Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen

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1 Kapitel 3 Folgen und Reihen 3. Folgen 3.2 Cauchy Folgen 3.3 Unendliche Reihen 3.4 Absolut konvergente Reihen 3.5 Multiplikation von Reihen 3.6 Potenzreihen 3. Folgen In diesem gesamten Abschnitt bezeichnen wir mit K wieder die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen. Unter einer Folge in K versteht man eine Abbildung f : N K. Zu jedem n N existiert also ein a n K mit f(n) = a n. Für eine solche Folge benutzt man deshalb meistens die Schreibweise {a n } n N oder {a, a 2, a 3,...}. Die a n heißen dann die Folgenglieder der Folge {a n }. Oft beginnt die Indizierung der Folgenglieder nicht mit, sondern mit einer beliebigen Zahl n 0 Z. Man schreibt dann {a n } n n0 oder {a n0, a n0 +, a n0 +2,...}. Für K = R spricht man von einer reellen Folge, für K = C von einer komplexen Folge. Beispiel 3. (a) Sei a n = a für alle n N mit einem a K. Man erhält die konstante Folge {a, a, a, a,...}. (b) Sei a n = n für alle n N. Man erhält die so genannte harmonische Folge {, 2, 3, 4,...}. (c) Sei a n = ( ) n für alle n N. Damit ergibt sich die Folge {,,,,,...}, deren Folgenglieder ein alternierendes Vorzeichen besitzen. (d) Für a n = n n+ (n N) erhalten wir die Folge { 2, 2 3, 3 4, 4 5,...}. 59

2 60 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN (e) Für a :=, a 2 := und a n+ := a n + a n für alle n 2 erhalten wir rekursiv die Folge {,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,...} der so genannten Fibonacci Zahlen. (f) Sei q K beliebig und a n := q n (n N). Dies ergibt die Folge der Potenzen {q, q 2, q 3, q 4,...}. (g) Für a n := n n erhalten wir die Folge {, 2, 3 3,...}. Wir definieren als Nächstes den Begriff der Konvergenz einer Folge. Definition 3.2 Eine Folge {a n } heißt konvergent gegen ein a K, wenn es zu jedem ε > 0 eine (im Allgemeinen von ε abhängige) Zahl N N gibt mit a n a < ε für alle n N. (3.) Die Zahl a heißt dann Grenzwert oder Limes der Folge {a n }, und man schreibt lim a n = a oder a n a für n. Eine Folge {a n } mit lim a n = 0 heißt Nullfolge. In (3.) hätte man das < Zeichen auch durch das Zeichen ersetzen können. Man überlege sich in Ruhe, dass dies an der Definition letztlich nichts ändert. An dieser Stelle ist es sehr sinnvoll, eine in der Mathematik übliche Schreibweise einzuführen. Wir benutzen insbesondere die Abkürzungen für für alle (so genannter All Quantor ), für es gibt oder es existiert (so genannter Existenz Quantor ). Damit lässt sich die Konvergenz einer Folge {a n } gegen ein a K kurz wie folgt formulieren: ε > 0 N N : a n a < ε n N. Der hierin vorkommende Doppelpunkt wird oft als so dass gilt gelesen. Alternativ könnte man den letzten All Quantor auch vor die Ungleichung stellen: ε > 0 N N n N : a n a < ε. (3.2) Die Verwendung von Quantoren ist am Anfang sicherlich etwas gewöhnungsbedürftig und wird in den meisten Büchern nicht im Übermaß benutzt. In Vorlesungen und persönlichen Gesprächen mit Kollegen sind sie jedoch absoluter Standard und erlauben eine im Allgemeinen sehr viel kürzere Formulierung des jeweiligen Gegenstandes. Die Verwendung von Quantoren bietet außerdem den Vorteil, dass man eine Aussage sehr leicht negieren kann, indem man All Quantoren durch Existenz Quantoren und umgekehrt ersetzt. Dass eine Folge {a n } nicht gegen ein a konvergiert, lässt sich also schreiben als ε > 0 N N n N : a n a ε,

3 3.. FOLGEN 6 vergleiche (3.2). Will man diesen Sachverhalt in Worte fassen, so wird dies schon deutlich länger: Die Folge {a n } konvergiert nicht gegen a K, wenn ein ε > 0 existiert, so dass es für alle N N ein n N gibt mit a n a ε. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist, sofern er denn existiert, notwendig eindeutig bestimmt. Satz 3.3 ( Eindeutigkeit des Grenzwertes ) Die Folge {a n } n N konvergiere sowohl gegen a K als auch gegen a K. Dann gilt a = a. Beweis: Angenommen, es ist a a. Dann ist ε := 2 a a eine positive Zahl. Wegen lim a n = a existiert ein N N mit a n a < ε für alle n N. Andererseits gibt es wegen lim a n = a auch ein N 2 N mit a n a < ε für alle n N 2. Für alle n N := max{n, N 2 } gilt dann sowohl a n a < ε als auch a n a < ε. Hieraus folgt a a = (a an ) + (a n a ) an a + a n a < 2ε = a a, also a a < a a. Dieser Widerspruch zeigt, dass doch a = a sein muss. Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Wir untersuchen als Nächstes die Konvergenz bzw. Divergenz der Folgen aus dem Beispiel 3.. Beispiel 3.4 (a) Die durch a n = a für alle n N definierte konstante Folge {a, a, a,...} ist konvergent mit lim a n = a. Um dies einzusehen, haben wir per Definition ein N N zu finden mit a n a < ε für alle n N. In diesem Fall können wir hierzu jedes N N wählen (insbesondere ist N hier von dem vorgegebenen ε unabhängig) und erhalten a n a = a a = 0 < ε für alle n N, was zu zeigen war. (b) Die harmonische Folge { } n n N ist konvergent mit lim = 0. Sei nämlich ε > 0 n beliebig. Wähle dann ein (dieses Mal tatsächlich von ε abhängiges) N N mit N > ε (ein solches N existiert, da R archimedisch geordnet ist). Dann folgt also lim n = 0. n 0 = n N < ε für alle n N, (c) Die Folge {a, a 2, a 3,...} mit a n = ( ) n divergiert. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Angenommen, die Folge {a n } konvergiert gegen ein a. Per Definition gibt es zu ε = dann ein N N mit a n a < ε = für alle n N. Für alle n N gilt dann nach der Dreiecksungleichung 2 = a n+ a n = (an+ a) + (a a n )

4 62 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN a n+ a + a a n < + = 2. Dieser Widerspruch zeigt, dass die Folge gegen kein a konvergieren kann und somit divergiert. (d) Die Folge {a n } mit a n = n konvergiert gegen den Grenzwert a =. Sei dazu ε > 0 n+ beliebig. Wähle ein N N mit N >. Dann folgt ε n n + = n + n N < ε für alle n N, also a n für n. (e) Die Folge der Fibonacci Zahlen {a n } ist divergent, denn mittels vollständiger Induktion bestätigt man leicht, dass a n n für alle n N mit n 5 gilt, so dass die Folge {a n } nicht beschränkt ist und somit nicht konvergent sein kann, wie wir im Anschluss an dieses Beispiel noch sehen werden. (f) Das Konvergenzverhalten der Folge {q n } n N hängt vom Wert von q K ab. Für q < konvergiert diese Folge mit lim q n = 0, für q > hingegen divergiert die Folge. Wir verifizieren hier nur die Aussage für q <. Da für q = 0 nichts zu zeigen ist, können wir q 0 voraussetzen. Dann ist q = + x für ein x > 0. Nun wenden wir die für alle x und alle n N gültige Bernoullische Ungleichung ( + x) n + nx an (Beweis durch vollständige Induktion nach n) und erhalten 0 q n = ( + x) n + nx n x. Wegen n 0 nach (b) folgt hieraus unmittelbar qn 0 für n. (g) Wir behaupten, dass lim n n = gilt. Setzen wir x n := n n, so haben wir zu zeigen, dass {x n } eine Nullfolge ist. Aus dem binomischen Lehrsatz.9 folgt wegen x n 0 zunächst n = ( + x n ) n + ( ) n x 2 n 2 n(n ) = + x 2 n 2,

