Aufgabe 3.1: LP-Informationen im Optimum

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Henriette Blau
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Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main Lehrst.f.BWL, insb. Quant. Methoden Prof. Dr. Dietrich Ohse LPUE:SQM6 LP und Erweiterungen lpueb03_ 2003s.doc Aufgabe 3.

1 Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main Lehrst.f.BWL, insb. Quant. Methoden Prof. Dr. Dietrich Ohse LPUE:SQM6 LP und Erweiterungen lpueb03_ 2003s.doc Aufgabe 3.1: LP-Informationen im Optimum Im folgenden sind ein LP-Problem und seine optimale Lösung gegeben: Max x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RS Max x 8 x 9 x 2 x 6 x 5 RS z z x x 4 4/5 3/5 21/5 1 11/5 36/5 x x 7 11/5 7/5 44/5 2 14/5 216/5 x x /5 1/5 3/5 0 7/5 92/5 x x 3 1/5 2/5 4/5 0 9/5 4/5 Tab. 3.1: Ausgangslösung Tab. 3.2: Optimallösung (a) Bestimmen Sie die Mengen B und N sowie die Simplex-Multiplikatoren p T. (b) Lesen Sie die Basismatrix und Basisinverse ab. (c) Nehmen Sie an, die Zielfunktion sei nun: z = 4x 1 + 5x 2 3x 3 + 2x 4 + 2x 5 Welche Werte haben nun die Simplex-Multiplikatoren? (d) Wie lauten die modifizierten Zielzeilenkoeffizienten im Optimaltableau? (e) Welches ist der Wert der Rechten Seite nach Modifikation? [z = 428/5] (f) Berechnen Sie die Optimallösung, falls die Basislösung nicht mehr optimal ist. [z = 87] Aufgabe 3.2: Modifikation am LP Gegeben sind im folgenden ein LP-Problem und die optimale Lösung, beide in Tableauform: Max x 1 x 2 x 3 RS Max x 1 x 6 x 4 RS z z x x x x x x Tab. 3.3: Ausgangslösung Tab. 3.4: Optimallösung (a) Passen Sie die Optimallösung der geänderten Rechten Seite an. [z max = 1.350] (b) Passen Sie die Optimallösung der geänderten Zielfunktion z = 10x 1 + 6x 2 + 7x 3 an. [z max = 1.022]

2 Lst.f.BWL, i. Quant. Meth. lpueb03_ 2003s.doc 2 Aufgabe 3.3: Modifikation von RS und ZF Gegeben sind ein LP-Problem und seine optimale Lösung. Max x 1 x 2 x 3 RS Max x 1 x 6 x 7 RS z z 5 3/2 1/2 34 x x 2 2 1/2 1/2 6 x x 3 3/2 1/4 1/4 7 Tab. 3.5: Ausgangslösung Tab. 3.6: Optimallösung (a) Wie lauten die Basisinverse A B 1 und der Vektor der Simplex-Multiplikatoren p T? (b) Dem Problem werden im Ausgangszustand zwei Aktivitäten: 3 2, 1 1 mit den Strukturvariablen x 4 und x 5 hinzugefügt. Bestimmen Sie die Spalten bzgl. der Basis B = {2, 3} von Tab. 3.6, und berechnen Sie ggfs. die neue Optimallösung. [z max = 48] (c) Danach, d.h. nach den Änderungen unter (b), wird die Nebenbedingung x 8 x 1 + 3x 2 + 2x 3 x 4 + x 5 = 2 dem Problem hinzugefügt. Wie lautet nun die Optimallösung? [z max = ] Aufgabe 3.4: Sensitivitätsanalyse - tabellarisch Führen Sie für das folgende LP-Problem die Sensitivitätsanalyse bezüglich der Rechten Seite und der Zielfunktion durch: Max z mit z = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 u.d.n. x 1 + 2x 2 + 3x x 1 + x 2 + 4x x 1 + x 2 + 2x 3 54 x j 0 für alle j [z max = 90]

