Die Firmen maximieren den Gewinn durch Wahl von y unter der Nebenbedingung der Produktionsmöglichkeiten f (y) 0

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1 Firmen Die Situation der Firmen wird sehr allgemein (und gewöhnungsbedürftig) beschrieben. Von den n Gütern die in der Ökonomie existieren benutzen die Firmen einen Teil zur Produktion (also als Input) ein anderer Teil wird produziert. Das Nettoangebot eines Gutes j sei y j Der Gewinn ist Π = n j=1 p jy j Die Firmen maximieren den Gewinn durch Wahl von y unter der Nebenbedingung der Produktionsmöglichkeiten f (y) 0 Die Nettoangebotsfunktion einer Firma ist dann y = s(p) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

2 Überschussnachfragen Die Überschussnachfrage (bei Optimalverhalten der Haushalte und Firmen) nach einem Gut ist die Differenz zwischen aggregierter Nettonachfrage und aggregiertem Nettoangebot: z j = h xˆ i j f i=1 i=1 y i j Die Überschussnachfrage ist damit nur Funktion des Preisvektors: z j = z j (p). Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

3 Gesucht wird der Preisvektor, der zu einem simultanen Gleichgewicht in allen Märkten führt. Aber was ist ein Gleichgewicht in einem Markt? Allgemein sagen wir, dass ein Gleichgewicht in einem Markt eine Situation ohne Tendenz zur Preisänderung ist. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

4 Das Ausbleiben von Preisänderungen ist in 2 Situationen gegeben 1. die Überschussnachfrage in einem Markt ist Null zj = 0 2. das Angebot ist immer größer als die Nachfrage zj < 0, in diesem Fall ist der Preis p j = 0 Wir berücksichtigen also auch möglicherweise freie Güter. Dies ist wichtig wegen (a) Vollständigkeit und (b) die Natur der Güter kann sich ändern. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

5 Was wollen wir tun? Wir wollen beweisen, dass es gegeben der n Überschussnachfragen zj (p 1, p 2,.., p n ) einen Preisvektor gibt der zu einem Gleichgewicht in dem Sinn führt, dass die Überschussnachfrage(n) Null sind bzw. der Preis gleich Null ist. Beweis formal Wir wollen die Existenz eines Preisvektor p beweisen der folgenden Bedingungen genügt: zj (p ) 0, pj 0 und zj p j = 0 i Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

6 Der Beweis für die Existenz des allgemeinen Gleichgewichts ist sicherlich nicht trivial und rel. schwierig zu führen. Aber: die Existenz eines Gleichgewichts ist für die Ökonomie von fundamentaler Bedeutung. Ohne Sicherheit bzgl. der Existenz sind alle (modellbasierten) Politikempfehlungen reine Glasperlenspiele. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

7 Idee des Beweises Über das Optimalverhalten der Haushalte und Firmen ist jedem Preisvektor p ein Vektor z der Überschußnachfrage zugeordnet. Die Funktion der Überschussnachfrage ordnet also jedem Preisvektor eine Überschussnachfrage zu. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

8 z 2 z 1 z n p 1 p n p 2 Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

9 Idee des Beiweises II Wenn wir nun eine Abbildung (=Funktion) definieren, die jedem Überschussvektor einen Preisvektor zuordnet, dann haben wir im Prinzip eine Abbildung der Menge der Preisvektoren in sich selbst. Wenn aber die Menge der Preisvektoren gewisse Anforderungen erfüllt (dazu später mehr) dann können wir ein Fixpunkt Theorem anwenden. Dieser Fixpunkt sagt, dass bei der Abbildung der Preisvektor beim Start und beim Ziel identisch sind. Falls wir noch zeigen können, dass dies dann ein Gleichgewicht ist, so haben wir die Existenz bewiesen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

10 z 2 p 1 p 2 z 1 z n p n p 1 p n p 2 Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

11 Das Problem ist, dass der Fixpunktsatz nur für Mengen gilt, die beschränkt und geschlossen sind ( Rand gehört zur Menge und Distanz zwischen Elementen der Menge muss endlich sein). Die Menge der Preise ist aber nicht beschränkt und geschlossen. Jedoch kann die Menge P der Preisvektoren normiert werden. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

12 Die Normalisierung des Preise ist dabei denkbar einfach. Alle Preise eines Preisvektors werden durch den durchschnittlichen Preis des Preisvektors dividiert. Konkret: sei p = (p 1, p 2,..., p n ) dann transformieren wir p j = Der Preisvektor im obigen Beispiel ist dann p = ( p 1 j p, p 2 j j p,.., j p j j p j. p n j p j ) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

13 Durch die Normalisierung haben wir erreicht, dass der Preis p j [0, 1] ist. Damit ist aber die Menge der (transformierten) Preisvektoren P beschränkt und geschlossen. Auf diese modifizierte Menge können wir also den Fixpunktsatz anwenden. Aber was hilft uns das, denn die Überschussnachfragen z j Funktion der p j und nicht der p j, oder? sind eine Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

