10 Der Umordnungssatz und das Cauchy-Produkt

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1 10 Der Umordnungssatz und das Cauchy-Produkt Wir wollen, unter anderem, zeigen, dass man absolut konvergente Reihen beliebig umirdnen kann, ohne das sich der Wert der Reihe verändert. Achtung: Die Aussage gilt nicht für gewöhnlich konvergente Reihen. Tatsächlich gilt der Riemannsche Umordnungssatz Satz 10.1 Riemannscher Umordnungssatz Sei ein konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe mit a n R n N. Dann ex. zu jedem c [, ] eine Umordnung also bijektive Abb. τ : N N mit a τn = c Konvergenz gegen ± im Sinne von uneigentl. Konvergenz. Wir wollen diesen Satz hier nicht beweisen, ihn aber am Fall der harmonischen Reihe erläutern. 1 n n Idee: Sei c R geg. Da Summanden aufaddiert, bis wir l 1 1 = = 1 2n 1 c < l 1 2n 2n+l können wir zunächst soviele gerade 2n erreichen. Danach addieren wir, von vorne beginnend, so viele ungerade also negative Summanden, so dass die entstandene Teilsumme gerade < c ist. Dann addieren wir die nächsten positiven Summanden, bis die Teilsumme wieder > c wieder. Dann addieren wir die nächsten negativen... Auf diese Weise erhalten wir eine Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe, die gegen c konvergiert. Ähnlich kann mach Umordnung erreichne, die gegen ± konvergieren. Um zu zeigen, dass ein solches Phänomen für absolut konvergente Reihen nicht möglich ist, geben wir nun eine Def. von Konvergenz, die unabhängig von der Ordnung von N ist. Tatsächlich können wir so auch Summen über bel. Indexmengen erklären: Definition 10.2 Sei I eine bel. Indexmenge und sei f : I C eine Funktion. Wir definieren { } f 1 := sup fi J I endl. Wir sagen f ist summierbar, falls f 1 < getext: Julia Wolters 71

2 Analysis 1 Vorlesung WS Bezeichnung 10.3 Ist g : I C eine Fkt, so heißt suppg := {i I gi 0} der Träger engl: support von g. Jede Fkt. g mit endlichem Träger ist summierbar, und wir können dann auch die gew. Summe gi berechnen, da dies dann eine endl. Summe ist. Wir setzten C c I := {g : I C suppg endlich}. Lemma 10.4 Seien f, g : I C summierbar. Dann sind auch f + g und λf für alle λ C summierbar und es gilt f + g 1 f 1 + g 1, λf 1 = λ f 1 Beweis: Ist J I endl., so gilt: fi + gi fi + gi = fi + gi f 1 + g 1 { } Damit folgt f + g 1 = sup fi + gi J I endl. f 1 + g 1 < Analog λf 1 = λ f 1 J Lemma 10.5 Sei f : I C eine Fkt. Dann sind äquivalent: 1. f ist summierbar 2. Folge f n n in C c I mit f f n 1 0 Beweis: Da f 1 < ex. zu jedem n N ein J n I endl. mit f 1 1 n. Definition: f n : I C; f n i = { } fi, i Jn. Dann folgt für alle J I endl.: 0, sonst 0 fi f n i = fi fi f 1 fi < 1 n J n n n also folgt: 0 f f n 1 1 n 0, also f f n 1 0. n fi > Ist f n n wie in 2., so ex. n N mit f f n 1 1, also ist f f n summierbar. Da f n summierbar da f n C c I folgt mit 10.4 auch, dass f = f f n +f n summierbar ist. 72 getext: Julia Wolters

3 10.6 Satz und Definition Sei f : I C summierbar und sei f n n Folge in C c I mit f f n 1 0. Dann ist f n i eine Cauchy-Folge in C und wir setzten n fi := lim f n i Dies ist wohldefiniert, dann ist fn gilt lim n eine weitere Folge in C c I mit f f n 1 0, so f n i = lim Beweis: Sei ε > 0 geg. und sei N N mit f f n 1 < ε für alle n N. Dann folgt für 2 alle n, m N: f n i f m i endl. Summe f n i f m i = f n f m 1 f n f 1 + f f m 1 < ε Damit ist f n i eine Cauchy-Folge. n Ist fn weitere Folge in C c I mit f f n 1 0, so folgt n f n i f n i f n i f n i f n i = f n f n 1 f n f 1 + f f n 1 0 Damit folgt lim f n i = lim f n i Lemma 10.7 Seien f, g : I C summierbar. Dann: a f + gi = fi + gi, = λ fi λfi b fi fi = f 1. getext: Julia Wolters 73

