Faltung und Approximation von Funktionen

Transkript

1 Faltung und Approximation von Funktionen Lisa Bauer und Anja Moldenhauer 9. Juni Die Faltung von Funktionen 1.1 Die Faltung Eine kleine Widerholung mit einem Zusatz: Vergleiche den Vortrag von Benjamin Wieneck zum Approximationssatz von Weierstraß am Definition 1 (Faltung). Es seien f, g L 1 (R n ). Dann gehört wegen der Integrierbarkeit von Tensorprodukten auch (x, y) (f g)(x, y) := f(x) g(y) zu L 1 (R 2n ) (vergleiche z.b. [1] Blatt 5). Da (x, y) (x y, y) eine affine Transformation ist, ist auch (x, y) f(x y) g(y) über R 2n integrierbar. Nach dem Satz von Fubini gibt es dann eine Nullmenge N R n, so dass das Integral R n f(x y)g(y) dy für alle x R n \ N existiert. Dann heiße die Funktion { f(x y)g(y) dy falls x R n \ N R (f g) (x) := n 0 falls x N die Faltung von f und g. 1

2 Satz 1. Die Faltung hat folgende Eigenschaften (i) f g L 1 (R n ) und es gilt R n (f g)(x) dx = f(x) dx R n R n g(y) dy. (ii) Die Faltung ist kommutativ und assoziativ. (iii) Es gilt f g 1 f 1 g 1. (iv) Supp (f g) Supp(f) + Supp(g) Definition 2 (Träger einer Funktion). Unter dem Träger einer Funktion f : R n R versteht man die abgeschlossene Hülle der Menge aller Punkte, in denen die Funktion von Null verschieden ist. Der Träger von f wird mit Supp(f) bezeichnet. Es gilt also Supp(f) = {x R n : f(x) 0} Beweis. Satz 1 (i), (ii) und (iii) siehe Benjamins Vortrag. (iv) Es gilt: Supp(f g) = {x R n : (f g)(x) 0} also ist 0 (f g)(x) = f(x y)g(y)dy. Dieser Fall kann nur dann eintreten, wenn f(x y) 0 und g(y) 0 ist. Es folgt also: x - y Supp(f) x y {k R n f(k) 0} x {k R n f(k) 0} +y, wobei y Supp(g) gilt. x Supp(f) + Supp(g) Supp(f g) Supp(f) + Supp(g) 2

3 1.2 Veranschaulichung der Faltung In diesem Abschnitt möchten wir die Faltung an Hand von zwei Funktionen veranschaulichen: { a x x f(x) = 0 falls 0 x x 0 0 sonst (siehe Skizze 1) und h(x) = { b falls x 1 x x 2 0 sonst (siehe Skizze 2) Kommen wir nun zur Faltung dieser Funktionen (f h)(x) = f(x µ)h(µ)dµ R Wir tragen also die beiden Funktionen über die Integrationskonstante µ auf. Dabei wird die Funktion f an der y-achse gespiegelt und um den Faktor x verschoben. Anschließend zeichnen wir f(x µ) und h(µ) in eine Skizze (siehe Skizze 3). Da x R und x eine unabhängige Variable ist, ist die Lage von f(x µ) in der Skizze 3 Abhängig von dem gewählten x. Es ist die Funktion f(x µ) für den Wert x = µ skiziert. Denn es gilt f(0) = 0 = f(x µ) so folgt 0 = x µ x=µ mit x R + In Skizze 3 überlappen sich die beiden Funktionen noch nicht, das bedeutet, dass der Integrand des Faltungsintegrals f(x µ)h(µ) 0 ist. Somit folgt (f h)(x)=0 Die Funktionen fangen erst an sich zu überlappen, wenn x = x 1 ist und hören auf sich zu überlappen, wenn x = x 2 + x 0 gilt. Somit nimmt (f h)(x) nur Werte an, wenn gilt x 1 x x 2 + x 0 und es gilt (f h)(x) = 0 für alle x 1 größer x und für alle x 2 + x 0 kleiner x. Betrachten wir also die Bereiche bei denen gilt x 1 x x 2 + x 0. Hierbei unterscheiden wir folgende drei Bereiche: 1. Bereich: x 1 x x 1 + x 0 Die beiden Funktionen fangen an sich zu überlappen. 2. Bereich: x 1 + x 0 x x 2 Die beiden Funktionen überlappen sich maximal. 3

