2.6 Theorie des Haushalts

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1 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Nutzenfunktionen und Indifferenzkurven Nutzenfunktion: Hilfsmittel, um Präferenzen zu beschreiben Eine Präferenzordnung lässt sich unter den obigen Annahmen über eine Nutzenfunktion u darstellen mit u(x,x ) u(x,x ) wenn (x,x ) (x,x ) u(x,x ) > u(x,x ) wenn (x,x ) f (x,x ) 39

2 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Die Nutzenfunktion ordnet den Präferenzen reelle Zahlen zu. ordinales Nutzenkonzept: nur Größenrelationen sind relevant 40

3 .6 Theorie des Haushalts Nutzengebirge: WS 007/08 u x x x x 4

4 .6 Theorie des Haushalts positiver Grenznutzen ( mehr ist besser als weniger ): WS 007/08 u x > 0; u x > 0 abnehmender Grenznutzen: ( x u ) < 0; ( x u ) < 0 4

5 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Grafische Herleitung: Schnitt parallel zur u-x -Ebene in Höhe von x im Nutzengebirge u u(x,x ) 0 x x x (analog x ) 43

6 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Indifferenzkurven: Höhenlinien im Nutzengebirge Schnitt parallel zur x -x -Ebene in Höhe von u u x x x x 44

7 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 x u 3 u u x 45

8 .6 Theorie des Haushalts Zusammenhang zwischen GRS und Nutzenfunktion: WS 007/08 Indifferenzkurve: u(x,x ) u GRS erhält man durch marginale Veränderung von x und x, dass das Nutzenniveau unverändert bleibt. u totales Differential: du 0 u x dx + u x dx dx dx u u / x u / x ( GRS) GRS kann auch als marginale Zahlungsbereitschaft interpretiert werden. 46

9 .6 Theorie des Haushalts Beispiele Nutzenfunktionen: WS 007/08 Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: u (x mit α>0 und β>0 α β,x ) x x Lineare Nutzenfunktion: u (x + mit a >0 und a >0,x ) ax ax Leontief-Nutzenfunktion: x x u(x,x ) min, mit a a a >0 und a >0 Quasilineare Nutzenfunktion: u (x +,x ) v(x) x 47

10 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Konsumentscheidung Der Konsument wählt die Kombination von Gütern, die auf der höchstmöglichen Indifferenzkurve liegt. Gleichzeitig darf der Konsument die Budgetrestriktion dargestellt durch die Budgetgerade nicht überschreiten. Die optimale Konsumentscheidung ist durch den Punkt gegeben, an der sich Budgetgerade und Indifferenzkurve tangieren. Bei diesem Punkt entspricht die Grenzrate der Substitution dem relativen Preis der Güter, d.h. die Bewertung der beiden Güter durch den Konsumenten entspricht der Bewertung durch den Markt dem Preis. 48

11 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 x D x * C A B I 3 E I I Optimum x * x Budgetgerade 49

12 .6 Theorie des Haushalts Im Haushaltsoptimum(-gleichgewicht) gilt: WS 007/08 u / x ( GRS ) u / x p p Anforderung an Steigung der Indifferenzkurve und Budgetbeschränkung Informationen über die Lage des Haushaltsoptimums liefert die Budgetbeschränkung 50

13 .6 Theorie des Haushalts innere Lösung: x * > 0, x * > 0 WS 007/08 Randlösung: z.b. x * > 0, x * 0 x x * x 5

14 .6 Theorie des Haushalts Formale Lösung des Entscheidungsproblems: WS 007/08 Maximiere u(x,x ) unter der Nebenbedingung p x +p x m Lagrange-Ansatz L(x,x,λ) u(x,x ) + λ[m px px ] λ: Lagrange-Multiplikator Notwendige Bedingungen ein Maximum der Lagrange- Funktion: L x 0; L x 0; L λ 0 5

15 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 L x L x u x u x λp λp 0 0 u / x u / x p p (I) L λ m p x px 0 (II) (I) und (II) als Bestimmungsgleichungen der optimalen Mengen x * und x * (I) und (II) sind notwendige, aber keine hinreichenden Bedingungen ein Maximum 53

16 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Auflösung von (I) und (II) nach endogenen Variablen x und x in Abhängigkeit der exogenen Variablen p, p und m: x x (p,p,m) x x (p,p,m) Nachfragefunktionen 54

17 .6 Theorie des Haushalts Einsetzverfahren WS 007/08 Budgetgerade nach einer endogenen Variablen auflösen: m p z.b. x : x (III) x p p Einsetzen in die Zielfunktion: u(x m p, x) p p 443 x 55

