1 Theorie der Kettenbrüche II

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1 Theorie der Kettenbrüche II Vom ersten Vortrag erinnern wir, dass sich jede reelle Zahl α wie folgt darstellen lässt: α = a 0 + a + a 2 + mit a 0 Z und a i N >0 für jedes i Die Kettenbruchdarstellung lässt sich auch verkürzt schreiben als α = [a 0 ; a, a 2, ] Eindeutigkeit und Irrationalität von Kettenbrüchen Der folgende Satz gibt ein weiteres hinreichendes und notwendiges Kriterium für die Irrationalität einer reellen Zahl an Bei endlichem Kettenbruch muss zusätzlich die Bedingung gelten, dass das letzte Element ungleich Eins ist Satz Jede reelle Zahl α lässt sich eindeutig als Kettenbruch darstellen Dieser Kettenbruch ist genau dann endlich, wenn gilt, dass α rational ist Für den Beweis rufen wir uns zunächst die rekursiv definierten Folgen {p i } i N und {q i } i N in Erinnerung: p 2 := 0, p :=, p i := a i p i + p i 2, q 2 :=, q := 0, q i := a i q i + q i 2 Außerdem ist A i der i-te Näherungsbruch der irrationalen Zahl α mit: A i = p i q i Beweis Zuerst zeigen wir, dass jede rationale Zahl eine endliche Kettenbruchentwicklung hat Sei α Q, α = r 0 r mit r 0, r Z und r > 0 Bei der Anwendung des Euklidischen

2 Algorithmus ergeben sich folgende Gleichungen: r 0 = a 0 r + r 2, 0 < r 2 < r ; r = a r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2 ; r n = a n r n + r n+, 0 < r n+ < r n ; r n = a n r n+ + 0, 0 < r n+ Dabei sind alle a i, r i ganze Zahlen Da die Reste r i für i 2 positiv sind und nach Annahme r > 0, sind auch a, a 2,, a n positiv Die Folge r, r 2,, r n, r n+ ist streng monoton fallend und nach unten durch 0 begrenzt also muss sie nach endlich vielen Schritten enden Es gilt: r i r i+ = a i + r i+2 r i+, für i = 0,, n ; r n r n+ = a n Setzt man nun α i = r i r i+, so erhält man schrittweise: α = [α 0 ] = [a 0 ; α ] = [a 0 ; a, α 2 ] = = [a 0 ; a, a 2,, a n ] Somit können wir jede rationale Zahl durch einen endlichen Kettenbruch darstellen Sei nun α / Q mit den folgenden Kettenbruchentwicklungen für jedes i 0: mit α i+ R\Q und α i+ > für i 0 Für i 0 wurde bereits gezeigt, dass: Somit gilt: α = [a 0 ; a,, a i, α i+ ] für jedes i 0, α = p iα i+ + p i q i α i+ + q i α p i = q i(p i α i+ + p i ) p i (q i α i+ + q i ) q i q i (q i α i+ + q i ) Insbesondere folgt daraus, wegen α i+ > a i+ und q i+ > q i : α A i < qi 2 = ( ) i q i (q i α i+ + q i ) 2

3 Wir wissen jetzt, dass: α = lim A i i Die Kettenbrüche konvergieren also tatsächlich gegen α Damit haben wir gezeigt, dass irrationale Zahlen eine unendliche Kettenbruchentwicklung besitzen, weil α A i für alle i Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir an, α habe zwei Entwicklungen: [a 0 ; a, ] = α = [a 0; a, ] Die Entwicklungen sind entweder beide endlich oder beide unendlich Seien also zuerst beide Kettenbruchentwicklungen unendlich Wir erhalten sofort, dass a 0 = a 0 Per Induktion über i 0 kann man nun voraussetzen, dass: Wir bekommen sofort: a j = a j für j = 0,, i p j = p j, q j = q j für j = 0,, i Damit liefert uns p i α i + p i 2 = [a 0 ; a,, a i, α i ] = α = [a q i α i + q 0; a,, a i, α i] = p i α i + p i 2 i 2 q i α i +, q i 2 dass [a i ; a i+, ] = α i = α i = [a i; a i+, ] Das bedeutet: a i + = a i + a α i+ α i+ i a i = α i+ α i+ < a i = a i Hat α eine endliche Kettenbruchentwicklung ist die Argumentation analog Hierbei muss jedoch die Voraussetzung beachtet werden, dass das letzte Element nicht Eins sein darf, da sonst mindestens zwei Darstellungen für α gefunden werden: [a 0 ; a, a 2,, a n ] = α = [a 0 ; a, a 2,, a n, ] Haben beide endlichen Kettenbrüche die Länge i +, so ist a i = α i = α i = a i und somit ebenfalls eindeutig Hat einer der beiden die Länge i +, der andere aber mindestens die Länge i + 2, so ist a i a i = α i+ (0, ) wegen α i+ > Dies widerspricht der Ganzzahligkeit von a i, a i und somit haben wir die Eindeutigkeit gezeigt 3

