$Id: reihen.tex,v /12/08 16:13:24 hk Exp $ 1 q

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1 $Id: reihen.tex,v /2/08 6:3:24 hk Exp $ 5 Reihen 5. Konvergenz von Reihen In der letzten Sitzung hatten wir die Summenformel für die sogenannte geometrische Reihe q n = für q < q hergeleitet und wollen die heutige Sitzung damit beginnen einige weitere Beispiele geometrischer Reihen durchzugehen. 2. Wir berechnen die Zahl 0, 9. Nach der Definition der Dezimalschreibweise, die wir zwar streng genommen in dieser Vorlesung nie definiert haben aber trotzdem benutzen wollen, ist ( 0, 9 = = ) In der Klammer steht im wesentlichen eine geometrische Reihe mit q = /0, und der Satz über die geometrische Reihe ergibt 0, 9 = 9 n= ( ) n = 9 0 ( ( ) n ( ) = ) = 9 9 =. 3. Ganz entsprechend können wir das einleitende Beispiel dieses Kapitels behandeln, es ist in den dort verwendeten Bezeichnungen ( ) n 0 2 m v m v m v m v + = m v 00 ( = 00 n= ) m v = m 99v. 4. Als viertes und letztes Beispiel behandeln wir die Reihe ( ) n = 2 n

2 Dies ist eine geometrische Reihe mit q = /2, also ergibt sich ( ) n 2 n = ( 2) n = ( 2 ) = 2 3. Nach diesen Beispielen zur geometrischen Reihe wollen wir zu einem komplizierteren Beispiel kommen, wir betrachten die Reihe Hierzu setzen wir für jedes n N mit n n! = s n := n ( k! und a n := + n) n, und wie schon in einem der einleitenden Beispiele des 4 gesehen können wir auch a n = n k! k j= n j + n schreiben und insbesondere ist a n s n. Die Folge (a n ) n N hatten wir bereits in 4. zur Definition der eulerschen Konstante ( e = lim + ) n n n verwendet. Sei wieder n N mit n gegeben. Für jedes m N mit m n ist dann a m = m k! k j= m j + m n k! k j= m j +, m also liefern 4.Lemma 5.(a) und die Rechenregeln 4.Satz 6 für Folgengrenzwerte auch e = lim m a m n k! k ( j= lim m ) m j + = m n k! = s n. Für jedes n N mit n haben wir damit a n s n e und das Einschnürungslemma 4.Lemma 5.(b) ergibt schließlich n! = lim n s n = e. 4-2

3 5.2 Grundeigenschaften von Reihen Über die Partialsummen sind Reihen vollständig auf den Folgenbegriff zurückgeführt, und wir können jetzt den ganzen in 4 entwickelten Apperat auf Reihen loslassen. Dies führt zu einer ganzen Sequenz von grundlegenden Sätzen, Lemmata und Beobachtungen über Reihen und ihre Konvergenz. Wir beginnen mit einer einfachen Feststellung über den Zusammenhang von reellen und komplexen Reihen. Lemma 5.2 (Real- und Imaginärteil komplexer Reihen) Eine komplexe Reihe z n ist genau dann konvergent wenn die beiden reellen Reihen Re(z n) und Im(z n) konvergent sind, und in diesem Fall gilt z n = Re(z n ) + i Im(z n ). Weiter ist eine reelle Reihe genau dann in R konvergent wenn sie in C konvergent ist. Beweis: Klar nach 4.Lemma.(e,f). Wie bei Folgen ist der komplexe Fall damit auch bei Reihen der allgemeine Fall. Nun wollen wir einsehen, dass die Summanden einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden müssen. Leider stellt sich heraus, dass die Umkehrung dieser Tatsache nicht gilt, eine Reihe deren Summanden gegen Null konvergieren ist im allgemeinen nicht selbst konvergent. Ein Beispiel hierfür werden wir bald sehen. Lemma 5.3 (Summanden und Partialsummen konvergenter Reihen) Sei K {R, C} und sei a n eine konvergente Reihe in K. Dann ist (a n ) n N eine Nullfolge und die Folge (s n ) n N der Partialsummen der Reihe ist beschränkt. Beweis: Nach 4.Lemma 2.(a) ist die Folge (s n ) n N beschränkt, und nach 4.Satz 6.(a,b) ist die Folge (a n ) n = (s n s n ) n eine Nullfolge, also ist auch die Folge (a n ) n N selbst eine Nullfolge. Im allgemeinen muss eine Reihe mit beschränkten Partialsummen nicht konvergent sein, ein einfaches solches Beispiel ist die divergente Reihe ( ) n = und man kann sogar Beispiele konstruieren in denen die Summanden der Reihe eine Nullfolge bilden. Es gibt aber einen wichtigen Spezialfall in dem die die Beschränktheit der Partialsummen die Konvergenz der Reihe impliziert, nämlich wenn alle Summanden der Reihe reell und nicht negativ sind. Wir können für reelle Reihen sogar noch etwas weiter gehen und wie in 4.2 zusätzlich noch den Begriff der Konvergenz in den 4-3

