Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit

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1 Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen 2 Reihen 3 Grenzwerte von Funktionen 4 Stetigkeit von Funktionen Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 2 / 33

2 Ziele Ziele Die StudentIn kann Grenzwerte von Folgen berechnen. weiss wie der Grenzwert einer Reihe zu verstehen ist und kann bestimmen, ob einfache Reihen konvergieren oder divergieren. weiss wie der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle definiert ist und kann diesen berechnen. weiss wie man einfache Funktionen auf ihre Stetigkeit untersucht. kann durch Vergleich mit einer handvoll Funktionen abschätzen, ob eine Funktion stetig ist und wo sie allenfalls UnstetigkeitsStellen hat. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 3 / 33 Einführung Wir wissen bereits: Folgen Eine Folge {a n } ist eine Abbildung von N in eine Menge A (typischerweise R oder C). Eine Folge {a n } multipliziert man mit einer (reellen) Zahl λ, indem man jedes Glied der Folge mit dieser Zahl multipliziert: λ {a n } = {λa n } Zwei Folgen {a n } und {b n } addiert man, indem man entsprechende Glieder addiert: {a n } + {b n } = {a n + b n } Ein Folge {a n } hiesst konstante Folge, falls a n = c, n N. Eine Folge {a n } heisst (streng) monoton zunehmend falls (a n+1 > a n ) a n+1 a n, n N. Entsprechend definiert man (streng) monoton abnehmend. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 5 / 33

3 Folgen Einführung Entsprechend definiert man (streng) monoton abnehmend: jedes Glied ist (streng) kleiner als das vorherige Glied. Eine Folge {a n } heisst beschränkt, falls eine positive Zahl c existiert mit a n c, n: alle Glieder der Folge liegen unter einem Teppich der Breite c. Die geometrische Folge ist eine Folge, deren Glieder sich um einen konstanten Faktor q unterscheiden: a n+1 = qa n, n. Eine (unendliche) Reihe n=1 a n ist eine (unendliche) Summe von Gliedern a n, d.h. den Gliedern der Folge (a n ). Der Graph einer stetigen Funktion lässt sich ohne Absetzen des Bleistifts zeichnen. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 6 / 33 Einführung (Fort.) Folgen In diesem Kapitel beantworten wir beispielsweise die Fragen: gegen welchen Wert strebt das n. Glied einer Folge? Wie können viele Glieder einer Reihe summiert werden? Gibt es Kriterien für die Konvergenz von Reihen? Gegen was strebt der Wert einer Funktion f, falls x x 0? Wie kann man sehen, wo eine Funktion stetig ist? Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 7 / 33

4 Folgen Grenzwert einer Folge Definition (Grenzwert einer Folge) Die Zahl a R heisst Grenzwert (oder Limes) der (reellen) Zahlenfolge {a n }, geschrieben lim a n = a oder a a (n ) falls jede (noch so kleine) ε-umgebung von a fast alle a n enthält. Genau: ε > 0 n 0 := n 0 (ε) N ( a n a < ε, n > n 0 ). Man sagt dann, die Zahlenfolge (a n ) ist konvergent oder sie konvergiert gegen a. Anderenfalls ist sie divergent, d.h. konvergiert nicht. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 8 / 33 Nullfolge Example (Nullfolge) Folgen Die Zahlenfolge {a n } = {1/n} konvergiert gegen 0, denn für ein beliebig kleines, aber positives ε gilt a n = 1/n < ε falls n > n 0 = 1/n. Theorem Die Folge {a n } konvergiert genau dann gegen a, falls {a n a} eine Nullfolge ist. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 9 / 33

