Mathematische Methoden der VWL Kapitel 4: Theorie der Konsumentennachfrage

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1 Mathematische Methoden der VWL Kapitel 4: Theorie der Konsumentennachfrage Till Stowasser Klaus Schmidt, 2001 / Till Stowasser, 2014 LMU, Wintersemester 2014/ / 64

2 Syllabus Syllabus 4.1 Einführung 4.2 Nutzenmaximierung und die Marshallsche Nachfrage 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage 4.5 Die Ausgabenfunktion 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung 4.7 Die Slutsky-Gleichung 2 / 64

3 4.1 Einführung 4.1 Einführung In diesem Kapitel lernen wir keine neuen mathematischen Methoden kennen. Stattdessen beschäftigen wir uns mit der klassischen Nachfragetheorie, bei der wir alles, was wir bisher an Methoden gelernt haben, noch einmal anwenden und in Aktion sehen können. Gleichzeitig ist die Theorie der Konsumentennachfrage eine wichtige Grundlage für viele Probleme in der Finanzwissenschaft, der allgemeinen Gleichgewichtstheorie und der Außenhandelstheorie. 3 / 64

4 4.2 Nutzenmaximierung und die Marshallsche Nachfrage 4.2 Nutzenmaximierung und die Marshallsche Nachfrage Das Nutzenmaximierungsproblem (NMP) des Konsumenten Das NMP des Konsumenten besteht aus der Maximierung der Nutzenfunktion max x 1,...,x n u(x 1,..., x n ) unter der Nebenbedingung n p i x i = m, i = 1,..., n i=1 Wir nehmen an, dass die Nutzenfunktion des Konsumenten streng monoton steigend und strikt quasikonkav ist. Dann folgt aus Theorem 2.2 dass die Bedingungen erster Ordnung des zugehörigen Lagrange-Problems notwendig und hinreichend für die optimale Lösung sind. 4 / 64

5 4.2 Nutzenmaximierung und die Marshallsche Nachfrage Die Marshallsche Nachfragefunktion Auflösen der oben erwähnten BEO nach x 1,..., x n und λ gibt uns die optimale Konsumentscheidung des Konsumenten in Abhängigkeit von Preisen und Einkommen: x i = x i (p, m), i = 1,..., n Wir nennen xi (p, m) die Marshallsche Nachfragefunktion des Konsumenten und bezeichnen sie im folgenden als D i (p, m), mit i = 1,..., n. 5 / 64

6 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Bildung der Indirekten Nutzenfunktion Wenn wir die Marshallsche Nachfrage wieder in die Nutzenfunktion einsetzen, erhalten wir eine Wertfunktion, nämlich: u(x 1,..., x n ) = u(d 1 (p, m),..., D n (p, m)) v(p, m) Diese Funktion v(p, m) wird Indirekte Nutzenfunktion genannt. Sie gibt den höchsten Nutzen an, der bei gegebenen Preisen p und Einkommen m erreichbar ist. 6 / 64

7 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Komparativ-statische Eigenschaften Jede Indirekte Nutzenfunktion hat die folgenden drei komparativstatischen Eigenschaften: Theorem (4.1 Eigenschaften der Indirekten Nutzenfunktion) Die Indirekte Nutzenfunktion ist 1 homogen vom Grade 0 in (p, m), Formal: v(kp 1,..., kp n, km) = k 0 v(p 1,..., p n, m) 2 nicht steigend in p i, Formal: v p i 0 3 steigend in m. Formal: v m > 0 7 / 64

8 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Intuition für Eigenschaft 1 8 / 64

9 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Intuition für Eigenschaft 2 9 / 64

10 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Intuition für Eigenschaft 3 10 / 64

11 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Roys Identität Von besonderem Interesse ist die zweite Eigenschaft, die wir nun konkretisieren und der wir ein eigenes Theorem widmen: Theorem (4.2 Roys Identität) v (p, m) = D i (p, m) v (p, m) p i m In Worten: Die Ableitung der Indirekten Nutzenfunktion nach p i ist betragsmäßig gleich dem Produkt aus der Nachfrage nach Gut i und dem Grenznutzen des Einkommens. 11 / 64

