2. Integration. {x : f(x) <a+ 1 n }

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1 Definition. 2. Integration in Maß ist eine nichtnegative, abzählbar additive Mengenfunktion. in Maßraum ist ein Tripel (X,,µ) bestehend aus einem messbaren Raum X mit der -lgebra und einem auf definierten Maß µ. r heißt endlich, falls µ(x) < 1. Unser wesentliches Beispiel für einen Maßraum ist X = R n mit der -lgebra der Lebesguemessbaren Mengen und dem Lebesgue-Maß. s langt, diesen Fall im uge zu behalten. s gibt jedoch noch viele weitere Beispiele, etwa die -lgebra der Borel-Mengen in R n (mit dem Lebesgue-Maß) oder X = mit der Potenzmenge = P und dem ählmaß Definition. ine Funktion f : X! R [{+1, 1} heißt messbar, falls für alle a 2 R die Menge {x 2 X : f(x) >a} messbar ist. Messbarkeit hängt nicht von dem Maß, sondern nur von der -lgebra ab. So kann man etwa von Borel-messbaren Funktionen f : R n! R zu sprechen, wo für jedes a 2 R die Menge {x : f(x) >a} eine Borel-Menge ist Bemerkung. bensogut hätte man fordern können (i) {x 2 X : f(x) a} messbar für alle a, (ii) {x 2 X : f(x) <a} messbar für alle a oder (iii) {x 2 X : f(x) apple a} messbar für alle a Beweis. Schreibe (1) (2) (3) {x : f(x) a} = \ 1 {x : f(x) >a n } n {x : f(x) <a} = X \{x : f(x) a} {x : f(x) apple a} = \ n {x : f(x) <a+ 1 n } (4) {x : f(x) >a} = X \{x : f(x) apple a} Dann folgt aus der Messbarkeit der Mengen in Definition 2.2 die von (1), daraus die von (2), daraus die von (3) daraus die von (4) und daraus wiederum die von denjenigen in Lemma. Jede stetige Funktion f : R n! R ist Borel- (und somit auch Lebesgue-)messbar. Beweis. {x 2 R n : f(x) >a} ist das Urbild der offenen Menge ]a, 1[ unter f, also offen und damit messbar Satz. Ist f messbar, so auch f (die Umkehrung gilt nicht). Sind f k messbar, so auch g 1 =supf k, h 1 =limsupf k, g 2 =inff k,h 2 =liminff k. Insbesondere: Sind f,g messbar, so auch max{f,g} und min{f,g}, noch spezieller auch die Funktionen f + = max{f,0} und f = min{f,0}. (d) Der Grenzwert einer punktweise konvergenten Folge messbarer Funktionen ist messbar. Sind f,g : X! R messbar, und ist F : R 2! R stetig, so ist die durch h(x) =F (f(x),g(x)) definierte Funktion messbar. Insbesondere: f + g und f g sind messbar.

2 chtung. Umgekehrt folgt aus der Stetigkeit von F : R! R und der Messbarkeit von f nicht die Messbarkeit von f F! 2.7. Definition Satz. s sei X. Diedurch 1 x 2 (x) = 0 x/2 definierte Funktion heißt charakteristische Funktion von. ine einfache Funktion ist eine Funktion der Form kx s = j=1 c j mit c j 2 R und j X paarweise disjunkt. Klar: Sind alle j messbar, so ist s messbar. Sind die c j außerdem paarweise verschieden, so sind mit s auch alle j messbar, denn dann ist k = {x : c k "<s(x) <c k + "} für hinreichend kleines ">0. u jeder Funktion f : X! R [ {±1} gibt es eine Folge s j einfacher Funktionen mit s j (x)! f(x) für alle x. Ist f zusätzlich messbar, so kann man die s j messbar wählen. Ist f messbar und 0, so kann man eine monoton wachsende Folge messbarer nichtnegativer s j finden. Beweis. Istf 0 so definiert man für k, j 2 N, 1 apple j apple k 2 k : kj = x : j 1 2 k apple f(x) < j 2 k und F k = {x : f(x) k}. Ist f messbar, so auch kj und F k. Nun setzen wir s k = k2 k X j=1 j j 1 2 k kj + k Fk Die Folge ist monoton wachsend, messbar, falls f messbar ist, und konvergiert punktweise gegen f. Für beliebiges f schreibt man f = f + f und wendet die Konstruktion auf f ± an Bemerkung. Ist f beschränkt, so konvergiert die obige Folge (s k ) sogar gleichmäßig gegen f Definition. s sei s = P k j=1 c j j nichtnegativ und messbar. Dann setzen wir kx sdµ= c j µ( j ) 2 R [{+1}. j=1 Ist f messbar und nichtnegativ, so setzt man fdµ=sup wobei s einfach und messbar ist mit 0 apple s apple f. sdµ,

