 α 2 β 2 + α 22 β 22 (2) ( ) 0 2 ( ) = (3) E = (δ ij ), A K (n n) : α α n α α n =, α n α nn α n α nn d h Lemma 59 Es gilt: (i) (αa)b = α(ab) = A(αB), (iii) (iv) A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC, (AB)C = A(BC), (v) t (AB) = t B t A EA = A Beweis (i) Klar Es sei A = (α ij ), B = (β jk ), C = (γ jk ) Dann gilt: (A(B + C)) ik = j α ij (β jk + γ jk ) = j α ij β jk + j α ij γ jk = (AB) ik + (AC) ik (iii) (iv) Zeigt man analog Es sei A K (m n), B K (n p), C K (p r) mit A = (α ij ) i m; j n, B = (β jk ) j n; k p, C = (γ kl ) k p; l r

16 5 MATRIZEN 89 Wir betrachten das Produkt C := AB = (γ ik); i m; k p mit Dann ist (AB)C = C C mit γ ik = n α ij β jk j= (C C) il = p γ ikγ kl = k= p n ( α ij β jk )γ kl k= j= Setzen wir mit so gilt für A(BC) = AC : C := BC = (γ jl); γ jl = j n; l r p β jk γ kl, k= (AC ) il = n j= α ij γ jl = n α ij ( j= p β jk γ kl ) k= Also folgt und dies ist gerade die Behauptung (v) Es gilt Andererseits ist Dies zeigt die Behauptung (AB)C = C C = AC = A(BC) ( t (AB)) ij = (AB) ji = ( t B t A) ij = n α jk β ki k= n ( t B) ik ( t A) kj = k= n β ki α jk Bemerkung Im allgemeinen ist die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ, wie folgendes Beispiel zeigt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = k=

17 90 Spezielle Fälle der Matrizenmultiplikation Im allgemeinen ist die Matrizenmultiplikation eine Abbildung Fall: m = n = Dann ist A = (α) 2 Fall: n = p = Dann ist B = (β) K (m n) K (n p) K (m p) AB = (α)(β,, β p ) = (αβ,, αβ p ) α α m β = α β α = β α m β α m 3 Fall: p =, d h B = b K (n ) ist ein Spaltenvektor Dann gilt: α α n β n k= α kβ k = K (m ) = m K α m α mn β n n k= α mkβ k Wir halten also fest: Matrix Spaltenvektor = Spaltenvektor 4 Fall: m =, d h A = a K ( n) = K n ist ein Zeilenvektor Dann gilt: β β p n n (α,, α n ) = ( α i β i,, α i β ip ) K ( p) = K p β n β i= i= np Damit haben wir Zeilenvektor Matrix = Zeilenvektor 5 Fall: n =, A = a K (m ) ist ein Spaltenvektor und B = b K ( p) ist ein Zeilenvektor Dann ist α α β α β p (β,, β p ) = K (m p), α m β α m β p α m Spaltenvektor Zeilenvektor = Matrix

18 5 MATRIZEN 9 6 Fall: m = p = In diesem Fall ist a K ( n) ein Zeilenvektor und b K (n ) ein Spaltenvektor Hier schließlich haben wir β n (α,, α n ) = α β + + α n β n = α i β i β n Zeilenvektor Spaltenvektor = Skalar Als Spezialfall von Fall 3 halten wir hier noch fest: α α j α n 0 Ae j = α m α mj α mn = 0 D hfür A = (a,, a n ) gilt: Ae j = a j Damit gilt für x = n j= x je j : x n Ax = A = A( x j e j ) = x n j= i= n x j a j Schreibweise Wir verzichten im folgenden endgültig auf die Unterscheidung von Zeilenund Spaltenvektoren und identifizieren n K mit K n j= α j α mj Definition Das (Standard) Skalarprodukt auf K n ist definiert durch, : K n K n K Eigenschaften: Das Skalarprodukt ist (i) bilinear, d h symmetrisch, d h (iii) nicht ausgeartet, d h x, y := t xy = (x,, x n ) y y n αx + βx, y = α x, y + β x, y, x, αy + βy = α x, y + β x, y, x, y = y, x, = x, y = 0 für alle y K n x = 0 Dies folgt wegen x, e k = x k = 0 für alle k, und damit x = 0 n x i y i i=

