Verallgemeinerte Funktionen

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1 Verallgemeinerte Funktionen. Der Raum der Grundfunktionen Für den Vektorraum R n, n N, über R betrachten wir die Euklidische Norm kk W R n! R; v x 7! p ux x > x WD t n und bezeichnen eine Menge A R n als offen, falls es zu jedem x A eine reelle ahl ">gibt mit K x ;" WD fx R n Ikx x k <"ga: Eine Menge U R n heißt offene Umgebung von x R n, falls x U und U eine offene Menge darstellt. Eine Menge A R n heißt abgeschlossen, falls das Komplement A c WD fx R n I x Ag offen ist. Sind für eine beliebige nichtleere Menge I Teilmengen A i, i I,desR n abgeschlossen, so ist auch der Schnitt A WD \ ii A i id x i eine abgeschlossene Teilmenge des R n. Eine Menge A R n heißt beschränkt, falls es ein ">gibt mit A K ;" : Abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des R n werden als kompakt bezeichnet. Springer-Verlag GmbH Deutschland 7 S. Schäffler, Verallgemeinerte stochastische Prozesse, DOI.7/ _

2 Verallgemeinerte Funktionen Sei nun M R n,soistderabschluss vom M definiert als cl.m / WD \ AA A; wobei A WD fb R n I B ist abgeschlossen und M Bg: Die Menge cl.m / ist somit die kleinste abgeschlossene Teilmenge des R n,diem enthält; das heißt: Es gibt keine echte Teilmenge von cl.m /,diem enthält und abgeschlossen ist. Sind für eine beliebige nichtleere Menge I Teilmengen B i, i I,desR n offen, so ist auch die Vereinigung B WD [ ii B i eine offene Teilmenge des R n. Ist nun M R n,soistdasinnere von M definiert als int.m / WD [ C C C; wobei C WD fb R n I B ist offen und B M g: Die Menge int.m / ist also die größte offene Teilmenge von M ; das heißt: Es gibt keine offene Teilmenge T von M mit int.m / T und int.m / 6D T. Für eine Menge M R n wird / WD cl.m / n int.m / WD fx cl.m /I x int.m /g als Rand von M bezeichnet. Für jedes M R n gilt zum Beispiel (Übungsaufgabe): (i) int.m / D M falls M offen und cl.m / D M falls M abgeschlossen, / \ M D;falls M offen, / M falls M abgeschlossen. (iv) / c D int.m / [ cl.m / c, ist der Rand von M abgeschlossen. Sei nun f W R n! R eine Funktion. Der Träger supp.f / von f ist definiert durch supp.f / WD cl.fx R n I f.x/ 6D g/:

3 . Der Raum der Grundfunktionen 3 Durch diese Festlegung wird supp.f / c eine offene Menge; es gibt also zu jedem x supp.f / c ein ">mit: K x ;" supp.f / c und daher f.x/ D für alle x K x ;": Obwohl zum Beispiel die trigonometrischen Funktionen sin und cos jeweils unendlich viele Nullstellen haben, gilt dennoch supp.sin/ c D supp.cos/ c D;: Im Folgenden betrachten wir die Menge der beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen f W R n! R; die wir mit C.R n ; R/ bezeichnen. Mit Hilfe des Trägers einer Funktion definieren wir nun eine wichtige Teilmenge von C.R n ; R/. Definition. (Grundfunktion) Eine Funktion ' C.R n ; R/ heißt Grundfunktion, falls supp.'/ beschränkt (und somit kompakt) ist. Die Menge aller Grundfunktionen wird mit D.R n ; R/ bezeichnet. G Offensichtlich gilt für alle partiellen m i :::@x im W R n! R m-ter Ordnung einer Grundfunktion m ' i :::@x im supp.'/ für alle m N; i ;:::;i m f;;:::;ng; da supp.'/ c offen ist und auf dieser Menge somit alle partiellen Ableitungen gleich Null werden. unächst ist nicht klar, ob es neben der Grundfunktion ' überhaupt eine weitere Grundfunktion gibt. Sei h W R! R; x 7! ( für alle x exp x für alle x> ; so ist h C.R; R/ (siehe Abb..). Mit k W R n! R; x 7! kxk ; n N;

4 4 Verallgemeinerte Funktionen Abb.. Die Funktion h ist ( für alle kxk WD h ı k W R n! R; x 7! exp für alle >kxk kxk in C.R n ; R/ (Kettenregel) und wegen o supp. / D nx R n Ikxk.D cl.k ; // ist eine Grundfunktion (siehe Abb..). Für jedes R und ' D.R n ; R/ ist ' W R n! R; x 7! '.x/ wegen ( supp.'/ D supp.'/ für 6D ; für D ebenfalls eine Grundfunktion und für ' ;' D.R n ; R/ ist ' C ' W R n! R; x 7! '.x/ C '.x/ wegen supp.' C ' / supp.' / [ supp.' / ebenfalls eine Grundfunktion, denn die endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Somit bildet D.R n ; R/ einen Vektorraum über R.