3 11 Ist f messbar, so setzt man fdµ= f + dµ f dµ 2 R [ {±1} vorausgesetzt, es sind nicht beide Terme rechts unendlich. Die Funktion f heißt integrierbar (im Sinne von Lebesgue), falls beide Terme rechts endlich sind. Wir schreiben dann f 2 L 1 (X). Will man betonen, über welche Variablen integriert wird so schreibt man z.b. R f(x, y) dµ(y). Istµ das Lebesgue-Maß m auf R n, so schreibt man einfach dx statt dm bzw. dm(x). (d) Ist messbar, so definieren wir für messbares f: fdµ= f dµ. Wir schreiben f 2 L 1 (), falls f 2 L 1 (X) Lemma. s sei f : X! R [ {±1} messbar, X messbar. (d) (e) (f) Ist f auch beschränkt auf, undistµ() < 1, soistf 2 L 1 (). Ist a apple f(x) apple b für alle x 2 und ist µ() < 1, soist aµ() apple fdµapple bµ(). Sind f,g 2 L 1 () und ist f(x) apple g(x) für alle x 2, soist fdµapple gdµ. Sind f,g 2 L 1 (), c, d 2 R, soistcf + dg 2 L 1 () und cf + dg dµ = c fdµ+ d fdµ. Ist f messbar und µ() =0,soist fdµ=0. Ist f 2 L 1 () und messbar, so ist f 2 L 1 () Satz. s sei f 0 messbar. Wir definieren die Mengenfunktion ' f :!R [{+1} durch ' f () = R fdµ.dann ist ' f abzählbar additiv. Damit ist ' f wegen der Nichtnegativität sogar ein Maß. Dies liefert eine wichtige Beispielklasse von Maßen Folgerung. s sei f messbar, und es existiere R fdµ.istmessbar und N eine Nullmenge, so gilt fdµ= fdµ. [N Beweis. Schreibe [ N = [ N 0 (disjunkt), wobei N 0 = N \ ebenfalls Nullmenge ist. Nach Satz 2.12 und 2.11(e) ist f ± dµ = f ± dµ + f ± dµ = f ± dµ +0. [N N 0

4 Definition. Wir definieren eine Relation auf der Menge der Funktionen auf X durch f g, µ ({x : f(x) 6= g(x)}) = 0; gesprochen: f ist fast überall gleich g oder f = g f.ü.. Man sieht leicht, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man sagt, eine igenschaft gelte fast überall auf X (bezüglich eines festen Maßes), falls die Menge, auf der die igenschaft verletzt ist, das Maß Null hat. Für X messbar schreibt man auch f = g f.ü. auf, falls µ({x : f(x) 6= g(x)}\) = Lemma. Gilt f = g fast überall, so sieht man leicht, dass (1) (2) (3) f messbar, g messbar fdµexistiert, gdµ existiert f 2 L 1, g 2 L 1 ; xistiert eines der beiden Integrale, so ist für jede messbare Teilmenge von X (4) fdµ= gdµ Bemerkung. Nullmengen spielen also bei der Integration keine Rolle. s ist daher üblich, L 1 (X) nicht als Menge von Funktionen zu sehen, sondern als Menge von Äquivalenzklassen von Funktionen. nders ausgedrückt: Man unterscheidet nicht zwischen zwei Funktionen, wenn sie außerhalb einer Nullmenge übereinstimmen. Beispielsweise identifiziert man die Nullfunktion auf R n und Lemma. Ist f 2 L 1 (X), so haben die Mengen {x : f(x) =+1} und {x : f(x) = 1} beide das Maß Null. s ist also f(x) < +1 f.ü.. Ist f 0 messbar und R fdµ=0,soistf =0fast überall. Beweis. folgt aus Wir schreiben {x : f(x) 6= 0} = [ j x : 1 j +1 apple f(x) < 1 j Q n, weil Q n eine Nullmenge ist. [{x : f(x) 1}; dies ist eine abzählbare disjunkte Vereinigung messbarer Mengen. Ist also f nicht fast überall Null, so hat eine dieser Mengen positives Maß, und die Behauptung folgt aus Lemma. Ist f 2 L 1 (X), soist f 2L 1 (X) und R fdµ apple R f dµ. Ist f messbar, g 2 L 1 (X) und f appleg, soistf 2 L 1 (X). Beweis. Schreibe = {x : f(x) also nach Satz 2.12 f dµ = so dass f 2L 1 (X). Wegen f + apple g, f apple g. 0} und B = {x : f(x) < 0}. DannistX = [ B (disjunkt), f dµ + f dµ = f + dµ + f B B f applef apple f folgt die bschätzung. dµ,

