Die alternierende harmonische Reihe.

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1 Die alternierende harmonische Reihe Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe k k + = konvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, und es gilt k k + = ln2 = für den Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 2

2 Absolute Konvergenz von Reihen Definition: Eine Reihe a k heißt absolut konvergent, falls die Reihe a k konvergiert Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe k k + = ist konvergent, aber nicht absolut konvergent, denn es gilt a k = k k k + = = ist die harmonische Reihe, die nicht konvergiert k= k k+ und Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 3

3 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen Satz: Sei k a k eine Reihe Dann gelten die folgenden Konvergenzkriterien n a a k absolut konvergent a k beschränkt; b Majorantenkriterium: a k b k b k konvergent = n 0 a k absolut konvergent; c Quotientenkriterium: Sei a k 0 k k 0 a k+ a k q < k k 0 = a k absolut konvergent; d Wurzelkriterium: k ak q < k k 0 = a k absolut konvergent Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 4

4 Beweis: a: Die Folge n a k ist monoton wachsend und daher n 0 genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist b: Mit a k b k gilt b k 0 für alle k Somit ist die Reihe b k sogar absolut konvergent Nach Teil a ist die Folge n b k beschränkt Mit n 0 a k b k b k < folgt, dass n a k beschränkt und somit nach a absolut konvergent ist c: Aus a k+ a k q k k 0 folgt a k q k k 0 a k0 per Induktion Somit: a k k 0 a k + a k0 n k 0 j=0 q j k 0 a k + a k0 q < für alle n Nach Teil a ist a k absolut konvergent Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 5

5 d: Aus k a k q k k 0 folgt direkt a k q k für alle k k 0 Somit: a k k 0 a k + qk 0 q < = n a k absolut konvergent Bemerkung: Das Quotienten- bzw das Wurzelkriterium ist erfüllt, falls gilt lim k a k+ a k < bzw lim k k ak < Die Reihe a k ist dagegen divergent, falls gilt lim k a k+ a k > bzw lim k k ak > Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 6

6 Beispiel Wir untersuchen die Konvergenz der Reihe Es gilt und daher k= Daraus folgt k= k= kk + k k + = k + k kk + = kk + kk + = n n + = n + kk + = lim n k= kk + = lim n n + = Die Reihe ist somit absolut konvergent Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 7

7 Beispiel Wir untersuchen die Konvergenz der Reihe k r r N, r 2 k= k= Nach dem letzten Beispiel gilt n k r k 2 = + k= < + k=2 k=2 k 2 n kk = + k= für alle n N Damit ist die Reihe absolut konvergent Einige Grenzwerte ohne Beweis: k 2 = π2 6, k= k= k 4 = π4 90, k= kk + < 2 k 6 = π6 945 Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 8

8 Beispiel Wir untersuchen die Konvergenz der Exponentialreihe k= z k k! für z C Anwendung des Quotientenkriteriums ergibt z k+ k +! z k = z k+ k! z k k +! = z k + k! Damit konvergiert die Reihe für alle z C absolut 0 k Wir setzen expz = k= z k k! für z C Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 9

9 Der Umordnungssatz für Reihen Sei σ : N 0 N 0 eine beliebige Bijektion Permutation auf N 0 Ziel: Vergleiche die beiden Reihen a k und a σk σ k = σk Satz: Sei a k eine absolut konvergente Reihe, und sei σ : N 0 N 0 eine beliebige Permutation auf N 0 Dann ist die umgeordnete Reihe a σ k ebenfalls absolut konvergent, und die Grenzwerte der beiden Reihen stimmen überein, dh es gilt a k = a σk Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 20

10 Beweis: Für m N 0 gilt m a σk N a k a k, wobei N N 0 so groß gewählt sei, dass {σ 0, σ,, σ m } {0,,, N} Somit ist die Reihe a σ k absolut konvergent und es gilt S := a σk a k =: S Nun ist die Reihe a k eine Umordnung der absolut konvergenten Reihe a σ k, und somit gilt ebenso S S Insgesamt bekommt man S = S Wendet man dies auf die absolut konvergente Reihe a k + a k an, so bekommt man S + a k = S + a σk woraus die Behauptung a k = a σ k folgt Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 2

11 Multiplikation von Reihen Frage: Wie funktioniert das Ausmultiplizieren von Reihen? a k b l =??? Produkt von endlichen Summen Für endliche Summen gilt a a m b b n = Frage: Gilt m n a k b l = a k b l? = k, a k b l m a k b l Beachte: Jedes Indexpaar k, l N 0 N 0 auf der rechten Seite tritt genau einmal auf Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 22

12 Satz: Die Reihen a l und m=0 b m seien absolut konvergent Weiterhin sei σ : N 0 N 0 N 0, k σ k, σ 2 k für k N 0, eine bijektive Abbildung Dann ist die Reihe a σ kb σ2 k absolut konvergent und es gilt a σ kb σ2 k = a l b m m=0 Beweis: Für n N 0 und für hinreichend großes N N 0 gilt N N a σ kb σ2 k a l b m a l m=0 m=0 b m < Somit ist die Reihe a σ kb σ2 k absolut konvergent, und ihr Grenzwert ist nach dem Umordnungssatz unabhängig von der Permutation σ = σ, σ 2 Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 23

13 Zur Berechnung des Grenzwertes wählt man eine spezielle Reihenfolge σk Für N = n + 2, mit n N 0, bekommt man N a σ kb σ2 k = a 0 + a + + a n b 0 + b + + b n, und somit N lim N a σ kb σ2 k = lim n n n a l m=0 b m = a l m=0 b m Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 24

14 Das Cauchy-Produkt von Reihen Weiterer Spezialfall: Nummerierung entlang der Diagonalen σk Man erhält damit das Cauchy-Produkt der absolut konvergenten Reihen: n a l b m = a k b n k m=0 n=0 = a 0 b 0 + a 0 b + a b 0 + a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 + Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 25

15 Anwendung des Cauchy-Produkts Für die Exponentialfunktion expz = gilt die Funktionalgleichung z k k! z C expz + w = expzexpw Begründung: Die obige Reihe expz, z C, ist absolut konvergent Damit folgt z l w m z k w n k expz expw = = l! m! k!n k! m=0 n=0 n n = z k w n k n! k = n=0 n=0 n! z + wn = expz + w Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 26