5 . Der Raum der Grundfunktionen 5 Abb.. Die Funktion für n D Da für die Funktion offensichtlich ( für alle kxk W R n! R; x 7! exp für alle >kxk kxk <I WD gilt, folgt natürlich für WD I R n.x/dx < (Riemann-Integral) (siehe Abb..3): R n.x/dx D : Nun wählen wir eine reelle ahl R>und untersuchen die Funktion x R W R n! R; x 7! R : R n Die Substitution y D x R liefert: R n R.x/dx D :

6 6 Verallgemeinerte Funktionen Abb..3 Die Funktion für n D Ferner erhalten wir supp. R / D fx R n Ikxk Rg D cl.k ;R /: Durch die Funktionen R können wir weitere Grundfunktionen gewinnen. Sei f W R n! R stetig mit kompaktem Träger, so ist durch ' R W R n! R; x 7! f./ R. x/d R n für jedes R>eine neue Grundfunktion gegeben, denn da f./ R. x/d D f./ R. x/d; R n cl.k x;r / ist ' R C.R n ; R/ (Differentiation und Integration können vertauscht werden). Wegen ' R.x/ D für alle x fy R n I cl.k y;r / \ supp.f / D;g ist der Träger von ' R beschränkt. Wählt man für n D zum Beispiel die stetige Funktion (Abb..4) W R! R; x 7! ( 4 ˇˇ jxj ˇˇ für 3 x 3 sonst ;

7 . Der Raum der Grundfunktionen 7 Abb..4 Die Funktion Abb..5 Die Funktion ' : so erhält man für R D :5 und R D :5 die Funktionen ' :5 und ' :5 wie in den Abb..5 und Abb..6 dargestellt. Die Funktion f läßt sich durch eine Grundfunktion beliebig genau approximieren, wie der folgende Satz zeigt. Theorem. (Approximationssatz) Sei f W R n! R eine stetige Funktion mit beschränktem (und damit kompaktem) Träger dann gibt es zu jedem ">eine Grundfunktion ' mit jf.x/ '.x/j <" für alle x R n :

8 8 Verallgemeinerte Funktionen Abb..6 Die Funktion ' : Ferner gilt mit ' R W R n! R; x 7! f./ R. x/dw gleichmäßig im R n. lim R!; R> ' R D f R n G Beweis Da f einen kompakten Träger hat, ist f gleichmäßig stetig; es gibt also zu jedem ">ein ı>mit jf.x/ f.x /j <" für alle x; x R n mit kx x k <ı: Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (siehe etwa [Wal]) folgt für x R n : ' R.x/ D cl.k x;r / f./ R. x/d D f.x / für ein x cl.k x;r /: Wählt man R<ı, so erhalten wir für alle x R n : jf.x/ ' R.x/j Djf.x/ f.x /j <"; da kx x k <ı: Damit ist auch die zweite Behauptung bewiesen. q. e. d. Im nächsten Abschnitt werden wir Grundfunktionen verwenden, um eine größere Klasse von Funktionen zu beschreiben.

9 . Darstellung von Funktionen durch Funktionale 9. Darstellung von Funktionen durch Funktionale Sei f W R n! R eine beliebige Funktion, so heißt f lokal integrierbar, falls jf j für jedes x R n und ">auf der Kugel cl.k x;" / integrierbar ist. Wir können also jeder lokal integrierbaren Funktion f eine Abbildung F f W D.R n ; R/! R; ' 7! f.x/'.x/dx zuordnen; für eine positive Grundfunktion ' mit gilt für eine stetige Funktion f : R n '.x/dx D R n F f.'/ D f.x / für ein x supp.'/: Die Funktion F f wird als Funktional bezeichnet. Ist allgemein ein Vektorraum V über einem Körper K gegeben, so wird jede Abbildung als Funktional bezeichnet. Gilt zudem G W V! K G. x/ D G.x/ für alle K; x V G.x C y/ D G.x/ C G.y/ für alle x; y V ; so heißt G lineares Funktional. In diesem Sinne ist F f für jedes lokal integrierbare f ein lineares Funktional. Nachdem wir jeder lokal integrierbaren Funktion f das Funktional F f zuordnen können, stellt sich nun die Frage, ob wir nur mit Kenntnis des Funktionals F f die Funktionswerte von f eindeutig rekapitulieren können. Dazu betrachten wir basierend auf den bereits eingeführten Grundfunktionen R für jedes x R n die Grundfunktionen x;r W R n! R; 7! R. x/: Da für eine stetige Funktion f gilt: F f. x;r / D f.x / für ein x cl.k x;r /; folgt: lim F f. x;r / D f.x/ für alle x R n : R!; R>