18 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Optimierung bzgl. der verbleibenden Entscheidungsvariablen ergibt: u x u + x p p 0 oder: u / x u / x p p (I) (I) und (III) bestimmen die optimalen Mengen x * und x * 56

19 .6 Theorie des Haushalts Nachfragefunktionen spezieller Nutzenfunktionen: WS 007/08 Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: u (x α β,x ) x x GRS: u / x u / x α β x x im GG gilt: u / x u / x α β x x p p (I) Budgetbeschränkung: p x + px m (II) 57

20 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 (I) auflösen: in (II) einsetzen: p β α x px β p x + px α m α + β p x α x α α + β m p m Nachfragefunktion nach Gut 58

21 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 einsetzen in (I): x β α + β m p Nachfragefunktion nach Gut 59

22 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Quasi-lineare Nutzenfunktion: GRS: u (x +,x ) ln x x u / x u / x x im GG gilt: u / x u / x x p p (I) Budgetbeschränkung: p x + px m (II) p x m ; x p p 60

23 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Komparative Statik Wie beeinflussen Einkommensänderungen die Entscheidung der Konsumenten? Wir wissen: Eine Einkommenserhöhung verschiebt die Budgetgerade parallel nach außen. Der Konsument ist damit in der Lage, mehr von beiden Gütern zu konsumieren und auf eine höhere Indifferenzkurve zu kommen. 6

24 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 x ** x * x neue Budgetgerade neues Optimum ursprüngliches Optimum höhere Indifferenzkurve I I x * x ** x ursprüngliche Budgetgerade 6

25 .6 Theorie des Haushalts in obiger Abbildung: normale Güter WS 007/08 Konsument kauft mehr von einem Gut bei steigendem Einkommen, d.h. dx 0; dm > dx > dm 0 Was passiert bei inferioren Gütern? Konsument kauft weniger von einem Gut bei steigendem Einkommen, d.h. dx 0 dm < oder dx < dm 0 63

26 .6 Theorie des Haushalts Grafisch: x als inferiores Gut WS 007/08 x x * x ** ursprüngliches Optimum neues Optimum x * x ** I I x 64

27 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Wie beeinflussen Preisänderungen die Entscheidung der Konsumenten? Eine Preissenkung dreht die Budgetgerade nach außen und verändert die Neigung der Budgetgeraden. 65

28 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 x neues Optimum x ** ursprüngliches Optimum x * I x ** x * I x 66

29 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Einkommens- und Substitutionseffekt Preisänderungen haben zwei Auswirkungen auf die Konsumentscheidungen: Einkommenseffekt Konsumveränderung aufgrund der Veränderung der Kaufkraft Substitutionseffekt Konsumveränderung aufgrund der Veränderung der relativen Preise Im Folgenden: Slutsky-Zerlegung 67

30 .6 Theorie des Haushalts Annahme: p i < 0 WS 007/08 Gut i wird im Vergleich zu Gut j billiger. Der Konsument wird Gut j durch Gut i substituieren. Drehung der Budgetgerade entsprechend der Veränderung der relativen Preise Substitutionseffekt Die Kaufkraft des Konsumenten nimmt zu. Bei gegebenem Nominaleinkommen kann er sich jetzt mehr von Gut i (oder j) leisten. Bewegung zur neuen Indifferenzkurve Einkommenseffekt 68

31 .6 Theorie des Haushalts Grafische Isolierung der beiden Effekte: WS 007/08 Substitutionseffekt: Änderung des Preisverhältnisses bei konstanter Kaufkraft konstante Kaufkraft: trotz veränderter relativer Preise muss das ursprüngliche Güterbündel erreichbar sein Rotation der ursprünglichen Budgetgerade entsprechend der Veränderung der relativen Preise im ursprünglichen Optimum 69

32 .6 Theorie des Haushalts Einkommenseffekt: WS 007/08 Änderung der Kaufkraft bei konstanten relativen Preisen Parallelverschiebung der gedrehten Budgetgerade zur Indifferenzkurve im neuen Optimum 70

33 .6 Theorie des Haushalts Beispiel: Preissenkung bei Gut WS 007/08 x altes Optimum EE SE x * x ** x S x * I neues Optimum I x S x ** x SE EE 7

34 .6 Theorie des Haushalts Analytische Zerlegung des Gesamteffekts: WS 007/08 Vorüberlegung zum Substitutionseffekt: ursprüngliche Budgetgerade mit Optimum: m p + * * x px Budgetgerade nach Preisänderung und konstanter Kaufkraft: Subtraktion ergibt: m ' p + * * ' x px m' m (p * * ' p)x + (p p ) x

