Mikroökonomik 4. Vorlesungswoche

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1 Mikroökonomik 4. Vorlesungswoche Tone Arnold Universität des Saarlandes 12. November 2007 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

2 Auswirkung von Preisänderungen auf die Nachfrage Beispiel: Senkung des Preises für Gut 1 von p 1 = 3 auf p 1 = 2. x 2 m/p 2 x x 3 m/p 1 7 m/p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

3 Normale Güter Nachgefragte Menge von Gut 1 steigt mit einer Preissenkung von x1 auf x 1 bzw. Wenn der Preis für Gut 1 steigt, dann wird weniger von diesem Gut nachgefragt. Normalfall: Güter, die bei steigendem Preis in geringerer Menge nachgefragt werden, heissen normale Güter Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

4 Giffen Güter x 2 m/p 2 x x 4 5 m/p 1 m/p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

5 Giffen Güter Bei einer Preissenkung wird weniger von Gut 1 nachgefragt, bzw. bei einer Preiserhöhung mehr. Güter mit solchen Eigenschaften werden nach dem englischen Statistiker Robert Giffen ( ) als Giffen Güter bezeichnet. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

6 Normale und Giffen Güter Definition 1 (normale Güter) Ein Gut heisst normal, wenn eine Erhöhung des eigenen Preises zu einem Rückgang der nachgefragten Menge dieses Gutes führt, d. h. Definition 2 (Giffen Güter) x i (p 1, p 2, m) p i < 0. Ein Gut heisst Giffen Gut, wenn eine Erhöhung des eigenen Preises zu einer Erhöhung der nachgefragten Menge dieses Gutes führt, d. h. x i (p 1, p 2, m) p i > 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

7 Optimale Konsumpläne bei verschiedenen Preisen Preis Konsum Kurve (PKK) x 2 x 1 Die Verbindungslinie aller Optima heisst Preis Konsum Kurve (PKK) oder Offer curve. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

8 Inverse Nachfragekurve Im p x Diagram: p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

9 Preis Absatz Funktion Preis Absatz Funktion Wenn wir den Preis auf der Ordinate und die Menge auf der Abszisse abtragen, ist es allerdings näherliegend, die Funktion auch so zu interpretieren, dass sie uns zu jeder Menge einen Preis liefert. Diese Funktion heisst inverse Nachfragefunktion. Sie wird auch Preis-Absatz-Funktion genannt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

10 PKK bei Giffen Gut Im Fall eines Giffen Gutes kann die Steigung der PKK in bestimmten Bereichen negativ sein: x 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

11 Inverse Nachfrage nach Giffen Gut p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

12 Giffen Gut In dem Bereich, in dem die Nachfragefunktion eine positive Steigung hat, wird von dem betrachteten Gut bei steigendem Preis mehr nachgefragt. Dieses Phänomen kann jedoch nicht für alle Preise auftreten! (Wieso nicht?) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

13 Cobb Douglas Präferenzen Zunächst stellen wir für Cobb Douglas Präferenzen die PKK für Änderungen des Preises von Gut 1 und die Nachfragefunktion nach Gut 1 grafisch dar. Die Nachfragefunktion nach Gut 1 hatten wir bereits hergeleitet. Sie lautet x 1 (p 1, p 2, m) = αm p 1. Auch die grafische Darstellung kennen wir schon. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

14 PKK bei Cobb Duglas Nutzenfunktion x 2 m p 2 x x x m m 1 x p 1 1 p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

15 Inverse Nachfrage bei Cobb Douglas Nutzenfunktion Die Nachfragefunktion nach Gut 1 lautet x 1 = m/(2p 1 ). Auflösen nach p 1 ergibt die inverse Nachfragefunktion p 1 p 1 (x 1 ) = m/(2x 1 ). x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

16 PKK für Perfekte Komplemente Die Nachfragefunktion nach Gut 1 lautet bei perfekten Komplementen m x 1 (p 1, p 2, m) =, p 1 + p 2 wobei wir hier nur Variationen des Preises von Gut 1 betrachten, p 2 und m also als Konstante betrachten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

