Die Topologie von R, C und R n

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1 Die Topologie von R, C und R n Für R haben wir bereits eine Reihe von Strukturen kennengelernt: eine algebraische Struktur (Körper), eine Ordnungsstruktur und eine metrische Struktur (Absolutbetrag, Abstand). Bei vielen Untersuchungen in der Analysis kommt es nur auf die metrische (bzw. allgemeiner topologische) Struktur an, welche es etwa ermöglicht, konvergente Folgen zu definieren. In R ist diese metrische Struktur durch d(x, y) = x y gegeben, in C (= R 2 ) durch d(z, w) = z w = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 falls z = x 1 + iy 1 und w = x 2 + iy 2, und im R n durch d(x, y) = x y = n (x i y i ) 2. i=1 Allgemeiner nennt man ein Paar (M, d) einen metrischen Raum, wenn M eine Menge ist und d : M M R eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften ist: (1) d(x, y) 0 ; d(x, y) = 0 x = y (2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) (3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung) Die Abbildung d heißt Metrik, und die Zahl d(x, y) der Abstand zwischen x und y. Zuvor wurde schon für R, C und R n gezeigt: Satz. R, C und R n sind mit den oben genannten Abstandsfunktionen metrische Räume. Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum und x 0 M. (i) Für jedes ε > 0 heißt die Menge U ε (x 0 ) = {x M : d(x 0, x) < ε} die (offene) ε-kugel (oder ε-umgebung) um x 0. 1

2 (ii) U M heißt Umgebung von x 0, wenn U eine ε-kugel um x 0 enthält. Bemerkungen. Für M = R ist eine ε-kugel um x 0 offenbar das offene Intervall (x 0 ε, x 0 + ε), für M = C (bzw. R 2 ) eine offene Kreisscheibe mit Radius ε um z 0 C (bzw. (x 0, y 0 ) R 2 ), und im Falle M = R 3 eine offene Kugel mit Radius ε um den jeweiligen Mittelpunkt. Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Folge (x n ) in M konvergent gegen x 0 M, wenn in jeder ε-kugel um x 0 fast alle Folgenglieder liegen, d.h. ε > 0 N ε N sodass n > N ε gilt x n U ε (x 0 ). Bemerkung. Man beachte, dass diese Definition konsistent ist mit den vorherigen Defintionen von konvergenten Folgen für die speziellen Räume R, C und R n. Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum und X M. (i) x 0 X heißt innerer Punkt von X, wenn ein ε > 0 existiert mit U ε (x 0 ) X. Die Menge der inneren Punkte von X heißt das Innere von X (bzw. offener Kern von X) und wird mit X 0 bezeichnet. (ii) X heißt offen, wenn X = X 0, d.h. wenn alle Punkte von X innere Punkte sind. Per definition ist die leere Menge ebenfalls offen. Bemerkungen. 1) Klarerweise ist M selbst eine offene Menge. Für x 0 M und ε > 0 ist die ε-kugel U ε (x 0 ) auch selbst wieder eine offene Menge, weil für y 0 U ε (x 0 ) gilt: d(x 0, y 0 ) < ε und mit δ = ε d(x 0, y 0 ) > 0 und der Dreiecksungleichung folgt U δ (y 0 ) U ε (x 0 ). (z U δ (y 0 ) d(x 0, z) d(x 0, y 0 ) + d(y 0, z) < d(x 0, y 0 ) + δ = ε ) 2) Man zeigt leicht, dass die beliebige Vereinigung von offenen Mengen sowie der endliche Durchschnitt von offenen Mengen wieder eine offene Menge ist. 2

3 3) In R sind damit Intervalle der Form (a, b), (, b), (a, ) offen, nicht hingegen die Intervalle [a, b), (a, b], (, b] etc. 4) Man kann zeigen, dass die zuvor definierten offenen Intervalle des R n ebenfalls offene Mengen sind (man veranschauliche sich die Situation im R 2 ). Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge X M heißt abgeschlossen, wenn das Komplement M \ X offen ist. Bemerkungen. 1) M und sind stets abgeschlossen. 2) In R sind etwa [a, b], (, b] und [a, ) abgeschlossen. 3) Wiederum kann man zeigen, dass die zuvor definierten abgeschlossenen Intervalle des R n auch tatsächlich abgeschlossen sind. Definition. Eine Teilmenge X R n heißt kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Teilmengen von R (bzw. C, R n ) können von sehr unterschiedlicher Natur sein. Betrachte etwa X = {x Q : 0 < x < 1} { 5, 2} R. Jede ε- Umgebung von x R (0, 1) enthält unendlich viele Punkte von X. In einer hinreichend kleinen ε-umgebung von x = 5 (bzw. x = 2) liegen jedoch keine weiteren Punkte von X. Betrachte X = {1, 1 2, 1 3,.., 1 n,..} R. In einer hinreichend kleinen ε- Umgebung eines Punktes von X liegt kein weiterer Punkt von X mehr. Hingegen liegen in jeder ε-umgebung von x = 0 unendlich viele Punkte von X. 3

