Prüfungsklausur Wirtschaftsmathematik I Studiengang Wirtschaftsinformatik, (180 Minuten)

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1 HTW Dresden 11. Februar 2014 FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. J. Resch Prüfungsklausur Wirtschaftsmathematik I Studiengang Wirtschaftsinformatik, (180 Minuten) Name, Vorname: Matr.-nr.: Anzahl der abge- Unterschrift: gebenen Blätter: A Aufg Note a b c d a b a b c d a b c d e a b c d a b Soll: Ist: Allgemeine Hinweise: Die Lösung jeder Aufgabe bitte auf einer neuen Seite (oben) beginnen. Erstreckt sich die Lösung einer Aufgabe über mehrere Seiten, so ist auf jeder Seite oben anzugeben, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die folgenden Lösungen gehören. Alle Aussagen sind zu begründen, falls Sie komplexere Terme mit dem Taschenrechner berechnen bzw. Gleichungen mit dem Taschenrechner lösen, so sind die verwendeten Formeln/Gleichungen anzugeben, so dass der Lösungsweg nachvollziehbar ist. Bei Pivot-Verfahren (Simplex-Meth., Gauß-Alg., AT-Verf.) sind alle Tableaus anzugeben. 1. Herr A. hat einen Kredit über e aufgenommen, für den für die ersten 10 Jahre ein monatlicher Zins von 0.3% festgeschrieben wurde und es wurde eine monatliche (nachschüssige) Tilgung von 0.8% zuzüglich ersparter Zinsen vereinbart. (a) Wie hoch ist die monatlich zu zahlende Annuität und wie ist die Tilgungsdauer? (b) Wie hoch wäre die verminderte Abschlussannuität im letzten Tilgungsmonat? (c) Wie hoch ist der Effektivzins des Kredits und auf wie viel Prozent der Kreditsumme kommt Herr A. mit der Tilgung im ersten Jahr insgesamt? (d) Wie wäre die Tilgungsdauer, wenn Herr A. von der Möglichkeit Gebrauch macht, am Ende jedes Tilgungsjahres eine Sondertilgung von e zu leisten und wie hoch wäre die letzte Zahlung, eine verminderte Abschlussannuität im letzten Monat oder eine verminderte Sondertilgung im letzten Jahr, wenn die Restschuld damit abgelöst werden könnte? 2. Frau B. legt e auf einem monatlich verzinsten Konto an. In den ersten vier Monaten liegt die Verzinsung bei nominell 3% (d.h. mtl. gibt es den Relativzins von 0.25%), in den nächsten beiden Monaten beträgt der Nominalzins nur noch 2.4%. Nach einem halben Jahr zahlt sie noch einmal e auf dieses Konto ein, weil ab einem Guthaben von e dann nominell wenigstens noch 2.7% Zinsen gezahlt werden, aber nach weiteren drei Monaten sinkt der Nominalzins weiter auf dann nur noch 1.8%, die bis zum Jahresende gelten. (a) Wie hoch ist das Guthaben nach einem Jahr? (b) Auf welchen effektive Jahreszins kommt Frau B. mit ihrer Geldanlage innerhalb dieses ersten Jahres?