4 Analysis 1 Vorlesung WS c Ist I abzählbar und ist J n n eine Folge endl. Teilm. 8 von I mit J n J n+1 n und I = J n, so gilt f 1 = lim fi und = lim fi. n N n n Beweis: a Seien f n n und g n n Folgen in C c I mit f f n 1 0, g g n 1 0, so gilt auch f + g f n + g n 1 = f f n + g g n 1 f f n 1 + g g n 1 0, also folgt f+gi = lim f n g n i = lim f n i+lim g n i = fi+ gi Dir Formel λfi = λ fi geht analog. b Für n N sei J n I endl. mit fi > f 1 1, und sei n n f n i = { } fi, i Jn 0, sonst Dann folgt wie im Beweis von 10.5, dass f f n 1 0, und ersetzen wir f durch f, f n durch f n folgt analog auch f f n 1 0. Damit folgt fi = lim f n i lim f n i = fi Da nach Konstr. von f n auch f 1 1 n f n i f 1 gilt, folgt auch fi = lim f n i = f 1. c Sei J n n wir in c und sei J I endl. Dann ex. ein N N mit J J n, dann ist J = {i 1,..., i l }, so ex. n 1,..., n l N mit i k J nk für 1 k l. Ist dann N = max {n 1,...,n l }, so folgt i k J nk J N 1 k l, also J J N. Damit folgt fi fi f 1 und f 1 = sup fi sup fi = n J I endl. J N J N 8 Teilmengen 74 getext: Julia Wolters

5 lim fi, da die Folge fi monoton wachsend. Wie in b folgt nung: N J n J { } N N fi, i Jn Ist f n i =, so gilt f f 0, sonst n 1 0 und fi = lim f n i = lim fi. n Folgerung 10.8 Sei a n eine Reihe und seien Z n0 = {n Z n n 0 }, a : Z n0 C; n=n 0 an = a n. Dann: a ist summierbar und es gilt dann a n = n Z n0 a n ist absolut konvergent n=n 0 a n und a 1 = Beweis: Dies folgt aus 10.7c und Z n0 = k N n=n 0 a n. {n N n 0 n k} Bemerkung 10.9 Ist τ : I I eine bijektive Abb., so gilt für jedes f C c I, dass fτi = fi = fi. i τi I=τi Ebenso folgt: { } f τ 1 = sup fτi J I endl. = sup fi i τj J } I {{ endl. } τj I endl. J=τJ = sup fi J I endl. = f 1 i J Damit folgt: Ist f n n Folge in C c I mit f f n 1 0, so gilt auch f τ f n τ 1 = f f n τ 1 = f f n 1 0 und damit ist f τ summierbar f summierbar und fτi = lim f n τi s.o. = lim fi = fi. Die Summe fi ist also invariant unter jeder Permutation τ von I. getext: Julia Wolters 75

