Von Skalarprodukten induzierte Normen

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1 Von Skalarprodukten induzierte Normen Niklas Angleitner 4. Dezember 2011 Sei ein Skalarproduktraum X,, gegeben, daher ein Vektorraum X über C bzw. R mit einer positiv definiten Sesquilinearform,. Wie aus der Funktionalanalysis bekannt, kann mit Hilfe der Cauchy- Schwarz-Ungleichung gezeigt werden, dass durch: x X : x : + x, x eine Norm auf X definiert wird. Neben dem Satz von Pythagoras und vielen weiteren interessanten Eigenschaften dieser Norm, erweist sich vor allem die sogenannte Parallelogramm-Regel als besonders nützlich: x, y X : x + y 2 + x y 2 2 x y 2. Starten wir nämlich mit einem normierten Raum X,, in dem eben diese Parallelogramm-Regel gilt, so lässt sich bereits die Existenz eines Skalarproduktes nachweisen, das die gegebene Norm induziert, d.h.: x X : x 2 x, x. Es ist dieser enge Zusammenhang zwischen normierten Vektorräumen und Vektorräumen mit Skalarprodukt das zugrundeliegende Thema dieser Arbeit.

2 1 Das Jordan/von Neumann-Theorem 1.1 Definition. Seien eine Norm und, ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum X. Wir sagen, dass von, induziert wird, falls gilt: x X : x 2 x, x 1.2 Definition. Sei X, ein normierter Raum über R oder C. Wir definieren die Parallelogramm-Regel wie folgt: x, y X : x + y 2 + x y 2 2 x y Satz. Jordan/von Neumann [JVN35] Sei X, ein normierter Raum über C, in dem die Parallelogramm-Regel aus Definition 1.2 gilt. Dann definiert die Polarformel x, y X : x, y : i k x + ik y 2 k0 x + y 2 x y 2 + i x + i y 2 x i y 2 ein Skalarprodukt auf X mit: x X : x, x x 2. Es wird also jede Norm, die die Parallelogramm-Regel erfüllt, von einem Skalarprodukt induziert. Beweis. Schritt 1: x X : x, x x 2 Wir berechnen: 4 x, x i k x + ik x 2 k0 i k 1 + i k 2 x 2 k0 4 x 2 Schritt 2: x X : x, x 0 und x, x 0 x 0 Folgt unmittelbar aus Schritt 1. Schritt 3: x, y X : y, x x, y Wir berechnen: 4 x, y x + y 2 x y 2 i x + i y 2 x i y 2 x + y 2 1 x y 2 i i x + i y 2 +i x i y 2 y + x 2 y x 2 + i y + i x 2 y i x 2 4 y, x 2

3 Schritt 4: x, y, z X : x + y + z 2 x + y 2 + x + z 2 + y + z 2 x 2 y 2 z 2 Wir berechnen unter mehrfacher Verwendung der Parallelogramm-Regel: x + y + z 2 2 x + y z 2 x + y z 2 x + y 2 + z 2 + x + y 2 + z 2 x + y z 2 PR. x + y 2 + z x + y + z 2 1 x + y z PR. x + y 2 + z x + z y 2 x y + z 2 1 x + y z 2 2 x + y 2 + x + z 2 + y 2 + z x y z 2 + x + y z 2 PR. x + y 2 + x + z 2 + y 2 + z 2 x 2 y z 2 PR. x + y 2 + x + z y + z y z 2 x 2 y z 2 x + y 2 + x + z y + z 2 x y z 2 PR. x + y 2 + x + z y + z 2 x y z 2 y + z 2 x + y 2 + x + z 2 + y + z 2 x 2 y 2 z 2 Schritt 5: x, y, z X : x + y, z x, z + y, z Wir berechnen unter Verwendung der in Schritt 4 gezeigten Formel und 3 k0 ik 0: 4 x + y, z i k x + y + ik z 2 k0 i k x + y 2 + x + ik z 2 + y + ik z 2 x 2 y 2 1 z 2 k0 0 + i k x + ik z 2 + k0 4 x, z + y, z i k y + ik z k0 Zu zeigen, dass, mit der skalaren Multiplikation verträglich ist, gelingt durch einfaches Umformen leider nicht. Wir wählen daher den folgenden, etwas umständlich anmutenden Weg über komplexe Zahlen mit rationalen Real- und Imaginärteilen: C Q : {a + i b a, b Q} Schritt 6: α C Q : α x, y α x, y Fall 1: α {0, 1}: Einsetzen in die Definition von, zeigt die Behauptung. Fall 2: α N 2 : Verwendung von Schritt 5 und vollständiger Induktion zeigt die Behauptung. Fall 3: α N: Wegen α α und 0 Fall 1 0 x, y α α x, y Schritt 5 α x, y + α x, y erhalten wir Fall 1/2 α x, y α x, y α x, y α x, y α x, y Fall 4: α 1 n für ein n N: 3