4 erweiterten reellen Zahlen R einführen, und dann können auch ± als Summen von Reihen auftauchen. Für Reihen mit konstanten Vorzeichen ergibt sich dann der folgende Satz: Satz 5.4 (Monotonieeigenschaften reeller Reihen) Es gelten: (a) Sind a n und b n zwei in R konvergente reelle Reihen mit a n b n für alle n N, so gilt auch a n b n. (b) Eine reelle Reihe a n mit a n 0 für alle n N ist in R konvergent und ihr Grenzwert ist das Supremum der Menge aller Partialsummen der Reihe. Die Reihe ist genau dann in R konvergent wenn a n < ist, wenn also die Folge der Partialsummen der Reihe beschränkt ist. Beweis: (a) Für jedes n N gilt auch für die Partialsummen der beiden Reihen die Ungleichung n a k n b k und mit 4.Lemma 5.(a) folgt die Behauptung. (b) Bezeichnet (s n ) n N die Folge der Partialsummen unserer Reihe, so gilt n+ s n+ = a k = s n + a n+ s n für jedes n N da a n+ 0 ist, die Folge (s n ) n N ist also monoton steigend. Damit folgen alle Aussagen mit 4.Satz 3.(a). Eine (b) entsprechende Aussage gilt natürlich auch für Reihen mit negativen Summanden. Wie bei Folgen gibt es auch für Reihen Rechenregeln für die Grenzwerte. Die beiden einfachsten dieser Regeln betreffen Summen und Vielfache von Reihen und sollen jetzt schon bewiesen werden. Lemma 5.5: Sei K {R, C} und seien a n und b n zwei konvergente Reihen in K. (a) Die Reihe (a n + b n ) ist konvergent mit (a n + b n ) = a n + b n. (b) Für jedes c K ist die Reihe ca n konvergent mit (ca n ) = c 4-4 a n.

5 Beweis: Die jeweiligen Partialsummen sind die Summen beziehungsweise Vielfachen der Partialsummen der gegebenen Reihen, und die Behauptung folgt damit mit 4.Satz 6.(a,b). Wir wollen diese Sätze nun zur Behandlung einiger weiterer Beispiele verwenden. Wir kennen bereits die Reihe n(n ) = und mit dieser erhalten wir auch = also ist n(n ) = n= n(n + ) = 2 + n(n + ) = 2. Beachten wir nun das für jedes n N mit n 2 stets n(n ) + n(n + ) n(n + ), = (n + ) + (n ) n(n )(n + ) = 2 n 2 gilt, so ergibt sich mit Lemma 5 n 2 = ( [ ]) 2 n(n ) + n(n + ) = 2 ( + ) = Während wir bisher bei all unseren Beispielen nicht nur die Konvergenz beweisen konnten sondern gleich auch den Reihenwert berechnet haben, wollen wir uns jetzt ein Beispiel anschauen bei dem wir nur die Konvergenz der Reihe einsehen werden. Hierzu wird Satz 4 verwendet, konkret wollen wir zeigen, dass die Reihe n= /n2 konvergiert. Nach dem Satz ist hierzu zu zeigen, dass ihre Partialsummen beschränkt bleiben, beziehungsweise das n= /n2 < gilt. Nun haben wir für jedes n N mit n 2 die Abschätzung /n 2 /n(n ) und damit folgt n= n = + 2 n + 2 n(n ) = 2 <. Dies beweist die Konvergenz der Reihe. Die explizite Berechnung der Summe ist schon recht schwer, und für uns an dieser Stelle nicht direkt möglich. Das Problem der Berechnung dieser Reihe wurde erstmals im Jahr 644 von Mensoli gestellt und war rund 90 Jahre offen bis Euler 735 n = = π2 6 n= 4-5