12 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Beweis Der Beweis ist eine einfache Anwendung des Envelope Theorems: v (p, m) p i = L p i = λx i (p, m) Außerdem folgt ebenfalls aus dem Envelope Theorem: v (p, m) m = L m = λ (Woher kennen Sie dieses Resultat bereits?) Einsetzen und verwenden von x i (p, m) = D i(p, m) ergibt: q.e.d. v (p, m) = D i (p, m) v (p, m) p i m 12 / 64

13 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Intuition Wie verändert sich der maximale Nutzen, wenn p i um dp i steigt? Die Preiserhöhung verringert das Einkommen des Konsumenten, das für sonstige Güter zur Verfügung steht, in erster Näherung um dp i xi. Im Optimum ist der Grenznutzen pro Geldeinheit in allen Verwendungsarten gleich groß und gleich dem Grenznutzen einer zusätzlichen (marginalen) Einkommenseinheit: dv dm Also entspricht der direkte Nutzenverlust dem Produkt aus der Einkommenssenkung ( dp i xi ) und dem Grenznutzen des Einkommens ( dv dm ): dv = dp i x dv dv dp i = x i i dv dm dm 13 / 64

14 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Beachten Sie, dass eine Preiserhöhung auch dazu führt, dass der Konsument (normalerweise) weniger von Gut i und dafür mehr von den anderen Gütern konsumieren möchte. Roys Identität sagt, dass wir diese indirekten Effekte ignorieren können (Envelope-Theorem!). Das gilt aber nur bei marginalen Preisänderungen und wenn die Ausgangssituation ein Optimum gewesen ist. 14 / 64

15 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Praktische Anwendung von Roys Identität Roys Identität kann auch wie folgt geschrieben werden: v(p, m) v(p, m) D i (p, m) = / p i m Dies ist also ein alternativer Weg, um die Marshallsche Nachfragefunktion zu berechnen. Wenn die Indirekte Nutzenfunktion bekannt ist, ist es viel leichter die Marshallsche Nachfrage auf diese Weise zu bestimmen als über die Maximierung der (direkten) Nutzenfunktion zu gehen. 15 / 64

16 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Beispiel: Cobb-Douglas Nutzenfunktion Funktionale Form: u(x 1, x 2 ) = x α 1 x 1 α 2 mit α (0, 1) Diese Nutzenfunktion ist äquivalent zu (warum?): ũ(x 1, x 2 ) = α ln x 1 + (1 α) ln x 2 Lösung des NMP ergibt die Marshallschen Nachfragefunktionen: D 1 (p 1, p 2, m) = x 1 = αm D 2 (p 1, p 2, m) = x 2 = p 1 (1 α)m p 2 16 / 64

17 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion Die Indirekte Nutzenfunktion lautet: [ ṽ(p 1, p 2, m) = ln α α (1 α) 1 α] + ln m α ln p 1 (1 α) ln p 2 Wenn wir den Nutzen wieder in Einheiten der ursprünglichen Nutzenfunktion messen wollen, müssen wir die Indirekte Nutzenfunktion retransformieren und erhalten: v(p 1, p 2, m) = eṽ(p 1,p 2,m) = α α (1 α) 1 α m p α 1 p1 α 2 Übungsaufgaben: Zeigen Sie, dass auch diese Indirekte Nutzenfunktion die Eigenschaften aus Theorem 4.1 erfüllt. Berechnen Sie D i (p 1, p 2, m) mit Hilfe von Roys Identität.. 17 / 64

18 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion 18 / 64

19 4.3 Die Indirekte Nutzenfunktion 19 / 64

20 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage Bisher haben wir das Nutzenmaximierungsproblem (NMP) des Konsumenten betrachtet: Maximiere die Nutzenfunktion unter der Nebenbedingung: max x 1,x 2,...,x n u(x 1, x 2,..., x n ) n p i x i m, i=1 i = 1,..., n Jetzt betrachten wir die gleiche Konsumentenscheidung aus einer anderen Perspektive und fragen: Wie kann der Konsument seine Ausgaben minimieren, um ein gegebenes Nutzenniveau zu erreichen. 20 / 64

