Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem"

Transkript

1 Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem Inauguraldissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Mathematisch Naturwissenschaftlichen Fakultät der Heinrich Heine Universität Düsseldorf vorgelegt von Michael Kunz aus Düsseldorf Düsseldorf 1999

2 dissertation.de Verlag im Internet Sonderausgabe des Werkes mit der ISBN-Nummer: Gedruckt mit der Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Referent: Prof. Dr. A. Janssen, Düsseldorf Korreferent: Prof. Dr. N. Henze, Karlsruhe Tag der mündlichen Prüfung: dissertation.de Verlag im Internet Leonhardtstr. 8-9 D Berlin Internetadresse:

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 1 Ein Signalerkennungsproblem Das Signalerkennungsproblem mit Brownscher Brücke als Rauschterm Testverfahren fürdassignalerkennungsproblem Gauß-Shift-Experimente Einführung in die Theorie der Gauß Shift Experimente Das Signalerkennungsproblem als Gauß-Shift-Experiment Einige Resultate und Sprechweisen Der Kolmogorov Smirnov Test als Limestest Einhüllende Gütefunktionen für Gauß Shift Experimente Ein Maximierungsproblem Ein Minimierungsproblem Einige Anwendungen auf Signalerkennungsprobleme Signalerkennungsprobleme mit Brownscher Brücke als Rauschterm Signalerkennungsprobleme mit Brownscher Bewegung als Rauschterm Eine weitere Verallgemeinerung des einseitigen Kolmogorov Smirnov Tests 61 1

4 Approximationen und Schranken für Übertrittswahrscheinlichkeiten beim Boundary Crossing Problem Abschnittweise lineare Übertrittsfunktionen Konvexe und konkave Übertrittsfunktionen Eine weitere Approximation Eine untere Abschätzung für eine beliebige Übertrittsfunktion Abschätzungen durch die LösungenderOptimierungsprobleme Übertrittswahrscheinlichkeiten fürdiebrownschebewegung Übertrittswahrscheinlichkeiten für einen unendlichen Zeithorizont Übertrittswahrscheinlichkeiten für einen finiten Zeithorizont. 95 A Einfache Übertrittswahrscheinlichkeiten 97 B Anmerkungen zur Simulation Brownscher Brücken 103 Symbolverzeichnis 106 Abbildungsverzeichnis 110 Literaturverzeichnis 113 2

5 Einleitung In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns zunächst mit Gütefunktionen von Tests für beliebige Gauß Shift Experimente. Bezeichnet (H,, ) einen Hilbertraum mit zugehörigem Skalarprodukt,, so versteht man unter einem Gauß Shift mit Parameterraum (H,, ) einexperiment E =(Ω, A, {P h : h H}), mit P h P 0 für h H, dessen Dichtequotienten bzgl. des dominierenden Maßes P 0 die folgende Struktur haben: dp h =exp(l(h) 1 dp 0 2 h 2 ), h H, dabei bezeichnet L einen in h linearen Gaußschen stochastischen Prozeß, für den gilt: L(L(h) P 0 )=N(0, h 2 ). Gauß Shift Experimente spielen in der LAN Theorie von LeCam [15] die Rolle von Limesexperimenten (LAN steht dabei für Lokale Asymptotische Normalität und bezeichnet eine geeignete Konvergenz). Man erhält unmittelbar, daß z.b. die Lokationsfamilie der multivariaten Normalverteilung {P h := N(h, Id) : h IR d } auf dem Meßraum (IR d, B d )eingauß Shift Experiment mit zugehörigem (im Allgemeinen auch oft zentral genannten) stochastischen Prozeß L(h)(x) := h, x ist. Diese Familie stellt für d = 1dasein- fachste Gauß Shift Experiment dar. 3

