HM I Tutorium 5. Lucas Kunz. 21. November 2018

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1 HM I Tutorium 5 Lucas Kunz 2. November 208 Inhaltsverzeichnis Theorie 2. Definition Wichtige Reihen Absolute Konvergenz Konvergenzkriterien Monotoniekriterium Cauchy-Kriterium Leibniz-Kriterium Majoranten-/ Minorantenkriterium Wurzelkriterium Quotientenkriterium Theorie über das Tutorium hinaus 4 2. Umordnungen Riemann scher Umordnungssatz Cauchy-Produkt Aufgaben 5

2 Theorie. Definition Es sei a k eine Folge wie bislang und s n := a + a a n = n k= a k sei eine weitere Folge, die also aus der Summe der Glieder von a n besteht. In diesem Fall heißt a k das k-te Reihenglied und s n die n-te Teilsumme der Reihe k= a k. Ist die Folge s n konvergent, dann heißt ihr Grenzwert auch Reihenwert und es gilt lim s n = n a k. (.) Im Falle von komplexwertigen Folgen müssen der Real- und Imaginärteil jeweils einzeln konvergieren und der Reihenwert resultiert aus den beiden Grenzwerten: a k = R(a k ) + i I(a k ). (.2) k= k= Auf sehr ähnliche Art verhalten sich Reihen auch im rein reellen bezüglich Addition und Multiplikation mit Skalaren linear. Seien hierzu α, β R und a n, b n Folgen, dann gilt (α a n + β b n ) = α a n + β b n (.3) n= Beginnt die Folge (a n ) n=p nicht bei n = sondern n = p Z (also bereits bei einem negativen Index), dann gilt entsprechend s n := n k=p a k. Die Summe beginnt also immer am kleinsten Index, unabhängig davon wie groß dieser letztendlich ist..2 Wichtige Reihen So wie es einige häufiger auftretende Folgen gibt tauchen auch ein paar Reihen immer wieder auf. Eine davon ist die geometrische Reihe: k z n = zk+ z k= bzw. im unendlichen Fall n= k= n= z n = z falls z <. (.4) Ebenso treten die harmonische und alternierende harmonische Reihe häufig auf: n = und ( ) n+ = ln(2). (.5) n n= n= n= Selbige existiert natürlich auch in der quadratischen Form: n = π2 2 6 und ( ) n+ = π2 n 2 2. (.6) Und zu guter Letzt gilt auch n= n (n + ) = n= n= ( n ) = und n + k n = n= k (k + ). (.7) 2 Die erste der beiden letztgenannten (in.7) ist dabei eine sogenannte Teleskopreihe. Bei dieser ergeben aufeinander folgende Reihenglieder in Summe jeweils 0, sodass insgesamt nur das erste und letzte (also das unendlichste ) Element zum Reihenwert beitragen. 2

3 .3 Absolute Konvergenz Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe über die Beträge n= a n konvergiert. Jede solche Reihe ist auch normal konvergent und es gilt die Dreiecksungleichung für Reihen: a n a n. (.8).4 Konvergenzkriterien n= Da die Berechnung des exakten Reihenwertes recht schwierig sein kann ist es sinnvoll, zunächst die Konvergenz zu überprüfen, die immerhin eine Grundlage für die Existenz eines endlichen Wertes ist. Als vermutlich wichtigste Voraussetzung gilt dabei, dass n= a n grundsätzlich nur konvergieren kann, wenn die einzelnen Summanden mit zunehmendem n immer kleiner werden und a n also eine Nullfolge (gegen 0 konvergierende Folge) ist. Da diese Bedingung allerdings nur notwendig und nicht hinreichend für Konvergenz ist folgen in den nächsten Kapiteln einige Optionen zur genaueren Überprüfung..4. Monotoniekriterium Sind alle a k 0 und deren Teilsummen s n := n k= a k alle beschränkt, dann ist k= a k konvergent. Dies folgt direkt aus dem Monotoniekriterium zur Folgenkonvergenz (siehe Tutorium 3), welches hier auf die Folge s n angewendet wird..4.2 Cauchy-Kriterium Eine Reihe n= a n konvergiert genau dann, wenn n ɛ > 0 n 0 = n 0 (ɛ) : a k < ɛ n > m n 0. (.9) k=m+ Eine Reihe konvergiert also genau dann, wenn beliebige Teile der Reihe zwischen den Indizes m + bis n jeweils eine in Abhängigkeit von n gewählte Grenze ɛ unterschreiten..4.3 Leibniz-Kriterium Ist b n eine monoton fallende Nullfolge und a n := ( ) n b n eine weitere Folge, dann konvergiert n= a n = b + b 2 b 3 + b Eine solche Reihe nennt man alternierend. n=.4.4 Majoranten-/ Minorantenkriterium Es seien a n und b n Folgen, dann existieren die folgenden Zusammenhänge: Ist a n b n für fast alle n N (alle außer endlich viele) und n= b n konvergiert, dann ist n= a n absolut konvergent (Majorantenkriterium). Ist a n b n 0 für fast alle n N (alle außer endlich viele) und n= b n divergiert, dann ist n= a n auch divergent (Minorantenkriterium). Umgangssprachlich könnte man also sagen, dass eine Reihe divergiert, wenn es eine kleinere divergente Reihe gibt (Minorante), oder konvergiert, wenn eine größere konvergente Reihe existiert (Majorante). 3

