Chr.Nelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 1. Wir wollen hier eine Beschreibung des Gauß-Algorithmus mit Hilfe der sog. Elementarmatrizen vornehmen.

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1 ChrNelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 1 Einschub A) Elementarmatrizen Wir wollen hier eine Beschreibung des Gauß-Algorithmus mit Hilfe der sog Elementarmatrizen vornehmen (A1) DEF: Seien r, s IN mit 1 r m und 1 s n Dann heißt die Matrix eine (m n) Basismatrix E rs = (δ ir δ sk ) i = 1, 2,, m k = 1, 2,, n M m,n (K) (A2) BEM: a) Die Matrix E rs E rs = hat an der Stelle (r, s) eine 1 und sonst lauter Nullen 1 0 s te Spalte r te Zeile b) A = (a ik ) M m,n (K) = A = m n a ik E ik i=1 k=1 c) E rs E tu = δ st E ru = { O für s t für s = t E ru d) E rs M m,n (K), A M n,p (K) E rs A = a 11 a 1p r 1 0 a n1 a np s te Spalte = 0 0 a s1 a sp 0 0 r te Zeile (dh E rs A hat die s Zeile von A als r te Zeile) e) Analog hat die Produktmatrix A E rs die r te Spalte von A als s te Spalte und sonst lauter Nullen

2 ChrNelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 2 (A3) DEF: Elementarmatrizen Seien i, k IN mit 1 i, k n und i k a) Die Matrix V ik := E n E ii E kk + E ik + E ki M n (K) heißt Vertauschungsmatrix b) Für a K heißt A ik (a) := E n + ae ik M n (K) Additionsmatrix c) Für a K, a 0 heißt D i (a) := E n + (a 1)E ii M n (K) Multiplikationsmatrix d) Eine Elementarmatrix in M n (K) ist eine der in a) bis c) definierten Matrizen Ausführlicher geschrieben bedeutet dies in den drei Fällen: a) Vertauschungsmatrizen: V ik = i te Zeile k te Zeile i te Spalte k te Spalte b) Additionsmatrizen A ik (a) = a i te Zeile k te Zeile i te Spalte k te Spalte

3 ChrNelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 3 c) Multiplikationsmatrizen D i (a) = a i te Spalte i te Zeile Beispiele: a) Vertauschungsmatrizen in M 3 (IR): V 12 A = = V 12 A entsteht aus A durch Vertauschen der ersten Zeile mit der zweiten Zeile A V 12 = = A V 12 entsteht aus A durch Vertauschen der ersten Spalte mit der zweiten Spalte b) Additionsmatrizen in M 3 (IR): A 13 (a) A = 1 0 a = 1 + a a a 9 A 13 (a) A entsteht aus A durch Addition des a fachen der dritten Zeile zur ersten Zeile A A 13 (a) = 1 0 a = a a a + 9 A A 13 (a) entsteht aus A durch Addition des a fachen der ersten Spalte zur dritten Spalte

4 ChrNelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 4 c) Multiplikationsmatrizen in M 3 (IR): D 2 (a) A = 0 a 0 = a 4 a 5 a 6 D 2 (a) A entsteht aus A durch Multiplikation der zweiten Zeile von A mit a A D 2 (a) = 0 a 0 = 1 2 a a a 9 A D 2 (a) entsteht aus A durch Multiplikation der zweiten Spalte von A mit a (A4) SATZ: a) Die Multiplikation einer Matrix A mit einer Elementarmatrix von links bewirkt eine elementare Zeilenumformung Im einzelnen gilt: V ik A A ik (a) A Vertauschen der i ten mit der k ten Zeile von A Addition des a fachen der k ten Zeile von A zur i ten Zeile von A D i (a) A Multiplikation der i ten Zeile von A mit a 0 b) Die Multiplikation einer Matrix A mit einer Elementarmatrix von rechts bewirkt eine elementare Spaltenumformung Im einzelnen gilt: A V ik A A ik (a) Vertauschen der i ten mit der k ten Spalte von A Addition des a fachen der i ten Spalte von A zur k ten Spalte von A A D i (a) Multiplikation der i ten Spalte von A mit a 0 (A5) SATZ: Eine Elementarmatrix aus M n (K) ist invertierbar Ihr Inverses ist wieder eine Elementarmatrix Im einzelnen gilt: V 1 ik = V ik, A ik (a) 1 = A ik ( a), D i (b) 1 = D i (b 1 ) (b 0) Wir wissen, daß sich jede Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Treppenform transformieren läßt Dies können wir jetzt folgendermaßen formulieren: (A6) SATZ: Zu jeder Matrix A M m,n (K) mit A O gibt es eine invertierbare Matrix P GL m (K) mit P A = T (A) Dabei ist P ein Produkt von Elementarmatrizen

5 ChrNelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 5 Bew: Durch elementare Zeilenumformungen kann A auf Treppenform transformiert werden Jeder elementaren Zeilenumformung entspricht die Linksmultiplikation mit einer geeigneten Elementarmatrix Also gibt es Elementarmatrizen G 1, G 2,, G s GL m (K) mit (G s G 2 G }{{ 1 ) A = T (A), } =:P wobei T (A) eine Treppenmatrix ist Das Produkt invertierbarer Matrizen ist wieder invertierbar, dh P GL m (K) Beispiel: Zu der (4 6) Matrix B := M 4,6(IR) gibt es ein Produkt Q von Elementarmatrizen, die elementaren Zeilenumformungen entsprechen, so daß gilt: Q B = (D 3 ( 1) A 43 (1) A 23 (1) A 13 (1) A 42 ( 1) A 32 ( 2) A 12 (1) A 31 ( 2) V 12 ) B = }{{} =:Q = T (B) Wir kommen nun zu einer Charakterisierung von invertierbaren Matrizen, die insbesondere zu einem Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix führt (A7) SATZ: Für eine Matrix A M n (K) sind folgende Aussagen äquivalent: a) A ist invertierbar b) rg(a) = n c) T (A) = E n (Einheitsmatrix) d) A ist ein Produkt von Elementarmatrizen Bew: a) = b) Die durch A definierte lineare Abbildung f A : K n K n ist ein Isomorphismus, hat also den Rang n Folglich rg(a) = rg K (f A ) = n b) = c) Ist rg(a) = n so besteht T (A) aus den n Einheitsvektoren, ist also die Einheitsmatrix c) = d) Es gibt Elementarmatrizen G 1,, G s GL n (K) mit (G s G 1 ) A = T (A) = E n Folglich ist A = G 1 1 G 1 s nach (A5) ein Produkt von Elementarmatrizen d) = a) A ist als Produkt von invertierbaren Elementarmatrizen selbst auch invertierbar

6 ChrNelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 6 (A8) Ein Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix Sei A GL n (K) Durch elementare Zeilenumformungen kann A auf Treppenform gebracht werden Da A invertierbar ist, gilt T (A) = E n Es gibt also ein Produkt P von Elementarmatrizen, die den elementaren Zeilenumformungen entsprechen, mit der Eigenschaft Daraus folgt P A = T (A) = E n A 1 = P = P E n Man erhält also die inverse Matrix A 1, indem man die elementaren Zeilenumformungen, die A auf Treppenform bringen, gleichzeitig auf die Einheitsmatrix anwendet Beispiel: Sei A := M 3 (IR) A E E 3 A 1 Probe: =