Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit

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1 Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226

2 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n und schreiben abkürzend (x n ):=(x 0,x,...,x k,...) für die Sammlung aller Bilder. x n heißt n-tes Folgenglied. Bemerkung: Manchmal macht es Sinn den Definitionsbereich einzuschränken, dieser sollte allerdings dann keine Lücken haben. Beispiele: (n) hat den Definitionsbereich 0. n hat den Definitionsbereich. hat den Definitionsbereich 5. (n+)(n 4) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 77 / 226

3 Technisches Hilfsmittel zur Beschreibung des Verhaltens von Zahlenfolgen: Definition ("-Umgebung) Für a 2 und "> 0 heißt das o ene Intervall ]a ", a + "[= {x 2 x a <"} die "-Umgebung von a und wird mit U " (a) bezeichnet. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 78 / 226

4 Was bedeutet Eine Folge läuft gegen einen festen Wert? Definition 6.3 (Konvergenz von Zahlenfolgen) Eine Folge (x n ) heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn gilt 8" >0 9n n n 0 : x n a <". Wir schreiben: lim n! x n = a oder manchmal auch x n! a (n!) und sagen: (x n ) geht gegen a für n gegen unendlich, oder auch: (x n ) konvergiert gegen a. Satz 6.4 Eine konvergente Folge besitzt einen eindeutigen Grenzwert. 2 lim x n = a ist gleichbedeutend mit lim x n a =0. n! n! 3 Ist lim n! y n =0und 0 apple x n apple y n für alle n, so gilt lim n! x n =0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 79 / 226

5 Und nun halten wir noch fest, was es bedeutet, wenn eine Folge nicht konvergiert. Von Nicht-Konvergenz gibt es verschiedene Abstufungen. Definition 6.5 (Divergenz). Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent. 2. Eine Folge (x n ) heißt uneigentlich konvergent, wenn gilt 8M 2 9n n n 0 : x n >M Wir schreiben in diesem Fall lim n! x n = oder x n!(n!). Analog macht man das für. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 80 / 226

6 Beispiele 6.6: Jede Folge, die konstant wird (d.h. es gibt eine Zahl m 2,sodass x n = x m für alle n m), ist konvergent. 2 Die Folge n =, 2, 3,... konvergiert gegen 0. Genausoauchdie Folge (falls k>0). n k 3 Ist die Folge (x n ) uneigentlich konvergent und ist x n 6=0für alle n, so konvergiert die Folge x n gegen 0. 4 Die Folge ( ) n ist divergent. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / 226

7 Definition 6.7 (Teilfolge) Eine Teilfolge einer Folge erhält man, indem man aus ihr eine beliebige Anzahl von Gliedern weg lässt (keines, endlich oder unendlich viele), wobei aber unendlich viele Glieder übrigbleiben müssen. Satz 6.8 (Eigenschaften von Teilfolgen) Ist eine Folge konvergent gegen a, so konvergiert jede Teilfolge ebenfalls gegen a. 2 Hat eine Folge zwei Teilfolgen, die gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren, dann ist die Folge divergent. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 82 / 226

8 Satz 6.9 (Rechenregeln für konvergente Folgen) Es seien (x n ) bzw. (y n ) konvergente Folgen und außerdem sei c 2. Dann gilt lim (x n ± y n )= lim x n ± lim y n. n! n! n! 2 lim (c x n)=c lim x n. n! n! 3 lim n! (x n y n )= lim n! x n lim n! y n. 4 lim n! x n y n = lim n! x n lim n! y n (hierbei sei y n 6=0und lim n! y n 6= 0). 5 Ist x n apple y n oder x n <y n, dann gilt lim n! x n apple lim n! y n. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 83 / 226