4 Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum, X M und (x n ) eine Folge in M. 1) x 0 M heißt Häufungspunkt von X, wenn in jeder ε-kugel um x 0 unendlich viele Elemente von X liegen. 2) x 0 M heißt Häufungspunkt der Folge (x n ), wenn in jeder ε-kugel um x 0 unendlich viele Folgenglieder liegen. 3) x 0 X heißt isolierter Punkt von X, wenn es eine ε-kugel um x 0 gibt, in der keine weiteren Punkte von X liegen. Bemerkungen. (a) x 0 ist Häufungspunkt von X M genau dann, wenn es eine Folge (x n ) mit Elementen aus X gibt mit x n x 0 und x n x 0. (Betrachte die Durchschnitte U 1 (x 0) X ) n (b) x 0 ist Häufungspunkt der Folge (x n ) genau dann, wenn es eine Teilfolge (x nk ) von (x n ) gibt mit x nk x 0. So hat etwa die reelle Folge 1, 1, 1, 1, 1,... zwei Häufungspunkte, nämlich 1 und 1. (c) Satz. Eine Teilmenge X M ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. Beweis. Der Fall X = ist trivial. Sei also X. (i) Sei x M ein Häufungspunkt von X. Annahme: x / X. Weil M \X laut Voraussetzung offen ist, ε > 0 mit U ε (x) M \ X. Da in U ε (x) unendlich viele Elemente von X liegen, erhalten wir einen Widerspruch. Also x X. (ii) Annahme: X ist nicht abgeschlossen. D.h. M \ X ist nicht offen x M \ X und keine ε-kugel um x liegt in M \ X jede ε-kugel um x schneidet M. Damit ist x ein Häufungspunkt von X. Wegen x M \ X erhalten wir einen Widerspruch. 4

5 Satz. (Bolzano-Weierstrass) Jede beschränkte unendliche Teilmenge X R (bzw. C, R n ) hat mindestens einen Häufungspunkt. Beweis. (für R) Wegen der Beschränktheit K > 0 mit x K für alle x X. Weil X unendlich ist, liegen in mindestens einem der Teilintervalle [ K, 0] bzw. [0, K] unendlich viele Elemente von X. Wähle ein derartiges Intervall aus und nenne es I 1 = [a 1, b 1 ]. Durch Halbierung von I 1 erhalten wir zwei Teilintervalle, von denen eines, etwa I 2 = [a 2, b 2 ], unendlich viele Elemente von X enthält. Fortsetzung dieses Verfahrens liefert eine Folge von ineinander geschachtelten Intervallen I n = [a n, b n ], wobei offenbar gilt, dass (a n ) monoton wächst, (b n ) monoton fällt, und b n a n = K 2 ist. n 1 Beide Folgen sind konvergent gegen denselben Grenzwert x. Wähle nun K ein beliebiges ε > 0. Wird n so groß gewählt, dass 2 < ε, dann liegt n 1 I n in der ε-kugel um x, und damit liegen unendlich viele Elemente von X in dieser ε-kugel. D.h. x ist ein Häufungspunkt von X. Wir haben zuvor schon den Begriff der kleinsten oberen Schranke (Supremum) bzw. der größten unteren Schranke (Infimum) einer Teilmenge X R behandelt. (Man beachte, dass hierbei die Ordnungstruktur von R eine Rolle spielt.) Wir zeigten, dass in R jede nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum und jede nach unten beschränkte Teilmenge ein Infimum besitzt. Für den Fall, dass X R nicht nach oben beschränkt ist (bzw. nicht nach unten beschränkt ist), setzen wir supx = (bzw. infx = ). Bemerkung. Sei X R eine kompakte Teilmenge, also beschränkt und abgeschlossen. Dann existieren supx, infx R und liegen in X! ( supx (bzw. infx) ist entweder ein isolierter Punkt von X oder ein Häufungspunkt von X ) Damit hat eine kompakte Teilmenge X R also ein größtes und ein kleinstes Element! 5

6 Wir betrachten nun wieder Folgen. Satz. (Bolzano-Weierstrass für Folgen) Jede beschränkte Folge (x n ) in R (bzw. C, R n ) hat mindestens einen Häufungspunkt. Beweis. Betrachte die Menge X der Folgenglieder. Ist X endlich, dann muß eines der Folgenglieder ein Häufungspunkt sein. Ist X unendlich, dann hat X nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass einen Häufungspunkt x, welcher offenbar ein Häufungspunkt der Folge ist. Satz. (ohne Beweis) Sei (x n ) eine Folge in R (bzw. C, R n ). Dann ist Hp(x n ), die Menge der Häufungspunkte von (x n ), stets eine kompakte Teilmenge. Sei nun (x n ) eine beschränkte reelle Folge. Dann ist Hp(x n ), und besitzt nach dem vorhergehenden Satz ein größtes und ein kleinstes Element, welches mit lim x n = lim sup x n... Limes superior von (x n ) bzw. lim x n = lim inf x n... Limes inferior von (x n ) bezeichnet wird. Folgerung. Ist (x n ) eine beschränkte reelle Folge, dann gibt es zu jedem ε > 0 ein N ε N sodass für alle n > N ε gilt : lim inf x n ε x n lim sup x n + ε. Somit ist eine beschränkte reelle Folge (x n ) genau dann konvergent, wenn lim inf x n = lim sup x n. Weitere Schreibweisen. Sei (x n ) eine reelle Folge. 1) Gilt für jedes K R dass x n > K für fast alle n, dann schreiben 6

7 wir lim x n = + bzw. x n +. 2) Gilt für jedes K R dass x n < K für fast alle n, dann schreiben wir lim x n = bzw. x n. 3) Gibt es eine nach oben unbeschränkte Teilfolge, dann schreiben wir lim sup x n = +. 4) Gibt es eine nach unten unbeschränkte Teilfolge, dann schreiben wir lim inf x n =. 7

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