21 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage Das Ausgabenminimierungsproblem (AMP) des Konsumenten Das AMP des Konsumenten besteht aus der Minimierung der Ausgaben n p i x i, i = 1,..., n min x 1,x 2,...,x n i=1 unter der Nebenbedingung, dass mindestens der Reservationsnutzen ū erreicht wird: u(x 1, x 2,..., x n ) ū 21 / 64

22 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage Nutzenmaximierung vs. Ausgabenminimierung Das AMP ist das duale Problem zum NMP. In beiden Problemen geht es darum, die vorhandenen Ressourcen so effizient wie möglich einzusetzen: NMP: das vorhandene Budget soll zu einem möglichst hohen Nutzen führen. AMP: der vorgegebene Nutzen soll möglichst kostengünstig erreicht werden. Aber: Die beiden Probleme vertauschen die Rolle von Zielfunktion und Nebenbedingung. NMP: Zielfunktion=Nutzen, NB=Budget AMP: Zielfunktion=Budget, NB=Nutzen 22 / 64

23 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage Wir werden sehen, dass beide Probleme letztlich äquivalent sind. Dennoch ist es extrem nützlich, mit beiden Problemen nebeneinander zu arbeiten. Das NMP ergibt die Marshallsche Nachfragefunktion: D(p, m) die Indirekte Nutzenfunktion: v(p, m) Das AMP ergibt die Hickssche Nachfragefunktion: H(p, ū) die Ausgabenfunktion: m(p, ū) 23 / 64

24 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage Exkurs: Dualitätstheorie Es gibt viele Paare von Problemen, die formal sehr ähnlich sind, sich aber dadurch unterscheiden, dass die Rolle von Nebenbedingung und Zielfunktion vertauscht sind. Beispiel: Gewinnmaximierung versus Kostenminimierung. Die Dualitätstheorie beschreibt allgemein die formalen Beziehungen zwischen solchen primalen und dualen Problemen. Mehr dazu in Kapitel / 64

25 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage Lösung des AMP Das Kuhn-Tucker-Minimierungsproblem lautet: min x 1,x 2,...,x n n p i x i, i=1 i = 1,..., n unter der Nebenbedingung: u(x 1, x 2,..., x n ) ū Diese Nebenbedingung muss im Optimum binden. (Warum?) Zur Vereinfachung ignorieren wir hier die Möglichkeit einer Randlösung (sprich: wir ignorieren die NNB). 25 / 64

26 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage Somit ist der Lagrange-Ansatz anwendbar. Allerdings liegt das Optimierungsproblem nicht in Standardform vor, weswegen die Lagrangefunktion angepasst werden muss (Situation 3): n L = p i x i + λ[u(x 1, x 2,..., x n ) ū] i=1 Die Bedingungen 1. Ordnung lauten: L = p 1 + λ u = 0 x 1 x 1... L = p n + λ u = 0 x n x n L λ = ū + u(x 1,..., x n ) = 0 26 / 64

27 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage Aus den BEO folgt unmittelbar: p 1 u 1 = = p n u n = λ bzw.: p i p j = u i u j Das ist dieselbe Tangential-Bedingung wie im NMP: die Grenzrate der Substitution muss gleich dem Preisverhältnis sein. Die (eindeutige) Lösung x des Ausgabenminimierungsproblems ist eine stetige Funktion von p und ū: x i = H i (p, ū) 27 / 64

28 4.4 Ausgabenminimierung und die Hickssche Nachfrage Die Hickssche Nachfragefunktion Die Funktion H i (p, ū) wird auch Hickssche Nachfragefunktion oder kompensierte Nachfragefunktion genannt. H j (p,ū) p i gibt an, wie sich die Nachfrage nach Gut j bei einer marginalen Erhöhung von p i verändert, wenn wir das Einkommen des Konsumenten so kompensieren, dass er wieder das alte Nutzenniveau ū erreichen kann. Insbesondere misst H i (p,ū) p i den (eigenen) Substitutionseffekt einer Preisänderung. Mehr dazu in Kapitel / 64