5 2.19. rinnerung. ine monoton wachsende Folge reeller ahlen (a k ) ist konvergent, falls sie beschränkt ist, ansonsten divergiert sie bestimmt gegen +1. Wir schreiben lim a k für den Grenzwert in R [{+1} Satz von Lebesgue über monotone Konvergenz. s sei (f j ) eine Folge messbarer Funktionen mit 0 apple f 1 (x) apple f 2 (x) apple... für alle x 2 X. Sei f : X! R [{+1} definiert durch f(x) =limf j (x). Danngilt lim f j dµ = fdµ= lim f j dµ 2 R [{+1} Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz. s sei (f j ) eine Folge messbarer Funktionen. Der Grenzwert f(x) =limf j (x) existiere fast überall. Ferner gebe es eine Funktion g 2 L 1 (X) mit f j (x) appleg(x) fast überall. Dann ist f 2 L 1 (X) und lim f j dµ = fdµ= lim f j dµ Satz (Stetigkeit parameterabhäniger Integrale). s sei T ein metrischer Raum (z. B. T R k ), t 0 2 T und f : T X! R eine Funktion mit folgenden igenschaften (i) (ii) Für jedes feste t 2 T ist f(t, ) messbar. 9g 2 L 1 (X) : f(t, x) appleg(x) fast überall. (iii) lim t!t0 f(t, x) =f(t 0,x) für fast alle x. Dann ist die bbildung (1) stetig in t 0. t 7! f(t, x) dµ(x) Beweis. Wegen Bedingung (ii) ist f für jedes t nach x integrierbar, somit die rechte Seite in Gleichung (1) definiert. Seien t k 2 T mit t k! t 0. Definiere f k (x) :=f(t k,x). Danngilt f k (x) apple g(x) fast überall f k (x)! f(t 0,x) fast überall Mit dominierter Konvergenz: R f(t k,x) dµ = R f k (x) dµ! R f(t 0,x) dµ Satz (Differenzieren unter dem Integral). s sei T offene Menge in R k, j 2{1,...,k}, und f : T X! R habe folgende igenschaften (i) (ii) (iii) Dann gilt Für jedes t 2 T ist f(t, ) integrierbar Für jedes x 2 X ist t 7! (t, x) stetig auf T (insbesondere existiere die bleitung). s gibt ein h 2 L 1 (X) mit (t, x) appleh(x) für alle t und x. Für jedes t ist x 7! (t, x) :X! R messbar.