19 92 Lineare Abbildungen zwischen Standardräumen Es sei A Mat(m, n; K) = K (m n) Definition Die Abbildung h A ist definiert durch h A : K n K m x Ax Bemerkung h A ist linear: h A (x + y) = A(x + y) (59) = Ax + Ay = h A (x) + h A (y), h A (αx) = A(αx) (59)(i) = α(ax) = αh A (x) Satz 50 Ist f : K n K m linear, so gibt es genau eine Matrix A mit f = h A Beweis {e j } j n, {e i } i m, seien die Standardbasen von K n und K m Wir betrachten m α j f(e j ) = α ij e i = =: a j K m Setze Dann ist D hes folgt, daß h A = f ist Eindeutigkeit: i= α mj A := (a,, a n ) K (m n) h A (e j ) = Ae j = a j = f(e j ) Sei A = (a,, a n) eine weitere Matrix mit f = h A Dann gilt a j = f(e j ) = h A (e j ) = A e j = a j und damit A = A Satz 5 h AB = h A h B Beweis h AB (x) = (AB)(x) = A(Bx) = h A (h B (x)) = (h A h B )(x)

20 5 MATRIZEN 93 Anwendung auf Linearformen Definition Eine Linearform auf K n ist eine lineare Abbildung λ : K n K Es sei a K n Dann ist eine Linearform λ : K n K x t ax = a, x Korollar 52 Für jede Linearform λ auf K n gibt es genau ein a K n mit λ(x) = t ax = a, x (für alle x K n ) Beweis Nach Satz (50) gibt es eine Matrix A K ( n) mit λ = h A Setze a := t A K (n ) = K n Dann gilt λ(x) = h A (x) = Ax = t ax Aus Satz (50) folgt auch die Eindeutigkeit Dimensionsformel Sei A K (m n) Dies definiert eine lineare Abbildung h A : K n K m x Ax Ist A = (a,, a n ), so gilt Ax = n j= x ja j Damit folgt: Hieraus ergibt sich die Beziehung Man setzt: Im h A = {Ax; x K n } = Span(a,, a n ) Rang h A = Rang A Im A := {Ax; x K n } = Im h A Ker A := {x; Ax = 0} = Ker h A Damit nimmt die Dimensionsformel die folgende Gestalt an: dim Ker A + Rang A = n Schließlich ergibt sich noch für quadratische Matrizen A K (n n) : Ker A = {0} Im A = K n Rang A = n

21 94 Die allgemeine lineare Gruppe Ist E = E n die Einheitsmatrix, so gilt für alle A K (n n) : AE = EA = A Definition U K (n n) heißt invertierbar, falls es eine Matrix V K (n n) gibt mit UV = V U = E Bemerkung V ist eindeutig bestimmt Man schreibt V = U Definition GL(n, K) := {U K (n n) ; U ist invertierbar} Lemma 53 (i) U, V GL(n, K) UV GL(n, K) mit (UV ) = V U U GL(n, K) U GL(n, K) mit (U ) = U (iii) U GL(n, K), α K αu GL(n, K) mit (αu) = α U (iv) U GL(n, K) t U GL(n, K) mit ( t U) = t (U ) Beweis (i) (UV )(V U ) = U(V V )U = UU = E, (V U )(UV ) = V (U U)V = V V = E (iii) Sofort aus der Definition (αu)(α U ) = αα UU = E, (α U )(αu) = α αu U = E (iv) UU = E (59)(v) t (U ) t U = t E = E, U U = E (59)(v) t U t (U ) = t E = E Korollar 54 GL(n, K) ist zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe

22 5 MATRIZEN 95 Bemerkung Für n 2 ist die Gruppe GL(n, K) nicht abelsch Definition GL(n, K) heißt die allgemeine lineare Gruppe (general linear group) in Dimension n Satz 55 Für U Mat(n n; K) sind äquivalent: (i) U GL(n, K), d h U ist invertierbar (iii) (iv) Die Abbildung h U : K n K n, x Ux ist bijektiv h U ist injektiv h U ist surjektiv (v) Die Spalten von U bilden eine Basis von K n (vi) Die Zeilen von U bilden eine Basis von K n (vii) Rang U = n (viii) Es gibt V Mat(n, n; K) mit UV = E (ix) Es gibt V Mat(n, n; K) mit V U = E In den beiden letzten Fällen ist V = U Beweis (i) Es gibt V mit UV = V U = E Also ist h U h V = id E = h V h U und damit ist h U bijektiv (i) Es sei h U : Kn K n Diese Abbildung ist linear, also gibt es V Mat(n n; K) mit h U = h V Dann ist h UV = h U h V = id = h E Aus Satz (50) folgt hieraus UV = E Analog zeigt man V U = E (iii) (iv) Folgt aus Satz (420) (iv) (v) Dies folgt, da für U = (u,, u n ) gilt Im h U = Span(u,, u n ) (v) (vi) (vii) Dies folgt sofort aus Satz (55) (i) (viii) (viii) (iv)( (i)) surjektiv (i) (ix) Folgt aus der Definition einer invertierbaren Matrix Nach Definition Sei a K n, x := V a Dann ist Ux = UV a = Ea = a, also ist h U (ix) (iii)( (i)) Aus h U (x) = Ux = 0 folgt V Ux = 0, also x = Ex = 0 Damit ist h U injektiv Die Äquivalenz von (i), (viii) und (ix) kann auch direkt aus Lemma (2) geschlossen werden

23 96 Satz 56 Es sei A Mat(m, n; K) Für U GL(m, K), V GL(n, K) gilt Rang(UAV ) = Rang A Lemma 57 Es sei A Mat(m, n; K), B Mat(n, p; K) Dann gilt Beweis Wir betrachten die Abbildungen Rang(AB) Min(Rang A, Rang B) K p Es gilt h A h B = h AB und damit folgt h B K n h A K m Rang AB = dim Im h AB = dim(im(h A Im h B )) Min(dim Im h B, dim Im h A ) = Min(Rang B, Rang A) Beweis von Satz (56) (i) Aus folgt Rang(UA) (57) Rang A = Rang(U (UA)) (57) Rang(U A) Rang UA = Rang A Ebenso zeigt man Rang AV = Rang A (iii) Damit gilt dann (wobei auf U A angewendet wird) Rang(UAV ) = Rang((UA) V ) = Rang UA (i) = Rang A Das Zentrum von Mat(n; K) und GL(n, K) Definition Man nennt Z(Mat(n; K)) = {A Mat(n; K); AT = T A für alle T Mat(n; K)} das Zentrum von M(n; K)

24 5 MATRIZEN 97 Satz 58 Z(Mat(n; K)) = {λe; λ K} Beweis Die Matrizen 0 0 E kl = Mat(n; K), 0 0 die in der k-ten Zeile und der l-ten Spalte eine und sonst nur den Eintrag 0 haben, liefern eine Basis von Mat(n; K) Es sei A = k,l α kl E kl im Zentrum Dann gilt E rs A = k,l α kl E rs E kl = k,l α kl δ sk E rl = l α sl E rl Andererseits gilt AE rs = k,l α kl E kl E rs = k,l α kl δ lr E ks = k α kr E ks Aus folgt nun () α sl = 0 (l s), (2) α ss = α rr (l = s, k = r) Insgesamt folgt daher AE rs = E rs A A = αe Bemerkung In obigem Beweis genügt es, den Fall r s zu betrachten Analog definiert man für die allgemeine lineare Gruppe: Definition Man nennt Z(GL(n, K)) = {A GL(n, K); AT = T A für alle T GL(n, K)} das Zentrum der Gruppe GL(n, K)

25 98 Satz 59 Z(GL(n, K)) = {αe; α 0} Beweis Es sei U Z(GL(n, K)) Es genügt zu zeigen, daß U Z(Mat(n; K)) ist Es genügt also zu zeigen (vgl die Bemerkung nach Satz (58)), daß UE kl = E kl U ( k, l n, k l) Nun ist E kl = (E + E kl ) E Da E + E kl den Rang n hat (vgl auch Lemma 520), ist E + E kl GL(n, K) Also folgt UE kl = U(E + E kl ) UE = (E + E kl )U EU = E kl U Normalformensatz Wir setzen 0 F kl := E + E kl = 0 k l (k l) k l F k (α) := E + (α )E kk = α k k (α K ) Definition Die Matrizen F kl, F k (α) heißen Elementarmatrizen Lemma 520 Die Elementarmatrizen sind invertierbar, d hf kl, F k (α) GL(n, K)(α 0) Ferner sind die Inversen der Matrizen F kl, F k (α) wieder Produkte von Elementarmatrizen