5 Folgen Nullfolge Example (Nullfolgen) Schreiben sie drei Nullfolgen auf und versuchen sie zu entscheiden, welche am schnellsten bzw. welche am langsamsten gegen Null strebt! Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 10 / 33 Rechenregeln Folgen Theorem (Summe/Differenz, Produkt, Quotient) lim a n = a lim n = b lim n ± b n ) = a ± b lim n b n = a b falls zudem b 0 und b n 0, n lim a n b n = a b Beachte: die beiden Folgen {a n } und {b n } müssen konvergieren, damit die Implikation gilt! Theorem (Konvergente Folgen sind beschränkt) Eine konvergente Folge ist beschränkt (8-ung: Umkehrung gilt nicht!) Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 11 / 33

6 Folgen Einige Beispiele Examples Berechne die Grenzwerte der angegebenen Folgen: { } ln n. n {1 + ( 1) n }. { ( 1) n+1} n 2. { } π n 4 n. { } n 2 + 3n n. {( ) n + 3 n }. n + 1 Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 12 / 33 Nützliche Grenzwerte Folgen lim n lim nk e n = 0 k N n n = 1 lim lim n a = 1 (a > 0) a n an p = max {a 1,..., a p } (a i > 0, i = 1,..., p) Was wir nicht angesprochen haben: Häufungspunkte von Folgen Teilfolgen (besteht nur aus bestimmten Elementen der Folge). Cauchyfolgen: ε > 0 n 0 ( a m a n < ε, m, n > n 0 ). uneigentliche Konvergenz (wenn die Folge gegen konvergiert). Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 13 / 33

7 Reihen Einführung Example (Unendlicher Dezimalbruch) Welche Zahl a stellt der unendliche Dezimalbruch dar? Lösung: Man hat = = 3 ( ) = 3 k=1 10 k Da die Dezimaldarstellung von 1/3 ist, sollte jede sinnvolle Definition der Summe von unendlich vielen Gliedern genau die Summe 1/3 liefern. Wir betrachten deshalb die Folge der n-ten Partialsummen {s n } der gegebenen Reihe. Diese ist nichts anderes, als die Summe der ersten n Glieder dieser Reihe. Da die Anzahl Glieder endlich ist, können wir deren Summe berechnen. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 15 / 33 Einführung Reihen Example (Unendlicher Dezimalbruch - Fort.) Die Folge der n-ten Partialsummen (ist eine endl. GR): s 1 = s 2 = 3 ( ) s 3 = 3 ( ) s 4 = 3 ( ). s n = 3 n k=1 10 k = n = 1 10 n 3 = n Die Glieder der Folge {s n } approximieren die Summe der unendlichen Reihe, welche 1/3 sein sollte. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 16 / 33

8 Reihen Einführung Example (Unendlicher Dezimalbruch - Fort.) Man sieht sofort, dass s n = 1 3 ( 1 1 ) 10 n und schliesslich lim s n ( 1 = lim 1 1 ) 3 10 n = 1 3 Definition (n-te Partialsummen) Folge der n-ten Partialsummen einer Reihe: s n = n k=1 a k. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 17 / 33 n-te Partialsummen Examples Reihen 1 Wie lautet die Folge der n-ten Partialsummen der Reihe n=0 ( 1)k = ? 2 Die geometrische Reihe hat die Form k=0 aqk und für q < 1 gilt: k=0 aqk = a (1 q) 3 Wie lautet die rationale Darstellung von ? 4 Die harmonische Reihe 1 k=1 k divergiert! 5 Wie können Vergleiche zwischen zwei Reihen etwas über deren Konvergenz aussagen (Minoranten- und Majorantenkriterium). Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 18 / 33

