Folgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe.

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1 Folgen und Reihen Christoph Laabs, Grundlagen Eine Reihe ist darstellbar durch z. B. = a 0 + a + a 2 + a + a Ausgesprochen wird das als Summe von von k bis Unendlich. Eine Folge von Partialsummen s ist eine Reihe! s 0 = a 0 s = a 0 + a s 2 = a 0 + a + a 2 s = a 0 + a + a 2 + a s k = a 0 + a + a 2 + a a k Somit ist: s k = Die Folge s k ist rekursiv gegeben! die k-te Partialsumme der Reihe Konvergenz und Divergenz konvergiert/divergiert Die Folge s k konvergiert/divergiert Bei Konvergenz von Konvergenzkriterien existiert lim n s k und ist Grenzwert dieser Reihe. = lim s k = lim n n Mittels Konvergenzkriterien kann man über Divergenz und Konvergenz von Reihen entscheiden. Die Bedingungen sichern, dass eine Reihe konvergent oder divergent ist. Der Grenzwert muss gesondert berechnet werden. Trivialkriterium Die Folgenglieder der Reihe bilden als notwendige Bedingung für Konvergenz der Reihe eine Nullfolge, d. h. lim = 0. Die Reihe divergiert für lim 0 n n Leibniz-Kriterium Das Leibniz-Kriterium kann für alternierende, also periodisch im Vorzeichen wechselnde Reihen eingesetzt werden. Ist n N eine monoton fallende Nullfolge, konvergiert die unendliche Reihe. c Christoph Laabs 206

2 Umordnungs-Kriterium Bei einer absolut konvergenten Reihe konvergieren die Reihe und jede Umordnung gegen den selben Grenzwert. Majoranten-Kriterium (Vergleichskriterium) Existiert eine konvergente Reihe Folgen n N sowie n N, für die jeweils gilt dass 0 konvergent. Für die Grenzwerte gilt Dabei ist b n sogenannte konvergente Majorante von b n. b n und b k, ist auch Minoranten-Kriterium (Vergleichskriterium) Wie beim vorherigen Kriterium existiert eine nun divergente Reihe b n neben einer Folge n N. Es gilt für die Folgenglieder 0 b n. Ab einem bestimmten n ist auch Majorante von. auch divergent. In diesem Fall ist Quotienten-Kriterium Sei n N eine Folge. Die unendliche Reihe ist { } { } konvergent für lim + < divergent n > b n divergente Wurzel-Kriterium Sei n N eine Folge. Die unendliche Reihe ist { } { } konvergent n < für lim an divergent n > Rechenregeln Die folgenden Rechenregeln gelten nur für konvergente Reihen! ( + b n ) = a + b = a (a n b n ) = a b = b n = b c = c a b n n a b c Christoph Laabs 206 2

3 Arten von Reihen. Geometrische Reihen sind unendliche Reihen und werden in der Form dargestellt. q n q n = qn+ q q q n = q q < 2. Harmonische Reihen haben Summanden, die das harmonische Mittel ihrer Nachbarsummanden sind. Sie sind mittels n darstellbar. (a) Alternierende Harmonische Reihe ( ) n+ n = ln 2 (b) Allgemein: n a konvergiert für a > Beispiel : n = Diese Reihe ist harmonisch und divergent, besitzt somit keinen Grenzwert. Veranschaulichung des Zusammenhangs möglich über die Auflösung des Summenzeichens. Beispiel 2: 2 n+5 n 4 Hier werden Potenzgesetze benötigt (F+H S.6)! Zunächst werden diese auf den Ausdruck im Summenzeichen angewendet, um eine Form des Ausdrucks zu erreichen, der dem im Tafelwerk ähnlich ist. 2 n+5 n 4 = = 25 4 = n 2 5 n 4 2 n n = n n c Christoph Laabs 206

4 Der nächste Schritt ist etwas tricky. In F+H F4 ist eine geometrische Reihe angegeben, deren Startwert 0 ist. Der Startwert der vorliegenden Reihe ist. Diese muss so umgeschrieben werden, dass der Startwert 0 ist. Die Reihe selbst darf dabei nicht verändert werden! Nebenrechnung: = = ( ) 2 = = Dieser Zusammenhang kann nun verwendet werden! 2 n+5 n 4 = 2592 = = = 728 Nun hilft der Grenzwertsatz für geometrische Reihen weiter. In F+H F4 steht x n = für x < x Daraus folgt für das Beispiel: Beispiel : 2 n+5 n 4 = 728 = = 584 = n 2 5 n+ n 2 = 728 Zunächst muss der Ausdruck im Summenzeichen vereinfacht werden. 4 n 2 5 n+ 4 n n 5 n 2 = n 2 = = = = n 5 n n 2 4 n 5 n n = = n n ( 64 ) n c Christoph Laabs 206 4

5 Dann wird wieder die Tafelwerk-ähnliche Form der Reihe hergestellt, indem der Startwert der Reihe nach dem vorherigen Beispiel auf 0 gesetzt wird. 4 n 2 5 n+ n 2 = 45 6 = 45 ( ) = Zwischenschritte gehen im Kopf! ) n = ( 64 In F+H F4 steht für geometrische Reihen x n = x für x < In unserem Beispiel ist x >>, weshalb die Reihe divergent ist! Beispiel 4: Hier wird nach bekannten Regeln vorgegangen: x 4n = Daraus folgt für den Wert der Reihe (x 4) n = x 4 5 x 4n ( x 4) n = x 20 (x 4) n x 4n = x 20 x 4 x < c Christoph Laabs 206 5