4 Die Gleichheit x, y n 1 n x, y Fall 1/2 n α x, y liefert bei Division durch n die Behauptung. Fall 5: α Q: Zusammensetzen der Fälle 1 bis 4 liefert die Behauptung. Fall 6: α i i Q: 4 α x, y i x + y 2 i x y 2 + i i x + i y 2 i x i y 2 i i x + y 2 i i x y 2 + i +i x + y 2 +i x y 2 i x + y 2 x y 2 + i x + i y 2 x i y 2 4 α x, y Fall 7: α C Q : Zusammensetzen der Fälle 1 bis 6 liefert die Behauptung. Um die Verträglichkeit von, mit der skalaren Multiplikation von C Q auf ganz C fortzusetzen, werden wir ein Approximations-Argument verwenden, für das wir aber zuerst die Cauchy-Schwarz sche Ungleichung benötigen. Wir dürfen diese Ungleichung natürlich noch nicht verwenden, da sie ja nur gilt, wenn schon bakannt ist, dass es sich bei, um ein Skalarprodukt handelt. Wir zeigen also: Schritt 7: x, y X : x, y x y Fall 1: y 0: Einsetzen in die Definition liefert die Behauptung. Fall 2: y 0: Es gilt: α C Q : 0 x α y 2 x α y, x α y x 2 2 Reα x, y + α 2 y 2 Da Q Q C Q dicht in R R C liegt, gibt es eine Folge α n n N C Q N n mit α n x,y. y 2 Gehen wir also in obiger Ungleichung zu den Grenzwerten über, so erhalten wir wegen der Stetigkeit der vorkommenden Ausdrücke: 0 lim x 2 2 Reα n x, y + α n 2 y 2 n 2 x 2 x, y x, y 2 Re 2 x, y + y y 2 y 2 x 2 2 Umstellen liefert nun die Behauptung. x, y 2 x, y 2 y 2 + y 2 Nun haben wir alle Eigenschaften beisammen, um die Verträglichkeit des potentiellen Skalarprodukts mit der skalaren Multiplikation auf dem gesamten Skalarkörper C nachzuweisen: Schritt 8: α C : α x, y α x, y Sei also α C. Wieder wegen der Dichtheit von C Q in C gibt es eine Folge α n n N C Q N mit n α n α. Wegen 0 α x, y α n x, y Schritt 5/6 α α n x, y Schritt 7 α α n x y n 0 4

5 gilt schließlich α x, y lim n α n x, y α x, y Wir haben also gezeigt, dass die Polarformel ein Skalarprodukt definiert, wenn nur die Gültigkeit der Parallelogramm-Regel aus Definition 1.2 gefordert wird. 1.4 Korollar. Sei X, ein normierter Raum über C. Dann sind äquivalent: : X [0, wird von einem Skalarprodukt, : X X C induziert U X mit dim U 2: U : U [0, wird von einem Skalarprodukt, U : U U C induziert Beweis. Schritt 1: Setze einfach, U :, U. Schritt 2: Wir zeigen unter der gemachten Voraussetzung die Gültigkeit der Parallelogramm-Regel aus Definition 1.2 und verwenden dann Satz 1.3. Sei also x, y X beliebig und U : span{x, y}. Fall 1: dim U 1: Es gilt daher y α x für ein α C und wegen 1+α α α 2 schon x + y 2 + x y α α 2 x 2 2 x y 2. Fall 2: dim U 2: Laut Voraussetzung gibt es also ein Skalarprodukt, U : U U C mit: z U : z 2 z, z U. Wir berechnen: x + y 2 + x y 2 x + y, x + y U + x y, x y U x 2 + x, y U + y, x U + y 2 + x 2 x, y U y, x U + y 2 2 x y 2 Es gilt also in beiden Fällen die Parallelogramm-Regel. 1.5 Bemerkung. Es sei hier ohne ausführlichen Beweis erwähnt, dass die Aussage des Jordan/von Neumann-Theorems, Satz 1.3, auch für normierte Vektorräume über dem Skalarkörper R gilt. Das Skalarprodukt ist in diesem Fall wie folgt zu definieren: x, y X : x, y : 1 4 x + y 2 x y 2 Insbesondere gilt daher auch die Aussage des Korollars 1.4 für normierte Vektorräume über R. 5