6 zeigen konnte. Es gibt über zwanzig verschiedene Beweise dieser Formel, im Rahmen der Mathematik für Physiker Reihe kommen wir aber erst im vierten Semester zu einer Stelle an der ein bequemer Beweis möglich ist. Etwas allgemeiner ist jetzt auch für jeden Exponenten k N mit k 2 n= n k n 2 <, 2 n= d.h. auch n= /nk konvergiert. Eine explizite Formel für diese Summe ist nur bei geraden k bekannt, und auch diese wurde bereits von Euler angegeben. Eine einfache und explizite Formel selbst für den einfachsten ungeraden Fall n= /n3 ist bis heute nicht bekannt, seit den achtziger Jahren des vorigen Jahrhunderts weiss man aber zumindest das diese Summe irrational ist. Es verbleibt der Fall k =. Man nennt die Reihe n= n = (Harmonische Reihe) die harmonische Reihe. Die Summanden der Reihe bilden eine Nullfolge, es wird sich aber herausstellen das die Reihe trotzdem divergiert. Es bezeichne s n := n k= /k für n N mit n die Partialsummen der harmonischen Reihe. Dann gelten und allgemein ergibt sich s 2 0 =, s 2 = + 2 = + 2, s 2 2 = }{{} >/4 + 4 > + 2 2, s 2 3 = s }{{ 7} 8 > + 3 2, jeweils > /8 s 2 n > + n 2 für alle n N mit n 2. Insbesondere ist die Folge der Partialsummen der harmonischen Reihe nach dem archimedischen Prinzip.Lemma 5 nicht nach oben beschränkt, d.h. n= n =. In der Abschätzung wird die harmonische Reihe nur sehr langsam größer, um beispielsweise über 0 = +8 (/2) zu kommen, braucht es bereits 2 8 = Summanden. Man kann zeigen, dass die Partialsummen in Abhängigkeit von n die Größenordnung 4-6

7 s n γ + ln(n) haben, wobei γ eine Konstante etwas größer als /2 ist. Wir hatten die Divergenz der harmonischen Reihe eingesehen indem wir die Summanden der harmonischen Reihe in Blöcken von Zweierpotenzlänge zusammengefasst hatten und so für jedes n N mit n 2 2 n k > + n 2 k= gezeigt hatten. Dieses Argument kann man auch in einer etwas allgemeineren Situation verwenden, es ist nicht wirklich wichtig das die Summanden der Reihe die Stammbrüche sind, sie müssen nur monoton fallend sein. Angenommen wir haben eine monoton fallende Folge (a n ) n positiver reeller Zahlen. Für jedes n N haben wir dann 2 n k=2 n + a k 2 n a 2 n und 2 n k=2 n a k 2 n a 2 n, im wesentlichen lassen sich die Partialsummen der Reihe n= a n also nach oben und unten durch Partialsummen der sogenannten kondensierten Reihe 2n a 2 n abschätzen. Dies führt uns zum folgenden sogenannten Kondensationskriterium oder Verdichtungskriterium. Satz 5.6 (Cauchys Kondensationskriterium) Sei (a n ) n eine monoton fallende, reelle Zahlenfolge mit a n 0 für alle n N mit n. Dann ist die Reihe a n genau dann konvergent wenn die Reihe 2 n a 2 n konvergent ist. n= Beweis: Es seien s n := n a k beziehungsweise t n := k= n 2 k a 2 k für jedes n N die Partialsummen der Ausgangsreihe beziehungsweise der kondensierten Reihe. Nach Satz 4.(b) ist n= a n genau dann konvergent wenn die Folge (s n ) n nach oben beschränkt ist und die kondensierte Reihe 2n a 2 n ist genau dann konvergent wenn die Folge (t n ) n N nach oben beschränkt ist. Es ist also nur zu zeigen, dass (s n ) n genau dann nach oben beschränkt ist wenn (t n ) n N dies ist. = Sei also (s n ) n nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein C R mit s n C für jedes n N mit n. Für jedes n N mit n gilt a 2 n a k für alle k N mit 2 n < k 2 n, da die Folge (a k ) k N als monoton fallend vorausgesetzt ist, also auch 2 n a 2 n = 2 n k=2 n a 2 n 2 n k=2 n + a k.

