Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt VI vom

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1 Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 04/05 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Analysis Lösungen von Blatt VI vom 0..4 Aufgabe VI. (6 Punkte) Gegeben sind die Folgen (a n) bis (d n) definiert durch a n = n (n + 7), bn = + n n + 5, c n = n n, wobei 0 < <, d n = n + n. Hinweis: Die Bernoulli-Ungleichung aus Aufgabe III.4 ist bei der Untersuchung von (c n ) hilfreich. a) Bestimmen Sie jeweils Infimum und Supremum der Folgen. b) Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz. Beweisen Sie Ihre Behauptungen. Die Grenzwertsätze aus Aufgabe V.3 dürfen verwendet werden. Aufgabe VI. (4 Punkte) a) Sei (a n) eine monoton wachsende Folge in R, welche von oben beschränkt ist. Zeigen Sie, dass (a n) konvergiert. b) Seien (a n) eine Folge in R und a R mit der Eigenschaft, dass zu jeder Teilfolge (a nk ) k von (a n) eine Teilteilfolge (a nkl ) l existiert, welche gegen a konvergiert. Zeigen Sie lim an = a. Aufgabe VI.3 (6 Punkte) a) Die Folge (a n) ist definiert durch a n = n n = n k= k k für n N. Zeigen Sie, dass dann die Folge ( a n n ) gegen eine Zahl a (, ) konvergiert. b) Für n N seien die Folgen (a n) und (b n) definiert durch (i) a n = ( ) n + n, { n, falls n gerade, (ii) b n =, falls n ungerade. n Bestimmen Sie alle Häufungswerte von (a n) und (b n). c) Seien (a n), (b n) und (c n) Folgen in R derart, dass a n b n c n für alle n N. Des Weiteren seien (a n) und (c n) konvergent mit dem gemeinsamen Grenzwert b. Zeigen Sie, dass dann gilt: lim bn = b. Anmerkung: Dieses Resultat heißt auch manchmal Sandwich-Lemma. Aufgabe VI.4 (4 Punkte) Untersuchen Sie die angegebenen Teilmengen von R auf Existenz von Minimum, Maximum, Infimum und Supremum. Bestimmen Sie gegebenenfalls die entsprechenden Werte. Erreichbare Punktzahl: 0

2 Übungsblatt VI Lösungen Seite { a) A = x Q x } {, b) B = x R x }, { { x c) C = x x + }, x [0, ) d) D = + x }, x R { e) E = + n }. n Z Aufgabe VI. Lösungsvorschläge a) Die Folge (a n ) ist monoton fallend, denn für alle n N gilt: a n a n+ = n +n n+ n +n+ = n + 4n + 4n n 3 + n + n +. Somit gilt: sup(a n ) = a = und inf(a n ) = lim a n = 0. Die Folge (b n ) ist monoton fallend, denn für alle n N gilt: b n b n+ = (7+n) 5+n = n4 + 3n3 + 6n3 + 94n n n 4 + 3n n n (n+) Somit gilt: sup(b n ) = b = 64 7 Für die Folge (c n ) gilt: und inf(b n) = lim b n =. (n + ) n+ n n + n n = n bzw. (n + ) n+ n n n. Somit ist die Folge (c n ) für n N, n monoton wachsend und für n N, n monoton fallend. Wir definieren nun n = und n =. Dann wird das Supremum an der Stelle n oder n angenommen, genauer sup(c n ) = max{c n, c n }. Da c > 0 und die Folge gegen Null konvergiert (siehe Aufgabenteil b)), gilt inf(c n ) = lim = 0. Die Folge (d n ) ist monoton fallend. Es gilt für alle n N Also n + n = ( n + n)( n + + n) n + + n = d n n + + n + n + + n = =. d n+ n + + n n + + n n + + n. Somit gilt: sup(d n ) = d = = und inf(d n ) = lim d n = 0.

3 Übungsblatt VI Lösungen Seite 3 b) Die Folge (a n ) konvergiert gegen 0, denn lim a n = lim n + n = lim Die Folge (b n ) konvergiert gegen, denn n + = 0 = 0. n lim b (n + 7) n = lim n + 5 = lim + 4 n + 49 n + 5 =. n Die Folge (c n ) konvergiert gegen 0. Es gilt für h = > 0: = + h. Nach der Bernoulli-Ungleichung gilt für alle n : n = ( + h)n > + nh n < hn. Also gilt wegen n n 0 für alle n N: lim d n = lim nn = lim n n n < lim h hn = 0 Die Folge (d n ) konvergiert gegen 0, denn lim d ( n + n)( n + + n) n = lim n + n = lim n + + n = lim = 0. n + + n Aufgabe VI. a) Wir definieren die Menge A = {a n : n N}. Da laut Voraussetzung (a n ) nach oben beschränkt ist, besitzt die Menge A ein Supremum a R. Wir zeigen nun, dass lim a n = a gilt. Sei ε > 0 beliebig. Dann existiert aufgrund der Supremumseigenschaft ein n 0 N derart, dass a ε < a n0 a, andernfalls wäre a nicht die kleinste obere Schranke von a. Da (a n ) monoton wachsend ist, gilt damit für alle n n 0 also a a n = a n a < ε. a ε < a n0 a n a, b) Angenommen es gebe eine Folge (a n ) in R mit der Eigenschaft, dass jede Teilfolge (a nk ) k eine Teilteilfolge (a nkl ) l besitzt, die gegen a R konvergiert, die aber selbst nicht gegen a konvergiert. Dann gilt: ε 0 > 0 n N n 0 > n : a n0 a ε 0. () Definiere nun rekursiv die Folge (n k ) von Indizes in N durch:

4 Übungsblatt VI Lösungen Seite 4 i. n > mit a n a > ε 0 (wähle n = in ()), ii. n k+ > n k mit a nk+ a > ε 0 (wähle n = n k in ()). Dann ist (a nk ) k eine Teilfolge von (a n ). Wir zeigen nun, dass diese Folge keine Teilteilfolge (a nkl ) l besitzt, die gegen a konvergiert, d.h. ε > 0 l N l 0 > l : a nkl0 a ε. () Sei also (a nkl ) l eine beliebige Teilfolge von (a nk ) und setze ε = ε 0. Des Weiteren sei l N beliebig. Da laut Definition der Teilfolge für alle k l N gilt: a nkl a > ε 0, folgt () für beispielsweise l 0 = l +. Somit besitzt (a nk ) k keine konvergente Teilfolge, die gegen a konvergiert. Dies ist ein Widerspruch. Also ist die Annahme, dass (a n ) nicht gegen a konvergiert, falsch. Aufgabe VI.3 a) Wir zeigen zunächst: ( ) n an (i) Die Folge fällt streng monoton. ( ) (ii) Die Folge n+ an wächst streng monoton. (i) folgt aus ( n+ an+ a n n ) = 4n + 4n 4n + 4n + <, und (ii) aus ( n+ an+ a n n+ ) = 4n3 + n + n + 4 4n 3 + n + 9n + >. Nach (i) und (ii) gilt nun für alle n N: = a < a n n + < a n n < a =. (3) Da die Folge ( an n ) monoton fällt und nach unten beschränkt ist, besitzt sie einen Grenzwert a [, ]. Weiterhin gilt a, da ( an n ) streng monoton fällt, und a wegen (3) und der Tatsache, dass ( an n+ ) monoton wächst. Daher ist insgesamt a (, ). b) (i) Die Folge (a n ) zerfällt vollständig in die beiden Teilfolgen (c n ) und (d n ), definiert durch c n = a n = + n und d n = a n = + n. Nach den Grenzwertsätzen gilt lim c n = und lim d n =, also sind und Häufungswerte von (a n ). Angenommen es gebe einen weiteren Häufungswert h R \ {, }. Dann existiert eine Teilfolge (e n ) von (a n ) mit lim e n = h. Da (e n ) entweder unendlich viele Folgenglieder mit geraden

5 Übungsblatt VI Lösungen Seite 5 bzw. ungeraden Indizes hat, besitzt (e n ) eine Teilfolge, die gegen bzw. konvergiert. Weil (e n ) konvergent ist, muss dann auch (e n ) gegen bzw. konvergieren. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Also sind und die einzigen Häufungswerte von (a n ). (ii) Die Folge (b n ) zerfällt vollständig in die beiden Teilfolgen (c n ) und (d n ), definiert durch c n = b n = n und d n = b n = n. Da (c n ) nicht beschränkt ist, ist (c n ) nicht konvergent. Die Folge (d n ) ist eine Nullfolge. Somit ist 0 ein Häufungswert. Dieser ist auch der einzige Häufungswert. Angenommen es gebe einen weiteren Häufungswert h R \ {0}. Dann existiert eine Teilfolge (e n ) von (b n ) mit lim e n = h. Diese Folge muss unendlich viele Folgenglieder mit ungeraden Indizes haben, um zu konvergieren. Also muss ihr Grenzwert 0 sein. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Also ist 0 der einzige Häufungswert von (b n ). c) Sei ε > 0 beliebig. Da laut Vorausetzung die Folgen (a n ) und (c n ) gegen b konvergieren, existieren n, n N mit a n b < ε für alle n n und c n b < ε für alle n n. Wähle n 0 = max{n, n }. Dann gilt für alle n n 0 d.h. b b n < ε, was zu zeigen war. b ε < c n b n c n < b + ε, Aufgabe VI.4 a) inf(a) = Q, sup(a) = Q. Minimum und Maximum existieren nicht. b) Wegen B = [, ] ist inf(b) = min(b) = und sup(b) = max(b) =. c) Wir behaupten, dass inf(c) = min(c) =. Die erste Gleichheit folgt dabei aus der Tatsache, dass C (für x = 0). Wir beweisen somit nur die zweite Gleichheit. Angenommen, diese gelte nicht. Dann existiert eine Zahl K > derart, dass K z für jedes z C. Es gilt x x + < K x < K(x + ) x( } {{ K } ) < K + >0 x < K + K =: K (0, ). Wählt man also x [0, K ), so gilt z = x x+ C und z < K. Dies ist ein Widerspruch und somit ist die Behauptung bewiesen. Analog beweist man, dass sup(c) =. Das Maximum existiert nicht, denn angenommen es existiert ein x [0, ) mit x x+ =, so folgt =, was ein Widerspruch ist.

6 Übungsblatt VI Lösungen Seite 6 d) Zunächst ist, inf(d) = min(d) = 0 wegen x für x = 0. + x 0 für jedes x R mit Gleichheit Wir behaupten, dass sup(d) =. Angenommen, es existiert K < mit z K für jedes z D. Es gilt x > K x > K( + x ) x ( K) > K + x x > K K =: K R. Wählt man also x R mit x > K, so gilt z = x + x > K. Dies ist ein Widerspruch. Das Maximum existiert nicht. Dies kann wie in c) bewiesen werden. e) max(e) = sup(e) = ( E für n = 0) und inf(e) = 0. Das Minimum existiert nicht. Die Behauptungen lassen sich wie in c) und d) beweisen.