9 Definition 6.0 (Grenzwert einer Funktion) Es sei D eine Teilmenge und ˆx 2 D. Weiterseif : D \{ˆx}! eine Funktion. f hat in ˆx den Grenzwert ŷ wenn gilt: Für jede Folge (x n ) in D \{ˆx} mit lim n! x n =ˆx gilt lim n! f(x n)=ŷ. Man schreibt dann lim x!ˆx f(x) =ŷ. Die Definition lässt sich auch auf ˆx = ± oder ŷ = ± erweitern. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 84 / 226

10 Definition 6. (Stetigkeit) Es sei f : D! eine Funktion auf der Teilmenge D.Dannheißt stetig in x 0 2 D, wenn lim x!x 0 f(x) =f(x 0 ) 2... stetig, wennf in jedem Punkt aus D stetig ist. Beispiele 6.2:. Die Identität und die Betragsfunktion sind stetig. 2. Die Signum-Funktion :! mit (x) := ist nicht stetig. 8 >< >: falls x>0 0 falls x =0 falls x<0 3. Die Funktion f mit f(x) = ist stetig auf ihrem Definitionsbereich x D = \{0}. 4. Die Wurzelfunktionen f : 0! 0 mit f(x) = np x für n 2 N sind stetig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 85 / 226

11 Satz 6.3 (Rechenregeln für Grenzwerte) Es seien f,g : D \{x 0 }! lim g(x) =b, sowiec 2 x!x 0 lim x!x 0 f(x) ± g(x) = a ± b. 2 lim x!x 0 c f(x) = c a. 3 lim x!x 0 f(x) g(x) = a b. 4 lim x!x 0 f(x) g(x) = a b Funktionen mit lim f(x) =a und x!x 0. Dann gilt (falls b 6= 0). Beispiele 6.2 [cont.]: 5. Die Potenzfunktionen sind stetig und die Polynome sind stetig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 86 / 226

12 Satz 6.4 Es seien f,g : D! stetig in x 0 2 D und c 2.Dannsindauch f ± g, c f, f g und f g stetig (wobei im letzten Fall g(x) 6= 0für alle x 2 D vorausgesetzt werden muss). 2 Ist f : D! stetig in x 0 2 D und g : ˆD! mit f(d) ˆD stetig in f(x 0 ) 2 ˆD, soistg f stetig in x 0. Satz 6.5 Die Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen sind stetig auf ihren Definitionsbereichen. Beispiele 6. [cont.]: 6. f : x 7! p x 2 +ist stetig. 7. x 7! arctan sin(x) ist stetig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 87 / 226

13 Nullstellensatz 6.6 Ist f :[a, b]! eine stetige Funktion mit f(a) f(b) < 0, so gibt es ein x 2 [a, b] mit f(x) =0. Beispiel: Das Polynom f mit f(x) =x 3 +2x 2 x 2 erfüllt f( 3) = 8 < 0 und f(2) = 2, hatalsoeinenullstellein[ 3, 2] (sogar drei: 2, und ). Zwischenwertsatz 6.7 Es sei f :[a, b]! eine stetige Funktion und es gelte f(a) 6= f(b). Dann gibt es zu jedem y zwischen f(a) und f(b) ein x 2 [a, b], sodassf(x) =y. Beispiel [cont.]: Das Polynom f mit f(x) =x 3 +2x 2 x 2 nimmt sogar jeden Wert in [ 8, 2] im Intervall [ 3, 2] an. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 88 / 226

14 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 89 / 226

15 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Definition 7. (Di erenzierbarkeit) Es sei f : I! eine Funktion auf dem o enen Intervall I. f heißt differenzierbar in dem Punkt x 0 2 I, wenndergrenzwert des Differenzenquotienten f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim =lim x!x 0 x x 0 h!0 h 2 existiert. Dieser Wert wird dann mit f 0 (x 0 ) bezeichnet und heißt die Ableitung von f an der Stelle x differenzierbar auf I, wennf an jeder Stelle x 2 I di erenzierbar ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 90 / 226

