Aufgabe des Monats Juni 2011

Transkript

1 1 Aufgabe des Monats Juni 2011 Aufgabenteil a): Lesen Sie die Artikel, auf welche Weise der ehemalige Berliner Finanzsenator ermittelt, wie hoch das Essensbudget für einen Hartz-IV Haushalt ausfallen muss, damit man sich ausgewogen ernähren kann. Aufgabeteil b): Sie sitzen für die SPD im Berliner Senat, agieren als Finanzsenator und möchten einen Speiseplan für Hartz-IV Empfänger aufstellen. Es wird angenommen, dass der Hartz-IV Empfänger die folgende Frühstücks- Nutzenfunktion besitzt: U = 2K 0,5 B 0,5 (1) wobei K die konsumierte Menge an Kaffee und B die konsumierte Menge an Brötchen symbolisieren. Die Variable U kennzeichnet das erreichte Nutzenniveau. Ein Nutzenniveau von U = 4 ist beispielsweise zu erreichen, wenn man vier Kaffee trinkt und ein Brötchen isst. Auf ein Nutzenniveau von U = 4 kommt man jedoch auch nach dem Genuss von zwei Brötchen und zwei Kaffee. Ein Kaffee kostet 5 Cent und ein Brötchen 20 Cent. Sie glauben, dass ein tägliches Nutzenniveau von U = 8 für das Frühstück ausreicht. Wie viel Geld benötigt der Hartz-IV Empfänger für sein tägliches Frühstück? Welche Mengen an Brötchen und Kaffee werden konsumiert? Ermitteln Sie das optimale Ergebnis entweder über einen geeigneten

2 2 Lagrangeansatz oder lösen Sie die Nebenbedingung nach einer Variable auf und setzen diese dann in die Kostenfunktion ein. Aufgabenteil c): Wie viel Geld würden Sie einem Hartz-IV Haushalt (Familie mit drei Kindern) insgesamt (incl. Kindergeld, Miete, Heizung, Ernährung, Kleidung, Bildung, etc.) pro Monat zugestehen, wenn Sie Finanzsenator wären? Beantworten Sie diese Frage bitte OHNE vorher im Internet nach einer Lösung zu suchen. (Diese Antwort wird nicht bewertet!) Aufgabenteil d): Versuchen Sie nun nachdem Sie die Frage c) beantwortet haben im Internet eine Lösung zu finden!

3 3 Musterlösung Aufgabenteil b: Lagrangeansatz Die Lagrange-Methode stellt eine Möglichkeit dar, Optimierungsaufgaben mit Nebenbedingungen (Restriktionen) zu lösen. Sie wird sehr häufig zur Lösung von ökonomischen Problemstellungen verwendet. Bei dem Lagrangeansatz wird zunächst entsprechend der Aufgabenstellung die Lagrange- Funktion (L) der folgenden Form aufgestellt: L = f(x 1, x 2 ) λ[g(x 1, x 2 ) c] max x 1,x 2,λ (2) Dabei ist f(x 1, x 2 ) die Zielfunktion, die maximiert bzw. minimiert werden soll, und g(x 1, x 2 ) = c stellt die Nebenbedingung dar. Diese muss nach Null umgestellt werden, damit man sie in die Lagrange-Funktion einbinden kann. λ ist der Lagrangeparameter (Lagrangemultiplikator). Die weitere Extremwertbestimmung erfolgt auf die übliche Weise: Die notwendigen Bedingungen werden abgeleitet (nach x 1, x 2 und λ) und das anschließende Gleichungssystem gelöst. Die Zielfunktion ist in diesem Fall die Kostenfunktion der Hartz-IV Empfänger muss seine Kosten minimieren: Kosten = 5 K + 20 B min K,B (3) Allerdings hat er dabei die ihm auferlegte Restriktion (Nebenbedingung) zu beachten, die besagt, dass sein tägliches Nutzenniveau U = 8 entsprechen soll. Also: 2K 0,5 B 0,5 = 8 (4) Um die Aufgabe zu mittels des Lagrangeansatzes zu lösen, stellt man diese Nebenbedingung nach Null um und stellt zusammen mit der Zielfunktion

4 4 die folgende Lagrange-Funktion auf: L = 5 K + 20 B λ [ 2K 0,5 B 0,5 8 ] min K,B,λ (5) Diese wird nun nach K, B und λ abgeleitet. Die notwendigen Bedingungen lauten: K = 5 λk 0,5 B 0,5 = 0 5 = λk 0,5 B 0,5 (6) B = 20 λk0,5 B 0,5 = 0 20 = λk 0,5 B 0,5 (7) λ = 2K0,5 B 0,5 8 = 0 (8) Dividiert man (7) durch (6), so erhält man: 4 = K B K = 4B. Wenn man nun dieses Ergebnis in (8) einsetzt, kann man die optimale Menge an Brötchen ermitteln: 2 (4B) 0,5 B 0,5 = 8 B = 2 (9) Die optimale Menge an Kaffee erhält man, wenn man dieses Ergebnis in die obige Beziehung einsetzt: K = 4 B = 4 2 = 8 Der Hartz-IV Empfänger konsumiert also 2 Brötchen und 8 Kaffee und er benötigt für dieses tägliche Frühstück: Kosten = = 80 Cent (10) Alternativer Ansatz Alternativ kann man diese Optimierungsaufgabe lösen, indem man die Nebenbedingung nach einer Variablen umstellt und dann in die Kostenfunktion einsetzt. Stellt man die Nebenbedingung (4) zum Beispiel nach B um, so ergibt sich: 2K 0,5 B 0,5 = 8 (2K 0,5 ) (11) B 0,5 = 4K 0,5 () 2 (12) B = 16 K (13)

5 5 Setzt man dies nun für B in die Kostenfunktion (3) ein, so erhält man: Kosten = 5 K K min K (14) Das Bilden der ersten und der zweiten Ableitung ergibt: Kosten = K 2 = 0 (15) Kosten = 640 K 3 Minimum (16) Die optimale Menge an Brötchen und Kaffee würde also tatsächlich die Kosten minimieren. Die optimale Menge an Kaffee ergibt sich aus der Bedingung erster Ordnung (15): K 2 = K 2 = 5 K 2 = 64 K = 8. Setzt man dieses Ergebnis in (13) ein, erhält man die optimale Menge an Brötchen: B = 16 8 = 2. Die Berechnung der benötigten Kosten ist identisch mit (10).