5 also n n(n ) x 2 2 n und damit x n ein N N mit N > 2, so folgt ε FOLGEN 63 2 n n n 2 2 = xn n N < ε. Wählen wir zu beliebigem ε > 0 daher für alle n N. Wir führen als Nächstes den Begriff einer beschränkten Folge ein. Definition 3.5 Eine Folge {a n } n N mit a n K für alle n N heißt beschränkt, wenn ein K R existiert mit a n K für alle n N. Eine nicht beschränkte Folge heißt unbeschränkt. Als Beispiel einer unbeschränkten Folge haben wir bereits die Folge der Fibonacci Zahlen kennen gelernt. Wir zeigen jetzt, dass eine konvergente Folge stets beschränkt ist. Satz 3.6 ( Beschränktheit konvergenter Folgen ) Jede konvergente Folge {a n } ist beschränkt. Beweis: Sei lim a n = a für ein a K. Zu ε = existiert dann ein N N mit Hieraus folgt mit der Dreiecksungleichung a n a < ε = für alle n N. a n = a + (a n a) a + a n a a + für alle n N. Damit folgt a n K für alle n N mit der Konstanten K := max{ a, a 2,..., a N, a + }. Wegen Satz 3.6 kann eine unbeschränkte Folge nicht konvergent sein. Man sagt auch, dass die Beschränktheit einer Folge ein notwendiges Kriterium für ihre Konvergenz darstellt. Es handelt sich hierbei jedoch nicht um ein hinreichendes Kriterium, denn eine beschränkte Folge muss nicht konvergent sein, wie das Beispiel 3.4 (c) zeigt. Wir werden in Kürze allerdings auf diese Problematik zurückkommen und zeigen, dass in gewissen Fällen beschränkte Folgen tatsächlich konvergent sind. Wir zeigen als Nächstes, dass auch die Summe, die Differenz, das Produkt und (sofern wohldefiniert) der Quotient von konvergenten Folgen wieder konvergente Folgen bilden. Satz 3.7 ( Rechenregeln für konvergente Folgen I ) Seien {a n } n N, {b n } n N zwei konvergente Folgen in K mit a n a und b n b für gewisse Grenzwerte a, b K. Dann gelten:

6 64 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN (a) a n + b n a + b für n. (b) a n b n a b für n. (c) a n b n a b für n. (d) Ist b 0, so sind fast alle b n 0, und es gilt an b n a b für n. Beweis: (a) Sei ε > 0 beliebig gegeben. Wegen der Konvergenz der Folgen {a n } und {b n } existieren dann N, N 2 N mit a n a < ε 2 für alle n N und b n b < ε 2 für alle n N 2. Dann gilt für alle n N := max{n, N 2 } (an + b n ) (a + b) an a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε, woraus per Definition lim (a n + b n ) = a + b folgt. (b) Die Folge { b n } = {( ) b n } konvergiert wegen Beispiel 3.4 (a) und dem gleich noch zu beweisenden Teil (c) gegen den Grenzwert b. Daher folgt die Behauptung unmittelbar aus der Aussage (a). (c) Wegen Satz 3.6 ist die Folge {a n } beschränkt. Also existiert ein K > 0 mit a n K für alle n N. Durch eventuelle Vergrößerung von K kann außerdem angenommen werden, dass auch b K ist. Wegen a n a und b n b existieren Zahlen N, N 2 N mit a n a < ε 2K für alle n N und b n b < ε 2K für alle n N 2, wobei ε > 0 beliebig vorgegeben ist. Für alle n N := max{n, N 2 } folgt daher und somit a n b n ab für n. a n b n ab = a n (b n b) + (a n a)b a n b n b + a n a b < K ε 2K + ε 2K K = ε (d) Wegen b n b für n existiert zu η := 2 b > 0 eine Zahl N N mit b n b < η für alle n N. Mit b n b b n b folgt dann b n > b > 0 für alle n N 2

7 3.. FOLGEN 65 und somit insbesondere b n 0 für alle n N. Sei nun ε > 0 beliebig gegeben. Aus b n b folgt die Existenz eines N N mit b b n < 2 ε b 2 für alle n N, wobei wir ohne Einschränkung n N wählen können. Dann folgt b n b = b n b < ε b 2 b n b 2 b n b = 2 b ε b n < b ε n = ε für alle n N. b n Also konvergiert die Folge { b n } gegen den Grenzwert. Die Aussage (d) ergibt sich somit b aus dem Teil (c). Die Aussagen des Satzes 3.7 lassen sich recht einprägsam auch schreiben als lim n ± lim b n = lim (a n ± b n ), lim n lim b n = lim (a n b n ), lim a n lim b n = a n lim. b n Wir formulieren noch ein weiteres einfaches Resultat über Folgen, aus dem sich insbesondere ergibt, dass der Grenzwert einer reellen Folge stets reell ist. Satz 3.8 ( Rechenregeln für konvergente Folgen II ) Sei {a n } eine beliebige Folge in K mit lim a n = a. Dann gelten Insbesondere folgt hieraus a n a, a n a, Re(a n ) Re(a), Im(a n ) Im(a). lim a n = lim Re(a n ) + i lim Im(a n ). Beweis: Wegen a n a für n existiert zu jedem ε > 0 ein N N mit a n a < ε für alle n N. Mit der inversen Dreiecksungleichung folgt daher a n a a n a < ε für alle n N Also gilt a n a für n. Die restlichen Aussagen können analog bewiesen werden. In dem verbleibenden Teil dieses Abschnitts wollen wir Folgen und ihre Grenzwerte der Größe nach vergleichen. Da es sich bei C um keinen geordneten Körper handelt, werden wir deshalb nur reelle Folgen betrachten.

8 66 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Satz 3.9 Seien {a n } und {b n } zwei reelle Folgen mit a n a, b n b und a n b n für fast alle n N (d.h., für alle n N mit der Ausnahme von höchstens endlich vielen n N). Dann ist auch a b. Beweis: Nach Voraussetzung existieren zu jedem ε > 0 Zahlen N, N 2 N mit Hieraus ergibt sich a n a < ε für alle n N und b n b < ε für alle n N 2. a b = a a n + a n b }{{ n +b } n b a a n + b b n < ε + ε = 2ε. 0 Da ε > 0 beliebig gewählt werden konnte, ist dies nur für a b möglich (denn wäre a > b, so erhielten wir für ε := (a b) > 0 den Widerspruch 0 < a b < 2ε = (a b)). 4 2 Eine Variante des Satzes 3.9 ist in dem folgenden Resultat enthalten, das in den letzten Jahren eine recht moderne Bezeichnung bekommen hat. Satz 3.0 ( Sandwich Theorem ) Seien {a n }, {b n } und {c n } drei reelle Folgen mit a n c n b n für fast alle n N derart, dass {a n } und {b n } konvergent sind mit lim a n = lim b n. Dann ist die Folge {c n } ebenfalls konvergent mit Grenzwert lim c n = lim a n. Beweis: Der Beweis folgt durch Anwendung des Satzes 3.9 und sei in seinen Einzelheiten dem Leser überlassen. Wir wissen bereits aus dem Satz 3.6, dass eine konvergente Folge stets beschränkt ist. Die Umkehrung dieser Aussage gilt im Allgemeinen nicht, wie das Beispiel der Folge {, +,, +,...} zeigt. In gewissen Fällen lässt sich jedoch auch die Umkehrung beweisen. Dazu benötigen wir den Begriff einer monotonen Folge. Definition 3. Eine Folge {a n } reeller Zahlen heißt (a) monoton wachsend, wenn a n a n+ für alle n N gilt. (b) monoton fallend, wenn a n a n+ für alle n N gilt. (c) monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend ist. Für monotone Folgen gilt nun die schon angekündigte Umkehrung. Satz 3.2 ( Hauptsatz über monotone Folgen ) (a) Jede monoton wachsende und (nach oben) beschränkte Folge {a n } konvergiert, und zwar gegen a := sup A, wobei A := {a n n N}.