17 PKK für Perfekte Komplemente x 2 m p 2 m p 1 m p 1 m p 1 m p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

18 Inverse Nachfrage bei perfekten Komplementen Aus der Nachfragefunktion folgt x 1 = m (p 1 + p 2 ) x 1 (p 1 + p 2 ) = m p 1 x 1 = m p 2 x 1. Auflösen nach p 1 ergibt die inverse Nachfragefunktion p 1 (x 1 ) = m p 1 p 2x 2 x 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

19 Inverse Nachfrage bei perfekten Komplementen p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

20 Vollkommene Substitute Fallunterscheidung: p 1 > p 2 : Randlösung mit x 1 = 0. p 1 < p 2 : Randlösung mit x 2 = 0. p 1 = p 2 : Alle Punkte auf der Budgetgerade sind mögliche Nachfragepunkte. In den beiden folgenden Abbildungen sind die Preis Konsum Kurve für Änderungen des Preises von Gut 1 und die Nachfragekorrespondenz nach Gut 1 für den Fall vollkommener Substitute grafisch dargestellt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

21 PKK bei perfekten Substituten x 2 m p 2 m p 1 m p 1 m p 1 m p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

22 p 1 p 1 = p 2 m/ p 2 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

23 Die Preis Konsum Kurve besteht entsprechend der bekannten Fallunterscheidung für vollkommene Substitute aus drei Teilen. Zunächst dem gemeinsamen linken oberen Punkt der Budgetgeraden, der für alle Preise p 1 > p 2 der Nachfragepunkt ist. Für p 1 = p 2 gehört jeder Punkt der Budgetgeraden (mit Steigung 1) zur Nachfragemenge. Schliesslich folgt für p 1 < p 2 der einzige Bereich, in dem man von einer Preis Konsum Kurve im eigentlichen Sinne sprechen kann. In diesem Bereich ist der Nachfragepunkt jeweils der Schnittpunkt von Budgetgerade und x 1 -Achse. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

24 Auch die Nachfrage besteht korrespondierend zu den oben betrachteten Fällen aus drei Teilen: Zunächst bleibt x 1 = 0, so lange p 1 > p 2 ist. Für p 1 = p 2 sind alle Mengen 0 x 1 m p 2 mögliche nachgefragte Mengen von Gut 1 (zu denen jeweils die entsprechende nachgefragte Menge von Gut 2 gehört, so dass beide zusammen genau m p 2 ergeben). Für p 1 < p 2 existiert eine Nachfragefunktion im eigentlichen Sinne: x 1 (p 1, p 2, m) = m p 1. Daraus ergibt sich die inverse Nachfragefunktion p 1 (x 1 ) = m x 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

25 Exkurs: Nachfrage bei Cobb-Douglas Präferenzen Die Cobb Douglas Nutzenfunktion hat die Form u(x 1, x 2 ) = x α 1 xβ 2 mit α, β > 0. Nachfragefunktionen Die Nachfragefunktionen zu dieser Nutzenfunktion lauten x 1 (p 1, p 2, m) = α m (α + β)p 1, x 2 (p 1, p 2, m) = β m (α + β)p 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

26 Beweis Die Lagrangefunktion lautet L(x 1, x 2, λ) = x α 1 xβ 2 + λ (m p 1x 1 p 2 x 2 ). Die Bedingungen erster Ordnung sind L = αx (α 1) x 1 x β 2 λp 1 1 = 0 (1) L = βx1 α x x(β 1) 2 λp 2 2 = 0 (2) L λ = m p 1x 1 p 2 x 2 = 0. (3) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

27 Wir bringen die Terme mit λ auf die rechte Seite: αx (α 1) 1 x β 2 = λp 1 (4) βx α 1 x(β 1) 2 = λp 2 (5) Division von Gleichung (4) durch Gleichung (5) ergibt αx (α 1) 1 x β 2 βx α 1 x(β 1) 2 = λp 1 λp 2 = p 1 p 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