6 2 Das DeFigueiredo/Karlovitz-Theorem Wir werden im Beweis des hier vorgestellten Satzes von DeFigueiredo/Karlovitz, Satz 2.6, von folgenden Resultaten Gebrauch machen: 2.1 Lemma. Kakutani Sei X, ein normierter Raum über R mit dim X 3. Falls für jeden 2-dimensionalen Unterraum U X eine lineare Projektion P : X U mit P OP 1 existiert, so wird die Norm von einem Skalarprodukt induziert. Der Beweis dieser Aussage beruht auf Eigenschaften von Ellipsoiden, die weit vom gewählten Thema dieser Arbeit abschweifen und soll daher an dieser Stelle entfallen Lemma. Sei X, ein normierter Raum über R und U X ein Teilraum mit dim U <. Dann gilt: x X : u 0 U : x u 0 min x u u U Beweis. Sei u n n N U N eine Folge mit lim x u n inf x u. Wegen der Dreiecksungleichung gilt nun n u U u n x + x u n, insbesondere ist die Folge u n n N also beschränkt. Da U endlich-dimensional ist, erhalten wir nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß die Konvergenz einer Teilfolge von u n n N, o.b.d.a. können wir also die Konvergenz der Folge selbst gegen ein u 0 X annehmen. Endlich-dimensionale normierte Räume sind, wie aus der Funktionalanalysis bekannt, abgeschlossen, es gilt also sogar u 0 U. Wegen der Stetigkeit der Norm erhalten wir abschließend: x u 0 x lim n u n lim x u n inf n u U x u min x u u U 2.3 Lemma. Betrachte eine konvexe Funktion f : [a, b R mit a R, b R {+ } und fa ft, t [a, b. Dann ist f monoton steigend. Analog folgt für f : a, b] R mit a R { }, b R, konvex, aus fb ft, t a, b], auch bereits monotones Fallen. Beweis. Wir zeigen nur den Fall für monotones Steigen. Der zweite folgt dann analog. Sei x 1, x 2 [a, b mit a x 1 < x 2 < b, dann gilt x 1 1 t 1 a + t 1 x 2 für ein t 1 [0, 1. Wegen der Konvexität von f auf [a, x 2 haben wir somit: fx 1 f1 t 1 a + t 1 x 2 1 t 1 fa + t 1 fx 2 1 t 1 fx 2 + t 1 fx 2 fx 2 Des Weiteren wird es zweckmäßig sein, die folgende Definition einzuführen: 1 Der besonders interessierte Leser sei verwiesen an: S. Kakutani, Some characterizations of Euclidean space, Jap. J. Math. 16, 1939, p

7 2.4 Definition. Sei X, ein normierter Vektorraum über R. Wir definieren: X erfüllt P : für alle x, y X\{0} mit x y ist die Funktion φ, x, y : R [0, : λ x λ y auf, 1] streng monoton fallend und auf [1, + streng monoton steigend 2.5 Bemerkung. Die Funktion φ, x, y aus Definition 2.4 ist als Zusammensetzung stetiger Funktionen selbst stetig und weiters auch konvex: λ 1 λ 2 R, t [0, 1] : φ1 t λ 1 + t λ 2, x, y x 1 t λ 1 + t λ 2 y 1 t x + t x 1 t λ 1 + t λ 2 y 1 t x 1 t λ 1 y + t x t λ 2 y 1 t φλ 1, x, y + t φλ 2, x, y 2.6 Satz. DeFigueiredo/Karlovitz [dfk67] Sei X, ein normierter Raum über R mit dim X 3. Wir definieren die Abbildung: Dann sind äquivalent: X X { T : x für x 1 x x x für x > 1 wird von einem Skalarprodukt, induziert x, y X : T x T y x y, d.h. T ist nicht-expansiv Beweis. Schritt 1: X erfüllt P T ist nicht-expansiv Wir beginnen mit der Richtung : Seien also x, y X, dann können wir drei Fälle unterscheiden: Fall 1: x, y 1: T x T y x y Fall 2: x 1 < y : Der Fall x 0 liefert sofort die Behauptung, d.h. wir können x 0 annehmen. Die Vektoren x und x y y sind somit ungleich 0 und haben gleiche Norm. Wir können daher die zugehörige Funktion φ, x, x y y 7