9 3.2. CAUCHY FOLGEN 67 (b) Jede monoton fallende und (nach unten) beschränkte Folge {a n } konvergiert, und zwar gegen a := inf A, wobei A := {a n n N}. Beweis: Wir beweisen hier nur die Aussage (a). Teil (b) kann auf die Behauptung (a) zurückgeführt werden, indem man auf die monoton wachsende Folge { a n } übergeht. Da a := sup A die kleinste obere Schranke für A ist, existiert zu jedem ε > 0 ein a N mit a ε < a N. Die Monotonie von {a n } impliziert daher a ε < a N a n a für alle n N. Insbesondere haben wir a n a < ε für alle n N und somit a n a für n. Wir wollen zum Abschluss den Begriff einer divergenten Folge in R noch etwas präzisieren. Definition 3.3 Eine Folge {a n } in R heißt (a) bestimmt divergent (oder uneigentlich konvergent) gegen +, wenn es zu jedem K R ein N N gibt mit a n > K für alle n N mit n N. (b) bestimmt divergent (oder uneigentlich konvergent) gegen, wenn es zu jedem K R ein N N gibt mit a n < K für alle n N mit n N. Im Falle einer uneigentlich konvergenten Folge schreiben wir auch lim a n = + bzw. lim a n = und nennen + bzw. den uneigentlichen Grenzwert der Folge {a n }. Beispielsweise ist die Folge {a n } mit a n := n für alle n N bestimmt divergent gegen den uneigentlichen Grenzwert +. Hingegen ist die Folge {a n } mit a n := ( ) n für alle n N zwar divergent, aber nicht uneigentlich konvergent gegen + oder. 3.2 Cauchy Folgen Wir beginnen mit der Definition einer Cauchy Folge, die in der Analysis von zentraler Bedeutung ist. Definition 3.4 Eine Folge {a n } in K heißt Cauchy Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt mit a n a m < ε für alle n, m N mit n, m N. Mit Hilfe des All und Existenzquantors lässt sich die Definition 3.4 auch wie folgt schreiben: {a n } ist eine Cauchy Folge : ε > 0 N N n, m N : a n a m < ε. Dabei bedeutet der Doppelpunkt vor dem Äquivalenzzeichen, dass der auf dieser Seite stehende Begriff durch den auf der anderen Seite stehenden Ausdruck definiert wird. Wir zeigen zunächst, dass jede konvergente Folge stets eine Cauchy Folge ist.

10 68 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Satz 3.5 ( Konvergente Folgen sind Cauchy Folgen ) Sei {a n } eine konvergente Folge in K. Dann ist {a n } auch eine Cauchy Folge. Beweis: Nach Voraussetzung existiert der Grenzwert a = lim a n. Also existiert zu jedem ε > 0 ein N N mit a n a < ε für alle n N. Dies impliziert 2 a n a m a n a + a a m < ε 2 + ε 2 = ε für alle n, m N. Also ist {a n } eine Cauchy Folge. Das Ziel dieses Abschnitts besteht letztlich darin zu zeigen, dass in K {R, C} umgekehrt jede Cauchy Folge auch konvergiert. Dies ist allerdings keineswegs selbstverständlich und hängt schließlich eng zusammen mit der Vollständigkeit von R (bzw. C). Um die Problematik zu verdeutlichen, betrachten wir das folgende Resultat. Satz 3.6 Sei a > 0 eine beliebige reelle Zahl. Mit einem Startwert x 0 > 0 definieren wir eine Folge {x n } rekursiv durch die Vorschrift x n+ := ) (x n + axn für alle n = 0,, 2,.... (3.3) 2 Dann konvergiert die Folge {x n } gegen die Quadratwurzel von a. Beweis: Durch Induktion zeigt man sehr leicht, dass x n > 0 gilt für alle n N 0. Insbesondere ist die Folge {x n } durch (3.3) somit wohldefiniert. Wegen ist außerdem x 2 n a = 4 Hieraus folgt außerdem ( x n + a x n ) 2 a = ( x n 4 x n a für alle n =, 2, x n x n+ = (x 2 n a) 0, 2x n a x n ) 2 0 so dass die Folge {x n } ab n = monoton fällt. Wegen Satz 3.2 besitzt sie deshalb einen Grenzwert x. Diesen erhalten wir, wenn wir in der Vorschrift (3.3) den Grenzübergang n durchführen: x = ( a) x +. 2 x Auflösen dieser Gleichung nach x liefert x 2 = a und somit die Behauptung. Die im Satz 3.6 angegebene Rekursion (3.3) zur Berechnung der Quadratwurzel von a > 0 hat übrigens einen erheblichen praktischen Nutzen. Tippt man auf einem Taschenrechner

11 3.2. CAUCHY FOLGEN 69 auf die Wurzeltaste, so liefert dieser (fast) sofort eine Näherung für die gesuchte Quadratwurzel. Aber der Taschenrechner (oder auch Computer) ist beliebig blöd und muss diese Quadratwurzel erst berechnen. Eine Möglichkeit hierzu besteht in der Ausführung der Vorschrift (3.3) mit zum Beispiel dem Startwert x 0 := a. Das Verfahren konvergiert dann außerordentlich schnell und benötigt nur sehr wenige Iterationen, um eine hervorragende Approximation der gesuchten Quadratwurzel zu berechnen. Später (in Analysis II) werden wir sehen, dass die Vorschrift (3.3) gerade das Newton Verfahren zur Lösung der quadratischen Gleichung x 2 a = 0 darstellt. Dort werden wir auch begründen, warum das Verfahren (3.3) so schnell konvergiert. Der Satz 3.6 erlaubt ferner eine interessante theoretische Interpretation: Wählen wir den Startwert x 0 aus der Menge der rationalen Zahlen Q, so folgt aus der Rekursionsvorschrift (3.3) unmittelbar, dass die gesamte Folge {x n } in Q liegt. Hingegen gilt dies nicht notwendig für den Grenzwert. Für a = 2 beispielsweise konvergiert die Folge {x n } gegen 2, und dabei handelt es sich wegen Lemma.28 um keine rationale Zahl. Zusammenfassend haben wir also eine Folge {x n } in Q, bei der es sich um eine Cauchy Folge handelt (denn sie konvergiert in R und ist somit insbesondere eine Cauchy Folge), die aber keinen Grenzwert in Q besitzt! In der Menge der rationalen Zahlen Q gilt die Umkehrung des Satzes 3.5 somit nicht: Eine Cauchy Folge in Q ist im Allgemeinen nicht konvergent. Dieser unerwünschte Effekt kann in K = R und K = C nicht auftreten. Dazu betrachten wir zunächst den Fall K = R. Unter einem abgeschlossenen Intervall verstehen wir im Folgenden eine Menge der Gestalt I := [a, b] := { x R a x b }. Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von abgeschlossenen Intervallen I, I 2, I 3,... mit den beiden folgenden Eigenschaften: I n+ I n für alle n =, 2, 3,.... Es gilt I n 0 für n. Dabei bezeichnet I die durch I := b a definierte Länge eines Intervalls I = [a, b]. Für eine Intervallschachtelung lässt sich nun das folgende Resultat als Konsequenz des Vollständigkeitsaxioms von R herleiten. Satz 3.7 ( Prinzip der Intervallschachtelung ) Zu jeder Intervallschachtelung in R gibt es genau eine reelle Zahl, die all ihren Intervallen angehört (also im Durchschnitt aller dieser Intervalle liegt). Beweis: Wir müssen in diesem Beweis zwei Dinge zeigen: Zum einen die Existenz eines Elementes, das im Durchschnitt aller Intervalle liegt, und zum anderen die Eindeutigkeit dieses Elementes. Wir beginnen mit dem Nachweis der Existenz. Sei I n = [a n, b n ] dazu eine beliebige Intervallschachtelung. Dann ist die Menge A := {a, a 2,...} nach oben beschränkt. Obere Schranken sind beispielsweise alle b n. Nach Definition.3 und Satz.32 (R ist vollständig)

