Konvergenz im quadratischen Mittel und die Parsevelsche Gleichung

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1 Konvergenz im quadratischen Mittel und die Parsevelsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Dr. Gerhard Mülich Christian Maaß 6.Mai 8 Im letzten Vortrag haben wir gesehen, dass das Fourierpolynom S n f die Aufgabe löst, f T im Raum der trigonometrischen Polynome vom Grad n zu minimieren. Diese Art der Approximation wird auch die quadratische Approxiation genannt. Um die Approximation im quadratischen Mittel überhaupt betrachten zu können, definieren wir als erstes die Konvergenz im quadratischen Mittel. Definition Konvergenz im quadratischen Mittel) Eine Folge f n ) von Regelfunktionen auf einem Intervall [a;b] konvergiert dort im quadratischen Mittel gegen die Regelfunktion f, wenn f f n für n. Bemerkungen: i) Die Definition lässt sich auch formulieren: b a f f n dx für n ii) Konvergiert eine Folge f n ) auf [a;b] gleichmäßig gegen f, so wird dadurch die quadratische Konvergenz impliziert. Denn es gilt folgendes: b f f n fx) f n x) dx b a) f f n ) [a;b] a b a) f f n [a;b] b a f f n [a;b] iii) Dagegen folgt aus der Konvergenz im quadratischen Mittel nicht einmal die punktweise Konvergenz. f und f n ) können nämlich an endlich vielen Stellen beliebig geändert werden, ohne dass dieses eine Änderung der Integrale zur Folge hätte. Als Beispiel dient die Funktionen des wandernden Buckels. Die f n ) konvergieren dort im quadratischen Mittel gegen die Nullfunktion, die Folge f n x)) konvergiert allerdings für keinen Punkt x [;]. Definieren wir also erst mal die Funktionen. Dazu benötigen wir die eindeutig bestimmten ganzen Zahlen ξ, µ, die außerdem folgende Bedingungen erfüllen: n ξ + µ und µ < ξ. Dann setzen wir für f n ) : [;] IR { [ für x µ x f n x) : ξ ; µ + ) ξ], für sonstige x [; ]. Bevor wir nun zur Parsevelschen Gleichung kommen, möchte ich noch einmal den Fejérschen Approximationssatz in Erinnerung rufen sowie ein Lemma einführen und beweisen, da beide für den Beweis der Parsevelschen Gleichung benötigt werden.

2 Satz von Fejér Für jede π-periodische Regelfunktion f gilt: An jedem Punkt x konvergiert das n-te Fejérpolynom vom f gegen fx ) + fx+)). An jeder Stelle x, an der f stetig ist konvergiert das n-te Fejérpolynom gegen fx). Ist f stetig, so konvergiert das n-te Fejérpolynom gleichmäßig auf IR gegen f. Lemma Für alle f IR ) und alle ɛ > existiert eine stetige Funktion g IR ) mit: f g fx) gx) dx < ɛ π Zunächst zeigt man, dass eine Treppenfunktion durch eine stetige Funktion approximiert werden kann.) Die Treppenfunktion approximiert man dann durch eine beliebige Regelfunktion. Damit kann man dann auch eine beliebige Regelfunktion durch eine stetige Funktion approximieren.). Sei also ψ eine Treppenfunktion auf dem Intervall [;π]. Dann existiert eine Zerlegung t < t <... < t n π des Intervalls [;π], mit folgender Eigenschaft: k,...,n besitzt f im Intervallt k ; t k ) einen konstanten Wert c k. Nun wählen wir ein δ IR > folgerndermaßen: δ < min { t k t k k,..., n} Als nächstes definieren wir uns lineare Funktionen l,..., l n mit l k t k δ) : c k und l k t k + δ) : c k+ und c : c n sowie c n+ : c. Dann setze ψ: IR C durch { x ψx) lk x) für x [t : k δ; t k + δ], ψx) für x [t k + δ; t k δ]. Dann ist ψ π-periodisch und für das Integral über die quadrierten Abstände folgt: π ψx) ψx) dx i i ψx) ψx) dx sup ci+ c i i { ψy) ψy) y } [t i δ; t i + δ] ) dx ) dx δ } {{ } δ c i+ c i < ɛ. Sei nun f R ) beliebig. Da f eine Regelfunktion ist, kann sie beliebig genau durch Treppenfunktionen approximiert werden, d.h. es existiert eine Treppenfunktion φ mit fx) φx) < ɛ für x [; π] und ɛ >. Nach.) existiert außerdem eine stetige π- periodische Funktion φ R ) mit φ φ < ɛ. Für die beliebig gewählte Funktion f und die approxmimierende Treppenfunkion φ erhält man: f φ fx) φx) dx sup { fy) φy) y } ) π π i π sup { fy) φy) y } π f φ < ɛ. Mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgt die gewünschte Aussage: f φ f φ + φ φ < ɛ ɛ ɛ