4 3. Bereich: x 2 x x 2 + x 0 Die f(x µ) tritt aus der Funktion h(µ) heraus. Betrachtung der drei Bereiche 1.Bereich (Skizze 4): Es ist nun h(µ) = 0 für alle µ < x 1 und f(x µ) = 0 für alle µ > x f(x-µ)h(µ) = 0, x 1 > µ > x (f h) = 0 Es muss also hier in dem Bereich von x 1 µ x integriert werden. Somit folgt: (f h)(x) = R f(x µ)h(µ)dµ = b x a x µ x 1 x 0 dµ = ab 2x 0 (x x 1 ) 2 Der Wert des Intergals entspricht für den in der Skizze 4 angenommenen Wert x der mit dem Faktor b gewichteten, schrafierten Fläche. 2.Bereich (Skizze 5): Die Funktionen überlappen sich in diesem Bereich vollständig. Die Faltung nimmt für alle x 1 + x 0 x x 2 den selben Wert an. Die Integrationsgrenzen setzten sich aus der linken Kante der Funktion f und dem Knickpunkt zusammen. Wir integrieren also wie folgt: (f h)(x) = R f(x µ)h(µ)dµ = b x a x µ dµ = ab x 0 x x 0 x Bereich (Skizze 6): Nun nimmt die Faltung nur noch Werte an, wenn in den Grenzen von x x 0 und x 2 intergriert wird. es folgt also: (f h)(x) = R f(x µ)h(µ)dµ = b a x µ dµ = abx 0 [1 x x 0 x 0 2 (x x ] 2) 2 x2 x 2 0 Schließlich können wir das Ergebniss der Faltung g(x) = (f h)(x) wie in Skizze 7 dargestellt skizzieren. 4

5 1.3 Die Faltung als Mittelung Beispiel 1 (Beispiel aus der Physik). Ist µ eine Funktion auf einem kompakten Intervall [a; b], µ : [a; b] R, so kann µ als eine Massenverteilung aufgefasst werden und entsprechend eine zweite Funktion U(y) als Potential eines in y gelegenen Punktes der Masse 1 relativ zum Nullpunkt. Dann ist das Potential der auf [a; b] verteilten Masse relativ zu einem Punkt x R\ [a; b] gegeben durch: u(x) = b a µ(y)u(x y)dy = (µ U)(x) Man kann die Faltung (f g)(x) als das mit g gewichtete Mittel von f bei x betrachten. Die Funktion g sei hierzu nicht negativ (g 0) und besitze folgende Eigenschaften : (i) Der Träger von g liegt in K r (0), also Supp(g) K r (0) (ii) K r(0) g(x)dx = 1. Aufgrund der Kommutativität gilt: (f g)(x) = (g f)(x) = g(x y)f(y)dy = R n f(y)g(x y)dy R n Nach (i) ist Supp(g) K r (0). Da die Funktion g bei der Faltung noch um x verschoben wird, muss f(y)g(x y)dy über K r (x) integriert werden. Somit gilt also insgesamt: (f g)(x) = f(y)g(x y)dy. K r(x) Somit ist also (f g)(x) der mit g gewichtete Mittelwert von f in K r (x). Wir definieren uns eine Funktion, die (i) und (ii) erfüllt wie folgt: U r (a) := { 1 2r falls r a r 0 sonst (siehe Graphik 1) Für jede Regelfunktion µ, die mit der Funktion U r auf R gefaltet wird gilt: x+r (µ U r )(x) = µ(y)u r (x y)dy = µ(y)u r (x y)dy = 1 x+r µ(y)dy 2r K r(x) 5 x r x r