28 Regel: Daraus folgt x a x b = x a b. αx (α 1) 1 x β 2 = βx1 αx(β 1) 2 α β x(α 1 α) 1 x [β (β 1)] 2 = α β x 1 1 x 1 2 = αx 2 βx 1. (6) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

29 Auflösen nach x 2 ergibt x 2 = βp 1 αp 2 x 1. (7) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

30 Cobb Douglas Nachfragefunktionen Die Nachfragefunktion erhält man, indem man Gleichung (7) in die Budgetgleichung (3) einsetzt. m = p 1 x 1 + p 2 βp 1 αp 2 x 1. ( αp1 = x 1 α + βp ) 1 α (α + β)p = x 1 1. α Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

31 (α + β)p 1 m = x 1. α Auflösen nach x 1 ergibt x 1 (p 1, p 2, m) = αm (α + β)p 1, die Nachfragefunktion für Gut 1. Wenn wir dies in Gleichung (7) einsetzen und vereinfachen, erhalten wir die Nachfragefunktion für Gut 2. x 2 (p 1, p 2, m) = βm (α + β)p 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

32 Substitute und Komplemente Bisher haben wir Änderungen der Nachfrage aufgrund von Änderungen des Einkommens bzw. aufgrund von Änderungen des eigenen Preises eines Gutes betrachtet. Jetzt betrachten wir Änderungen der Nachfrage eines Gutes aufgrund von Änderungen des Preises eines anderen Gutes. Dazu verwenden wir die sogenannten Kreuzableitungen. Für den Fall zweier Güter sind dies x 1 (p 1, p 2, m) p 2 und x 2 (p 1, p 2, m) p 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

33 Substitute Angenommen, der Preis für gut 1 steigt. Wenn daraufhin die Nachfrage nach Gut 2 zunimmt, dann wird offensichtlich das Gut 1 durch das Gut 2 substituiert, d. h. Gut 2 ist ein Substitut für Gut 1. Beispiel: Steigt der Preis für Alkopops, trinken die Leute mehr andere Alkoholika, z.b. Wein und Bier. Die Kreuzpreisableitung ist dann positiv: x 2 (p 1, p 2, m) p 1 > 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

34 Komplemente Werden beide Güter immer zusammen konsumiert, dann wird eine Erhöhung des Preises bei einem Gut zu einer Verringerung der Nachfrage nach dem anderen Gut führen, d. h. x 2 (p 1, p 2, m) p 1 < 0. Beispiel: Steigt der Preis für Zigaretten, werden tendenziell auch weniger Feuerzeuge verkauft. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

35 Definition 3 (Substitute) Gut i ist ein Substitut zu Gut j, wenn gilt x i (p, m) p j > 0. Definition 4 (Komplemente) Gut i ist ein Komplement zu Gut j, wenn gilt x i (p, m) p j < 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

36 Die Nachfragefunktion nach einem Gut wird häufig nur in Abhängigkeit vom eigenen Preis notiert, z.b. x 1 (p 1 ). Dies ist sinnvoll, wenn Einkommensänderungen bzw. Änderungen der anderen Preise nicht untersucht werden. Beispiel: Wir interessieren uns dafür, wie stark die die Nachfrage nach Zigaretten bei einer Preiserhöhung reagieren würde. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

37 Eigenschaften der Nachfragefunktion Frage: Wie reagiert die Nachfrage auf eine simultane Erhöhung aller Preise und des Einkommens um den selben Faktor? Die Budgetmenge ändert sich nicht. Die Präferenzen ändern sich nicht. Daher ändert sich die Nachfrage ebenfalls nicht! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

38 Nachfragefunktion Beispiel: Nachfragefunktion für Cobb Douglas Präferenzen mit α = β = 1: ( ) m m x (p 1, p 2, m) =,. 2 p 1 2 p 2 Daraus folgt x (ap 1, ap 2, am) = ( am 2 ap 1, am 2 ap 2 ) = ( m 2 p 1, m 2 p 2 ) = x (p 1, p 2, m). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