26 5 MATRIZEN 99 Beweis (i) Es ist F k (α) F k ( α ) = α α = E Es ist F kl (E E kl ) = = Also ist Nun ist F kl = (E E kl ) F l ( )F kl F l ( ) = = k l k l k l = k l = E E kl k l = k l

27 00 Zusammenhang mit elementaren Umformungen () F k (α)a = α α α n α α n α k α kn αα k αα kn α n α nn α n α nn Multiplizieren von A mit F k (α) von links bedeutet also Multiplizieren der k-ten Zeile von A mit α (EZ2) Analog bedeutet Multiplizieren von A mit F k (α) von rechts Multiplizieren der k-ten Spalte von A mit α (ES2) (2) F kl A = = α α n 0 α k α kn 0 α l α ln α n α nn α α n α k + α l α kn + α ln α l α ln α n α nn Multiplizieren von A mit F kl von links bedeutet also Addition der l-ten Zeile von A zur k-ten Zeile von A (EZ) Analog bedeutet Multiplizieren von A mit F kl von rechts Addition der k-ten Spalte von A zur l-ten Spalte von A (ES) Zusammenfassend kann man sagen, daß Multiplizieren mit Elementarmatrizen von links (rechts) gerade den elementaren Zeilenumformungen (Spaltenumformungen) entspricht Satz 52 (Normalenformensatz) Zu jeder Matrix 0 A K (m n) gibt es Matrizen U GL(m, K), V GL(n, K), die Produkte von Elementarmatrizen sind, so daß ( ) Er 0 UAV = (r = Rang A) 0 0

28 5 MATRIZEN 0 Beweis Dies folgt nun aus der entsprechenden Aussage über elementare Umformungen (Satz (58)) Satz 522 Sei A K (n n) Dann sind äquivalent (i) A GL(n, K) A ist Produkt von Elementarmatrizen Beweis (i) Folgt, da Elementarmatrizen nach Lemma (520) invertierbar sind und GL(n, K) eine Gruppe ist (i) Es gibt nach Satz (52) Matrizen U, V, die Produkte von Elementarmatrizen sind, so daß UAV = E ist Da U, V invertierbar sind, folgt A = U V Die Aussage folgt dann aus dem zweiten Teil von Lemma (520) Satz 523 Sei A GL(n, K) Dann kann A allein durch elementare Spaltenumformungen in E übergeführt werden Beweis Sei A GL(n, K) Dann ist auch A GL(n, K) Nach obigem Satz (522) gibt es Elementarmatrizen F,, F k mit Hieraus folgt A = F F k AF F k = E Da Multiplikation mit Elementarmatrizen von rechts elementaren Spaltenumformungen entspricht, ergibt dies die Aussage Bemerkung A sei invertierbar Es sei AF F k = E Dann ist A = E F F k Das heißt, führt man dieselben Spaltenumformungen, die A in E überführen, für E durch, so erhält man die inverse Matrix A Dies liefert ein Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix Beispiel ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( )

29 02 Definition Zwei Matrizen A, B K (m n) heißen äquivalent, falls es U GL(m, K), V GL(n, K) gibt mit A = UBV Schreibweise A äquiv B Lies: A ist äquivalent B äquiv Bemerkung ist Äquivalenzrelation, d h (i) A äquiv A (iii) A äquiv B B äquiv A A äquiv B, B äquiv C A äquiv C Beweis (i) A äquiv A (iii) Mit U = E m GL(m, K) und V = E n GL(n, K) folgt A = UAV, also Ist A = UBV, so folgt B = U AV und umgekehrt Aus A = UBV und B = U CV mit U, U GL(m, K) und V, V GL(n, K) folgt A = UBV = U(U CV )V = (UU )C(V V ) Da UU GL(m, K) und V V GL(n, K) ist, folgt A äquiv C Also kann man den Normalenformensatz (52) wie folgt formulieren: ( ) Rang A = r A äquiv Er Folgerung 524 Beweis Folgt aus Satz (56) Nach Voraussetzung folgt A äquiv A äquiv B Rang A = Rang B ( Er ) (, B äquiv Er ) Da eine Äquivalenzrelation ist, folgt A B