2 3. In einem Unternehmen wurden in einer zweistufigen Fertigung bisher aus drei Rohteilen R 1, R 2 und R 3 zunächst die drei Zwischenprodukte Z 1, Z 2 und Z 3 und aus diesen die drei Endprodukte E 1, E 2 und E 3 hergestellt. Die Stücklisten für die in den beiden Fertigungsstufen hergestellten Zwischen- und Endprodukte sind in den folgenden beiden Tabellen zusammengestellt. E 1 E 2 E 3 Z Z Z Z 1 Z 2 Z 3 R R R (a) Die Fertigung soll auf eine einstufige Fertigungsstruktur umgestellt werden. Stellen Sie die Stücklisten für die Endprodukte auf Basis der Rohteile auf! (b) Wie viele der Rohteile R 1, R 2 und R 3 müssen für die Produktion bereitgestellt werden, wenn die im Produktionsvektor e = (200, 500, 400) angegebenen Mengen der Teile E1,...,E4 gefertigt werden sollen, wobei zu berücksichtigen ist, dass aus dem Lager von den drei Zwischenprodukten Z1,...,Z3 die Mengen z = (1000, 600, 900) genutzt werden sollen? (c) Wie hoch sind die Materialkosten für die Zwischen- und Endprodukte (beide in e /Stück), wenn die Rohteile zu Preisen von 3 e (R 1 ), 4 e (R 2 ) und 2 e (R 3 ) je Stück eingekauft werden? (d) Könnte ein Lagerbestand von r = (480, 720, 1200) Rohteilen noch vollständig zu Endprodukten verarbeitet werden? Falls ja, geben Sie die Menge aller möglichen Produktionsvektoren an. 4. Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem: z = 3x 1 2x 2 x 3 min x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + x 2 + 3x 3 30 x 1 + x 2 + 2x 3 = 20 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 50 x 1, x 2 0 x 3 0 Stellen Sie ein Anfangstableau für die 2-Phasen-Methode/Simplex-Methode auf und führen Sie einen Basis-Austausch-Schritt der 2-Phasen-Methode aus. Können Sie danach schon eine Aussage zur Lösbarkeit/Lösungsmenge machen, wenn ja, welche (Begründung!)? 5. Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem (Produktionsplanungsproblem, Variable x j sind Prod.-mengen in ME) mit den Restriktionen R1 bis R4: z = 36x x x 3 max x 1 + x 2 + 2x (R1) 3x 1 + 2x 2 + 2x (R2) x 1 + 2x 2 + x (R3) 4x 1 + x 2 + x (R4) x 1, x 2, x 3 0

3 Dabei steht die Zielfunktion für den Erlös, ihre Koeffizienten c j sind die Verkaufspreise der Produkte P j in e, z.b. steht c 2 für einen Preis von 26 e bei Produkt P 2. x 3 x 5 x 4 1 Die Restriktionen stehen für beschränkt x verfügbare Rohstoffe [in ME]. Bei der Lösung des obigen LOP hat x sich nach einem oder mehreren Schritten x mit der Simplex-Methode das nebenstehende Simplextableau ergeben. Dabei sind x x 4,..., x 7 die Schlupfvariablen der Restriktionen z R1,..., R4. (a) Geben Sie davon ausgehend alle optimalen Lösungen (einschließlich der Schlupfvariablen) und den optimalen Zielfunktionswert an! (b) Welche Änderungen des Verkaufspreises für Produkt P 3 (Zielfunktionskoeffizient von x 3 ) hätten keinen Einfluss auf die optimale Lösung? (c) In welchem Bereich dürfte sich der Verkaufspreis für Produkt P 1 (Zielfunktionskoeffizient von x 1 ) ändern, ohne dass sich die optimale Lösung ändert? Bliebe in diesem Bereich auch der Zielfunktionswert konstant, falls nicht, wie würde er sich ändern? (d) Ist die Restriktion R3 aktiv oder inaktiv und was bedeutet dies für den Rohstoff R3? (e) Von jedem der Rohstoffe könnte zu Preisen von 8 e je ME mehr zur Verfügung gestellt werden. Bei welchen der Rohstoffe wäre dies lohnend, wie viel sollte mindestens zusätzlich bereitgestellt werden und wie würde dies die optimale Lösung und den optimalen Zielfunktionswert beeinflussen? 6. Bei der Lösung eines Transportproblems hat sich das folgende, optimale Tableau ergeben, wobei die hochgestellten Werte die Werte der Basisvariablen (Transportmengen auf den entsprechenden Wegen) sind. A A A A b j z = 1643 (a) In welchen Grenzen könnte der spezifische Transportaufwand c 31 von A 3 nach B 1 variieren, so dass die vorgegebene optimale Lösung weiterhin gilt? Wie verhält sich dabei der optimale Zielfunktionswert? (b) In welchen Grenzen könnte der spezifische Transportaufwand c 14 von A 1 nach B 4 variieren, so dass die vorgegebene optimale Lösung weiterhin gilt? Wie verhält sich dabei der optimale Zielfunktionswert? (c) Würde sich die optimale Lösung ändern, wenn sich der Transportaufwand von A 1 nach B 5 um 10 (auf 13) verringert? Falls ja (neue opt. Lsg. nicht bestimmen), um wie viel würde sich z min mindestens verringern? (d) Wie wäre das Grundtableau des Transportproblems zu modifizieren, wenn vom Aufkommensorten A 3 die Bedarfsorte B 1 und B 2 nichts und B 3, B 4 und B 5 jeweils nicht mehr als 12 ME geliefert bekommen sollen? (TP soll nicht gelöst werden!!!)