6 Es gilt, dass die Faltung (µ U r )(x) glatter ist als die Funktion µ,also wenn µ eine C k -Funktion ist, dann ist die Faltung eine stetige C k+1 -Funktion. Beispiel 2. Funktionen f und ihre Faltungen f U r (siehe Graphik 2) 1.4 Der Differentiationssatz der Faltung Wir führen zu nächst die Bezeichnung des Multiindex ein und wiederholen dann den Differentiationssatz. Definition 3 (Multiindex). Man setzt für ein n-tupel α = (α 1,..., α n ), α ν N 0, n N einen sogenannten Multiindex α := α α n, x α := x α x αn n α f := α αn f n Wiederholung 1 (Differentiationssatz). Es sei f : X T C eine Funktion auf dem Produkt eines metrischen Raumes X und der Menge T R p, p N. Für jeden fixierten Parameter x X sei die Funktion t f(x, t) über T integrierbar. Durch Integration entsteht dann eine Funktion F auf X: F (x) := f(x, t)dt T X sei jetzt eine offene Menge im R n und f habe folgende Eigenschaften (i) Für jedes fixierte t T ist x f(x, t) stetig differenzierbar (ii) Es gibt auf T eine integrierbare Funktion Θ mit F x ν (x, t) Θ(t) für alle (x,t) X T und ν = 1,..., n Dann ist F (x) := f(x, t)dt stetig differenzierbar. Für jedes x ist die Funktion t xν f(x, t) integrierbar, und es T gilt F (x, t) x ν = 6 T f x ν (x, t)dt

7 Beweis. Differentiationssatz Siehe Königsberger 2 oder Vorlesung vom (Höhere Analysis/ Mühlich) Satz 2 (Differentiationssatz der Faltung). Es sei g C k (R n ), k = 0, 1,..., eine beschränkte Funktion, deren partielle Ableitungen α g für alle α mit α k ebenfalls beschränkt sind; zum Beispiel sei g C k c (R n ). Dann gilt: Für jede Funktion f L 1 (R n ) ist f g C k (R n ), und für α k gilt α (f g) = f ( α g). Beweis. Zunächst ist wird die Differenzierbarkeit der Faltung mittels des Differentiationssatzes gezeigt. Dazu müssen dessen Voraussetzungen nachgewiesen werden: (i) zu zeigen: Für jedes fixierte y R n ist x f(y)g(x y) stetig differenzierbar: Dies gilt aber, da g C k nach Voraussetzung. (ii) zu zeigen: Es gibt auf R n eine integrierbare Funktion Θ mit α f(y)g(x y) Θ(x) für alle (x, y) R n R n und α k Da g(x) kompakten Träger hat, existiert ein M R mit α g. Weiter ist f integrierbar. Also ist M f(y) eine Funktion mit den gewünschten Eigenschaften. Damit kann man unter dem Integral differenzieren und es gilt: α (f g) = f(y) ( α g(x y)) dy = (f ( α g)) (x) R n 2 Dirac-Folgen und Approximation In diesem Abschnitt werden wir ein Beispiel für eine Dirac-Folge genauer betrachten, anhand dessen Eigenschaften der Faltung von Funktionen und den zugehörigen Approximationssatz wiederholen, und nachweisen, dass die C -Funktionen mit kompaktem Träger dicht in L 1 liegen. 7