12 70 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN existiert die kleinste obere Schranke s := sup A, für die dann notwendig a n s b n für alle n N gilt. Also ist s I n für alle n N. Wir beweisen als Nächstes die Eindeutigkeit des Elementes s. Sei dazu s ein zweites Element mit s I n für alle n N. Dann sind s, s I n für alle n N und daher s s I n 0 für n. Somit gilt zwangsläufig s = s. Sei nun {a n } eine Folge in K und {n k } eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt die durch k a nk, k N, definierte Folge {a nk } k N eine Teilfolge von {a n }. Ferner bezeichnen wir einen Punkt a K als einen Häufungspunkt der Folge {a n }, wenn zu jedem ε > 0 unendlich viele Folgenglieder a n mit a n a < ε existieren. Eine konvergente Folge hat beispielsweise genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert. Hingegen hat die beschränkte Folge {, +,, +,...} genau die beiden Häufungspunkte + und. Das folgende Resultat klärt den Zusammenhang zwischen Teilfolgen und Häufungspunkten. Lemma 3.8 ( Charakterisierung von Häufungspunkten ) Genau dann ist a ein Häufungspunkt einer Folge {a n } in K, wenn a Grenzwert einer konvergenten Teilfolge {a nk } von {a n } ist. Beweis: Sei a zunächst Grenzwert einer konvergenten Teilfolge {a nk } von {a n }. Zu jedem ε > 0 existiert dann ein k 0 N mit a nk a < ε für alle k k 0, so dass a ein Häufungspunkt von {a n } ist. Sei umgekehrt a Häufungspunkt der Folge {a n }. Dann existiert zu ε = ein n N mit a n a <. Anschließend gibt es zu ε = ein n 2 2 > n mit a n2 a <. So 2 fortfahrend erhalten wir zu jedem ε = ein n k k N mit n k > n k und a nk a <. k Damit konvergiert die so konstruierte Teilfolge {a nk } gegen a. Wir zeigen jetzt, dass jede beschränkte Folge in K mindestens einen Häufungspunkt in K besitzt. Satz 3.9 ( Satz von Bolzano Weierstraß Version ) Jede beschränkte Folge {a n } in K besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Beweis: Wir betrachten zunächst den Fall K = R. Zu der dann reellen Folge {a n } definieren wir rekursiv eine Intervallschachtelung {[A k, B k ]} derart, dass für jedes k N gilt: a n [A k, B k ] für unendlich viele n N. Wir beginnen mit einem Intervall [A, B ], welches alle a n enthält. Ein solches Intervall existiert aufgrund der vorausgesetzten Beschränktheit von {a n }. Nehmen wir an, dass wir bereits ein Intervall [A k, B k ] mit der gewünschten Eigenschaft haben. Sei dann M k :=

13 3.2. CAUCHY FOLGEN 7 (A 2 k + B k ) der Mittelpunkt des Intervalls [A k, B k ]. Dann enthält mindestens eines der beiden Teilintervalle [A k, M k ] und [M k, B k ] unendlich viele Folgenglieder von {a n }. Wir setzen daher { [Ak, M [A k+, B k+ ] := k ], falls a n [A k, M k ] für unendlich viele n N, [M k, B k ], anderenfalls. Dadurch ist offenbar eine Intervallschachtelung definiert. Der Satz 3.7 garantiert jetzt, dass es genau ein a R gibt, das in allen Intervallen [A k, B k ] liegt. Sei nun ε > 0 beliebig gegeben. Wegen [A k, B k ] = B k A k 0 existiert dann ein k N mit [A k, B k ] < ε. Per Konstruktion liegen unendlich viele Folgenglieder a n in dem Intervall [A k, B k ]. Für alle diese Folgenglieder gilt offenbar a n a B k A k < ε, so dass a in der Tat ein Häufungspunkt von {a n } ist. Sei nun K = C die Menge der komplexen Zahlen und {a n } somit eine Folge komplexer Zahlen. Wir schreiben dann a n = b n +ic n mit b n, c n R. Mit {a n } sind dann auch die beiden reellen Folgen {b n } und {c n } beschränkt, vergleiche Satz.4 (e). Durch Anwendung des ersten Beweisteils auf die Folge {b n } erhalten wir wegen Lemma 3.8 die Existenz einer konvergenten Teilfolge {b nk } von {b n }. Mit {c n } ist natürlich auch die zugehörige Teilfolge {c nk } beschränkt und besitzt ebenfalls aufgrund des ersten Beweisteils und dem Lemma 3.8 eine weitere konvergente Teilfolge, etwa {c nkl }. Die Teilfolge {a nkl } von {a n } ist daher konvergent in C, so dass die Behauptung aus dem Lemma 3.8 folgt. Im Hinblick auf das Lemma 3.8 lässt sich der Satz von Bolzano Weierstraß auch wie folgt formulieren. Satz 3.20 ( Satz von Bolzano Weierstraß Version 2 ) Jede beschränkte Folge {a n } in K besitzt eine konvergente Teilfolge {a nk }. Nach dem Satz 3.9 von Bolzano Weierstraß besitzt jede beschränkte Folge {x n } in K mindestens einen Häufungspunkt. Sei H die Menge aller Häufungspunkte von {x n }. Speziell für K = R existieren wegen der Vollständigkeit der reellen Zahlen die beiden Werte ξ := inf H und η := sup H. Wir nennen ξ den Limes inferior und η den Limes superior von {x n }. Hierbei werden die Schreibweisen ξ = lim inf n oder ξ = lim x n und η = lim sup x n oder η = lim x n verwendet. Man verifiziert relativ leicht die folgenden Aussagen über den Limes inferior und den Limes superior:

14 72 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Es ist stets lim inf x n lim sup x n. Die beschränkte Folge {x n } konvergiert genau dann, wenn lim inf x n = lim sup x n gilt. Ist {x n } konvergent, so gilt lim x n = lim inf x n = lim sup x n. Es ist lim inf x n der kleinste und lim sup x n der größte Häufungspunkt von H (d.h., ξ und η liegen in H). Äquivalente Definitionen des Limes inferior und Limes superior sind lim inf x ( n := lim inf{xk k n} ) und ( lim sup x n := lim sup{xk k n} ). Diese Definitionen haben den Vorteil, dass sie auch für unbeschränkte Folgen sinnvoll sind, da jetzt auch die uneigentlichen Limites + und vorkommen können. Auf den letzten der obigen Punkte soll hier noch formal eingegangen werden. Lemma 3.2 Seien {x n } R eine gegebene Folge und der Limes inferior bzw. der Limes superior definiert durch lim inf x ( n := lim inf{xk k n} ) und lim sup Dann gelten die folgenden Aussagen: x n := lim ( sup{xk k n} ). (a) lim inf x n und lim sup x n existieren stets in R {± }. (b) Ist die Folge {x n } beschränkt, so ist der Limes inferior (superior) der kleinste (größte) Häufungspunkt von {x n }. Beweis: (a) Wir beweisen die Aussage nur für den Limes superior. Setze dazu y n := sup{x k k n} für n N. Dann ist die Folge {y n } monoton fallend (und z.b. durch x nach unten beschränkt) oder +. Daher existiert der Grenzwert lim y n stets im eigentlichen oder uneigentlichen Sinn. Gemäß Definition ist lim y n = lim ( sup{xk k n} ) aber gerade der Limes superior von {x n }. (b) Wir verifizieren auch hier nur die Aussage für den Limes superior. Sei also {x n } eine beschränkte Folge, so dass aufgrund des Satzes 3.9 von Bolzano Weierstraß die Menge der Häufungspunkte nichtleer ist. Nach Teil (a) existiert x := lim sup x n. Im Beweis von Teil (a) wurde außerdem gezeigt, dass die dort definierte Folge {y n } gegen x konvergiert (und zwar im eigentlichen Sinn, da {x n } hier als beschränkt vorausgesetzt wurde). Gemäß Definition von y n existiert stets ein zugehöriges n k N mit y n x nk, so dass die < n