3 Lst.f.BWL, i. Quant. Meth. lpueb03_ 2003s.doc 3 Aufgabe 3.5: Sensibilitätsanalyse der Zielzeile Die lineare Planungsrechnung stellt ein klassisches Instrument zur Bestimmung des optimalen Produktionsprogramms dar. In dem folgenden Beispiel wird angenommen, daß ein Betrieb drei Produkte (1, 2 und 3) fertigen kann, deren Mengen x 1, x 2 und x 3 durch die Kapazitäten der Anlagen A und B begrenzt sind. Es wird dasjenige Produktionsprogramm gesucht, das die Summe der Deckungsbeiträge maximiert. Zur Lösung dieses Problems wurde ein lineares Modell konstruiert, das zu dem Simplextableau in Tab. 3.7 führte (x A und x B seien die Schlupfvariablen der Faktorrestriktionen). Max x 1 x 2 x 3 RS Max x 1 x B x 3 RS Max x A x B x 3 RS z z z x A 1 7 x A x x B x x Tab. 3.7: Ausgangstab. Tab. 3.8: Nach 1. Iteration Tab. 3.9: Optimaltableau Die optimale Lösung dieses LP-Problems in Tab. 3.9 wurde mit Hilfe der Simplex-Methode in zwei Iterationsschritten berechnet. (a) Welche Bedeutung haben die Zielfunktionskoeffizienten der Ausgangslösung einschließlich der Zielfunktionskoeffizienten der Schlupfvariablen? (b) Interpretieren Sie die Zielfunktionskoeffizienten der Optimallösung. (c) Wie erklären Sie, daß Produkt 1 mit der Menge x 1 = 3/2 im optimalen Produktionsprogramm enthalten ist, obwohl sein Deckungsbeitrag negativ ist? Begründen Sie Ihre Aussage auch formal. (d) In welchen Grenzen können die Kapazitäten beider Anlagen (ceteris paribus) variieren, ohne die Struktur der Optimallösung zu beeinflussen? (e) In welchen Grenzen können die Deckungsbeiträge der Produkte variieren, so daß die Struktur der Optimallösung erhalten bleibt?

4 Lst.f.BWL, i. Quant. Meth. lpueb03_ 2003s.doc 4 Aufgabe 3.6: What-if-Analyse Ein Unternehmen der Mineralölindustrie kann von einem Kraftstoff, der mindestens eine Oktanzahl von 90 haben muß, bis zu t absetzen. Der Verkaufspreis beträgt 190 DM/t. Zur Herstellung (Mischung) des Kraftstoffes sind drei Rohkraftstoffe in begrenzter Menge verfügbar, die unterschiedlich teuer sind und verschiedene Oktanzahlen aufweisen. Alle Daten sind in der folgender Tabelle zusammengefaßt. Gesucht ist die Mischung, die den maximalen Gewinn bringt. Preis [DM/t] Oktanzahl Maximalmenge [t] Mischung Rohkraftstoff , Rohkraftstoff Rohkraftstoff Tab. 3.10: Kraftstoffdaten Mit y als der Mischungsmenge, x 1, x 2 und x 3 als den Mengen der Rohkraftstoffe 1,2 und 3, x 4 bis x 7 als den Schlupfvariablen (Mengendifferenzen zu den Maximalmengen), m* als (künstlicher) Basisvariablen der Mengenbilanz und oz als der Schlupfvariablen der Oktanzahlrestriktion sowie z als der Zielwertvariablen (Gewinn) erhält man folgenden LP-Ansatz im Simplextableau und nach kurzer Rechnung das ebenfalls abgebildete Tableau der optimalen Lösung: Max y x 1 x 2 x 3 RS Max oz x 6 x 4 RS - w z 16/ z x 3 2/25 1-1/ m* y oz / x 1-2/25-2 6/ x x 5 2/25 2-6/ x x x x 7-2/25-1 1/5 800 x Tab. 3.11: Ausgangslösung Tab. 3.12: Optimallösung Beantworten Sie die folgenden Fragen mittels Sensitivitätsanalyse und - wenn notwendig - weiterer Rechnung, d.h. Pivotierung im Optimaltableau nach entsprechender Datenänderung: (a) Wie ändert sich die Optimallösung, wenn im Vergleich zum Ausgangstableau eine der folgenden Bedingungen einzuhalten ist: (i) Vom 1. Rohkraftstoff sind t weniger verfügbar. (ii) Vom 2. Rohkraftstoff sind 500 t weniger verfügbar. (iii) Vom 3. Rohkraftstoff sind t weniger verfügbar. (b) In welchem Bereich darf der Preis des 1. Rohkraftstoffs (bei sonst unveränderten Daten) schwanken, ohne daß sich die Optimallösung qualitativ ändert?

5 Lst.f.BWL, i. Quant. Meth. lpueb03_ 2003s.doc 5 (c) Bei welchem Preis des 2. Rohkraftstoffs lohnt es sich nicht mehr (bei sonst unveränderten Daten), die vollen t einzusetzen? Wieviel wird in diesem Fall vom 2. Rohkraftstoff verwendet (in der alternativen Optimallösung)?

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