4 7. (a) Bestimmen Sie für das durch das unten stehende Grundtableau gegebene Transportproblem nach der Methode von Vogel eine Anfangsbasislösung und geben Sie den zugehörigen Zielfunktionswert an. (b) Überprüfen Sie die in (a) ermittelte Anfangsbasislösung auf Optimalität und bestimmen Sie, falls noch keine Optimalität vorliegt, mit der Potentialmethode alle optimalen Lösungen dieses mathematischen Problems sowie den minimalen Zielfunktionswert! (Die untenstehenden Tableaus können Sie nutzen, deren Anzahl wurde durch den beschränkten Platz bestimmt, Rückschlüsse auf die Anzahl notwendiger Iterationen sind nicht sinnvoll.) A A A A b j A A A A b j A A A A b j

5 Lösungen: 1. (a) A m = 880 e, n = Monate bzw. 107 Monate oder 8 J. u. 11 M. (b) R 107 = e (c) t = 9.76%, i eff = 3.66% (d) n = a d.h. 7 Jahre mtl. 880 e und 6-mal jährlich e, am Ende des 7. Jahres nur noch Sondertilgung. 2. (a) K 1 = e (b) i eff = 2.461% 3. (a) A RZ A ZE = A RE : (b) r = E 1 E 2 E 3 R R R (c) p z = (11, 22, 23) p e = (122, 113, 89) 4. (d) e (1) = , e (2) = x 1 x 2 x 3 x x 1 x 3 x 7 1 x x y y z z x x y y z z Das LOP ist inkonsistent, d.h. es gibt keine zul. Lsg.

6 5. (a) x 3 x 5 x 4 1 x x x x z x = z max = 4140, (b) 3 = 14 = keine Änderungen, solange der Verkaufspreis c = 32; (c) c 1 = c 1 + t = 36 + t = N = t t [ 10, 3] 6 2 = t [ 10, 3] (bzw. c 1 [26, 39]) gilt z max = t [3 640, 4 290] (d) Restriktion R3 inaktiv (60 ME des Rohstoffs ungenutzt) (e) nur bei R2 ( 5 = 10 > 8) lohnt es sich, zu dem angegebenen Preis mehr zur Verfügung zu stellen. b 2 = b 2 + t = t = x B = t t [ 50, ] = Für t = (bzw. für b 2 = ) gilt x = (76.667, , 0), z max = Es sollten also mindestens ME zusätzlich bereitgestellt werden. 6. (a) keine Änderungen bei X opt und z min c 31 12, (t 16) (b) z min = c 14, c 14 [ 2, 1] (c) neue opt Lsg. mit z min 48 (d) B 0 A 1 M A 2 M A 31 0 M M 15 M M 12 A 32 0 M M M 21 M 12 A 33 0 M M M M A 4 M b j

7 7. (a) (b) X (0) = X (opt) = , z(0) = 8750, z min = 8680