6 Analysis 1 Vorlesung WS Mit 10.8 gilt das selbe auch für jede absolut konvergente Reihe! Wir wollen dieses Resultat nun noch stark verallgemeinern: Situation: Sei I = I λ mit I λ I µ für λ, µ Λ mit λ µ dh. Ist I die disjunkte λ Λ Vereinigung der I λ. Sei f : I C eine Fkt. Für λ Λ def. { } fi, i Iλ f λ : I λ C; f λ = f Iλ :=. 0, sonst Satz Großer Umordnungssatz Seien f und f λ wie oben. Dann gelten: 1. f 1 = f 1 und f ist summierbar g.d.q. alle f λ summierbar und 1 < λ Λ λ Λ f 2. fi = fi falls f summierbar. λ Λ λ insb. ist F : Λ C; Fλ = λ fi summierbar. Beweis: Wir stellen zunächst fest, dass alle Aussagen des Satztes für alle f C c I wahr sind, da in diesem Fall alle Summen endl. sind! 1. Sei J I endl. Setze J λ J I λ. Dann folgt fi = fi f λ 1, λinλ n λ Λ also gilt f 1 λ Λ f λ 1. Insb. folgt, ist f 1 =, so auch λ Λ f λ 1. Sei nun f 1 <. Zeige: λ Λ f λ 1 f 1. Ist J I λ endl., so folgt f λ i f 1, und damit folgt auch f λ 1 f 1 < λ Λ. Sei nun L Λ edl. und sei N = L die Anzahl der Elemente in L. Sei ε > 0 bel. gegeben. Für jedes λ L ex. J λ I λ endl. mit λ f λ i > f λ 1 ε N 76 getext: Julia Wolters

7 Setzte J = J λ. Dann ist J endlich mit λ L f λ 1 < f λ i + ε = N λ L λ L λ λ L λ fi +ε = Damit folgt λ Λ f { } λ 1 = sup f λ 1 L Λ endl. f 1 + ε. λ L Da ε > 0 bel. folgt λ Λ f λ 1 f 1. fi +ε f 1 +ε 2. Sei f summierbar und sei f n n Folge in C c I mit f f n 1 0. Sei f n,λ = f n Iλ : I λ C und sei F n : Λ C def. durch F n λ = λ f n,λ i. Dann gilt mit 1: F F n 1 = Fλ F n λ = f λ i f n,λ i λ Λ λ Λ λ Also ist F : Λ C; Fλ = λ f λ i summierbar und es gilt fi = Def. von Fn F n λ = lim f n i λ Λ λ λ Λ λ Λ λ f λ f n,λ 1 = f f n 1 0. λ Λ f n C ci = lim f n i = fi. Da nach 10.8 absolute Konvergenz äquivalent zur Summierbarkeit ist, können wir das Resultat nun direkt auf absolut konvergente Reihen anwenden: Satz Doppelreihensatz, VB Für alle n, m N 0 seien a m,n C gegeben, so dass die Doppelreihe a n,m 1 konvergiert. Für n, m, k N 0 seien A n, B m, D k C def. durch A n = a n,m, B m = a n,m, D k = k a n,k n getext: Julia Wolters 77

8 Analysis 1 Vorlesung WS Dann sind die Reihen A n, überein. B m, D k absolut konvergent und ihre Werte stimmen Beweis: Sei a : N 0 N 0 C; an, m = a n,m. Nach 10.8 und ist die Bed. 1 äquivalent zur Summierbarkeit von a. Die Summen A n, B m und D k stimmen dann noch mit a n,m überein. n,m N 0 N 0 Für A n folgt dies aus N 0 N 0 = n N 0 =I n {}}{ {n} N 0, Für B m folgt dies aus N 0 N 0 = N 0 {m}, m N 0 Für D k folgt dies aus N 0 N 0 = {n, k n 0 n k}. m N 0 Skizze zu D k : Eine wichtige Konsequenz aus dem Doppelreihensatz ist: Cauchy Produkt für Reihen, VB Seien a n, b m absolut konvergente Reihen und für k N 0. Sei c k := k a n b k n. Dann ist auch absolut konvergent und es gilt c k = a n b m Beweis: Wir wenden an auf a n,m = a n b m. Zunächst gilt a n b m = a n b m = a n b m < 78 getext: Julia Wolters

9 also ist anwendbar. Das c k in diesem Satz entspricht dem D k in und die Reihe ist daher absolut konvergent mit c k = a n b m = a n b m = a n b m } {{ } =A nin10.11 Anwendung Funktionalgleichung für exp, VB. Betrachte: z n exp : C C; expz n! Dann folgt für alle z, w C: z + w k k Bim.F ormel 1 k expz + w = = z n w k n k! k! n k 1 k! k = k! n!n k! zn w k n z n = n! w k n k n! Cauchy P rodukt z n w m = = expz expw n! m! Damit ist gezeigt: expz + w = expz expw z, w C getext: Julia Wolters 79