15 3.2. CAUCHY FOLGEN 73 Teilfolge {x nk } ebenfalls gegen x konvergiert. Aufgrund des Lemmas 3.8 ist x somit ein Häufungspunkt von {x n }. Wir haben daher nur noch zu zeigen, dass x auch der größte Häufungspunkt von {x n } ist. Sei dazu x ein weiterer Häufungspunkt. Erneut wegen Lemma 3.8 gibt es dann eine Teilfolge {x nk } von {x n } mit lim k x nk = x. Dann ist y nk = sup{x l l n k } x nk. Da die Teilfolge {y nk } ebenfalls gegen den Grenzwert x der Gesamtfolge {y n } konvergiert, erhalten wir hieraus unter Verwendung von Satz 3.9 sofort x = lim k y nk lim k x nk = x. Folglich ist x in der Tat der größte Häufungspunkt der Folge {x n }. Wir kommen nun zu der angekündigten Umkehrung des Satzes 3.5. Satz 3.22 ( Konvergenzkriterium von Cauchy ) Jede Cauchy Folge {a n } in K ist konvergent. Beweis: Wir zeigen zuerst, dass die Cauchy Folge {a n } beschränkt ist. Zunächst gibt es zu ε = ein N N mit a n a m < für alle n, m N. Speziell für m = N folgt hieraus unter Verwendung der inversen Dreiecksungleichung a n a N + für alle n N. Also ist a n K := max { a, a 2,..., a N, a N + } für alle n N, und die Folge {a n } somit beschränkt. Nach dem Satz 3.9 von Bolzano Weierstraß besitzt {a n } daher eine konvergente Teilfolge {a nk }. Sei a der Grenzwert dieser Teilfolge. Wir zeigen jetzt, dass bereits die gesamte Folge {a n } gegen a konvergiert. Sei dazu ε > 0 beliebig gegeben. Da {a n } eine Cauchy Folge ist, existiert ein N N mit a n a m < ε 2 für alle n, m N. Ferner gibt es ein n k N mit a nk a < ε 2. Für n N folgt daher a n a a n a nk + a nk a < ε. Dies beweist die Konvergenz der gesamten Folge {a n } gegen a. Wir beschließen diesen Abschnitt mit einigen Bemerkungen zum beweistechnischen Vorgehen. Die Idee dieses Abschnitts bestand im Prinzip in der Verifikation der folgenden Implikationen in dem archimedisch geordneten Körper R: Supremumseigenschaft (Vollständigkeit von R) Prinzip der Intervallschachtelung Satz von Bolzano Weierstraß Konvergenzkriterium von Cauchy.

16 74 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Nun kann man aus dem Konvergenzkriterium von Cauchy und dem Prinzip von Archimedes (siehe Definition.25) wiederum die Supremumseigenschaft von R herleiten, vergleiche [3]. Damit sind alle diese Prinzipien in einem (archimedisch) geordneten Körper letztlich äquivalent zu der Vollständigkeit von R. Alternativ lassen sich die reellen Zahlen auch durch Folgen rationaler Zahlen herleiten, siehe [4] für die Einzelheiten. Der Satz von Bolzano Weierstraß und das Konvergenzkriterium von Cauchy gelten sogar in C, während sich die Supremumseigenschaft und das Prinzip der Intervallschachtelung in C gar nicht formulieren lassen, da C kein geordneter Körper ist. 3.3 Unendliche Reihen Sei {a n } n N eine Folge von Zahlen aus K. Dann heißt s n := n a k, n N 0 die n-te Partialsumme und die Folge {s n } wird als (unendliche) Reihe bezeichnet. Hierfür schreiben wir auch a k. (3.4) Die Reihe (3.4) heißt konvergent, wenn die zugehörige Folge {s n } der Partialsummen konvergiert. In diesem Fall bezeichnet man den Grenzwert der Reihe ebenfalls mit dem Symbol (3.4). Dieses hat somit zwei Bedeutungen: die Folge { n a k} n N der Partialsummen im Fall der Konvergenz den Grenzwert lim n a k. Statt (3.4) benutzt man auch die Schreibweise a 0 + a + a 2 + a für die unendliche Reihe (3.4). Etwas allgemeiner wird auch jeder Ausdruck der Gestalt k=k 0 a k mit einem beliebigen k 0 N oder sogar k 0 Z als eine (unendliche) Reihe bezeichnet. Die Summation muss also nicht bei k = 0 beginnen. Man beachte in diesem Zusammenhang allerdings, dass die Hinzunahme oder Wegnahme von endlich vielen Summanden nichts an der Konvergenz der Reihe (also der Folge ihrer Partialsummen) ändert, sehr wohl jedoch den Grenzwert. Konvergiert die Reihe k= a k

17 3.3. UNENDLICHE REIHEN 75 beispielsweise gegen einen Grenzwert a und ist a 0 =, so konvergiert die Reihe offenbar gegen den Grenzwert a +. Wir betrachten zunächst einige Beispiele.. Hier ist die n-te Partialsum- k(k+) Beispiel 3.23 me gegeben durch a k (a) Wir untersuchen die Reihe k= s n = n k= k(k + ) = n n +, wie man leicht durch vollständige Induktion nach n beweist. Wegen lim s n = (vergleiche Beispiel 3.4 (d)) konvergiert diese Reihe, und es gilt k= k(k + ) =. Man beachte übrigens, dass die Summation in dieser Reihe bei k = beginnt. Für k = 0 wäre der Ausdruck auch gar nicht definiert. k(k+) (b) Die harmonische Reihe k= divergiert, denn für beliebiges k N und n k 2k gilt s n = n + ( ) + 4 ( ) ( k 2 k = + k 2. 2 k k ) Also gilt s n für n. Eine besonders wichtige Reihe wird in dem folgenden Resultat besprochen. Satz 3.24 ( Geometrische Reihe ) Sei x K mit x < beliebig gegeben. Dann konvergiert die geometrische Reihe xk und besitzt den Grenzwert x k = x.