6 Ein weiteres Beispiel für ein Gauß Shift Experiment stellt das als Signalerkennungsproblem (SEP) mit Brownscher Brücke als Rauschterm bezeichnete Experiment E =(C 0, B(C 0 ), {L(τ(h)+B B 0 ):h H 0 }) dar. Dabei sei C 0 := {f : [0; 1] IR f stetig, f(0) = f(1) = 0}, B( ) seidas kanonische Auswertungsfunktional auf C 0,d.hfür 0 t 1 setzen wir B(t)(ω) := ω(t) und B 0 sei das Wahrscheinlichkeitsmaß auf C 0, so daß der Prozeß (B(t)) 0 t 1 eine Brownsche Brücke ist. Der Parameterraum ist der Raum H 0 := {h L 2 ([0; 1],λ\ [0;1] ): 1 0 h(x) dλ\ [0;1] (x) =0}. τ bezeichne die durch τ(h)(t) := t 0 h(x) dλ\ [0;1](x) definierte Abbildung von H 0 nach C 0. Der zentrale Prozeß ergibt sich hier als das stochastische Integral L(h) := hdb. Wir bezeichnen mit B h die Verteilung der um τ(h)(t) verschobenen Brownschen Brücke auf C 0.D.h.B h ist das Wahrscheinlichkeitsmaß auf C 0,sodaß(B(t) τ(h)(t)) 0 t 1 unter B h eine Brownsche Brücke ist. Dieses Experiment stellt gleichzeitig mit dem eng verwandten Signalerkennungsproblem mit Brownscher Bewegung als Rauschterm das für uns wichtigste Anwendungsgebiet dar. In Kapitel 1 führen wir das von uns betrachtete einseitige Testproblem für das Signalerkennungsproblem mit Brownscher Brücke als Rauschterm ein: H 1 : {h H 0 τ(h)(t) 0 t [0; 1]} gegen K 1 : {h H 0 τ(h)(t) 0 t [0; 1], τ(h) 0} 4

7 Für dieses Testproblem werden häufig Kolmogorov Smirnov Tests ϕ (a,b) benutzt, die wie folgt definiert sind (a, b > 0): ϕ (a,b) := 1{ sup B(t) (a(1 t)+bt) 0}. 0 t 1 Dieser Test verwirft die Hypothese, wenn der beobachtete Pfad aus C 0 die Gerade a(1 t)+ bt an mindestens einer Stelle berührt oder überschreitet. In Kapitel 2 stellen wir zunächst die für das Arbeiten mit Gauß Shift Experimenten (mit insbesondere unendlichdimensionalen Parameterraum H) wichtigen Definitionen und Sätze zusammen. Signalerkennungsprobleme sind bereits für sich betrachtet interessante Forschungsgegenstände. Ihre tiefere Bedeutung erhalten sie jedoch dadurch, daß sie in der Nichtparametrik als Limesexperimente auftreten. So gilt z.b. für eine 2 differenzierbare Kurve von Verteilungen (P t ) t IR mit P 0 = λ\ [0;1], P t P 0 für alle reellen t und Ableitung g L 2 0 [0; 1] des Dichtequotienten für den Test ϕ (n) (a,b) := 1{sup 0 t 1 n( ˆFn F 0 ) (a(1 t)+bt) 0}, daß lim E P n ϕ (n) n n 1 (a,b) = E B 0 1{ sup B(t)+ 0 t 1 t 0 g(x) dλ\ [0;1] (x) (a(1 t)+bt) 0}, ( ) vgl. Strasser [22], Example Dabei bezeichnet ˆF n die empirische Verteilungsfunktion und F 0 die Verteilungsfunktion von P 0.Wirsetzendabeivoraus,daßdie n für die Auswertung von ˆF n beobachteten Werte Realisierungen von unabhängigen, gemäß P 1 n verteilten Zufallsvariablen sind. Die Limesgüte der Testfolge ϕ (n) (a,b) hängt also nur noch von den lokalen Eigenschaften der zugrunde liegenden Familie (oder Kurve) von Verteilungen ab. Man beachte an dieser Stelle, daß aus der Voraussetzung der 2 Differenzierbarkeit der Kurve von Verteilungen folgt, daß für x [0; 1] gilt: lim t 0 1/t(F Pt (x) F P0 (x)) = x g(y) dλ\ 0 [0;1](y), d.h. für kleine t gilt F Pt (x) F P0 (x)+t x g(y) dλ\ 0 [0;1](y), vgl. Janssen [12], 14. Aus ( ) erhalten wir ebenfalls eine Rechtfertigung für das in Kapitel 1 betrachtete Testproblem, denn eine differenzierbare Familie mit Tangente g, die zusätzlich die Eigenschaft τ(g)(t) > 0für alle t (0; 1) erfüllt, gehört zu einer Familie, für die 5