29 4.5 Die Ausgabenfunktion 4.5 Die Ausgabenfunktion Bildung der Ausgabenfunktion Auch im AMP gibt es eine Wertfunktion. Man erhält sie, indem man die optimalen Konsummengen x = x 1,..., x n in die Zielfunktion einsetzt, nur dass es sich bei x um die Hicksschen (und nicht die Marshallschen) Nachfragefunktionen handelt: n i=1 p i x i = n p i H i (p, ū) m(p, ū) i=1 Diese Funktion m(p, ū) wird Ausgabenfunktion genannt. Sie beziffert die minimalen Ausgaben, die bei Preisen p notwendig sind, um das Nutzenniveau ū zu erreichen. 29 / 64

30 4.5 Die Ausgabenfunktion Komparativ-statische Eigenschaften Jede Ausgabenfunktion hat die folgenden drei komparativstatischen Eigenschaften: Theorem (4.3 Eigenschaften der Ausgabenfunktion) Die Ausgabenfunktion m( p, ū) ist 1 homogen vom Grade 1 in p Formal: m(kp 1,..., kp n, ū) = k 1 m(p 1,..., p n, ū) 2 nicht-fallend in p i Formal: m p i 0 3 steigend in ū Formal: m ū > 0 30 / 64

31 4.5 Die Ausgabenfunktion Intuition für Eigenschaft 1 31 / 64

32 4.5 Die Ausgabenfunktion Intuition für Eigenschaft 2 32 / 64

33 4.5 Die Ausgabenfunktion Intuition für Eigenschaft 3 33 / 64

34 4.5 Die Ausgabenfunktion Shephards Lemma Von besonderem Interesse ist erneut die zweite Eigenschaft, die wir nun konkretisieren und der wir ein eigenes Theorem widmen: Theorem (4.4 Shephards Lemma) m(p, ū) p i = H i (p, ū) In Worten: Die Ableitung der Ausgabenfunktion nach p i ist gleich der Hicksschen Nachfrage nach Gut i. 34 / 64

35 4.5 Die Ausgabenfunktion Beweis Der Beweis ist erneut eine einfache Anwendung des Envelope Theorems. Allerdings muss hier wegen des Vorliegens von Situation 3 die Tatsache berücksichtigt werden, dass die Lagrangefunktion mit -1 durchmultipliziert wurde. Diese Transaktion muss rückgängig gemacht werden, da das ET für die Lagrange-Funktion in Standardform gilt: dm(p, ū) dp i = L p i = x i (p, ū) = H i (p, ū) q.e.d. 35 / 64

36 4.5 Die Ausgabenfunktion Intuition Wie verändern sich die minimalen Ausgaben, wenn p i um dp i steigt? Normalerweise würde die Preiserhöhung dazu führen, dass der Konsument weniger von Gut i und dafür mehr von den anderen Gütern konsumieren möchte, wodurch die Veränderung der minimalen Ausgaben komplexer wäre: dm(p, ū) dp i = H i (p, ū) + n k=1 p k dh k (p, ū) dp i Shephards Lemma sagt, dass wir diese indirekten Effekte ignorieren können (Envelope-Theorem!). 36 / 64

37 4.5 Die Ausgabenfunktion Beispiel: Getränkekonsum beim Fußballschauen Angenommen, ein Konsument konsumiert im Optimum 3 Fässer Bier zum Preis von je 10. Jetzt steige der Preis pro Fass um 0,01. Shephards Lemma sagt, dass die minimalen Ausgaben des Konsumenten, um nach der Preisänderung sein altes Nutzenniveau halten zu können, approximativ um steigen müssen. dm = H i dp i = 3 0, 01 = 0, 03 Solange die Preisänderung sehr klein ist, müssen wir nicht berücksichtigen, dass der Konsument bei einer Preisänderung Bier durch andere Getränke substituieren wird. Bei größeren Preisänderungen müssen diese indirekten Effekt aber zusätzlich berücksichtigt werden. 37 / 64

38 4.5 Die Ausgabenfunktion Praktische Anwendung von Shephards Lemma Shephards Lemma ist ein ein alternativer Weg, um die Hickssche Nachfragefunktion zu berechnen. Wenn die Ausgabenfunktion bekannt ist, ist es viel leichter die Hickssche Nachfrage auf diese Weise zu bestimmen als über die Lösung des AMP zu gehen. 38 / 64