35 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Δm : m' m Δp x * m: Änderung des Einkommens, die bei einer Preisänderung p erforderlich ist, um die Kaufkraft konstant zu halten 73

36 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Zerlegung der gesamten Nachfrageänderung: Δx ** * x x (x x ) + (x ** S S x * ) (x Δx x ) (x S * S S m Δx x ** ) Δx Δp Δx Δp S Δx Δp m 74

37 .6 Theorie des Haushalts Wir wissen: WS 007/08 Δm Δp x * Δm oder Δp * x Slutsky-Gleichungen: Gut : Δx Δp S m Δx * Δx x { Δp 4Δ 43 m SE EE Gut : (analoge Herleitung) Δx Δp Δx Δp S x * Δx m Δm 75

38 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Direkter Substitutionseffekt: Kreuzpreissubstitutionseffekt: Δx Δp S < S Δx im Zwei-Güter-Fall: > 0 Δp 0 im n-güter-fall (i j): S Δx i Substitutionsgüter: > 0 Δp S Δx i Komplementärgüter: < 0 Δp j j 76

39 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Einkommenseffekt: Gut ist normales Gut: Δ x m Δm > 0 EE : x Δx m * < Δm 0 Δx m Gut ist inferiores Gut: < 0 Δm EE : x Δx m * > Δm 0 77

40 .6 Theorie des Haushalts Gesamteffekt Gut : WS 007/08 Gut ist normales Gut: SE < 0; EE < 0 GE SE + EE < 0 Gut ist inferiores Gut: SE < 0; EE > 0 GE SE + EE unbestimmt! Zwei Möglichkeiten: EE > SE GE > 0 Giffen-Gut EE SE GE 0 inferiores Gut, kein Giffen-Gut 78

41 .6 Theorie des Haushalts Grafisch: Gut als Giffen-Gut WS 007/08 x I SE x * x ** EE I x 79

42 .6 Theorie des Haushalts Alternative zur Slutsky-Zerlegung: Hicks-Zerlegung WS 007/08 Substitutionseffekt wird nicht bei konstanter Kaufkraft, sondern bei konstantem Nutzenniveau ermittelt Grafisch bedeutet das eine Drehung der ursprünglichen Budgetgerade entsprechend der relativen Preisänderung entlang der ursprünglichen Indifferenzkurve 80

43 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Ableitung der Nachfragekurve Die Nachfragekurve eines Verbrauchers kann als die Summe seiner optimalen Konsumentscheidungen interpretiert werden, die sich aus seinen Budgetgeraden und seiner Indifferenzkurvenschar ergeben. 8

44 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 x Haushaltsoptimum Nachfragekurve nach Gut x p A B I x * x ** I x p p ' A B Nachfrage x * x ** x 8

45 .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Anwendung: Wie beeinflusst der Zinssatz die Spartätigkeit? Wenn der Substitutionseffekt größer ist als der Einkommenseffekt, dann führen steigende Zinsen zu größerer Spartätigkeit. Wenn der Einkommenseffekt größer ist als der Substitutionseffekt, dann sinkt die Spartätigkeit mit steigenden Zinsen. Aus Sicht der ökonomischen Theorie sind beide Situationen möglich. 83

46 .6 Theorie des Haushalts Beispiel: WS 007/08 Nehmen Sie an, Ihr Lebensabschnitt ist in zwei Perioden aufgeteilt: Wenn Sie jung sind, gehen Sie arbeiten und erhalten ein Einkommen von Sie teilen dieses Einkommen auf in Konsum heute und Ersparnisse morgen. Der Zinssatz betrage 0%. Wenn Sie alt sind, gehen Sie nicht mehr und leben von Ihren Ersparnissen einschließlich der Zinszahlungen. 84

47 .6 Theorie des Haushalts Konsum-Spar-Entscheidung: WS 007/08 Konsum im Alter 0' 55' 50' 00' Konsum in jungen Jahren Ersparnis 85

48 .6 Theorie des Haushalts a) Ein höherer Zinssatz erhöht die Ersparnis WS 007/08 Konsum im Alter I I alte Ersparnis Konsum in jungen Jahren neue Ersparnis 86

49 .6 Theorie des Haushalts b) Ein höherer Zinssatz verringert die Ersparnis WS 007/08 Konsum im Alter I I alte Ersparnis Konsum in jungen Jahren neue Ersparnis 87

50 .6 Theorie des Haushalts Literaturempfehlung zur Vertiefung: WS 007/08 Varian, H.R. (00): Grundzüge der Mikroökonomik, 5. Auflage, München, Kapitel