Roy s Identity. Bisher haben wir uns die Effekte von Einkommensänderungen angesehen. Nun widmen wir uns den Preisänderungen.

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1 Roy s Identity Bisher haben wir uns die Effekte von Einkommensänderungen angesehen. Nun widmen wir uns den Preisänderungen. Es gilt: U(f (p, W ))/ p j = λx j Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

2 Beweis U(f (p, W ))/ p j = ( U(x )/ x j ) x j / p j U(f (p, W ))/ p j = λ( x j ) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

3 Roy s Identity zeigt uns also, dass eine Änderung des Preises des Gutes j einen negativen Effekt hat (trivial) der dem Produkt aus Schattenpreis des Einkommens λ und der Menge x j entspricht. Intuition die Preiserhöhung wirkt wie eine Absenkung des (realen) Vermögens/Einkommens würde nur ein Gut j konsumiert werden, so wäre dieser Effekt eben λ dieser reale Einkommensverlust wirkt sich aber eben auf alle Güter j aus Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

4 Reiner Tausch Bisher haben wir uns das Problem eines Haushaltes angeschaut, der ein exogenes Einkommen hat. Wir haben nicht spezifiziert was dieses Einkommen ist oder woher dieses kommt. Können wir auf die Annahme eines exogenen Einkommens verzichten? Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

5 Die Antwort lautet: Ja. Nehmen wir an, dass ein Haushalt mit einem Gütervektor x = (x 1,.., x n ) ausgestattet ist. Das Vermögen des Haushaltes ist dann der Wert dieser Ausstattung: n j=1 p jx j Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

6 Vorteile des Vorgehens Verzicht auf eine exogene Größe allgemeiner Gleichgewichtscharakter der Analyse. Konzentration auf die Beschreibung des Tauschvorgangs zwischen Haushalten. Ableitung von Tauschkurven und Beschreibung des Gleichgewichts mit deren Hilfe. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

7 Das Maximierungsproblem maxˆx U(ˆx x) Nebenbedingung 1: p 1ˆx p nˆx n 0 Nebenbedingung(en) 2: ˆx i x i ˆx i := x i x i ist also die Nettonachfrage eines Haushaltes nach Gut i (bzw. das Nettoangebot, falls ˆx i < 0) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

8 Gegeben der Ausstattung wählt der Haushalt die Nettonachfrage nach den Gütern so, dass der Nutzen maximiert wird. Lagrange Funktion L = U(ˆx) λ(p 1ˆx p nˆx n ) + n j=1 ν j(ˆx j + x j ) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

9 Bedingungen erster Ordnung (foc) L/ ˆx j = U(x)/ x j ( x j / ˆx j ) λp j + ν j = 0 }{{} =1 λ(p 1ˆx p nˆx n ) = 0 ν j (ˆx j + x j ) = 0 λ 0 und ν j 0 Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

10 Die kombinierte Angebots- und Nachfrageentscheidung nennt man auch Tauschkurve (Offer Curve). Betrachten wir einen Haushalt, dann muss gelten: j p jx j = j p jx j Daraus folgt dann (ˆx j := x j x j ): j p j ˆx j = 0. Die Tauschbilanz eines Haushaltes muss also immer ausgeglichen sein. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

11 Bisher haben wir uns nur die Entscheidung eines Haushaltes angeschaut. In einem Gleichgewicht ist der Preisvektor natürlich endogen. Der Preisvektor muss sich nun so einstellen, dass die Summe der Nettonachfragen eines Gutes über alle Haushalte der aggregierten Ausstattung entspricht. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

12 Formal muss also gelten: Gleichgewicht k i=1 (ˆx j )i = k i=1 x j i wobei wir unterstellen, dass es k Haushalte gibt und das Superscript den Haushaltsindex darstellt. Der Preisvektor p muss sich also in einem Gleichgewicht so einstellen, dass alle Märkte geräumt werden. Es ist dabei natürlich nicht gesichert ob ein solcher Preisvektor überhaupt existiert und ob dieser eindeutig ist. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

13 Betrachten wir die Situation von 2 Haushalten, die 2 Güter tauschen. Wie bestimmt sich in diesem Fall das Gleichgewicht? Wir gehen in 2 Schritten vor: 1. Bestimmung der Form der Tauschkurve 2. Kombination der Tauschkurven der Haushalte Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

14 Es sei p := (p 1, p 2 ) ein beliebiger Preisvektor. gj i (p, x) ist dann die Nettonachfrage des Haushaltes i nach dem Gut j Es gilt (Nebenbedingung!), dass p 1 g i 1 (.) = p 2g i 2 (.) Der Fahrstrahl an die Tauschkurve entspricht also dem reziproken Preisverhältnis. (Warum?) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

15 Was passiert nun, wenn sich die Preise ändern? Steigung der Tauschkurve d(g i 1 (.)) = ( g i 1 (.)/ p 1)dp 1 + ( g i 1 (.)/ p 2)dp 2 d(g i 2 (.)) = ( g i 2 (.)/ p 1)dp 1 + ( g i 2 (.)/ p 2)dp 2 d(g i 1 (.)) d(g i 2 (.)) = ( g i 1 (.)/ p 1)dp 1 +( g i 1 (.)/ p 2)dp 2 ( g i 2 (.)/ p 1)dp 1 +( g i 2 (.)/ p 2)dp 2 Das Vorzeichen der Steigung (und damit auch die Form der Tauschkurve kann nicht so einfach bestimmt werden). Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

16 ˆx 2 1 = (ˆx 2 2) ˆx 1 1 = ( ˆx 2 1 ) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

17 In dem obigen Beispiel haben wir unterstellt, dass der Haushalt 1 das Gut 1 nachfragt und das Gut 2 anbietet. Die Argumentation für den umgekehrten Fall ist natürlich symmetrisch. In der Zeichnung haben wir angenommen, dass EIN Gleichgewicht existiert. Das Gleichgewichtige Preisniveau hängt von der Ausstattung der Haushalte ab. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

18 Das Allgemeine Gleichgewicht Die Darstellung des Modells mit reinem Tausch und die Diskussion bzgl. der gleichgewichtige Preise ist ein Ansatz Richtung Allgemeiner Gleichgewichtstheorie (AGT). Ein entscheidender Punkt fehlt jedoch: Produktion. Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Haushalte mit irgendeiner Menge Konsumgüter ausgestattet sind. Wir wollen nun explizit die Produktion der Firmen (also die Angebotsseite der Ökonomie) berücksichtigen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131

19 Das Allgemeine Gleichgewicht Haushalte Die Haushalte sind im Prinzip wie zuvor definiert. Einziger (marginaler) Unterschied: die Nutzenfunktion wird direkt über die Nettonachfrage definiert. Damit ist die Nettonachfragefunktion eines Haushaltes nur eine Funktion des Preisvektors. ˆx = g(p) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL April 27, / 131