16 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Grundlegende Beispiele 7.2: f(x) f 0 (x) c 0 x x 2 2x x n n x n, n 2 f(x) x x n sin x cos x f 0 (x) x 2 n x n+, n 2 cos x sin x Wichtige Beobachtung: In der rechten Spalte taucht x = x nie auf! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 226

17 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Die Ableitung einer Funktion f kann man auch geometrisch interpretieren. y T Die Steigung der Tangente T im Punkt a ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. a x Definition 7.3 (Tangente) Die Gerade mit der Gleichung y = f(x 0 )+f 0 (x 0 ) (x x 0 ) heißt Tangente an den Graphen von f im Punkt x 0,f(x 0 ) (kurz auch: Tangente an f in x 0 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 92 / 226

18 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Bemerkung: Di erenzierbarkeit in x 0 bedeutet also anschaulich, dass sich die Funktionswerte von f in einer kleinen Umgebung von x 0 gut durch die Werte der Tangente annähern lassen. Man sagt auch: f ist linear approximierbar. Genauer: Satz 7.4 (Lineare Approximation) Es sei f : I! eine Funktion auf dem o enen Intervall I und x 0 2 I. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:. f ist di erenzierbar in x Es gibt eine Zahl c 2 und eine Funktion : I! mit (x) =0und lim x!x 0 In diesem Fall ist c = f 0 (x 0 ). f(x) =f(x 0 )+c (x x 0 )+ (x) (x x 0 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 93 / 226

19 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Satz 7.5 Ist f : I! di erenzierbar in x 0 2 I, soistf auch stetig in x 0. Definition 7.6 (Höhere Ableitungen). Ist f auf I di erenzierbar, so heißt die Funktion f 0 : I! mit x 7! f 0 (x) die Ableitung von f. 2. Ist f di erenzierbar, und f 0 stetig auf I so nennt man f stetig differenzierbar. 3. Sind f und f 0 di erenzierbar auf I, dann nennt man die Funktion f 00 := (f 0 ) 0 die zweite Ableitung von f. 4. Ebenso definiert man höhere Ableitungen f 000, f (4), f heißt k-mal stetig differenzierbar, wennf (k) existiert und stetig ist. 6. f heißt glatt, wennfür alle k 2 die Ableitung f (k) existiert und stetig ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 94 / 226

20 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Satz 7.7 (Di erentiationsregeln). Summenregel (f + g) 0 (x) =f 0 (x)+g 0 (x) 2. Produktregel (f g) 0 (x) =f 0 (x) g(x)+f(x) g 0 (x) f 0 3. Quotientenregel (x) = f 0 (x)g(x) f(x)g 0 (x) g g 2 (x) 4. Kettenregel (f g) 0 (x) =f 0 g(x) g 0 (x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 95 / 226

21 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Satz 7.8 (Ableitung der Umkehrfunktion) Es sei f auf dem Intervall I streng monoton und di erenzierbar und es gelte f 0 6=0. Dann ist die Umkehrfunktion f di erenzierbar auf J := f(i). Für y = f(x) 2 J, alsox = f (y), gilt dann f 0 (y) = f 0 (x). Beispiel: Wir berechnen die Ableitung von f(y) = arcsin(y). Dann ist f (x) =sinx und wegen Satz 7.8 gilt arcsin 0 (sin x) = cos x = p sin 2 x, mit y =sinx also schließlich arcsin 0 (y) = p y 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 96 / 226

22 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Grundlegende Beispiele 7.2 [cont.] f(x) f 0 (x) p x 2 p x np x tan x arcsin x arccos x arctan x n np x n n 2 + tan 2 x = cos 2 x p x 2 p x 2 +x 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 97 / 226

23 Kapitel 7 Di erenzierbarkeit Weitere Folgerungen 7.9. (f 2 ) 0 (x) =2 f(x) f 0 (x). 2. (f n ) 0 (x) =n f n (x) f 0 (x) (x) = f 0 (x) f f 2 (x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 98 / 226