18 76 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Beweis: Für die zugehörigen Partialsummen gilt wegen Satz. (der offenbar auch für komplexe Zahlen gilt und deshalb hier benutzt werden darf) s n = n x k = xn+ x. Nach Beispiel 3.4 (f) ist aber x n+ 0 für n wegen x <. Also folgt lim s n =. x Man beachte, dass der Satz 3.24 nicht nur die Konvergenz der geometrischen Reihe garantiert, sondern gleichzeitig auch eine einfache Formel für den Grenzwert liefert. Dies wird sich häufig noch als sehr nützlich erweisen. So folgt für x = zum Beispiel 2 ( ) k = = = 2, (3.5) 2 während man für x = den Wert 2 ( ) k = ±... = ( ) = erhält. Hätten Sie das vorher gewusst? Philosophen bringen gerne die Geschichte vom Wettrennen zwischen Hase und Igel. Der Igel bekommt einen gewissen Vorsprung, beispielsweise von einem Meter. Sobald der schneller laufende Hase diesen ersten Meter zurückgelegt hat, ist der Igel bereits etwas weiter. Hat der Hase auch diese Stelle erreicht, ist der Igel erneut ein Stück weiter usw. Es scheint also so zu sein, dass der Igel immer vor dem Hasen ist und somit das Wettrennen gewinnt. Dies widerspricht natürlich jeder Anschauung! Die Lösung liegt in der geometrischen Reihe. Nehmen wir an, der Hase laufe doppelt so schnell wie der Igel. Sobald der Hase den einen Meter Vorsprung aufgeholt hat, befindet sich der Igel noch 50 Zentimeter vor ihm. Läuft der Hase diese 50 Zentimeter, beträgt der Vorsprung des Igels nur noch 25 Zentimeter usw. Wegen (3.5) wird der Hase den Igel bereits nach zwei Metern eingeholt haben. Das entspricht genau unserer Vorstellung. Der Irrtum der Philosophen liegt letztlich darin begründet, dass man durch Summation von unendlich vielen positiven Zahlen sehr wohl einen endlichen Wert erhalten kann. Wir zeigen als Nächstes, dass Summen und Vielfache von konvergenten Reihen ebenfalls konvergieren. Satz 3.25 ( Rechenregeln für konvergente Reihen ) Seien a k und b k zwei konvergente Reihen in K und λ K beliebig gegeben. Dann sind auch die Reihen (a k + b k ), (a k b k ) und (λa k )

19 3.3. UNENDLICHE REIHEN 77 konvergent, und für ihre Grenzwerte gelten (a k ± b k ) = a k ± b k und (λa k ) = λ a k. Beweis: Seien c n := n a k und d n := n b k die n-ten Partialsummen der beiden gegebenen Reihen. Dann ist n (a k + b k ) = n n a k + b k = c n + d n für alle n N. Aus dem Satz 3.7 folgt daher (a k + b k ) = lim (c n + d n ) = lim c n + lim d n = a k + b k, da es sich sowohl bei {c n } als auch bei {d n } um konvergente Folgen handelt. Die verbleibenden Aussagen können analog bewiesen werden. Man beachte, dass sich für das Produkt zweier konvergenter Reihen kein so einfaches Resultat beweisen lässt. Wir kommen hierauf später im Abschnitt 3.5 zurück. Als kleine Anwendung des Satzes 3.25 untersuchen wir die Konvergenz der Reihe 2 k +3. Da sowohl 4 k folgt dann 2 k k = als auch 2 k ( ) = k 4 k 4 k konvergente geometrische Reihen sind, k 4 = k + 3 = Wir übertragen jetzt das Cauchy Kriterium auf die Konvergenz von Reihen. Satz 3.26 ( Konvergenzkriterium von Cauchy ) Die Reihe a k mit a k K für alle k N 0 ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, so dass für alle n > m N die Ungleichung gilt. a m a n < ε Beweis: Sei s n := n a k die n-te Partialsumme der gegebenen Reihe. Wegen Satz 3.22, wonach in K die konvergenten Folgen genau die Cauchy Folgen sind, gilt dann: Die Reihe a k konvergiert. Die Folge der Partialsummen {s n } konvergiert.

20 78 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Die Folge der Partialsummen {s n } ist eine Cauchy Folge. Für alle ε > 0 existiert ein N N mit s n s m < ε für alle n, m N mit (ohne Einschränkung) n > m. Wegen n m s n s m = a k a k = a m a n folgt aus den obigen Äquivalenzen gerade die Behauptung. Aus dem Satz 3.26 ergibt sich beispielsweise sofort, dass die Änderung von endlich vielen Summanden einer Reihe nichts an der Konvergenz oder Divergenz der Reihe ändert (wohl aber ihren Grenzwert, sofern die Reihe konvergiert). Als weitere Folgerung aus dem Cauchy Kriterium notieren wir das nachstehende Resultat, welches sich offenbar aus dem Satz 3.26 ergibt, indem man dort speziell n = m + wählt. Korollar 3.27 Ist a k eine konvergente Reihe in K, so gilt lim k a k = 0. Man beachte, dass das notwendige Konvergenzkriterium aus dem Korollar 3.27 nicht hinreichend ist, denn die harmonische Reihe k= genügt zwar der Bedingung lim k k a k = lim k = 0, ist aber dennoch divergent. Letzteres wollen wir noch einmal als Anwendung k des Cauchy Kriteriums verifizieren. Dazu wählen wir speziell die Indizes n und 2n. Dann folgt 2n s 2n s n = k = n n n 2n = 2, k=n+ so dass die Folge der Partialsummen {s n } keine Cauchy Folge sein kann und die harmonische Reihe somit divergiert. Als eine weitere Konsequenz des Konvergenzkriteriums von Cauchy erhalten wir unser nächstes Korollar, wonach die Reihenreste von konvergenten Reihen beliebig klein werden. Korollar 3.28 Ist a k eine konvergente Reihe in K, so gilt lim r n = 0 für die Reste r n := k=n+ a k. Beweis: Wegen Satz 3.26 existiert ein N N mit a m a n < ε für alle n, m N mit n > m. Speziell für n folgt hieraus k=m+ a k ε

21 3.3. UNENDLICHE REIHEN 79 und daher lim m r m = 0. Für eine (reelle) Reihe mit nichtnegativen Gliedern gilt das nachstehende Konvergenzkriterium. Satz 3.29 Eine Reihe a k mit a k 0 für alle k N 0 konvergiert genau dann, wenn die Reihe (also die Folge der Partialsummen) beschränkt ist. Beweis: Wegen a k 0 für alle k N 0 ist die Folge der Partialsummen {s n } mit s n = a 0 + a a n monoton wachsend. Die Behauptung folgt daher sofort aus dem Hauptsatz 3.2 über monotone Folgen. Da die Abänderung von endlich vielen Gliedern a k einer Reihe a k deren Konvergenz nicht ändert, bleibt die Aussage des Satzes 3.29 erhalten, wenn nur a k 0 für alle k N mit einem hinreichend großen N N gilt. Für Reihen mit einem abwechselnden Vorzeichen der Reihenglieder a k gilt folgendes Resultat. Satz 3.30 ( Leibniz Kriterium für alternierende Reihen ) Sei {a k } eine monoton fallende Nullfolge in R (insbesondere gelte also a k 0 für alle k N). Dann konvergiert die Reihe ( )k a k, und für ihren Grenzwert s := ( )k a k gilt die Abschätzung für alle n N. s n ( ) k a k an+ Beweis: Wir betrachten die beiden Partialsummen s 2k = 2k n=0 und klammern diese in der Gestalt 2k+ ( ) n a n und s 2k+ = ( ) n a n n=0 s 2k = a 0 (a a 2 ) (a 3 a 4 )... (a 2k a 2k ), s 2k+ = (a 0 a ) + (a 2 a 3 ) (a 2k a 2k+ ). Aus a n a n+ für alle n N folgt dann s 2k s 2k+2, s 2k s 2k+, 0 s 2k+ s 2k a 0.