8 Für jedes n N folgt weiter t n = n n n 2 k a 2 k = a k a 2 k a + 2 k= k= l=2 k + k= 2 k a l 2 2 n a k = 2s 2 n 2C, d.h. auch die Folge (t n ) n N ist nach oben beschränkt. = Nun nehme umgekehrt an das (t n ) n N nach oben beschränkt ist, es gibt also ein C R mit t n C für jedes n N. Wieder da die Folge (a n ) n N monoton fallend ist haben wir für jedes n N und alle k N mit 2 n k < 2 n+ stets a k a 2 n und somit auch 2 n+ k=2 n a k 2 n+ k=2 n a 2 n = 2 n a 2 n. Ist also n N, so ergibt die Bernoullische Ungleichung.Lemma 6 zunächst 2 n n und damit ist auch n s n s 2 n = n a l 2 k a 2 k = t n C, l=2 k 2 k+ d.h. die Folge (s n ) n ist nach oben beschränkt. Wir wollen das Kriterium einmal dazu verwenden, die Konvergenz der Reihe n= für ein allgemeines α R zu entscheiden. Ist α 0, so gilt für jedes n N mit n auch n α n 0 = also /n α und damit ist (/n α ) n nicht einmal eine Nullfolge, wir können uns also auf den Fall α > 0 beschränken. Dann ist die Folge (/n α ) n eine monoton fallende Nullfolge. Nach dem Kondensationskriterium müssen wir also die Reihe 2 n (2 n ) α = n α 2 n (2 α ) = n ( ) n 2 2 α untersuchen. Dies ist eine geometrische Reihe und nach Satz genau dann konvergent wenn 2/2 α <, also wenn 2 α > 2 = 2, gilt. Dies ist weiter gleichwertig zu α > und wir haben < α >. nα n= Ein Phänomen das die Behandlung der Konvergenz von Reihen deutlich erschwert, ist das diese nicht nur vom Betrag der Summanden sondern auch von deren Vorzeichen, 4-8

9 beziehungsweise ihrem Argument im komplexen Fall, abhängt. Beispielsweise ist die harmonische Reihe n = n= wie gesehen divergent, aber die Reihe ( ) n n= n = wird sich gleich als konvergent herausstellen. Derartige Reihen bei denen das Vorzeichen ständig hin und her wechselt werden als alternierende Reihen bezeichnet, und das folgende sogenannte Leibniz-Kriterium wird zeigen, dass eine große Zahl dieser Reihen konvergent ist. Satz 5.7 (Leibniz-Kriterium) Sei (a n ) n N eine monoton fallende, reelle Nullfolge mit a n 0 für alle n N. Dann ist die alternierende Reihe ( )n a n konvergent. Ist (s n ) n N die Folge der Partialsummen dieser Reihe, so gilt s 2n ( ) k a k s 2n+ für alle n N. Beweis: Für jedes n N gelten da a 2n+2 a 2n+ ist und s 2(n+) = s 2n+2 = s 2n a 2n+ + a 2n+2 s 2n s 2(n+)+ = s 2n+3 = s 2n+ + a 2n+2 a 2n+3 s 2n+ da a 2n+2 a 2n+3 ist. Damit ist die Folge (s 2n ) n N monoton fallend und die Folge (s 2n+ ) n N ist monoton steigend. Für jedes n N gilt außerdem s s 2n+ = s 2n a 2n+ s 2n s 0, d.h. (s 2n ) n N ist nach unten und (s 2n+ ) n N ist nach oben beschränkt. Nach 4.Satz 3 existieren die beiden Grenzwerte Nach 4.Satz 6.(a,b) ist dabei s := lim n s 2n und t := lim n s 2n+. t s = lim n s 2n+ lim n s 2n = lim n (s 2n+ s 2n ) = lim n a 2n+ = 0, 4-9