39 Homogenität Beobachtung 1 (Homogenität vom Grade 0) Für eine Nachfragefunktion gilt für alle Preise p, für alle Einkommen m und für alle Faktoren a R x (ap 1, ap 2, am) = x (p 1, p 2, m). d. h., Nachfragefunktionen sind homogen vom Grade 0 in Preisen und Einkommen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

40 Indirekte Nutzenfunktion Aus der Lösung des Nutzenmaximierungsproblems haben wir die optimalen Gütermengen, d. h. die Nachfragefunktionen ermittelt. Zu Vergleichszwecken ist es aber auch sinnvoll festzustellen, wie hoch der maximale Nutzen ist, den ein Konsument bei gegebenem Einkommen und bei gegebenen Preisen erreichen kann. Diesen Nutzen erhält man, indem man die Nachfrage in die Nutzenfunktion einsetzt: u (x 1 (p 1, p 2, m),x 2 (p 1, p 2, m)) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

41 Dieser maximal erreichbare Nutzen hängt ab von den Preisen und vom Einkommen, wir können dementsprechend eine Funktion dieser Parameter definieren, die als indirekte Nutzenfunktion bezeichnet wird und die wir mit v (p 1, p 2, m) bezeichnen. Definition 5 (Indirekte Nutzenfunktion) Die indirekte Nutzenfunktion ist definiert als v (p 1, p 2, m) = u (x 1 (p 1, p 2, m),x 2 (p 1, p 2, m)). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

42 Beispiel: Indirekte Nutzenfunktion für die Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 : v (p 1, p 2, m) = m 2p 1 m 2p 2 = m2 4 p 1 p 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

43 Positiv monotone Transformationen Die indirekte Nutzenfunktion ist invariant bezüglich positiv monotoner Transformationen der Nutzenfunktion. Beispiel: û(x 1, x 2 ) = x x stellt die selben Präferenzen dar. Die indirekte Nutzenfunktion ist v (p 1, p 2, m) = ( m 2p 1 ) 1 2 ( m 2p 2 ) 1 2 = ( m 2 4 p 1 p 2 ) 1 2 = m 2 p p Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

44 Die Slutzky Zerlegung Die Slutzky Zerlegung komparative Statik von Preisänderungen: Einkommens- und Substitutionseffekt Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

45 Preisänderung x 2 m p 2 x x2 2 x x x 1 x 1 m p 1 m p 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

46 Zwei Effekte Zwei verschiedene Effekte einer Preiserhöhung auf die Nachfrage: 1 Das Preisverhältnis p 1 /p 2 ändert sich, da die Steigung der Budgetgeraden steiler wird. Die daraus resultierende Änderung der Nachfrage heisst Substitutionseffekt. 2 Die Budgetmenge wird kleiner, d. h., die Kaufkraft des Einkommens, das nominal das gleiche geblieben ist, ändert sich. Die daraus resultierende Änderung der Nachfrage heisst Einkommenseffekt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

47 Substitutionseffekt Ziel: Der Kaufkrafteffekt soll eliminiert werden, so dass der Konsument vor und nach der Preisänderung das selbe Nutzenniveau erreichen kann. D.H., vor und nach der Preisänderung befindet er sich auf der selben Indifferenzkurve. Gedankenexperiment: Wir ersetzen das tatsächliche Einkommen durch ein fiktives Einkommen, dass gerade ausreicht, um den Konsumenten für die Preiserhöhung zu entschädigen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

48 Substitutionseffekt x 2 x k x neu x alt SE x1 x k x1 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

49 Substitutionseffekt Der Substitutionseffekt stellt den Teil des Effektes der Preiserhöhung auf die Nachfrage dar, der aus der Änderung des Relativpreises p 1 /p 2 resultiert. Er wird isoliert, indem eine neue, fiktive Budgetgerade gezeichnet wird. Diese verläuft 1. parallel zur tatsächlichen neuen Budgetgerade. D.h. das Preisverhältnis entspricht dem nach der Preiserhöhung. 2. berührt die fiktive Budgetgerade die Indifferenzkurve durch den ursprünglichen Nachfragepunkt x. Der neue Nachfragepunkt wird mit x k bezeichnet, die sog. kompensierte Nachfrage (Kompensationseffekt). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