8 zumindest lokal gilt: (P t ) ist stochastisch größer als P 0 für t<0 und (P t ) ist stochastisch kleiner als P 0 für t>0. Aus Gleichung ( ) erkennen wir, daß für die Bestimmung der Limesgüte die Kenntnis von Übertrittswahrscheinlichkeiten erforderlich ist. Diese sind jedoch in den wenigsten Fällen explizit bekannt. Wenn auch eine globale Analyse der Limesgüte in aller Regel nicht möglich ist, so kann man doch lokale Aussagen für das Limesexperiment machen. Ist E = (Ω, A, {P h : h H}) ein beliebiger Gauß Shift, so gilt nämlich ganz allgemein für einen Test ϕ :Ω IR: E P h ϕ = E P0 ϕ + b(h) + a(h) o( 2 )bei 0. Der Ausdruck b(h) ist dabei ein lineares Funktional auf H mit b(h) = ϕl(h) dp 0. Da dieser Operator beschränkt ist existiert ein als Gradient bezeichnetes Element h 0 H, sodaßb(h) = h, h 0 für alle h H gilt. Für den Test ϕ (a,b) ist der Gradient h 0,(a,b) z.b. explizit bekannt. Das weitestgehende Resultat über die Abbildung a(h) findet sich bei Janssen [11]. So hängen etwa globale Aussagen über die Gütefunktion von Kolmogorov Smirnov Tests von Übertrittswahrscheinlichkeiten ab. Wir hatten bereits erwähnt, daß diese Wahrscheinlichkeiten in aller Regel nicht explizit bekannt sind. Da aber die lokalen Größen E P0 ϕ und E =0 P h ϕ bekannt sind, liegt es nahe, die Gütefunktion aus diesen lokalen Größen zu extrapolieren. Im Mittelpunkt steht die Frage, welche globalen Güteschranken sich generell für Tests ergeben, wenn das Niveau α und die Steigung b(h) vorgegeben sind. Die Konstruktion von Einhüllenden führt auf ein Optimierungsproblem. Dieses formulieren wir präzise in Kapitel 3 und geben Tests an, die die dort angegebenen Schranken annehmen, d.h. wir zeigen gleichzeitig, daß sich diese Schranken in der von uns betrachteten Klasse von Tests nicht verbessern lassen. Insbesondere sind wir in diesem Fall in der Lage reelle Konstanten b 1 und b 2 anzugeben, so daß Φ(b 2 + h ) E Ph ϕ 1 Φ(b 1 h ) 1 α Φ(b 1 ) 6

