K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 6. Übung: Woche vom bis

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1 Übungsaufgaben 6. Übung: Woche vom bis Heft Ü1: 9.1 (d,n,t); 9.2 (b,h,i); 9.3 (b,e); 9.4 (b,e,f) Übungsverlegung (einmalig!): Gruppe VIW 02 nach Mo., 5. DS; WIL C 204 (für Mittwoch, )

2 Differenzierbarkeit von Funktionen (Kap. 2.6) t(x)=f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) f(x) f(x 0 ) γ x α y y=f(x) x 0 x Abb. 2.30: Sekante und Tangente an f in x 0

3 Maximum und Tangente (Abb. 2.29) f(x 0 ) f(x) a x 0 b

4 Differenzenquotient Seien f : D R mit D R und x, x 0 D mit x x 0. Dann heißt f(x) f(x 0 ) x x 0 Differenzenquotient von f bezüglich der Punkte x und x 0 Kurz schreibt man dafür auch wobei y x, y := f(x) f(x 0 ) und x := x x 0.

5 Differenzierbarkeit Sei f : D R und x 0 sei innerer Punkt von D R. f heißt differenzierbar im Punkt x 0 I, wenn der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim R (endlich(!)) x x 0 x x 0 existiert. Der Grenzwert wird dann mit f (x 0 ) oder d f d x (x 0) oder d f d x x=x 0 bezeichnet und Ableitung oder Differenzialquotient von f in x 0 genannt.

6 Rechts- und linksseitige Differenzierbarkeit Seien f : D R und x 0 D mit [x 0, x 0 + δ) D für ein δ > 0. f heißt rechtsseitig differenzierbar in x 0, wenn lim x x 0 +0 f(x) f(x 0 ) x x 0 existiert. Falls (x 0 δ, x 0 ] D für ein δ > 0, so heißt f : D R linksseitig differenzierbar in x 0, wenn existiert. lim x x 0 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Die Funktion f : D R ist in einem inneren Punkt x 0 D differenzierbar, wenn rechts- und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten in x 0 existieren und gleich sind.

7 Differenzierbarkeit und stetige Differenzierbarkeit Sei I ein offenes Intervall und f : I R. Dann heißt f differenzierbar auf I, wenn f in jedem Punkt von I differenzierbar ist. stetig differenzierbar auf I, falls f in I differenzierbar ist und die Ableitung f : I R in I stetig ist. Satz 2.10 (Buch): Wenn die Funktion f : D R im Punkt x 0 D differenzierbar ist, dann ist f in x 0 auch stetig.

8 Differenziationsregeln Seien f, g : D R differenzierbar und c R. (f + g) = f + g (c f) = c f (f g) = f g + f g Produktregel ( fg ) = f g f g g 2, g(x) 0 Quotientenregel (f g) = (f g) g Kettenregel

9 Ableitung von Grundfunktionen (x a ) = a x a 1 (a R, a 0) (sin x) = cos x (cos x) = sin x (e x ) = e x (a x ) = a x ln a (a > 0) (ln x) = 1 x (x > 0) (log a x) = 1 x ln a (x > 0, a > 0)

10 Ableitung mittels Umkehrfunktion Sei f : D R bijektiv und differenzierbar. Dann gilt für x D (f 1 ) (f(x)) f (x) = 1. Logarithmisches Differenzieren Sei f : D (0, ) differenzierbar. Dann gilt für x D (ln f(x)) = f (x) f(x). Dies heißt auch logarithmische Ableitung von f.

11 Höhere Ableitungen (Kap ) Die Funktion f : D R besitze die Ableitung f : D R. Ist f differenzierbar, dann heißt f zweimal differenzierbar und f := (f ) zweite Ableitung von f. Die Funktion f : D R besitze die n-te Ableitung f (n) : D R. Ist f (n) differenzierbar, dann heißt f (n + 1)-mal differenzierbar und f (n+1) := (f (n) ) die (n+1)-te Ableitung von f. Für f schreibt man f (3), für f (n) schreibt man auch dn f d x n. Eine Funktion f : D R heißt n-mal stetig differenzierbar, falls f n : D R stetig ist.

12 Lineare Approximation und Ableitung Sei f : D R und x 0 ein innerer Punkt von D. f ist in x 0 genau dann differenzierbar, wenn es g R gibt, so dass Die Funktion L : R R mit f(x) f(x 0 ) g (x x 0 ) lim = 0. x x 0 x x 0 Dann gilt g = f (x 0 ). L(x) := f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) wird als Linearisierung oder lineare Approximation von f an der Stelle x 0 bezeichnet (Tangente an den Graphen von f im Punkt (x 0, f(x 0 ))).

13 Das totale Differenzial (Abb. 2.32) f(x) dy y f(x) f(x 0 ) dx x 0 x dy y, falls x = x x 0 ( = dx) hinreichend klein

14 Fehlerrechnung und -fortpflanzung h α Abbildung 2.33: Hochspannungsmast und Theodolit

15 Wie wirken Fehler in Eingangsdaten auf ein Ergebnis? x Näherungswert für x f( x) Näherungswert für f(x) Absoluter Fehler f(x) f( x) f ( x)(x x) Relativer Fehler f(x) f( x) f( x) f ( x)(x x) f( x)

16 Der Mittelwertsatz Sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein x 0 (a, b) mit f (x 0 ) = f(b) f(a). b a f(b) f(x 0 ) f(a) f(x) a x b 0 Abbildung 2.34: Sekante und parallele Tangente

17 Der verallgemeinerte Mittelwertsatz Seien f, h : [a, b] R stetig und auf (a, b) differenzierbar und es gelte h (x) 0 für alle x (a, b). Dann existiert ein x 0 (a, b) mit f (x 0 ) h (x 0 ) = f(b) f(a) h(b) h(a).