8 laut Definition 2.4 verwenden: T x T y x y y φ 1 x, x, x y y Monot. auf [1,+ φ y x, x, x y y x y Fall 3: 1 x y : Die Vektoren 1 x x und 1 y y sind ungleich 0 und haben gleiche Norm. Wir können also wieder die 1 zugehörige Funktion φ, x x, 1 y y aus Definition 2.4 verwenden: T x T y x x y 1 φ1, x x, 1 y y Monot. auf [1,+ φ y x, 1 x x, 1 y y 1 x y x x y Es folgt also aus der Eigenschaft P die Nicht-Expansivität von T. Nun folgt der Beweis der Rückrichtung : Seien also x, y X\{0} mit x y und φ, x, y die zugehörige Funktion laut Definition 2.4. Wegen α φ, x, y φ, α x, α y, α R hängt das nun zu untersuchende Monotonie-Verhalten von φ, x, y nicht vom tatsächlichen Wert von x y ab. Wir können daher o.b.d.a. annehmen, dass x y 1. Laut Lemma 2.3 brauchen wir für die Monotonie von φ, x, y auf [1, + nur mehr φ1, x, y φλ, x, y, λ [1, + zeigen. Dazu verwenden wir die vorausgesetzte Nicht-Expansivität von T : λ [1, + : φ1, x, y x y y 1 x λ y λ y λ y λ 1 T x T λ y n.exp. x λ y φλ, x, y Eine analoge Rechnung zeigt auch, dass φ, x, y auf, 1] monoton fällt. Zum Abschließen des Beweises benötigen wir nun noch streng monotones Steigen auf [1, + bzw. Fallen auf, 1]. Wir zeigen nur streng monotones Steigen auf [1, +, der zweite Teil kann analog bewiesen werden. Ein Widerspruchs-Beweis führt hier zum Ziel: Sei also λ 0 1, + mit φλ, x, y φ1, x, y, λ [1, λ 0 ]. Alle anderen Widerspruchs-Annahmen können wegen der Konvexität von φ, x, y sofort ausgeschlossen werden. 8

9 Wir betrachten zα : α x + 1 α y, α 0, 1 und berechnen: zα φ1, x, zα x zα zα zα α x 1 α y zα zα α zα x 1 α zα α y 1 α 1 α φ, x, y zα zα α 1 α φ1, x, y zα zα α Wegen lim α 0 zα 1 > 0 kann hier für hinreichend kleine α der Betrag weggelassen werden. 1 α Wegen lim α 0 zα α 1 und der angenommenen Konstantheit von φ, x, y auf [1, λ 0] stimmt diese Gleichheit für alle hinreichend kleinen α. Wir berechnen weiters für δ > 0: φ1 + δ, x, Wegen lim weggelassen werden. Wegen lim zα zα zα 1+δ α δ 0 zα δ 0 1+δ 1 α zα 1+δ α zα α zα 1 + δ zα x zα zα 1 + δ α x 1 + δ 1 α y zα zα 1 + δ α 1 + δ 1 α zα x zα 1 + δ α y 1 + δ α 1 + δ 1 α 1 φ, x, y zα zα 1 + δ α 1 φ1, x, y 1 + δ α zα und kann hier für hinreichend kleine α und δ der Betrag 1 α zα α und stimmt diese Gleichheit für alle hinreichend kleinen α und δ. Zusammensetzen der beiden Gleichungen liefert für hinreichend kleine α und δ: zα φ1 + δ, x, zα 1 + δ α 1 φ1, x, y < 1 α zα zα φ1, x, y φ1, x, zα zα Seien im Folgenden α und δ derart gewählt, dass obige Ungleichung gilt. Nun können wir aber genauso, wie wir es schon für φ, x, y gemacht haben aus der Nicht-Expansivität von T auf das monotone Steigen von φ, x, auf [1, + schließen. Damit ergibt sich der gesuchte Widerspruch. zα zα Schritt 2: wird von einem Skalarprodukt, induziert X erfüllt P Wir beginnen mit der Richtung : Seien also x, y X\{0} mit x y. Wir zeigen, dass die Funktion φ, x, y aus Definition 2.4 auf [1, + streng monoton steigt. Das zu zeigende Monotonie-Verhalten auf, 1] sieht man auf ähnliche Weise. 9