9 gilt, vgl. Satz (5.7). Hierbei ist Φ(x) := x 1 2π exp( y2 ) dλ\(y) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Ein auf die zweiseitige Situation 2 zugeschnittenes Optimierungsproblem wurde von Strasser [24] betrachtet. Insbesondere lassen sich diese Ergebnisse auf Signalerkennungsprobleme mit sowohl Brownscher Brücke, als auch Brownscher Bewegung als Rauschterm anwenden. In Kapitel 4 beschäftigen wir uns mit einer naheliegenden Variante des SEP mit Brownscher Brücke als Rauschterm, indem wir nur noch voraussetzen, daß das Signal lediglich auf einem Intervall [0; t 0 ] mit einem festen t 0 < 1zubeobachtenist.Wir geben unter anderem eine Darstellung der Stammfunktion des Gradienten eines auf diese Situation zugeschnittenen Kolmogorov Smirnov Tests an. ϕ (a,b),t := 1{ sup 0 t t 0 B(t) (a(1 t)+bt) 0}. In Kapitel 5 schlagen wir eine Brücke von Kolmogorov Smirnov Tests ϕ (a,b) zum (einseitigen) Boundary Crossing Problem. Unter dem (einseitigen) Boundary Crossing Problem verstehen wir die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, daß ein Pfad einer Brownschen Brücke eine Übertrittsfunktion mit Definitionsbereich [0; 1] an mindestens einer Stelle t [0;1] überschreitet. Dabei benutzen wir Ansätze zur Bestimmung der (lokalen) Güte von ϕ (a,b) um Approximationen, bzw. sinnvolle Abschätzungen für bestimmte Übertrittswahrscheinlichkeiten herzuleiten. Unter anderem benutzen wir die Ergebnisse aus Kapitel 3 um obere und untere Schranken angeben zu können. Wir leiten eine approximative Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, daß eine Brownsche Brücke eine konvexe, abschnittweise lineare und stetige Übertrittsfunktion an mindestens einer Stelle t (0;1) überschreitet, her. Zusätzlich leiten wir aus älteren Resultaten über das asymptotische Verhalten des Gradienten noch eine Abschätzung und eine weitere Approximation her. Zum Schluß geben wir noch an, wie sich die vorgestellten Abschätzungen, bzw. Approximationen 7

10 auf Übertrittswahrscheinlichkeiten für die Brownsche Bewegung mit sowohl endlichem als auch unendlichem Zeithorizont übertragen lassen. Bei Herrn Prof. Dr. A. Janssen möchte ich mich an dieser Stelle für die Hilfe bei der Anfertigung meiner Arbeit und die immer vorhandene Diskussionsbereitschaft bedanken. Herr Janssen hat bereits meine dem selben Themenbereich entstammende Diplomarbeit mit großem Interesse betreut und mich dadurch motiviert, meine Studien auf diesem Gebiet weiter zu vertiefen. Für die Korrektur meiner Arbeit und viele hilfreiche Verbesserungsvorschläge bedanke ich mich bei dem Zweitgutachter Herrn Prof. Dr. N. Henze. 8

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

Die Optimalität von Randomisationstests

Die Optimalität von Randomisationstests Die Optimalität von Randomisationstests Diplomarbeit Elena Regourd Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Düsseldorf im Dezember 2001 Betreuung: Prof. Dr. A. Janssen Inhaltsverzeichnis

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

1 Konvexe Funktionen. 1.1 Definition. 1.2 Bedingung 1.Ordnung. Konvexität und Operationen, die die Konvexität bewahren Seite 1

1 Konvexe Funktionen. 1.1 Definition. 1.2 Bedingung 1.Ordnung. Konvexität und Operationen, die die Konvexität bewahren Seite 1 Konvexität und Operationen, die die Konvexität bewahren Seite 1 1 Konvexe Funktionen 1.1 Definition Eine Funktion f heißt konvex, wenn domf eine konvexe Menge ist und x,y domf und 0 θ 1: f(θx + (1 θ)y)

Mehr

4. Versicherungsangebot

4. Versicherungsangebot 4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Klausur Mathematik 2

Klausur Mathematik 2 Mathematik für Ökonomen WS 2014/15 Campus Duisburg PD Dr. V. Krätschmer, Fakultät für Mathematik Klausur Mathematik 2 17.02.2015, 12:30-14:30 Uhr (120 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib-

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt

Mehr

Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen

Mehr

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

Kurzeinführung zum Plotten in Maple

Kurzeinführung zum Plotten in Maple Kurzeinführung zum Plotten in Maple Dies ist eine sehr kurze Einführung, die lediglich einen Einblick in die Visualisierung von Funktionen und Mengen gestatten soll und keinesfalls um Vollständigkeit bemüht

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Pädagogik. Melanie Schewtschenko. Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe. Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig?

