Differentialrechnung bei Funktionen mehreren Variablen

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1 Kap. 6 Differentialrechnung bei Funktionen mehreren Variablen Im folgenden geht es um Funktionen des Typsf :R n R X... Y =f(x,...,x n ) X n Eine Weiterentwicklung der Differentialrechnung für solche Funktionen sollte mit den bisherigen Erkenntnissen kompatibel sein. Vorbem.: fürf :R R ist die Definition der ersten Ableitung: dy dx = df(x) dx =y =f f(x+h) f(x) (x)=lim h h

2 Erweiterung auf den neuen Funktionentyp: Definition: partielle Ableitung In der Funktiony=f(X,...,X i,...x n ) werden alle Variablen außer einer einzigen (deri-ten) festgehalten. Für die so entstandene Funktion bildet man den normalen Differentialquotienten. lim h f(x,...,x i +h,...,x n ) f(x,...,x i,...,x n ) h Dieser Grenzwert heißt partielle Ableitung der Funktionf nach der VariablenX i. Notation: y x i = f x i =f xi (x)=d xi f(x)

3 Achtung: Zu einer Funktion mehrerer Variablen gibt es auch mehrere partielle Ableitungen. Definition: totale Ableitung zuy=f(x,...,x n ) heißt der Vektor, der aus dennpartiellen Ableitungen besteht. Die totale Ableitung vonf: ( f x,..., f x n ) = df dx = df d(x,...,x n) =Df

4 Bsp.:y=x +x +x x +x x Berechnung der partiellen Ableitungen y x =+x +x y x = x +x Die beiden partiellen Ableitungen kann man auch zusammen fassen df dx = ( y x ; y x )=(+x +x ; x +x )

5 Geometrische Beschreibung der totalen und partiellen Ableitung f: R R Berg mit Höhenlinien y x x (X,X ) x x Die partielle Ableitung vonf nachx ist die Steigung vonf inx -Richtung. Die partielle Ableitung vonf nachx ist die Steigung vonf inx -Richtung! Die totale Ableitung ist die Sammlung der einzelnen Steigungen.

6 6. Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingungen y y = f (x,x ) x x Die notwendigen Bedingungen für ein Maximum obiger Funktion lauten: y x = und y x = (alle partiellen Ableitungen sind Null) oder kurz y x = (Totale Ableitung ist Null)

7 Dies ist ein Gleichungssystem:(zwei Gleichungen mit zwei Variablen) f(x,x ) x =; f(x,x ) x = Entsprechendes gilt für Funktionen mitnvariablen:y=(x,...,x n ). Auch hier müssen alle partiellen Ableitungen gleich Null sein.dies ergibt ein nicht-lineares Gleichungssystem mitngleichungen undnvariablen. Durch die notwendige Bedingung dy dx = werden aber auch andere Extremalpunkte gekennzeichnet.

8 y x ein Minimum x Bem.: Auch im eindimensionalen Fall werden Max. und Min. durch die erste Ableitung gleich Null beschrieben.

9 Folgender Fall existiert nur im Mehrdimensionalen y x x Der Sattelpunkt ist bzgl. einer Richtung ein Max. (hierx ) und bzgl. einer anderen Richtung ein Min. (hierx ). Auch in diesem Punkt gilt: y x = und y x =

10 Die ersten Ableitungen geben uns keine Informationen darüber, welcher der drei gezeigten Fälle vorliegt. Diese erhalten wir erst, wenn wir die Bedingungen zweiter Ordnung (zweite Ableitung) betrachten. Kurzschreibweise der zweiten Ableitung einer Funktiony=f(x,x ). ( ) df dx = f x, f x erste Ableitung ) D f = d f dx = ( f x x f x x f x x f x x ( ) fx x f x x f x x f x x Bem.: f x x =f x x Damit istd f eine symmetrische Matrix.

11 Bsp.: y=x / / x3 Berechnen Sie die zweite Ableitung an der Stellex=(,). Lösung: y y = / x x 3 / y x = 3 / / x x y x x = 4 x 3 x3 = 4 y x x = 3 4 x x = 3 4 y x x = 3 4 x x = 3 4 (siehe Bem.) D f(,)= ( ) y x x = 3 4 x x = 3 4

12 Hauptsatz der Extremwertbestimmung ohne Nebenbedingungen Seiy=f(x,x ) eine Funktion für die an der Stelle(x,x ) gilt: f(x,x ) x = und f(x,x ) x = (D.h., an der Stelle(x,x ) sind die notwendigen Bedingungen für einen lokalen Extremwert erfüllt.)

13 Dann besitztf in(x,x ) ein a) lokales Maximum, wenn gilt: f x x (x,x )< und f x x (x,x )< und f x x f x x (f x x ) > b) lokales Minimum, wenn gilt: f x x > und f x x > und f x x f x x (f x x ) > c) Sattelpunkt, wenn gilt: f x x f x x (f x x ) <

14 Bsp:y=+x +3x +4x +5x +6x x Bestimmen Sie den möglichen Extremwert. Klären Sie, ob es sich um ein Max., Min. oder Sattelpunkt handelt. y x =+8x +6x = y x =3+x +6x =

15 x 8 6 x RS /:8 /:6 II-I

16 aus II= x = 4 x = 44 = 3 aus I= x = 4 x = = = 44 = Berechnung der zweiten Ableitung ( ) 8 6 D f = 6 Also: f x x >;f x x > und f x x f x x (f x x ) =8 6 =44> ( ) Im Punktx= = 3 hat die Funktion ein Minimum.