4 .4.5 Wurzelkriterium Ist a n eine Folge und α := lim sup n a n, dann konvergiert n= a n absolut wenn α <.... divergiert n= a n wenn α > ist.... kann man mit diesem Kriterium nichts über die Konvergenz aussagen falls α =..4.6 Quotientenkriterium Ist a n eine Folge und a n 0 für unendlich viele n N (alle außer endlich viele) und es sei c n := a n+ a n definiert an allen Stellen mit an 0, dann divergiert n= a n wenn c n für fast alle n.... konvergiert n= a n absolut wenn lim sup c n <.... divergiert n= a n wenn lim inf c n >.... muss in allen anderen Fällen eine genauere Unterscheidung getroffen werden. Dies ist nur möglich wenn die Folge der c n konvergiert mit dem Grenzwert c := lim c n : Ist c <, dann ist n= a n absolut konvergent. Ist c >, dann ist n= a n divergent. Ist c =, dann ist mit diesem Kriterium keine Aussage möglich. 2 Theorie über das Tutorium hinaus 2. Umordnungen Sei a n eine Folge und φ : N N eine bijektive Abbildung, dann heißt b n := a φ(n) eine Umordnung von a n. Diese enthält genau die selben Elemente wie a n, jedoch in einer anderen Reihenfolge. Entsprechend heißt n= b n eine Umordnung von n= a n. Ist a n konvergent, dann ist auch b n konvergent und lim a n = lim b n. Ist n= a n absolut konvergent, dann konvergiert auch n= b n absolut und die beiden Reihenwerte sind identisch. 2.. Riemann scher Umordnungssatz Ist a n eine Folge und n= a n ist konvergent, aber nicht absolut konvergent, dann gibt es divergente Umordnungen von n= a n.... gibt es für jedes beliebige s R eine Umordnung n= b n, sodass n= b n = s. 4

5 2.2 Cauchy-Produkt Seien a n und b n absolut konvergente Reihen und eine weitere Reihe sei definiert über die Folge c n := n a k b n k, dann konvergiert diese Reihe gegen ( ) ( ) c n = a n b n. (2.) Diese Reihe c n bezeichnet man als das Cauchy-Produkt der Reihen a n und b n. Durch eine derartige Verkettung lassen sich einige Reihenwerte bestimmen, die elementar nicht berechenbar sind. Seien z. B. a n = b n = z n mit z <, dann gilt bekanntlich ( ) ( ) a n b n = z z = ( z). 2 Es gibt also offenbar ein Cauchy-Produkt der beiden Reihen mit dem Grenzwert ( z) 2. Dieses ergibt sich folgendermaßen: c n := n a k b n k = n z k z n k = n z n = (n + ) z n. Auf diese Weise erhält man also das Wissen, dass (n + ) zn = ( z) 2 für z <. 3 Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 26, 28 und 30 finden sich auf der Internetseite der Vorlesung unter 5