14 Die Überschussnachfragen sind der Dreh- und Angelpunkt. Wenn diese sich durch die Transformation ändern sind wir keinen Schritt weiter. Jedoch sind die Überschussnachfragen homogen vom Grade 0. Es gilt also z j = z j (p 1, p 2,.., p n ) = z j (λp 1, λp 2,.., λp n ) Da wir aber durch die Transformation nichts anderes gemacht haben (λ = j 1 p ) sind die Überschussnachfragen identisch. j Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

15 Die Überschussnachfragen weisen also jedem Element der Menge P ein Element der Menge Z zu. Wie definieren wir aber die Abbildung, die jedem Element Z ein Element von P zuordnet und zwar möglichst so, dass der sich ergebende Fixpunkt ein Gleichgewicht ist? Dies ist etwas schwieriger... Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

16 Betrachten wir folgende Abbildungsvorschrift (mit k j > 0: p j = max[0, p j + k jzj ] j max[0, p j + k jzj ] Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

17 Gegeben dieser (hypothetischen) Abbildungsvorschrift und der Tatsache, dass die Überschußnachfrage zj eine Funktion des Preisvektors p ist gilt, dass wir die Menge der Preisvektoren in sich selbst abbilden. Da die Menge beschränkt und geschlossen ist, können wir Brouwers Fixpunktsatz anwenden. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

18 Brouwers Fixpunktsatz (schlampig) Betrachten wir die Abbildung f einer beschränkten und geschlossenen Menge in sich selbst f : X X. Dann existiert (sicher!) ein x X, dass diese Abbildungsvorschrift erfüllt, d.h. x = f (x). Bildlich: es existiert ein x; wenn wir auf dieses die Vorschrift anwenden, dann erhalten wir wieder exakt das gleiche x. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

19 Auf unser Problem bezogen bedeutet das: Es existiert ein Preisvektor p, der sowohl der Überschussnachfrage als auch der obigen Abbildungsvorschrift genügt. Es gilt also p j = max[0,p j +k j z j (p )] j max[0,p j +k j z j (p )]. Wir müssen nur noch zeigen, dass dieser Fixpunkt auch wirklich das Gleichgewicht ist. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

20 Bei der Abbildung können wir zwei Situationen unterscheiden (wegen des max Operators): 1. Güter für die gilt p j = Güter für die gilt p j > 0. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

21 Im ersten Fall gilt 0 + k j zj < 0, d.h. die Güter deren Überschussnachfrage negativ ist (frei Güter) haben im Fixpunkt einen Preis von Null. Schauen wir uns nun die verbleibenden Güter an, deren Überschussnachfrage nicht Null ist. Bezeichnen wir die Menge dieser Güter mit l n Wie sieht diese im Fixpunkt aus? Da wir uns auf den Fall p j 0 und z j den max Operator weglassen. 0 fokussieren können wir Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

22 Aus der Abbildungsvorschrift gilt dann p j = p j +k j z j (p ) j p j +k j z j. Multiplizieren wir beide Seiten mit z j so ergibt sich p j z j = p j z j +k j (z j ) 2 j p j +k j z j (p ) Summieren wir schließlich über alle l Güter, so gilt: j l p j z j = j l p j z j +k j (z j ) 2 j p j +k j z j (p ) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

23 Aus dem Walrasianischen Gesetz gilt, dass j p j zj = 0, somit gilt aber erste Recht, dass j l p j zj = 0 (für alle j l ist der Preis Null!). Somit muss also gelten, dass für die Überschussnachfragen, die im Fixpunkt nicht negativ sind folgendes gelten muss j l k j(zj )2 = 0 Dies kann aber eben nur erfüllt sein, wenn z j = 0 ist. der Fixpunktpreisvektor etabliert also ein Gleichgewicht! Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

24 Struktur des Beweis I Ausgangspunkt: Erkenntnis, dass im Gleichgewicht die Überschussnachfrage z Null oder negativ sein muss (Warum?). Normierung des Preisniveaus; möglich, weil z homogen vom Grade Null ist (Intuition?) Definition einer Abbildung; damit P P Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

25 Struktur des Beweis II Anwendung des Brouwerschen Fixpunktsatzes: es existiert immer ein Preisvektor, der die Abbildungsvorschrift erfüllt. Die zum Fixpunkt zugehörenden Überschussnachfragen sind entweder negativ oder Null (Walras Gesetz!). Der Fixpunktpreisvektor ist also ein Gleichgewicht Es existiert immer ein Gleichgewicht. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156

26 Wir haben gezeigt, dass in einer allgemeinen, interdependenten Ökonomie sicher ein Gleichgewicht existiert. Diese Erkenntnis ist entscheidend, wenn man mit dieser Art Modelle arbeitet. Jedoch ist dies noch nicht weitreichend genug. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL May 6, / 156