10 Für 1 λ 1 < λ 2 gilt: φλ 2, x, y 2 φλ 1, x, y 2 x λ 2 y 2 x λ 1 y 2 x λ 2 y, x λ 2 y x λ 1 y, x λ 1 y x 2 2 λ 2 x, y + λ 22 y 2 x 2 2 λ 1 x, y + λ 21 y 2 y 2 λ 2 λ 1 λ 2 + λ 1 2 λ 2 λ 1 x, y λ 2 λ 1 y 2 λ 2 + λ 1 2 x, y >0 > 0 Dieser Ausdruck ist echt positiv, weil: 2 x, y 2 x, y 2 x y < λ 2 + λ 1 y 2. Nun folgt der Beweis der Rückrichtung : Wir werden uns im Rest des Beweises auf den Fall dim X 3 beschränken. Dass dies schon ausreicht, um die Aussage für Vektorräume beliebiger Dimension gezeigt zu haben, möchten wir kurz erläutern: Sei hierzu X X ein Unterraum mit dim X 3, dessen Norm X X wie wir ja zeigen werden von einem Skalarprodukt, X induziert wird. Dann erhalten wir Skalarprodukte auf den 2-dimensionalen Unterräumen von X, indem wir einfach, X auf sie einschränken. Da X beliebig war, wird daher die Norm jedes 2-dimensionalen Unterraums von X von einem Skalarprodukt induziert. Wegen Bemerkung 1.5 wird also schon die Norm von einem Skalarprodukt, induziert und die Behauptung ist bewiesen. Sei o.b.d.a. dim X 3. Wir verwenden das Lemma 2.1. Betrachte daher U X mit dim U 2. Wir konstruieren nun eine lineare Projektion P : X U mit Operatornorm P OP 1: Aus Dimensionsgründen können wir x 0 X\U wählen und wegen Lemma 2.2 gilt: u 0 U : x 0 u 0 min x 0 u x 0 u u U. Mit x 0 / U gilt sicher auch x 0 u 0 / U und wir können somit u U jedes x X eindeutig auf folgende Weise zerlegen: Nun definieren wir die Abbildung { P : x X :!u U :!α R : x α x 0 u 0 + u X\U U X U x α x 0 u 0 + u u und zeigen, dass sie die gesuchte Projektion ist: Die Wohldefiniertheit folgt aus der Eindeutigkeit der Zerlegung von x, die Linearität kann einfach nachgerechnet werden. Auch die Projektions-Eigenschaft P P P folgt aus der Eindeutigkeit der Zerlegung von x. Um schließlich noch eine Abschätzung für die Operator-Norm zu erhalten, betrachten wir nun ein beliebiges x X mit der Zerlegung x α x 0 u 0 + u: Fall 1: u 0: In diesem Fall gilt bereits P x 0 0 x. Fall 2: u 0: Wegen x, x u u X\{0} und x x u u x können wir das zugehörige φ, x, u u aus Definition 2.4 verwenden. Wir werden nun, vorerst noch unmotiviert, φ u x x x, x, u u φλ, x, u u, λ R, 10

11 zeigen: λ R : φ u x, x, x u u x u x x u u α x 0 u 0 α x 0 u 0 1 α u + λ α x u u u 0 minimal x λ x u u φλ, x, x u u U Mit dieser Ungleichung haben wir somit gezeigt, dass φ, x, x u u u bei x sein Minimum annimmt. Laut Voraussetzung ist aber φ, x, x u außerhalb von 1, 1 streng monoton steigend, womit schon u x u [ 1, 1] gilt. Anders ausgedrückt: P x u x Den Beweis der Rückrichtung beschließend haben wir also gezeigt: x X : P x x bzw. P OP 1. 11

12 Literatur [dfk67] D. G. de Figueiredo and L. A. Karlovitz. On the radial projection in normed spaces. Bull. Amer. Math. Soc., 73: , [JVN35] P. Jordan and J. Von Neumann. On inner products in linear, metric spaces. Ann. of Math. 2, 36: ,