39 4.5 Die Ausgabenfunktion Beispiel: Cobb-Douglas Nutzenfunktion Funktionale Form: u(x 1, x 2 ) = x α 1 x 1 α 2 mit α (0, 1) Lösung des AMP ergibt die Hicksschen Nachfragefunktionen: H 1 (p 1, p 2, ū) = x 1 = H 2 (p 1, p 2, u) = x 2 = ( ) α p 1 α 2 ū 1 α p 1 ( ) α p α 2 ū 1 α p 1 Was fällt Ihnen auf, wenn Sie diese Hicksschen Nachfragefunktionen mit den Marschallschen Nachfragefunktionen aus Kapitel 4.3 vergleichen? (Mehr dazu in Kapitel 4.7.) 39 / 64

40 4.5 Die Ausgabenfunktion Die Ausgabenfunktion lautet: m(p 1, p 2, ū) = [ α α (1 α) α 1] p α 1 p 1 α 2 ū Hausaufgabe (Übungsblatt VII, Aufgabe 1): Zeigen Sie, dass auch diese Ausgabenfunktion die Eigenschaften aus Theorem 4.3 erfüllt. Berechnen Sie H i (p 1, p 2, ū) mit Hilfe von Shephards Lemma. Invertieren Sie die Ausgabenfunktion m(p 1, p 2, ū), so dass Sie ū(p 1, p 2, m) erhalten. Was fällt Ihnen auf? 40 / 64

41 4.5 Die Ausgabenfunktion 41 / 64

42 4.5 Die Ausgabenfunktion 42 / 64

43 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung 4.6 Dualität von NMP und AMP Wie bereits erwähnt, beschreiben das NMP und das AMP ein und dasselbe Konsumentenproblem aus unterschiedlichen Perspektiven. NMP: Maximiere Nutzen mit gegebenem Budget AMP: Minimiere Ausgaben bei gegebenem Mindest-Nutzen Das hat zur Folge, dass beide Ansätze äquivalent sind und unter bestimmten Voraussetzungen zu den gleichen Ergebnissen führen. Insbesondere müssen die Parameter so gewählt werden, dass das NMP und das AMP die gleiche Umwelt beschreiben. Dies wird insbesondere in der folgenden graphischen Analyse deutlich. 43 / 64

44 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Graphischer Vergleich von NMP und AMP NMP AMP x 2 x 2 0 x 1 0 x 1 44 / 64

45 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Dualitäts-Theorem Theorem (4.6 Dualität von NMP und AMP) Betrachten Sie einen Konsumenten, der Preisen p gegenübersteht. Dann gilt: 1 Wenn x sein NMP bei Einkommen m löst, dann ist x gleichzeitig das optimale Güterbündel in seinem AMP, wenn der zu erreichende Nutzen ū = u(x ) ist. Außerdem sind die minimalen Ausgaben in diesem AMP genau m. 2 Wenn x sein AMP beim zu erreichenden Nutzenniveau ū löst, dann ist x gleichzeitig das optimale Güterbündel in seinem NMP, wenn das verfügbare Einkommen i p ixi ist. Außerdem ist der maximale Nutzen in diesem NMP genau ū. 45 / 64

46 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Identitäten im dualen Problem Da das NMP und das AMP äquivalent sind, müssen die folgenden Identitäten erfüllt sein: 1 m(p, v(p, m)) m Die (endogenen) minimalen Ausgaben zur Erreichung des Nutzens ū = v(p, m) sind gleich dem (exogenen) Budget m aus dem NMP. 2 v(p, m(p, ū)) ū Der (endogene) maximale Nutzen aus dem Einkommen m=m(p, ū) ist gleich dem (exogenen) Mindest-Nutzen ū aus dem AMP. 3 H i (p, v(p, m)) D i (p, m) Die Marshallsche Nachfrage beim Einkommen m ist gleich der Hicksschen Nachfrage beim Nutzen ū = v(p, m). 4 D i (p, m(p, ū)) H i (p, ū) Die Hickssche Nachfrage beim Nutzen ū ist gleich der Marshallschen Nachfrage beim Einkommen m = m(p, ū). 46 / 64

47 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Beispiel: Cobb-Douglas Nutzenfunktion Zeigen Sie für den Cobb-Douglas-Fall: 1) m(p, v(p, m)) m 2) v(p, m(p, ū)) ū 3) H i (p, v(p, m)) D i (p, m) 4) D i (p, m(p, ū)) H i (p, ū) 47 / 64