22 80 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Die Folge {s 2k } ist somit monoton fallend und nach unten beschränkt, während die Folge {s 2k+ } monoton steigt und nach oben beschränkt ist. Nach dem Hauptsatz 3.2 über monotone Folgen konvergieren daher sowohl {s 2k } als auch {s 2k+ }. Wegen s 2k+ s 2k = a 2k+ 0 besitzen sie außerdem denselben Grenzwert s. Hieraus folgert man sehr leicht, dass die gesamte Folge {s n } der Partialsummen (und per Definition daher die unendliche Reihe ( )k a k ) gegen s konvergiert. Zum Beweis der Abschätzung erinnern wir nochmals daran, dass {s 2n } monoton fallend und {s 2n+ } monoton wachsend gegen den gemeinsamen Grenzwert s konvergieren. Also gilt s 2n+ s s 2n für alle n N. Hieraus folgt einerseits s s 2n+ = s s 2n+ s 2n+2 s 2n+ = a 2n+2 und andererseits womit alles bewiesen ist. s s 2n = s 2n s s 2n s 2n+ = a 2n+, Aus dem Satz 3.30 folgt beispielsweise sofort die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe ( ) k+ k = k= Ebenso erhält man die Konvergenz der Leibniz Reihe ( ) k 2k + = Hingegen lässt sich aus dem Leibniz Kriterium nicht direkt der Grenzwert bestimmen. Man erhält lediglich Abschätzungen für den Grenzwert s, indem man (evtl. mühsam) die Partialsummen berechnet und dann mittels des nächsten Reihengliedes a n+ vergleichen kann, wie dicht die Partialsummen bereits an s liegen. 3.4 Absolut konvergente Reihen Wir definieren jetzt einen etwas stärkeren Konvergenzbegriff für unendliche Reihen. Definition 3.3 Eine Reihe a k in K heißt absolut konvergent, wenn die Reihe a k konvergiert. Jede absolut konvergente Reihe ist insbesondere konvergent, was wir in dem folgenden Resultat notieren.

23 3.4. ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 8 Satz 3.32 ( Absolut konvergente Reihen sind konvergent ) Ist die Reihe a k in K absolut konvergent, so konvergiert sie auch, und es gilt a k a k. Beweis: Sei a k absolut konvergent. Wähle n > m. Aus der verallgemeinerten Dreiecksungleichung folgt dann n n a k a k. k=m+ k=m+ Daher ergibt sich die Behauptung aus dem Konvergenzkriterium 3.26 von Cauchy. Die Umkehrung des Satzes 3.32 gilt im Allgemeinen nicht, denn wir wissen bereits, dass beispielsweise die alternierende harmonische Reihe k= ( )k+ konvergiert, dass diese k aber nicht absolut konvergieren kann, da wir sonst die Konvergenz der harmonischen Reihe k= erhalten würden. k Ein wichtiges Hilfsmittel für den Nachweis der absoluten Konvergenz einer Reihe ist das nachstehende Majorantenkriterium. Satz 3.33 ( Majorantenkriterium ) Seien c k eine konvergente Reihe mit lauter nichtnegativen Reihengliedern c k und {a k } eine Folge in K mit a k c k für alle k N hinreichend groß. Dann ist die Reihe a k absolut konvergent. Beweis: Sei ε > 0 beliebig gegeben. Nach Voraussetzung und dem Konvergenzkriterium 3.26 von Cauchy existiert dann ein N N mit n c k < ε für alle n m N. Daher ist n a k k=m k=m n c k = k=m n c k < ε für alle n m N. k=m Also konvergiert die Reihe a k wegen Satz 3.26, d.h., die Reihe a k ist absolut konvergent. Als Anwendung des Satzes 3.33 beweisen wir die (absolute) Konvergenz der Reihe k= k n für alle n 2. Dazu verwenden wir die uns aus dem Beispiel 3.23 bekannte Tatsache, dass die Reihe k= Wegen konvergiert. Wegen Satz 3.25 ist dann auch k(k+) k= k n k 2 2 k(k + ) für alle n 2 und alle k 2 konvergent. k(k+)

24 82 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN ergibt sich aus dem Majorantenkriterium unmittelbar die (absolute) Konvergenz der Reihe k= für jedes n 2. k n Aus dem Majorantenkriterium ergibt sich sehr leicht ein hinreichendes Kriterium für die Divergenz einer unendlichen Reihe. Korollar 3.34 ( Minorantenkriterium ) Seien d k eine divergente Reihe mit nichtnegativen Reihengliedern d k und {a k } eine Folge in K mit a k d k für alle k N hinreichend groß. Dann ist die Reihe a k ebenfalls divergent. Beweis: Angenommen, die Reihe a k ist konvergent. Wegen Satz 3.33 ist dann auch die Reihe d k (absolut) konvergent im Widerspruch zu unserer Voraussetzung. Durch geschickte Anwendung des Majorantenkriteriums in Kombination mit einer geometrischen Reihe erhalten wir das folgende hinreichende Kriterium für die absolute Konvergenz einer Reihe. Satz 3.35 ( Wurzelkriterium ) Seien a k eine gegebene Reihe in K und α := lim sup k k a k der größte Häufungspunkt der Folge { k a k } k N. Dann gelten: (a) Ist α <, so konvergiert a k absolut. (b) Ist α >, so divergiert die Reihe a k. Beweis: (a) Wegen α < existiert eine Zahl q R mit α < q <. Da α der größte Häufungspunkt von { k a k } k N ist, sind fast alle Folgenglieder kleiner als q. Also existiert ein N N mit k ak q für alle k N. Dann ist a k q k für alle k N. Die geometrische Reihe qk konvergiert aber nach Satz Somit folgt die Behauptung aus dem Majorantenkriterium. (b) Wegen α > gibt es unendlich viele k N mit k a k >. Für alle diese k ist daher a k >. Also ist { a k } k N keine Nullfolge. Wegen Korollar 3.27 kann die Reihe a k somit nicht konvergieren. Der Limes superior α im Satz 3.35 mag in einigen Fällen schwer berechenbar sein. Oft existiert aber sogar der Limes der Folge { k a k }, was das Leben manchmal sehr vereinfacht. Häufig kann man die Berechnung von α ganz vermeiden. Findet man nämlich eine Zahl q (0, ) mit k a k q für fast alle k N, so liefert der Satz 3.35 sofort die absolute Konvergenz der Reihe a k, denn in diesem Fall gilt natürlich α = lim sup k a k

25 3.4. ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 83 q. Ist dagegen k a k für unendlich viele k N, so kann {a k } keine Nullfolge sein, weshalb die Reihe a k divergiert. Wir betrachten als Nächstes einige Beispiele. Beispiel 3.36 (a) Im Fall α = ist im Satz 3.35 keine Aussage möglich, da sowohl Konvergenz als auch Divergenz vorliegen kann. Für die divergente harmonische Reihe gilt beispielsweise k= k α = lim sup k k k = lim k k k = nach Beispiel 3.4 (g). Für die alternierende harmonische Reihe k= ( )k+ k erhalten wir ebenfalls α =, und in diesem Fall liegt Konvergenz vor. (b) Die Reihe k 2 ist (absolut) konvergent wegen Satz 3.35, denn es gilt 2 k lim k k ak = lim k k k 2 2 = 2 <, wobei wir den Grenzwert k k 2 benutzt haben, der sich sofort aus dem Beispiel 3.4 (g) ergibt. (c) Die Reihe ist ebenfalls konvergent nach dem Wurzelkriterium, denn es gilt k k lim k k ak = lim k k = 0. (d) Die Reihe a k := ist konvergent aufgrund des Wurzelkriteriums. Um dies zu verifizieren, müssen wir im Satz 3.35 tatsächlich den Limes superior berechnen. Es gilt α = lim sup k k ak = lim 2k 2k a 2k = lim k k 2 =, k 2 wovon man sich nach kurzer Überlegung leicht überzeugt. Als weitere Folgerung aus dem Majorantenkriterium sowie der Konvergenz einer gewissen geometrischen Reihe erhalten wir unser nächstes Kriterium für die absolute Konvergenz einer Reihe.