17 Bem.: Bei quadratischen Funktionen zweier Variablen kann auch ein Maximum oder Sattelpunkt vorliegen. (Hierzu müssen aber andere Konstanten in der Funktion auftreten). Übung: ) y=+x +3x x x ) y=3+x +x +x +x +x x Berechnen Sie die Extremwerte und bestimmen den Typ (Max/Min/Sattelpunkt).

18 ) Maximum y x = x = x = y x =3 x = x = 3 / D f = ( ) Also f x x <;f x x < und f x x f x x (f x x ) > ) Beix=( 3 hat die Funktion ein Maximum.

19 ) Sattelpunkt y x =+x +x = y x =+x +x = x x RS /: /: 5 5 II-I

20 aus II 4 5 x = 9 x = = 3 6 aus I x = x = = 6 ( ) D f = ; f x x > f x x > f x x f x x ( fx x ) < Sattelpunkt!

21 6. Extremwertaufgaben mit Gleichungsnebenbedingungen Manchmal gibt es auch Optimierungsaufgaben, die nicht nur eine Zielfunktion beinhalten. Es gibt zusätzliche Restriktionen, die einzuhalten sind. Bsp.: Kostenminimierung Gesucht wird die Faktorkombination bei der die Produktionskosten für die Herstellung von fest vorgegebenen Produkten möglichst gering sein sollen. Aufgabe: y=f(x,x ) g(x,x )= Bestimme den Extremwert vonf unter den Kombinationen(x,x ), die die Nebenbedingungg erfüllen.

22 Einfaches Beispiel y = x + x NB: x + x = y Extremwert unter der NB unbeschränktes Minimum x x + x = x

23 Die Lagrange-Multiplikatoren-Methode stellt eine Möglichkeit dar, die Aufgabe mit Nebendingung in eine Aufgabe ohne Nebenbedingung umzuwandeln L(x,x, λ)=f(x,x )+λ g(x,x ) L heißt Lagrangefunktion λ heißt Lagrangeparameter oder Lagrangemultiplikator

24 Hauptsatz der Extremwertbestimmung mit Nebenbedingung Die notwendigen Bedingungen für einen Extremwert vonf unter der Nebenbedingungg(x,x )= lauten: L x ==f x +λ g x L x ==f x +λ g x L λ ==g(x,x ) Die Extremwertbestimmung unter NB wird als Extremwertbestimmung einer Funktion ohne NB von 3 Variablen(x,x,λ) berechnet.

25 Bem.: Die dritte Lagrangebedingung reproduziert genau die Nebenbedingung. Bem.: Dies stellt ein nicht lineares Gleichungssystem (3 Gleichungen mit 3 Variablen) dar. Übung: f(x,x )=+3x +4x +x +x g(x,x )=x +x 4= Finde das Minimum vonf unter der NBg. L(x,x,λ)=+3x +4x +x +x +λ[x +x 4]

26 Notwendige Bedingungen für den Extremwert: L x =3+x +λ = L x =4+x +λ = L λ =x +x 4 =

27 x x λ RS : III-I :

28 x x λ RS III-II aus III λ= 5 ; λ= 5 aus II x 5 = ; x = 7 4 aus I x 5 = 3 ; x = 9 4

29 Der Extremwert der Funktionf ) unter der NBg liegt 9 an der Stellex=( f =3,875

30 6.3 Grundidee der Methode von Lagrange: Die Nebenbedingungg(x,x )= lässt nur ganz bestimmte Kombinationen von(x,x ) zu. D.h.x variiert mitx gemäß dem funktionalen Zusammenhang vong. Wir können also auch schreiben:x (x ), so dass gilt: g(x,x (x ))= Damit lässt sich nun auch die Zielfunktionf(x,x ) umformen. f(x,x (x )) max x notwendige Bedingung für ein Optimum. fx +fx dx dx =

31 Wichtige Frage: Wie erhalten wir aber dx dx? Dieser Ausdruck gibt an, in welchem Verhältnis die beiden Variablen gegeneinander substituiert werden können.dieses Tauschverhältnis wird durch die Nebenbedingung determiniert. Da die Funktiong(x,x (x )) für jedesx gleich Null ist, muss die Steigung dieser Funktion in Richtungx gleich Null sein, d.h.: g x +g x dx dx = Löst man diese Gleichung nach dx dx auf, so erhält man dx dx = g x g x

32 Setzen wir diesen Zusammenhang in die notwendige Bedingung für ein Optimum ein: oder anders f x f x gx g x = f x f x = g x g x Diese Gleichung gilt insbesondere, wenn f x =kg x ist. f x =kg x Ein Vergleich zeigt, fürk= λ ist diese Bedingung mit der notwendigen Bedingung des Lagrangeproblems identisch.