10 Verallgemeinerte Funktionen Sei nun n D, f differenzierbar (und damit lokal integrierbar) und f lokal integrierbar, so gilt mit partieller Integration und ' D.R; R/: f.x/'.x/dx D Somit erhalten wir h i f.x/'.x/ f.x/'.x/dx D F f.'/ D F f.' / für alle ' D.R; R/: f.x/'.x/dx: Das Interessante an dieser Gleichung ist nun, dass die linke Seite nur für differenzierbare Funktionen f definiert ist, deren Ableitung lokal integrierbar ist, während die rechte Seite für alle lokal integrierbaren Funktionen f definiert ist. Wir können also durch die rechte Seite dieser Gleichung eine Ableitung betrachten, die im klassischen Differentialkalkül nicht notwendig existiert. Dies ist die Grundidee verallgemeinerter Funktionen. Kehren wir zurück zum Beispiel (Abb..4) W R! R; x 7! ( 4 ˇˇ jxj ˇˇ für 3 x 3 sonst und verwenden wir erneut die Grundfunktionen R, so ergibt sich als Approximation der (im klassischen Sinne nicht existenten) Ableitung von die Funktion Q mit Q W R! R; x 7!./ R. x/d: Für R D :5 erhält man die Funktion Q wie in Abb..7 dargestellt. Die Funktion Q existiert auch als Grenzwert für R! (siehe Abb..8). Dabei zeigen die Sterne die Funktionswerte an den Unstetigkeiten an. Nun betrachten wir eine Funktion w W R! R, die zwar stetig ist, aber an keiner Stelle differenzierbar (Abb..9).Abb.. stellt das zugehörige Qw für R D : dar. Die Funktion w wird aus Pfaden Brownscher Bewegungen gewonnen, auf die wir noch zurückkommen werden. um Abschluss dieses Abschnitts untersuchen wir noch eine wichtige Eigenschaft der linearen Funktionale F f. u diesem weck führen wir einen Konvergenzbegriff für Grundfunktionen ein und definieren die Stetigkeit von Funktionalen. Definition.3 (Konvergenz von Grundfunktionen, stetige Funktionale) Ist f' i g in eine Folge von Grundfunktionen, so heißt f' i g in konvergent gegen eine Grundfunktion ', falls es eine beschränkte Menge M R n gibt mit supp.' i / M für alle i N

11 . Darstellung von Funktionen durch Funktionale Abb..7 Die Funktion Q für R D : Abb..8 Die Funktion Q für R! 4 3 * * * * *

12 Verallgemeinerte Funktionen Abb..9 Die Funktion w Abb.. Die Funktion Qw, R D : und falls die Folge f' i 'g in und alle Folgen partieller Ableitungen beliebiger Ordnung von.' i '/, i N, gleichmäßig im R n gegen Null konvergieren. Ein Funktional F W D.R n ; R/! R

13 .3 VerallgemeinerteFunktionen (Distributionen) 3 heißt stetig, falls für jede konvergente Folge f' i g in von Grundfunktionen (mit Grenzwert ') gilt: lim F.' i/ D F.'/: G i! Ist F W D.R n ; R/! R linear, so ist F offensichtlich stetig, falls lim F.' i / D i! für alle Folgen von Grundfunktionen f' i g in die gegen D.R n ;R/ W R n! R; x 7! konvergieren. Sei nun f' i g in eine derartige Folge, so gibt es ein >derart, dass und es gilt: supp.' i / cl.k ; / für alle i N lim jf f.' i /jd lim i! i! f.x/' i.x/dx ˇ ˇ D lim f.x/' i! i.x/dx R ˇ n cl.k ; / ˇ B C sup fj' i.x/jg jf.x/jdxa D : i! xcl.k ; / Somit sind die linearen Funktionale F f stetig. cl.k ; /.3 Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) Jeder lokal integrierbaren Funktion g W R n! R haben wir im letzten Abschnitt ein stetiges lineares Funktional F g zugeordnet. Dabei konnten wir einer lokal integrierbaren Funktion f W R! R durch.f f / W D.R; R/! R; ' 7! f.x/'.x/ dx