Pädagogik. Melanie Schewtschenko. Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe. Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig? Pädagogik Melanie Schewtschenko Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig? Studienarbeit Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung.2 2. Warum ist Eingewöhnung

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Beweisbar sichere Verschlüsselung

Beweisbar sichere Verschlüsselung Beweisbar sichere Verschlüsselung ITS-Wahlpflichtvorlesung Dr. Bodo Möller Ruhr-Universität Bochum Horst-Görtz-Institut für IT-Sicherheit Lehrstuhl für Kommunikationssicherheit bmoeller@crypto.rub.de 6

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.) Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Das Mathematik-Abitur im Saarland

Das Mathematik-Abitur im Saarland Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die

Mehr

Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern

Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Ausgewählte Ergebnisse einer Befragung von Unternehmen aus den Branchen Gastronomie, Pflege und Handwerk Pressegespräch der Bundesagentur für Arbeit am 12. November

Mehr

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,

Mehr

1.3 Die Beurteilung von Testleistungen

1.3 Die Beurteilung von Testleistungen 1.3 Die Beurteilung von Testleistungen Um das Testergebnis einer Vp zu interpretieren und daraus diagnostische Urteile ableiten zu können, benötigen wir einen Vergleichsmaßstab. Im Falle des klassischen

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören:

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: david vajda 3. Februar 2016 Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: Elektrische Stromstärke I Elektrische Spannung U Elektrischer Widerstand R Ladung Q Probeladung q Zeit t Arbeit

Mehr

Softwareentwicklungspraktikum Sommersemester 2007. Grobentwurf

Softwareentwicklungspraktikum Sommersemester 2007. Grobentwurf Softwareentwicklungspraktikum Sommersemester 2007 Grobentwurf Auftraggeber Technische Universität Braunschweig

Mehr

Geld Verdienen im Internet leicht gemacht

Geld Verdienen im Internet leicht gemacht Geld Verdienen im Internet leicht gemacht Hallo, Sie haben sich dieses E-book wahrscheinlich herunter geladen, weil Sie gerne lernen würden wie sie im Internet Geld verdienen können, oder? Denn genau das

Mehr

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen 5.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind zwei

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

14 Schmiegeparabel und Freunde, Taylor-Reihe

14 Schmiegeparabel und Freunde, Taylor-Reihe 14 Schmiegeparabel und Freunde, Taylor-Reihe Jörn Loviscach Versionsstand: 20. März 2012, 16:01 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.j3l7h.de/videos.html

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Ein Vorwort, das Sie lesen müssen!

Ein Vorwort, das Sie lesen müssen! Ein Vorwort, das Sie lesen müssen! Sehr geehrte Teilnehmerin, sehr geehrter Teilnehmer am Selbststudium, herzlichen Glückwunsch, Sie haben sich für ein ausgezeichnetes Stenografiesystem entschieden. Sie

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Schleswig-Holstein 2011. Kernfach Mathematik

Schleswig-Holstein 2011. Kernfach Mathematik Aufgabe 6: Stochastik Vorbemerkung: Führen Sie stets geeignete Zufallsvariablen und Namen für Ereignisse ein. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsvariablen. Eine repräsentative

Mehr

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1 B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,

Mehr

Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K.

Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. Aufgabe I 1 Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge D f an. Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der x-achse. Bestimmen Sie die Intervalle,

Mehr

Aufgabenset 1 (abzugeben 16.03.2012 an LK@wacc.de)

Aufgabenset 1 (abzugeben 16.03.2012 an LK@wacc.de) Aufgabenset 1 (abzugeben 16.03.2012 an LK@wacc.de) Aufgabe 1 Betrachten Sie die Cashflows der Abbildung 1 (Auf- und Abwärtsbewegungen finden mit gleicher Wahrscheinlichkeit statt). 1 Nehmen Sie an, dass

Mehr

Erstellen einer Collage. Zuerst ein leeres Dokument erzeugen, auf dem alle anderen Bilder zusammengefügt werden sollen (über [Datei] > [Neu])

Erstellen einer Collage. Zuerst ein leeres Dokument erzeugen, auf dem alle anderen Bilder zusammengefügt werden sollen (über [Datei] > [Neu]) 3.7 Erstellen einer Collage Zuerst ein leeres Dokument erzeugen, auf dem alle anderen Bilder zusammengefügt werden sollen (über [Datei] > [Neu]) Dann Größe des Dokuments festlegen beispielsweise A4 (weitere