50 Substitutionseffekt Es gilt: Die Differenz zwischen x1 k und x 1 ist der Substitutionseffekt (SE). Der SE ist immer eindeutig: Bei einer Preiserhöhung geht die kompensierte Nachfrage nach diesem Gut zurück, und bei einer Preissenkung steigt die kompensierte Nachfrage. D.h., Preis und kompensierte Nachfrage bewegen sich in entgegen gesetzte Richtungen. Dies gilt auch für Giffen Güter! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

51 Einkommenseffekt x 2 x k x neu x alt EE SE x1 x k x1 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

52 Einkommenseffekt Wir machen die Parallelverschiebung der neuen Budgetgerade wieder rückgängig. Dies entspricht einer Senkung des Einkommens ausgehend vom Punkt x k hin zum Punkt x. Durch diese Senkung des Einkommens fragt der Konsument von einem normalen Gut weniger nach. Die Verringerung der Nachfrage aufgrund des gesunkenen Einkommens heisst Einkommenseffekt (EE). Der EE stellt die reale Änderung der Kaufkraft dar. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

53 Slutzky Zerlegung Im Gegensatz zum SE sind EE und damit der Gesamteffekt (GE) nicht eindeutig. Die Richtung von EE und GE hängt davon ab, ob es sich um ein superiores oder inferiores Gut handelt, bzw. um ein normales oder ein Giffen Gut. Slutzky Zerlegung Die gedankliche Zerlegung des Effekts einer Preisänderung in SE und EE erlaubt uns, einen Zusammenhang zwischen superior und normal bzw. zwischen inferior und Giffen herzustellen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

54 Superiores Gut x 2 x k x neu x alt EE SE x1 x k x1 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

55 Superiores Gut Bei einem superioren Gut gehen SE und EE in die selbe Richtung: Durch die relative Erhöhung von p 1 gegenüber p 2 sinkt die Nachfrage von Gut 1 von x1 auf x 1 k. Dies ist der SE. Aufgrund der Senkung des Einkommens (Rückverschiebung der Budgetgeraden) sinkt die Nachfrage nach Gut 1 nochmals von x1 k auf x1. Dies ist der EE. Einkommen und Nachfrage gehen in die selbe Richtung: das Gut ist superior. GE: Aufgrund der Preiserhöhung sinkt die Nachfrage nach Gut 1. Das Gut ist normal. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

56 Superiores Gut Superiore Güter Jedes superiore Gut ist gleichzeitig normal. Die Umkehrung gilt nicht. Der SE ist negativ: Preis steigt Nachfrage sinkt. Der EE ist positiv: Einkommen sinkt Nachfrage sinkt ebenfalls. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

57 Normales, inferiores Gut x 2 x k x alt x neu EE x k 1 SE x 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

58 Normales, inferiores Gut Ist ein Gut gleichzeitig normal und inferior, so gilt: GE ist negativ: Aufgrund der Preiserhöhung sinkt die Nachfrage von x1 alt auf x1 neu. Daher ist das Gut normal. SE ist immer negativ: Nachfrage sinkt von x1 alt auf x1 k. EE verläuft entgegen gesetzt zum SE, d.h. Senkung des Einkommens bewirkt Erhöhung der Nachfrage von x1 k auf x neu 1. Wichtig: SE und EE gehen in verschiedene Richtungen und SE ist betragsmässig grösser als EE. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59

59 Giffen Gut Falls SE und EE in verschiedene Richtungen gehen, aber SE betragsmässig kleiner ist als EE, dann handelt es sich um ein Giffen Gut. Der GE ist dann positiv: Preissenkung bewirkt Erhöhung der Nachfrage. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 4. Vorlesungswoche 12. November / 59