9 Konvergenz einer Reihe Reihen Definition (Konvergenz einer Reihe) Die Reihe k=1 a k konvergiert, falls die Folge der n-ten Partialsummen dieser Reihe s n = n k=1 a k konvergiert. Dann schreibt man Example Bestimmen sie k=1 k=1 a k = s = lim s n 1 k(k + 1). Tipp: verwende 1 k(k + 1) = 1 k 1 k + 1. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 19 / 33 Konvergenzkriterien Reihen Es muss unbedingt unterschieden werden zwischen der Reihe k=1 a k und der Folge der Glieder dieser Reihe {a k }. Falls die Reihe k=1 a k konvergiert, dann gilt lim k a k = 0. Falls die Folge der Glieder einer Reihe keine Nullfolge ist, dann divergiert die Reihe (notwendige Bedingung für Konvergenz). Falls die Folge der Glieder einer Reihe eine Nullfolge ist, dann kann die Reihe konvergieren oder divergieren (siehe z.b. geometrische oder harmonische Reihe). Die Reihe k=1 1/kp konvergiert für p > 1 und sie divergiert für 0 < p 1. Für p = 1 hat man die divergente harmonische Reihe. Die alternierende Reihe k=0 ( 1)k a k (a k 0) konvergiert, falls die Folge der Glieder dieser Reihe eine monoton fallende Nullfolge bildet. Fehler bei der Berechung der Summe: s s n a n+1. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 20 / 33

10 Reihen Konvergenzkriterien Definition (Absolute Konvergenz) Die Reihe k=1 a k heisst absolut konvergent, falls die Reihe k=1 a k konvergiert. Konvergiert die Reihe aber nicht die Reihe ihrer Absolutbeträge, dann nennt man die Reihe bedingt konvergent. Falls eine Reihe absolut konvergiert, dann konvergiert sie. Theorem (Quotientenkriterium) Die Reihe k=0 a k eine Reihe ist mit Gliedern, die nicht verschwinden und ρ = lim ( a k+1 / a k ). Dann gilt: (a) Falls ρ < 1 dann konvergiert die Reihe (sogar) absolut. (b) Falls ρ > 1 dann divergiert die Reihe (c) Falls ρ = 1 dann kann die Reihe sowohl konvergieren wie auch divergieren (weiter Untersuchungen nötig). Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 21 / 33 Konvergenzkriterien Reihen Es gibt weitere Konvergenzkriterien wie das Wurzel-, Minoranten- und Majorantenkriterium. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 22 / 33

11 Grenzwerte von Funktionen Grenzwerte von Funktionen Zwei Grundprobleme der Infinitesimalrechnung: Tangentenproblem: Gegeben eine Funktion f und ein Punkt P(x 0, y 0 ) G(f). Wie lautet dann die Gleichung der Tangente an den Graphen G(f) im Punkt P? Antwort führt auf die Differenzialrechnung! Flächenproblem: Gegeben eine Funktion f. Welche Fläche wird dann durch den Graphen G(f) und die x-achse über dem Intervall [a, b] eingeschlossen? Antwort führt auf die Integralrechnung! Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 24 / 33 Grenzwerte von Funktionen Berechnung von Grenzwerten Example Berechne den Grenzwert von sin(x)/x falls x gegen Null strebt, sin(x) d.h. lim x 0. x Wie verhält sich sin(x) wenn x sehr klein ist? x Berechne den Grenzwert lim x 0 x. Hier muss man einseitige Grenzwerte betrachten (links- und rechtsseitige). Was ist ein Einsiedlerpunkt? Was sind (vertikale/horizontale) Asymptoten? Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 25 / 33

12 Rechenregeln Grenzwerte von Funktionen Theorem (Summe/Differenz, Produkt und Quotient) Falls x 0 R {, + } und lim f(x) = L 1 und lim g(x) = L 2 x x 0 x x0 dann gilt: Der GW einer Summe/Differenz ist gleich der Summe/Differenz der Grenzwerte: lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = L 1 ± L 2 x x 0 x x0 x x0 Der GW eines Produkts ist gleich dem Produkt der Grenzwerte: lim [f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L 1 L 2 x x0 x x0 x x 0 Falls L 2 0 und g in einer Umgebung von x 0 verschieden von 0 (Null) ist, dann ist der GW des Quotienten gleich dem Quotient der Grenzwerte: lim [f(x)/g(x)] = lim f(x)/ lim g(x) = L 1 /L 2 x x0 x x0 x x 0 Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 26 / 33 Grenzwerte von Funktionen Grenzwerten einfacher Funktionen Example Polynome: Falls P(x) = n k=0 a kx k, dann gilt: lim P(x) = P(x 0 ). x x 0 Rationale Funktionen: Falls r(x) = P(x)/Q(x), wobei P(x) und Q(x) zwei Polynome sind, dann gilt falls Q(x 0 ) 0: P(x) lim x x 0 Q(x) = P(x 0) Q(x 0 ). Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 27 / 33