Mehr

WP-Fach Informationen für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 5

WP-Fach Informationen für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 5 Schule der Sekundarstufe I in Trägerschaft der Stadt im Schulzentrum Rothenstein WP-Fach Informationen für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 5 Liebe Schülerinnen und Schüler, im 6. Schuljahr

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik

Mehr

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y

Mehr

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und

Mehr

Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut wird, dass sie für sich selbst sprechen können Von Susanne Göbel und Josef Ströbl

Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut wird, dass sie für sich selbst sprechen können Von Susanne Göbel und Josef Ströbl Persönliche Zukunftsplanung mit Menschen, denen nicht zugetraut Von Susanne Göbel und Josef Ströbl Die Ideen der Persönlichen Zukunftsplanung stammen aus Nordamerika. Dort werden Zukunftsplanungen schon

Mehr

Fragebogen zur Diplomarbeit von Thomas Friedrich

Fragebogen zur Diplomarbeit von Thomas Friedrich Fragebogen zur Diplomarbeit von Thomas Friedrich Thema der Diplomarbeit: Optimierungspotentiale Klein- und mittelständischer Unternehmen - Methodenanalyse zur Effektivitätssteigerung und Kostenreduktion

Mehr

Test 2: Universitäts- oder Fachhochschulstudium? 24 Auswertung: Universitäts- oder Fachhochschulstudium? 27

Test 2: Universitäts- oder Fachhochschulstudium? 24 Auswertung: Universitäts- oder Fachhochschulstudium? 27 Inhalt Einleitung 7 Erläuterungen zu den Tests 9 Test 1: Berufliche Ausbildung oder Studium? 10 Ausbildungsmöglichkeiten nach dem Abitur oder der Fachhochschulreife 10 Auswertung: Berufliche Ausbildung

Mehr

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit

Info zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit Da es oft Nachfragen und Verständnisprobleme mit den oben genannten Begriffen gibt, möchten wir hier versuchen etwas Licht ins Dunkel zu bringen. Nehmen wir mal an, Sie haben ein Stück Wasserrohr mit der

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2015. Baden-Württemberg

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2015. Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Fachhochschulreie 2015 www.mathe-augaben.com Hauptprüung Fachhochschulreie 2015 Baden-Württemberg Augabe 1 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Anleitung über den Umgang mit Schildern

Anleitung über den Umgang mit Schildern Anleitung über den Umgang mit Schildern -Vorwort -Wo bekommt man Schilder? -Wo und wie speichert man die Schilder? -Wie füge ich die Schilder in meinen Track ein? -Welche Bauteile kann man noch für Schilder

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Die perfekte Bewerbung richtig schreiben online & klassisch

Die perfekte Bewerbung richtig schreiben online & klassisch make-it-better (Hrsg.) Die perfekte Bewerbung richtig schreiben online & klassisch Ein gratis Bewerbungsbuch von make-it-better die Agentur für Bewerbung & Coaching Liebe Leserin, lieber Leser, ich erleben

Mehr

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS. 11. Mai 2015. Mathematik. Teil-2-Aufgaben. Korrekturheft. öffentliches Dokument

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS. 11. Mai 2015. Mathematik. Teil-2-Aufgaben. Korrekturheft. öffentliches Dokument Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS 11. Mai 2015 Mathematik Teil-2-Aufgaben Korrekturheft Aufgabe 1 200-m-Lauf a) Lösungserwartung: s (t) = 7 75 t + 1,4 s (t) = 7 75 s (t)

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

Arbeitspunkt einer Diode

Arbeitspunkt einer Diode Arbeitspunkt einer Diode Liegt eine Diode mit einem Widerstand R in Reihe an einer Spannung U 0, so müssen sich die beiden diese Spannung teilen. Vom Widerstand wissen wir, dass er bei einer Spannung von