3 Satz: Parsevelsche Gleichung) Für jede Funktion f R ) konvergiert die Folge S n f auf [ π; π] im quadratischen Mittel gegen f: f S n f für n ) Gleichwertig zu dieser Aussage ist die Parsevelsche Gleichung, die auch als Vollständigkeitsrelation bezeichnet wird: f, f ft) dt f π ˆfν). ) ν. Wir zeigen zuerst die Behauptung ). Zunächst in a) für stetige f und dann in b) für beliebige. a) Sei f IR stetig. Sei weiterhin ɛ IR >. Mit dem Approximationssatz von Fejér gilt: δ > gibt es ein trigonometrisches Polynom T mit fx) T x) < δ x IR. Für δ ɛ folgt: f T < ɛ. Aufgrund der Minimalitätseigenschaft gilt dann für alle Fourierpolynome S n f mit n GradT): f S n f f T f T < ɛ b) Sei nun f IR ) und ɛ IR > beliebig. Nach dem Lemma können wir eine beliebige Regelfunktion durch eine stetige Funktion approximieren, d.h. wir können zu jedem ɛ > eine stetige π-periodische Funktion φ finden mit f φ < ɛ. Des weiteren gilt für eine beliebige Funktion g IR ) mit Hilfe der Dreiecksungleichung und mit dem Satz über die Minimaleigenschaft der Fourierpolynome: S n g S n g g + g g Für das beliebig gewählte f und für hinreichend große n folgt dann: f S n f f φ + φ S n f f φ + φ S n φ + S n φ f) < ɛ <ɛ <ɛ nach a) φ f < ɛ Damit wäre der erste Teil der Behauptung gezeigt.. Als nächstes wird die Äquivalenz der Aussagen ) und ) gezeigt. Nach dem Satz über die Minimaleigenschaft der Fourierpolynome gilt für beliebige Funktionen f IR ): f S n f f Mit dem. Teil des Beweises und n ergibt sich: f ν n ν n ˆfν) ˆfν) Wegen der Besselschen Ungleichung ist die Summe beschränkt und konvergiert, womit auch der. Teil der Behauptung gezeigt wäre. Bemerkungen:. Die Aussage ) verschärft die Besselsche Ungleichung und macht sie zu einer Gleichung. Die Parsevelsche Gleichung wird, wie bereits erwähnt, auch als Vollständigkeitsrelation bezeichnet. Sie besagt nämlich, dass es unmöglich ist, das Orthonormalsystem {e k k Z} durch eine stetige Funktion f so zu erweitern, dass f orthogonal zu e k ist k Z. 3

4 3. Falls man die Fourrierreihe von f als Cosinus-Sinus-Reihe Sfx) schreibt, so lautet die Parsevelsche Gleichung: fx) dx a + a k + b k ) mit Sfx) a π + a k cos kx + b k sin kx) k Beweis der Bemerkungen ) und 3): ) Gebe es doch so eine Funktion f, dann würde wegen der Orthogonalität gelten: f, e k ft)ē k dt π ˆfk) k Z Für die Glieder der Summe in der Parsevelschen Gleichung gilt: ˆfν) f ν Nach der Definition der L -Norm für stetige f folgt nun, dass f ist. Dieses ist ein Widerspruch zu Annahme f, womit die Behauptung folgt. 3) Wir wissen, dass die Koeffizienten der Cosinus-Sinus-Reihe folgendermaßen lauten: a k ˆfk) + ˆf k) und b k i ˆfk) ˆf k)). Deswegen folgt: Das weiteren gilt: a k + b k ˆfk) + ˆf k) + ˆfk) ˆf k) ˆfk) + ˆf k)) ˆfk) + ˆf k)) + ˆfk) ˆf k)) ˆfk) ˆf k)) ˆfk) + ˆfk) ˆf k) + ˆf k) ˆfk) + ˆf k) ˆfk) + ˆf k) a ˆf) + ˆf) ˆf) Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen können wir nun die Pasevelsche Gleichung umschreiben: f fx) dx π ˆfk) Beispiel: k ˆfk) + k ˆfk) + ˆf) k a k + b k ) + a k Wir betrachten nun folgende uns schon aus vorherigen Vorträgen bekannte Funktion h: IR IR: { für x πn, n Z x hx) : π x für x πn; πn + )), n Z Wir wissen, dass die Funktion x ; π) auf Wege dargestellt werden kann: π x hx) S x) k sin kx k Offensichtlich ist somit b k k und a k. Also erhält man durch die Parsevelsche Gleichung in der Cosinus- Sinus-Darstellung für x ; π): b k k π ) π x dx π π πx + x ) dx π π π k k π x πx + 3 x3 ) π π 6

5 Bislang haben wir in der Parsevelschen Gleichung das Analogon des euklidischen Skalarprodukts einer Funktion f R ) mit sich selbst betrachtet. Dieses wollen wir nun verallgemeinern. Wir betrachten jetzt das Skalarprodukt von f mit einer beliebigen anderen Funktion g R ). So erhalten wir die verallgemeinerte Parsevelsche Gleichung. Satz Allgemeine Parsevelsche Gleichung) Für beliebige f,g R ) gilt: f, g π ft)gt)dt ˆfν)ĝν) ν Als erstes zeigen wir, dass für zwei komplexe Zahlen z,w folgendes gilt: zw wz) z + zw + wz + w z + zw + wz w + i z zw + wz + i iw i z zw + wz i iw ) ) ) ) z + w) z + w) z w) z w) + i z + iw z + iw) i z iw z iw) z + w z w + i z + iw i z iw ) 3) Mit Hilfe dieses Aussage führen wir nun die allgemeine Gleichung auf den uns schon bekannten Fall zurück: f, g ft)gt)dt π 3) ft) + gt) dt ft) gt) dt + i ft) + igt) dt i ft) igt) dt 8π Nach Anwendung der Parsevelschen Gleichung erhält man: f, g f + g)k) f g)k) + i 3) ˆfk) + ĝk) ˆfk)ĝk). ˆfk) ĝk) + i f + ig)k) i ˆfk) + iĝk) i f ig)k) ) ˆfk) iĝk) ) 5