10 also haben wir s = t. Nach 4.Lemma.(d) ist auch die Folge (s n ) n N konvergent mit dem Grenzwert s = t. Dies zeigt die Konvergenz der Reihe ( )n a n sowie für jedes n N. s 2n s = ( ) n a n = t s 2n+ Beispielsweise konvergieren damit die beiden Reihen ( ) n n= n = = ln(2), ( ) n 2n + = = π 4, wobei letztere Reihe oft als die Leibniz-Reihe bezeichnet wird. Die Grenzwerte sind hier nur zur Information angegeben, mit den uns hier zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln können wir diese noch nicht weiter begründen. Man kann sich das Leibniz Kriterium, zumindest teilweise, auch so erklären das je zwei Summanden der Reihe zusammengefasst werden, man also zu neuen Summanden der Form b n = a 2n a 2n+ 0 übergeht und so eine Reihe bestehend aus nichtnegativen Summanden erhält. Eine solche Konstruktion kann man auch noch etwas allgemeiner betrachten, startend mit einer beliebigen Reihe a n, fasst man die Summanden in einzelnen Blöcken zusammen b 0 = a a n, b = a n + + a n2, b 2 = a n2 + + b n3,... und erhält so eine geblockte Reihe b n. Setzt man noch n 0 := 0 so stehen in der Definition des i-ten Blocks b i stets n i+ n i viele Summanden der Ausgangsreihe. Ist die Ausgangsreihe konvergent so konvergiert auch die geblockte Reihe mit demselben Grenzwert und unter einigen Zusatzbedingungen gilt auch die Umkehrung dieser Aussage. Lemma 5.8 (Geblockte Reihen) Seien K {R, C} und a n eine Reihe in K. Weiter seien n 0, n, n 2,... N mit 0 = n 0 < n < n 2 < n 3 < gegeben und definiere den k-ten Block b k für jedes k N als Dann gelten: b k := n k+ j=n k a j = a nk + + a nk+. (a) Konvergiert die Reihe a n, so konvergiert auch die geblockte Reihe b n und es ist b n = a n. (b) Es gelte: 4-0

11 . Die geblockte Reihe b n konvergiert. 2. Die Folge (a n ) n N ist eine Nullfolge. 3. Die Blocklängen sind nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein m N mit n k+ n k m für alle k N. Dann ist auch die Reihe a n konvergent. Beweis: Für jedes n N seien s n := n a k und t n := die Partialsummen der ursprünglichen beziehungsweise der geblockten Reihe. Für alle k N haben wir dann t k = k b j = j=0 k j=0 n j+ i=n j a i = n n k+ i=0 b k a i = s nk+. (a) Wie eben gezeigt ist (t k ) k N eine Teilfolge von (s n ) n N, diese Behauptung folgt damit aus 4.Lemma.(a). (b) Sei a := b k. Wir zeigen das auch (s n ) n N a gilt. Sei also ɛ > 0 gegeben. Wegen (a j ) j N 0 existiert ein j 0 N mit a j < ɛ/(2m) für alle j N mit j j 0 und wegen (t k ) k N a existiert ein k 0 N mit t k a < ɛ/2 für alle k N mit k k 0. Setze m 0 := max{n k0 +, n j0 } N. Wir zeigen nun das für jedes n N mit n m 0 stets s n a < ɛ ist. Sei also n N mit n m 0 gegeben. Sei k N minimal mit n < n k+, und wegen n n k0 + n sind dann k und n k n < n k+. Wegen n k+ > n n k0 + ist k + > k 0 + also k k 0 und t k a < ɛ/2. Ebenso folgt k j 0 also gilt für jedes j N mit n k j n stets j n k n j0 j 0 und somit a j < ɛ/(2m). Insgesamt haben wir damit n s n a = s n k a + = n t k a + t k a + j=n k a j und (s n ) n N a ist bewiesen. j=n k a j n a j < ɛ 2 + (n n k + ) ɛ 2m ɛ 2 + n k+ n k ɛ m 2 ɛ, j=n k In Teil (b) des Lemmas benötigt man tatsächlich die beiden Voraussetzungen (2) und (3), und wir wollen uns für jede der beiden ein Beispiel hierzu anschauen. Haben wir die Folge (a n ) n N = (( ) n ) n N und setzen n k := 2k für jedes k N, so haben wir {, n ist gerade, s n = 0, n ist ungerade = ( )n+ und b n = ( ) 2n + ( ) 2n+ =