Mehr

Schritt 1. Anmelden. Klicken Sie auf die Schaltfläche Anmelden

Schritt 1. Anmelden. Klicken Sie auf die Schaltfläche Anmelden Schritt 1 Anmelden Klicken Sie auf die Schaltfläche Anmelden Schritt 1 Anmelden Tippen Sie Ihren Benutzernamen und Ihr Passwort ein Tipp: Nutzen Sie die Hilfe Passwort vergessen? wenn Sie sich nicht mehr

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

4. Dynamische Optimierung

4. Dynamische Optimierung 4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger

Mehr

Hohe Kontraste zwischen Himmel und Landschaft abmildern

Hohe Kontraste zwischen Himmel und Landschaft abmildern PhotoLine-Bildbearbeitung Erstellt mit Version 16.11 In diesem Beispiel möchte ich zeigen, wie ich zur Zeit Landschaftsbilder mit hohen Kontrasten bearbeite. "Zur Zeit" deshalb, weil sich das natürlich

Mehr

Wichtiges Thema: Ihre private Rente und der viel zu wenig beachtete - Rentenfaktor

Wichtiges Thema: Ihre private Rente und der viel zu wenig beachtete - Rentenfaktor Wichtiges Thema: Ihre private Rente und der viel zu wenig beachtete - Rentenfaktor Ihre private Gesamtrente setzt sich zusammen aus der garantierten Rente und der Rente, die sich aus den über die Garantieverzinsung

Mehr

Inhalt. 1. Einleitung Hilfe, mein Kind kann nicht richtig schreiben und lesen! Seite

Inhalt. 1. Einleitung Hilfe, mein Kind kann nicht richtig schreiben und lesen! Seite Inhalt 1. Einleitung Hilfe, mein Kind kann nicht richtig schreiben und lesen! 2. Praxisbeispiele Wie sieht ein Kind mit Legasthenie? Wie nimmt es sich wahr? 3. Begriffsklärung Was bedeuten die Bezeichnungen

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2010 im Fach Mathematik. 26. Mai 2010

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2010 im Fach Mathematik. 26. Mai 2010 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 00 im Fach Mathematik 6. Mai 00 LÖSUNGEN UND BEWERTUNGEN Mittlerer Schulabschluss 00, schriftliche

Mehr

(Lineare) stochastische Optimierung

(Lineare) stochastische Optimierung (Lineare) stochastische Optimierung Bsp: Aus zwei Sorten Rohöl wird Benzin und Heizöl erzeugt. Die Produktivität sowie der Mindestbedarf (pro Woche) und die Kosten sind in folgender Tabelle angegeben:

Mehr

Buchhaltung mit WISO EÜR & Kasse 2011

Buchhaltung mit WISO EÜR & Kasse 2011 Vorbemerkung... 1 1. Erste Schritte...Fehler! Textmarke nicht definiert.3 2. Einrichten des Programms... 5 3. Buchungen... 22 1. Anfangsbestand buchen... 22 2. Privateinlage in die Kasse... 26 4. Buchungen

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Wachstum 2. Michael Dröttboom 1 LernWerkstatt-Selm.de

Wachstum 2. Michael Dröttboom 1 LernWerkstatt-Selm.de 1. Herr Meier bekommt nach 3 Jahren Geldanlage 25.000. Er hatte 22.500 angelegt. Wie hoch war der Zinssatz? 2. Herr Meiers Vorfahren haben bei der Gründung Roms (753. V. Chr.) 1 Sesterze auf die Bank gebracht

Mehr

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist

Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist Frage Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist k a F (x) =1 k>0,x k x Finden Sie den Erwartungswert und den Median der Dichte für a>1. (Bei

Mehr

A Lösungen zu Einführungsaufgaben zu QueueTraffic

A Lösungen zu Einführungsaufgaben zu QueueTraffic A Lösungen zu Einführungsaufgaben zu QueueTraffic 1. Selber Phasen einstellen a) Wo im Alltag: Baustelle, vor einem Zebrastreifen, Unfall... 2. Ankunftsrate und Verteilungen a) poissonverteilt: b) konstant:

Mehr

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es

Mehr