48 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Zu 1) m(p, v(p, m)) m 48 / 64

49 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Zu 2) v(p, m(p, ū)) ū 49 / 64

50 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Zu 3) H i (p, v(p, m)) D i (p, m) 50 / 64

51 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Zu 4) D i (p, m(p, ū)) H i (p, ū) 51 / 64

52 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Beziehung Indirekte Nutzenfunktion und Ausgabenfunktion Die Indirekte Nutzenfunktion ist streng monoton steigend im Einkommen. Gleichzeitig ist die Ausgabenfunktion streng monoton steigend im Nutzen. Man kann von beiden Wertfunktionen die Umkehrfunktion bilden und erhält dadurch die jeweilig andere Wertfunktion: v(p, m) 1 = m(p, v) m(p, ū) m(p, ū) 1 = ū(p, m) v(p, m) Beide Funktionen enthalten exakt dieselbe Information wie die direkte Nutzenfunktion aus der sie abgeleitet worden sind. Also können wir jede der drei Funktionen verwenden, um die Präferenzen des Konsumenten zu beschreiben. Dass dieser Zusammenhang auch im Cobb-Douglas-Fall gilt, haben wir bereits auf Folie 42 gesehen. 52 / 64

53 4.6 Dualität von Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung Übersicht der Beziehungen zwischen NMP und AMP NMP AMP D(p,m) H(p,u) v(p,m) m(p,u) 53 / 64

54 4.7 Die Slutsky-Gleichung 4.7 Die Slutsky-Gleichung Wir haben in Kapitel 4.6 gelernt, dass die Marshallsche und die Hickssche Nachfrage identisch sind, wenn das NMP und das AMP dual definiert sind: Preise im NMP = Preise im AMP Exogenes Budget im NMP = Minimale Ausgaben im AMP Exogener Mindest-Nutzen im AMP = Maximaler Nutzen im NMP Abseits dieses dual definierten Punktes sind die Marshallsche und die Hickssche Nachfragefunktionen in der Regel jedoch nicht gleich! Insbesondere unterscheiden sich die beiden Nachfragefunktionen darin, wie sich x i verändert, wenn sich p j verändert (Komparative Statik): D i (p,m) p j H i (p,ū) p j 54 / 64

55 4.7 Die Slutsky-Gleichung Die Slutsky-Gleichung Die Beziehung zwischen Marshallscher und Hicksscher Nachfrage, wenn sich einer der Güterpreise verändert, wird durch die sogenannte Slutsky-Gleichung beschrieben: Theorem (Slutsky-Gleichung) Für alle (p, m) und alle ū = v(p, m) gilt: D i (p, m) = H i(p, ū) D j (p, m) D i p j p j m Das bedeutet, dass die Veränderung der Marshallschen Nachfrage gleich der Veränderung der Hicksschen Nachfrage ist, abzüglich des Terms D j (p, m) D i m. 55 / 64

56 4.7 Die Slutsky-Gleichung Beweis Ausgehend von einem dual formulierten Punkt gilt die Identität H i (p, ū) D i (p, m(p, ū)). Wenn wir beide Seiten nach p j differenzieren (Kettenregel beachten!), ergibt sich für beliebige i, j = 1,..., n: H i p j = D i + D i m p j m p j Unter Verwendung von Shephards Lemma gilt: H i p j = D i p j + D i m H j(p, ū) 56 / 64

57 4.7 Die Slutsky-Gleichung Die erneute Berücksichtigung der Identität H i (p, ū) D i (p, m) im Ausgangspunkt führt zu: D i p j = H i D j (p, m) D i p j m q.e.d. 57 / 64