12 für jedes n N, die Reihe a n divergiert also, aber die geblockte Reihe b n = 0 konvergiert und die Blocklänge ist konstant n k+ n k = 2 für jedes k N. Dies war ein Gegenbeispiel in dem Bedingung (2) verletzt ist, ein Gegenbeispiel zu Bedingung (3) ist etwas schwerer zu konstruieren. Wir wählen die Blockunterteilung (n k ) k N so, dass n k+ n k = 2(k + ) für jedes k N gilt, also n k := k j = k(k + ) j= für jedes k N. Die Folge (a n ) n N definieren wir so das im k-ten Block zunächst (k +) viele Folgenglieder gleich /(k + ) sind und die darauf folgenden (k + ) Folgenglieder gleich /(k + ) sind, also als Formel a n := { k+ wenn k(k + ) n < (k + )2 für ein k N, k+ wenn (k + )2 n < (k + )(k + 2) für ein k N für jedes n N. Wir wollen uns überlegen das die geblockte Reihe b n konvergiert und die Folge (a n ) n N eine Nullfolge ist aber die Reihe a n divergiert. Ersteres ist dabei klar, für jedes k N summiert sich der k-te Block zu b k = n k+ j=n k a j = (k+)(k+2) j=k(k+) a j = (k+) 2 j=k(k+) (k+)(k+2) k + k + = 0, j=(k+) 2 also konvergiert b k = 0. Weiter ist die Folge ( a n ) n N monoton fallend und für jedes k N gilt a nk = /(k+), also ist ( a n ) n N 0 und somit auch (a n ) n N 0. Um die Divergenz der Reihe a n einzusehen, blocken wir diese auch noch auf eine zweite Weise, nämlich durch n 2k := n k = k(k + ) und n 2k+ := n k + (k + ) = (k + ) 2 für jedes k N. Für jedes k N ergeben sich die zugehörigen Blöcke als b 2k := n 2k+ j=n 2k a j = (k+) 2 j=k(k+) n 2(k+) k + = und analog b 2k+ := j=n 2k+ a j = d.h. b n = ( ) n für jedes n N und die geblockte Reihe b n = ( )n divergiert, also muss nach dem Lemma auch die Reihe a n divergieren. Wir betrachten noch einmal die Leibniz-Reihe ( ) n 2n + =

13 Es ist beispielsweise nach Satz 7 0, 6 = 2 3 = 3 < ( ) n 2n + < = 3 5 = 0, 86, und um eine bessere Abschätzung zu erhalten, berechnen wir einige weitere Partialsummen s n n = 0 n = 0, n = 2 0, n = 3 0, n = 4 0, n = 5 0, 7440 n = 6 0, n = 7 0, n = 8 0, 8309 n = 9 0, n = 8 0, n = 9 0, n = 28 0, n = 29 0, n = 98 0, n = 99 0, n = 98 0, n = 99 0, n = 998 0, n = 999 0, es ist also 0, < ( )n /(2n + ) < 0, Die Konvergenz der Leibniz Reihe ist sehr langsam, wir brauchen bereits 000 Summanden um nur drei Nachkommastellen der Summe sicher zu kennen. Wir summieren die Leibniz Reihe jetzt in einer anderen Reihenfolge auf =: d.h. es werden je zwei positive gefolgt von nur einem negativen Term genommen. Ist n N so stehen in der n-ten Dreiergruppe also der (2n)-te und der (2n + )-te positive Summand der Leibniz-Reihe gefolgt vom n-ten negativen Summanden der Leibniz- Reihe, d.h. a 3n = 4 (2n) + = 8n +, a 3n+ = a n 4 (2n + ) + = 8n + 5, a 3n+2 = 4n + 3. Wir fassen die Summanden der umgeordneten Reihe a n in Dreierblöcken zusammen und erhalten die geblockte Reihe mit ( ) + ( ) + = b n = a 3n + a 3n+ + a 3n+2 = 8n + + 8n + 5 4n + 3 (8n + 5)(4n + 3) + (8n + )(4n + 3) (8n + )(8n + 5) = (8n + )(8n + 5)(4n + 3) 4-3 = b n 24n + 3 (8n + )(8n + 5)(4n + 3) > 0

14 für jedes n N. Für jedes n N mit n 3 haben wir weiter b n 25/n 2 also auch n k=3 b k 25 k= /k2 <, d.h. die Partialsummen der Reihe b n sind nach oben beschränkt und nach Satz 4.(b) konvergiert die Reihe b n. Nach Lemma 8 konvergiert damit auch die Reihe a n = b n > = = 0, > ( ) k 2k +. In dieser Reihenfolge aufsummiert erhalten wir also eine andere Summe. Tatsächlich läßt sich zeigen, dass = π + ln(2) 4 gilt. Die Summation unendlicher Summen ist also nicht kommutativ sondern kann wie in diesem Beispiel von der Reihenfolge der Summanden abhängen. Mit diesem Phänomen werden wir uns in der nächsten Sitzung etwas näher beschäftigen. 4-4