14 4 Verallgemeinerte Funktionen ein weiteres stetiges lineares Funktional zuordnen, das als Ableitung von f interpretiert werden kann insbesondere wenn f im klassischen Differentialkalkül nicht differenzierbar ist. Ist f differenzierbar und ist f lokal integrierbar, so gilt:.f f / D F f : Diese Beobachtung nehmen wir nun zum Anlass für folgende Definition. Definition.4 ((reguläre) verallgemeinerte Funktion, (reguläre) Distribution) Sei D.R n ; R/ der Vektorraum aller Grundfunktionen ' W R n! R über R, so wird jedes stetige lineare Funktional F W D.R n ; R/! R als verallgemeinerte Funktion bzw. Distribution bezeichnet. Gibt es eine lokal integrierbare Funktion f mit F D F f ; so wird F als reguläre verallgemeinerte Funktion bzw. reguläre Distribution bezeichnet. G Die Menge aller verallgemeinerten Funktionen wird mit D.R n ; R/ bezeichnet. Für n D ist die Ableitung F einer verallgemeinerten Funktion F gegeben durch und existiert immer. Durch F W D.R; R/! R; ' 7! F.' / F W D.R n ; R/! R; ' 7! F.'/.D F.'//; R; F D.R n ; R/ und F C G W D.R n ; R/! R; ' 7! F.'/C G.'/; F; G D.R n ; R/ wird D.R n ; R/ zu einem Vektorraum über R (dem Dualraum von D.R n ; R/). Die wichtigsten Vertreter verallgemeinerter Funktionen, die nicht regulär sind, sind die Dirac- Distributionen ı x : u jedem x R n betrachtet man die Abbildung ı x W D.R n ; R/! R; ' 7! '.x /: Offensichtlich sind die Abbildungen ı x linear und stetig. Wir zeigen nun indirekt, dass für jedes x R n die Distribution ı x nicht regulär ist. Sei also f eine lokal integrierbare Funktion mit R n f.x/'.x/dx D '.x / für alle ' D.R n ; R/;

15 .3 VerallgemeinerteFunktionen (Distributionen) 5 Abb.. Die Funktion ;r für r D :; :5; : r = r =.5.5 r = so gibt es ein ">mit cl.k x ;"/ jf.x/j dx D d<: Wählt man nun für ' die bereits bekannten Grundfunktionen so folgt: x ;" W R n! R; 7! ". x /; jf.x/ x ;".x/j dx sup fj x ;".x/jg xcl.k x ;"/ R n cl.k x ;"/ jf.x/j dx D x ;".x / d< x ;".x /: Um sich von den Dirac-Distributionen eine Vorstellung machen zu können, betrachten wir die regulären verallgemeinerten Funktionen F x ;r. Es gilt: F x ;r.'/ D '.x / mit x cl.k x ;r / für alle ' D.R n ; R/: Einer Dirac-Distribution ı x würde somit die Funktion x ;r für r! entsprechen (siehe Abb..). Die Ableitung einer Dirac-Distribution ist gegeben durch ı x W D.R; R/! R; ' 7! '.x /:

16 6 Verallgemeinerte Funktionen Für n D ergeben sich die Dirac-Distributionen ı x, x R, als Ableitung regulärer verallgemeinerter Funktionen. Sei so gilt W R! R; x 7! F W D.R; R/! R; ' 7! ( für x x sonst.x/'.x/ dx D (Heaviside-Funktion); x '.x/ dx D '.x /: Ist eine Funktion y W R! R Lösung einer speziellen gewöhnlichen Differentialgleichung, so kann wegen.f y / D F y auch die reguläre verallgemeinerte Funktion F y als Lösung dieser gewöhnlichen Differentialgleichung interpretiert werden. Um nun untersuchen zu können, ob es auch nichtreguläre verallgemeinerte Funktionen gibt, die eine spezielle gewöhnliche Differentialgleichung lösen, ob also durch den Übergang zum Kalkül der Distributionen zusätzliche Lösungen gewonnen werden können, ist eine Integration verallgemeinerter Funktionen zu definieren. Folgt man der gleichen Grundidee wie beim Differenzieren, so erhält man für eine lokal integrierbare Funktion g W R! R mit x G W R! R; x 7! g./d (Existenz vorausgesetzt) durch partielle x g./ d '.x/ A dx D 4G.x/ D x 3 './ d5 x './ da dx C c; ƒ DW O'.x/ x './ da dx wobei die Existenz von vorausgesetzt ist. x c WD lim G.x/ x! './ d

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