6 14 R f(t, x) dµ(x) existiert für alle t und ist auf T partiell nach tj differenzierbar f(t, x) dµ(x) = (t, x) dµ(x). Beweis. Die partielle bleitung ist als punktweiser Grenzwert messbarer Funktionen messbar: Für jedes x ist f(t + he j,x) f(t, x) (t, x) =lim, h!0 h und die Funktionen auf der rechten Seite (parametrisiert durch h) sind messbar. s sei o.b.d.. k =1und F (t) = R f(t, x) dµ(x). Dannist F (t) F (t 0 ) f(t, x) f(t0,x) 1 = dµ(x) = t t 0 t t (t 0 + s(t 0 t 0 ),x) ds dµ(x). Nun ist für festes x und jede Folge t k! t 0 mit dem Satz von der dominierten Konvergenz (mit (ii)) 1 1 (1) lim k!1 (t 0 + s(t k t 0 ),x) ds = (t 0,x) ds (t 0,x). s folgt, wiederum mit dem Satz von der dominierten Konvergenz ((iii) für Dominieren, (1) für Konvergenz): 1 F 0 (t 0 )= lim k!1 (t 0 + s(t k t 0 ),x) ds dµ(x) (t 0,x) dµ(x) Satz: Vergleich mit dem Riemann-Integral. Ist f :[a, b]! R Riemann-integrierbar (also insbesondere beschränkt), so ist f 2 L 1 ([a, b]) und b f(x) dm = f(x) dx. [a,b] (Linke Seite im Sinne von Lebesgue, rechte Seite im Sinn von Riemann.) Man schreibt daher auch für Lebesgue-Integrale R b a statt R [a,b]. Ist f auf [a, b] beschränkt, so ist f genau dann Riemann integrierbar, wenn f fast überall stetig ist (d.h. das Maß aller Punkte, in denen f unstetig ist, ist Null). Ist I ein Intervall in R (eventuell halbunendlich oder = R) und f nichtnegativ und uneigentlich Riemann-integrierbar, so ist f 2 L 1 (I), und das Lebesgue-Integral stimmt mit dem uneigentlichen Riemann-Integral überein. (Wichtig: f 0!) a Warnung. Die ussagen f ist fast überall stetig und f ist fast überall gleich einer stetigen Funktion sind nicht äquivalent: Betrachte Q. Die Nichtnegativität von f in 2.24 ist wesentlich: Betrachte etwa f :[1, 1[! R, f(x) = ( 1) n /n auf [n, n + 1[.

7 Integration komplexwertiger Funktionen Definition. ine Funktion f : X! heißt messbar, falls ihr Realteil und ihr Imaginärteil messbare Funktionen sind. Sie heißt integrierbar (schreibe f 2 L 1 (X)), falls Real- und Imaginärteil integrierbar sind. Man setzt dann fdµ= Re fdµ+ i Im fdµ Lemma. Sind f 1,f 2 : X! messbar, so auch f 1 + f 2,f 1 f 2, f 1. Beweis. Re (f 1 + f 2 )=Ref 1 +Ref 2, Im (f 1 + f 2 )=Imf 1 +Imf 2. Re (f 1 f 2 )=(Ref 1 )(Re f 2 ) (Im f 1 )(Im f 2 ), Im (f 1 f 2 )=(Ref 1 )(Im f 2 )+(Imf 1 )(Re f 2 ). f 1 = (Re f 1 ) 2 +(Imf 1 ) 2 1/2. lle diese Funktionen sind messbar nach Lemma. Ist f : X! messbar, so gilt: f integrierbar, f integrierbar. Beweis. Dies folgt mit 2.18 aus den Ungleichungen Re f apple f, Im f apple f bzw. f apple Re f + Im f Bemerkung. Die Sätze der Integrationstheorie gelten auch für komplexwertige Funktionen. (d.h. 2.8,(d),(e),(f), 2.13, 2.15, 2.18, 2.21, 2.24). Die Beweise lassen sich alle direkt verallgemeinern; lediglich bei 2.18 muss man sich etwas überlegen: s gibt ein c 2 mit c =1,sodass R cf dµ = c R fdµreell und nichtnegativ ist. Schreibe cf = u + iv Dann ist u apple f, und es gilt: fdµ = cf dµ = udµapple fdµ; dabei gilt das letzte Gleichheitszeichen, weil das Integral reell ist Beispiel. Die Fouriertransformierte ˆf einer L 1 (R n )-Funktion f ist definiert durch ˆf( ) = e ix f(x) dx, 2 R n. Behauptung. ˆf ist stetig. Beweis Für k! in R n gilt: ˆf( k )= e ix k f(x) dx. Um zu zeigen, dass ˆf( k )! ˆf( ) wenden wir den Satz von der dominierten Konvergenz an: Weil e ix k =1ist, ist e ix kf(x) eine Folge in L 1 (R n ).sgilt (i) e ix kf(x)! e ix f(x) für jedes x, und (ii) e ix kf(x) = f(x) für alle k. Damit folgt lim ˆf( k )=lim e ix k f(x) dx dom Kvgz = e ix f(x) dx = ˆf( ).