58 4.7 Die Slutsky-Gleichung Intuition: Die Slutsky-Zerlegung (nach Hicks) Betrachten wir einfachheitshalber den Fall i = j, d.h. den Effekt einer Veränderung des Eigenpreises eines Gutes: D i p i = H i D i D i p i m Wenn sich der Preis eines Gutes erhöht, hat dies zwei simultan wirkende Effekte auf die (Marshallsche) Nachfrage: 1 Einen Substitutionseffekt (SE), der dadurch zustande kommt, dass sich das relative Preisverhältnis verändert. 2 Einen Einkommenseffekt (EE), der dadurch zustande kommt, dass durch die Preiserhöhung von x i weniger verfügbares Einkommen für den Konsum der anderen Güter zur Verfügung steht (gegeben, dass man x i überhaupt konsumiert). Die Slutsky-Gleichung ermöglicht eine saubere analytische Zerlegung des Gesamteffekts in den SE und den EE. 58 / 64

59 4.7 Die Slutsky-Gleichung Der Substitutionseffekt (SE) In Relation zu x j wird x i teurer und somit unattraktiver. Der SE ist daher stets negativ, d.h., je höher der Preis eines Gutes, desto weniger möchte man davon kaufen. In der Slutsky-Gleichung wird der SE durch H i p i eingefangen. Grund: Hickssche Nachfrage = kompensierte Nachfrage. Zur Erinnerung: Die Hickssche Nachfrage gibt an, wie sich die Nachfrage nach x i bei einer marginalen Erhöhung von p i verändert, wenn wir das Einkommen des Konsumenten so kompensieren, dass er wieder das alte Nutzenniveau ū erreichen kann. Diese EK-Kompensation macht also exakt den EE rückgängig, der bei einer Preiserhöhung erfolgt. So kann per Definiton nur noch der SE übrig bleiben. In der Tat wurde die Hickssche Nachfrage von John R. Hicks dazu erdacht, den SE durch Herausrechnen des EE zu isolieren. Die Hickssche Nachfrage ist ein Gedankenexperiment und nicht beobachtbar. Die Marshallsche Nachfrage ist die echte, beobachtbare Nachfrage, die den Gesamteffekt (GE) misst. 59 / 64

60 4.7 Die Slutsky-Gleichung Der Einkommenseffekt (EE) Die Preiserhöhung von x i entspricht einem Einkommensverlust, da weniger verfügbares EK vorhanden ist, wenn man x i konsumiert. Der EE kann negativ, positiv oder Null sein, je nachdem ob die Nachfrage nach x i mit steigendem Einkommen fällt, steigt, oder konstant bleibt. D In der Slutsky-Gleichung wird der EE durch D i i m eingefangen. Das Vorzeichen und die relative Stärke des EE wird durch Di m bestimmt: Falls x i ein normales Gut ist, ist D i m Falls x i ein inferiores Gut ist, ist D i m Falls x i ein Subsistenzgut ist, ist D i m > 0 und der EE negativ. < 0 und der EE positiv. = 0 und der EE Null. Die absolute Stärke des EE wird zudem von D i beeinflusst: Je mehr man von dem Gut konsumiert, dessen Preis steigt, desto höher ist der Einkommensverlust. 60 / 64

61 4.7 Die Slutsky-Gleichung Der Gesamteffekt (GE) In der Slutsky-Gleichung bildet die Marshallsche Nachfrage über den GE ab, der sich additiv aus SE und EE zusammensetzt. D i p i GE = SE + EE Da das Vorzeichen des EE allgemein unbestimmt ist, ist auch das Vorzeichen des GE nicht immer eindeutig. Falls x i ein normales Gut (EE<0) ist, ist es auch ein gewöhnliches Gut (GE<0). Falls x i ein Subsistenzgut (EE=0) ist, ist es ebenfalls ein gewöhnliches Gut (GE<0). Falls x i ein schwach inferiores Gut (EE>0 & EE < SE ) ist, ist es ebenfalls ein gewöhnliches Gut (GE<0). Falls x i ein stark inferiores Gut (EE>0 & EE > SE ) ist, ist es allerdings ein Giffen-Gut (GE>0). 61 / 64

62 4.7 Die Slutsky-Gleichung Grafik: Die Slutsky-Zerlegung nach Hicks (Normales Gut) x 2 0 x 1 62 / 64

63 4.7 Die Slutsky-Gleichung Grafik: Marshallsche & Hickssche Nachfragen (Normales Gut) p 1 0 x 1 63 / 64

64 4.7 Die Slutsky-Gleichung Grafik: Marshallsche & Hickssche Nachfr. (Andere Güterarten) p 1 0 x 1 64 / 64