4 2 Periodische Kettenbrüche Definition Ein Kettenbruch [a 0 ; a, a 2, ] heißt periodisch, wenn die Folge a, a 2, natürlicher Zahlen periodisch ist Die Begriffe Vorperiode l, Periodenlänge h und Periode werden von den periodischen Dezimalbrüchen übernommen Notation: Für einen unendlich periodischen Kettenbruch mit der Vorperiode a,, a l und der Periode a l+,, a l+h schreibt man: [a 0 ; a,, a l, a l+,, a l+h ] Beispiel Der Kettenbruch der irrationalen Zahl 2 ergibt sich wie folgt: ( 2 )( 2 + ) = 2 = + Durch erneutes Einsetzen ergibt sich: 2 = [; 2, + 2], + 2 und erhält schließlich induktiv: 2 = [; 2, 2, 2, ] = [, 2] Beispiel 2 In ähnlicher Vorgehensweise erhält man die Kettenbruchdarstellung des goldenen Schnitts ( 5 + ) Da ( 5 ) = 2 2 erhalten wir, 2 ( 5+) 2 ( 5 + ) = + 2 ( 5 ) = [; 2 ( 5 + )] = [;,,, ] = [, ] Zur Verallgemeinerung von Beispiel beweisen wir folgende Proposition Proposition Für D N\{0} gilt + D 2 = [D; 2D] Beweis Sei α = [2D; 2D] Dann: α = 2D + α 4

5 und α 2 2Dα = 0 Die einzige positive Wurzel, die diese Gleichung erfüllt, ist: Daraus folgt bereits die Behauptung D + + D 2 Zum Abschluss formulieren wir einen Satz, der eine weitere Verallgemeinerungsstufe darstellt und eine Vorstufe des Satzes von Lagrange ist Satz 2 (Euler) Ein unendlicher periodischer Kettenbruch ist irrationale Lösung einer quadratischen Gleichung Beweis Sei α eine irrationale Zahl mit einer unendlich periodischen Kettenbruchentwicklung α = [a 0 ; a, ] und α i = [a i ; a i+, ] So erhalten wir: α = [a 0 ; a,, a i, α i ] = p i α i + p i 2 q i α i + q i 2 für i 0 Umstellen der Gleichung nach α i ergibt: α i = p i 2 αq i 2 αq i p i Der Nenner kann dabei nicht Null werden, weil q i α R\Q und p i Z gilt Außerdem gilt für alle i > l, dass a i+h = a i und daraus folgt, dass α i+h = α i Damit ergibt sich folgende Gleichheit: p i+h 2 αq i+h 2 αq i+h p i+h = p i 2 αq i 2 αq i p i für i > l Setzt man nun: R i := q i+h q i 2 q i+h 2 q i, S i := p i+h 2 q i + p i q i+h 2 p i 2 q i+h p i+h q i 2, T i := p i+h p i 2 p i+h 2 p i, 5

6 erfüllt α folgende quadratische Gleichung: R i α 2 + S i α + T i = 0 für jedes i > l Wenn wir annehmen, dass R i 0 für alle i > l gilt, haben wir gezeigt, dass α algebraisch vom Grad höchstens 2 ist und wegen α / Q ist der Grad tatsächlich genau 2 Bleibt also noch zu zeigen, dass die Ungleichung R i 0 für alle i > l erfüllt wird Dafür nehmen wir an, es existiert ein i > l, sodass R i = 0, dann: q i+h q i 2 = q i+h 2 q i Da der ggt(q i, q i 2 ) = ist, können wir schlussfolgern, dass q i q i+h Somit: Deshalb und q i+h = gq i und q i+h 2 = gq i 2 für ein g N ggt(q i+h, q i+h 2 ) = g ggt(q i, q i 2 ) g =, q i+h = q i, q i+h 2 = q i 2 Diese Aussage steht, aber zum Widerspruch zur Definition der Folge {q i }, denn: q i+h q i+h 2 + q i+h 3 > q i+h 2 q i Somit haben wir gezeigt, dass R i Annahme bestätigt nicht verschwinden kann und haben die obige 6