26 84 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Satz 3.37 ( Quotientenkriterium ) Seien a k eine Reihe in K sowie α := lim sup k a k+ a k und α := lim inf k a k+ a k der größte bzw. kleinste Häufungspunkt der Folge { a k+ a k }, wobei a k 0 für alle k N vorausgesetzt sei. Dann gelten: (a) Ist α <, so konvergiert die Reihe a k absolut. (b) Ist α >, so divergiert die Reihe a k. Beweis: (a) Wegen α < existieren ein q R mit α < q < und ein N N mit Für beliebiges k > N folgt nun a k+ a k q für alle k N. a k = a k a k a k a k 2... a N+ a N q k N a N = a N a N q N qk =: c q k. Dabei ist c := a N > 0 eine von k unabhängige Konstante. Nun ist q N qk eine konvergente geometrische Reihe. Wegen Satz 3.25 konvergiert daher auch die Reihe cqk. Also ist a k absolut konvergent nach dem Majorantenkriterium. (b) Wegen α > existiert ein N N mit a k+ a k für alle k N. Hieraus folgt für alle k > N a k+ a k... a N > 0. Also ist {a k } keine Nullfolge. Wegen Korollar 3.27 kann die Reihe a k daher nicht konvergieren. In manchen Fällen existiert sogar der Grenzwert a k+ lim k a k und ist dann natürlich gleich dem Limes superior α und dem Limes inferior α im Quotientenkriterium. Ansonsten lässt sich das Quotientenkriterium sicherlich dann anwenden, wenn eine Zahl q (0, ) existiert mit a k+ a k q

27 3.4. ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 85 für fast alle k N, denn dies impliziert offenbar α = lim sup k a k+ a k <. Wir behandeln kurz einige Beispiele zum Quotientenkriterium. Beispiel 3.38 (a) Die so genannte Exponentialreihe x k k! = + x + x2 2! + x3 3! +... konvergiert für alle x K, denn aus dem Quotientenkriterium folgt a k+ a k = xk+ (k + )! k! x k = Setzen wir speziell x =, so heißt x 0 für k. k + e := k! = + + 2! , ! die Eulersche Zahl. (b) Die gerade eingeführte Eulersche Zahl ist auch Grenzwert der Folge {a n } mit a n := ( + n )n, wie wir später noch sehen werden (vergleiche Lemma 6.). Benutzen wir diese Tatsache bereits an dieser Stelle, so folgt aus dem Quotientenkriterium die Konvergenz der Reihe k= a k+ a k = k!, denn es gilt k k ( ) (k + )! kk (k + ) k+ k! = (k + ) k k k k (k + ) (k + ) = = k k + für k, also α = lim sup k a k+ a k <. ( + k )k e (c) Gilt im Quotientenkriterium α oder α, so ist keine Aussage über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe möglich. Beispielsweise gilt für die beiden schon bekannten Reihen k= k 2 und offenbar α = α = lim k a k+ a k =, aber die erste Reihe konvergiert und die zweite Reihe divergiert. k= k

28 86 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN (d) Betrachten wir noch einmal die Reihe so gilt , α = lim inf k α = lim sup k a k+ a k a k+ a k = lim k = lim k ( 3 k ) ( k ) = 2 lim 2 ( k+ ) ( 2 k ) = lim k 3 k ( 3 2 ( ) k 2 = 0 und 3 ) k = +. Mittels des Quotientenkriteriums ist daher keine Aussage über die Konvergenz oder Divergenz dieser Reihe möglich, während aus dem Wurzelkriterium die Konvergenz folgte. Sei jetzt a k eine beliebige Reihe. Ist τ : N N eine bijektive Abbildung, so nennen wir a τ(k) eine Umordnung der gegebenen Reihe. Sie besteht also aus denselben Summanden, nur in einer anderen Reihenfolge. Anders als bei endlichen Summen ist es bei konvergenten Reihen nicht ohne weiteres klar, dass sie bei Umordnung wieder konvergieren und möglichst denselben Grenzwert haben. Tatsächlich ist dies im Allgemeinen nicht richtig. Als Beispiel betrachten wir die (nach Leibniz) konvergente Reihe sowie ihre Umordnung (3.6) ±..., (3.7) 6 bei der zwei positive Terme jeweils von einem negativen Summanden gefolgt werden. Bezeichnet s den Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe (3.6), so gilt s < = 5 6, denn in den verbleibenden Summanden wird (man fasse sie paarweise zusammen) stets mehr abgezogen als hinzuaddiert. Wegen 4k 3 + 4k 2k > 0 für alle k gilt für die Partialsummen s n der umgeordneten Reihe in (3.7) jedoch s 3 < s 6 < s 9 <..., woraus sich lim sup s n > s 3 = 5 6 ergibt, so dass die Reihe aus (3.7) sicherlich nicht gegen s konvergiert. Wir zeigen nun, dass dieses Phänomen bei absolut konvergenten Reihen (zu denen jene aus (3.6) nicht gehört) nicht auftreten kann.

29 3.4. ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 87 Satz 3.39 ( Umordnungssatz ) Sei a k eine absolut konvergente Reihe. Dann konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe, und zwar gegen denselben Grenzwert. Beweis: Sei τ : N N eine die Umordnung beschreibende bijektive Abbildung. Sei ferner s der Grenzwert der (absolut) konvergenten Reihe a k. Dann haben wir lim m m a τ(k) = s zu zeigen. Sei dazu ε > 0 beliebig gegeben. Nach Voraussetzung ist die Reihe a k konvergent. Wegen Korollar 3.28 existiert dann ein n 0 N mit k=n 0 a k < ε 2. Mit Satz 3.32 folgt hieraus n0 s a k = k=n 0 a k Wähle N N jetzt hinreichend groß, so dass gilt. Dann heben sich in der Differenz k=n 0 a k < ε 2. {0,,..., n 0 } {τ(0), τ(),..., τ(n)} N a τ(k) alle Summanden a k mit k {0,,..., n 0 } gegenseitig auf. Aus diesem Grunde folgt für alle m N die Abschätzung m a τ(k) s m a τ(k) n 0 a k + ε 2 k=n 0 < ε, a k n 0 n 0 a k + a k s also a τ(k) = s.

30 88 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN 3.5 Multiplikation von Reihen Stellen wir uns die Aufgabe, zwei endliche Summen A m := a 0 + a a m und B n := b 0 + b b n miteinander zu multiplizieren, wobei a i, b j K gegebene Zahlen sind, so haben wir zuerst alle Produkte a 0 b 0 a 0 b a 0 b n a b 0 a b... a b n a m b 0 a m b a m b n zu bilden und anschließend in einer (wegen des in K geltenden Kommutativgesetzes) beliebigen Reihenfolge zu addieren. Sortieren wir diese insgesamt l := (m + )(n + ) Produkte in irgendeiner Reihenfolge c 0, c,...,c l, so ist l c k = A m B n. Wir verallgemeinern jetzt die Problemstellung und betrachten zwei konvergente Reihen A = a i und B = i=0 b j (3.8) j=0 mit gewissen Zahlen a i, b j K. Wollen wir diese beiden Reihen miteinander multiplizieren, so haben wir in Analogie zu den obigen Ausführungen wieder alle Produkte a 0 b 0 a 0 b a 0 b 2 a b 0 a b a b 2 a 2 b 0 a 2 b a 2 b zu bilden und anschließend geeignet aufzudatieren. Dazu ordnen wir diese unendlich vielen Produkte wieder in irgendeiner Reihenfolge zu einer Folge c 0, c, c 2,... und müssen uns anschließend die beiden folgenden Fragen stellen, die im Falle von endlichen Summen gar nicht auftraten: konvergiert die Produktreihe c k?