8 2.1 Dirac-Folgen Wiederholung 2 (Definition: Dirac-Folge). 1 Eine Folge von integrierbaren Funktionen δ k L 1 (R n ) heißt Dirac-Folge, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt: (D1) Für alle k N gilt δ k 0. (D2) Für alle k N ist R n δ k dx = 1. (D3) Für alle Bälle B r (0) ist lim k R n \B r(0) δ k dx = 0. Beispiel 3 (Dirac-Folge). Wir betrachten folgende Funktionenfolge (siehe Graphik 3): δ k : R n R, δ k (x) := kn c g( kx ) wobei c := R n g( x )dx und g(r) := { exp( 1 1 r 2 ) für r ( 1; 1) 0 sonst Nachrechnen der Bedingungen für eine Dirac-Folge: (D1) offensichtlich (D2) k n δ k (x)dx = g( kx )dx R g( x )dx n R n R n wobei: g( kx )dx = 1 g( z )dz für z := kx R k n n R n k n 1 δ k (x)dx = g( z )dz = 1 R g( x )dx k n R n n R n 1 vgl. den Vortrag von Benjamin Wieneck zum Approximationssatz von Weierstraß am

9 (D3) Es gilt: Supp (δ k ) = Supp (g( kx )) = { x R n kx 1} = { x R } n x 1 k ɛ > 0 k N : ɛ > 1 k δ k dx = 0 k > 1 ɛ R n \B ɛ(0) Zusätzliche Eigenschaften: (i) δ k C k N, da n δ x n k (x) = kn n g( kx ) = p(x) g( kx ), wobei p(x) eine rationale Funktion mit Definitionsbereich D = {x (R) n kx < 1} c x n außerhalb dessen g(x) = 0. n δ x n k (x) ist stetig, da lim x e x /p(x) = 0 für jedes Polynom p(x). (ii) Supp (δ k ) = B 1 (0) (s.o.) k Beispiel 4 (Faltungseigenschaften und Differetiationssatz der Faltung). Sei δ k wie oben definiert, und f L 1 (R n ) beliebig. Dann gilt: (i) Supp (f δ k ) Supp (f) + B 1 (0) (Satz 1 (iv), und Beispiel 3 (ii)) k (ii) f δ k C k N (Differentiationssatz der Faltung und Beispiel 3 (i)) 2.2 Approximation Definition 4 (Dichte Teilmenge). Sei V ein Vektorraum und eine Halbnorm (d.h. x = 0 x = 0 gilt nicht). Eine Teilmenge A V heißt dicht in V x V, ɛ > 0 a A : x a < ɛ Wiederholung 3 (Approximationssatz). 2 Es sei δ k L 1 (R n ) eine Dirac- Folge. Dann gilt (i) Für jedes f L 1 (R n ) konvergiert die Funktionenfolge f δ k bezüglich der L 1 -Norm gegen f. 2 vgl. den Vortrag von Benjamin Wieneck zum Approximationssatz von Weierstraß am

10 (ii) Für jede gleichmäßig stetige und beschränkte Funktion f : R n R konvergiert die Funktionenfolge f δ k gleichmäßig auf R n gegen f. Satz 3. Für alle U R n, offen, gilt: C C (U) liegt dicht in L 1 (U) Beweis. Aus Analysis 2 ist bekannt, dass die Treppenfunktionen dicht in L 1 (U) liegen. Also genügt es zu zeigen: φ, φ Treppenfunktion, ɛ > 0 h C C (U) : φ h U 1 < ɛ Sei nun (δ k ) wie oben und h = φ δ k. Dann gilt nach dem Approximationssatz: Und aus Beispiel 3 (ii) folgt: lim φ φ δ k 1 = 0 k Supp (φ δ k ) ist kompakt, da Supp (φ) als Träger einer Treppenfunktion kompakt ist. Damit ist der Satz gezeigt. Literatur [1] G. Mülich, Vorlesung Höhere Analysis und Übungen [2] K. Königsberger, Analysis II Springer [3] O. Forster, Analysis III Vieweg [4] Seminar Praktikum : Communication 1, Universität Duisburg-Essen, Prof. Dr.-Ing. A.Czylwik, Author: R.Siebel ( pdf) 10