13 Grenzwerte von Funktionen Beispiele Example (Stückweise definierte Funktionen) Berechne die Grenzwerte für f an den Stellen x 0 = 2, 0, 3 falls 1/(x + 2), falls x < 2, f(x) = x 2 5, falls 2 < x 3, x + 13, falls x > 3. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 28 / 33 Stetigkeit von Funktionen Grenzwerte von Funktionen Salopp gesagt ist eine Funktion f stetig, wenn man deren Graphen zeichnen kann ohne den Bleistift absetzen zu müssen. Genauer ist eine Funktion f stetig in x 0, falls 1 Die Funktion f dort existiert, d.h. f(x 0 ) ist definiert 2 Links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und gleich sind lim x x 0 f(x) = lim x x + 0 f(x) = lim x x0 f(x) 3 Die genannten Grenzwerte mit dem Funktionswert übereinstimmen Zusammengefasst kann man schreiben: f ist stetig in x 0, falls lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Eine Funktion heisst stetig, falls sie x D(f) stetig ist. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 30 / 33

14 Rechenregeln Stetigkeit von Funktionen Generell kann man sagen: Summe, Differenz von stetigen Funktionen sind stetig. Der Quotient zweier stetiger Funktionen ist dort stetig, wo der Nenner nicht verschwindet. Polynome P(x) = n k=0 a kx k sind stetig Rationale Funktionen r(x) = P(x)/Q(x) sind überall dort stetig, wo das Nennerpolynom Q(x) nicht verschwindet. Sinus- (sin x) und Kosinusfunktion (cos x) sind stetig Der Tangens (tan x = sin x/ cos x) ist stetig, falls cos x 0, d.h. falls x π/2 + kπ, (k Z. Exponential- und Logarithmusfunktion sind in ihren Definitionsbereichen stetig Zusammensetzungen von stetigen Funktionen sind stetig. Eine zusammengesetzte Funktionen kann dort unstetig sein, wo eine der verwendeten Funktionen nicht stetig ist. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 31 / 33 Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen Theorem (Zwischenwertsatz) Ist f auf [a, b] stetig und α := inf {f(x) x [a, b]}, β := sup {f(x) x [a, b]}, dann nimmt f jeden Wert in [α, β] wenigstens einmal an. Corollary (Zwischenwertsatz von Bolzano) Ist f auf [a, b] stetig und gilt f(a)f(b) < 0, dann besitzt f in [a, b] wenigstens eine Nullstelle. Example (Regula falsi) Gilt f(a)f(b) < 0 dann ist klar, dass eine stetige Funktion f zwischen a < b und b eine Nullstelle hat! Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 32 / 33

15 Zusammenfassung Zusammenfassung Wir haben folgende Begriffe kennen gelernt und können sie in Problemen aus dem Informatikalltag anwenden: Konvergenz und Divergenz von Folgen. Monotonieeigenschaften von Folgen. Geometrische Folgen. Berechnung der Summe einer Reihe über die Folge der n. Partialsummen dieser Reihe. Konvergenzkriterien für Reihen (Quotientenkriterium). Konvergenz alternierender Reihen (Leibnizkriterium). Grenzwerte von Funktionen. Stetigkeit von Funktionen: Auswahl stetiger Funktionen. Eigenschaften von stetigen Funktionen. Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 33 / 33