Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.

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1 Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge (a n ) n N bezeichnet. Beispiel: Sei (a n ) n N die komplexe Folge mit a n = i n.dannbesitzt(a n ) die vier Häufungspunkte {i, i,, }. Satz: (Satz von Bolzano und Weierstraß) Jede reelle beschränkte Folge (a n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge, d.h. die Folge (a n ) n N hat mindestens einen Häufungspunkt. Beweisidee: Verknüpfe das Bisektionsverfahren mit einer Intervallschachtelung: Ist die Folge (a n ) beschränkt, so liegen alle Folgenglieder in einem endlichen Intervall [A, B] und man kann rekursiv Teilintervalle [A k, B k ] definieren mit A k und B k. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 90 / 90 Das Cauchysche Konvergenzkriterium. Satz: (Cauchysches Konvergenzkriterium) Der Vektorraum R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge ist konvergent. Beweis: Zeige, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist: für n und N = N(ε) gilt a n = a n a N + a N a n a N + a N <ε+ a N Nach dem Satz von Bolzano und Weierstraß besitzt (a n )einen Häufungspunkt ξ. Dann gilt für m, n k N(ε/2) a m ξ = a m a nk + a nk ξ a m a nk }{{} + a nk ξ }{{} Cauchyfolge Häufungspunkt Notation: lim inf a n = kleinster Häufungspunkt, < ε 2 + ε 2 = ε lim sup a n =größter Häufungspunkt Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 9 / 90

2 Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.4. Konvergenz in normierten Vektorräumen Im letzten Abschnitt 3.3. haben wir uns mit Konvergenzkriterien für reelle Folgen (a n ) n N beschäftigt. Sei nun (V, ) wieder allgemein ein normierter Vektorraum. Wiederholung aus Abschnitt 3.2: Definition: Sei (a n ) n N eine Folge in einem normierten Vektorraum V. Dann heißt die Folge (a n ) n N konvergent mit Grenzwert (Limes) a V, falls ε>0 : N = N(ε) N : n N : a n a <ε Beispiel: Betrachte den Vektorraum C[0, ] aller stetigen Funktionen auf [0, ]. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 92 / Konvergenz in normierten Vektorräumen Beispiel: Betrachte den Vektorraum C[0, ] aller stetigen Funktionen auf [0, ]. Für jedes n 2 liegt die Funktionenfolge (f n ) n N definiert durch nx für x [0, n ] f n (x) = 2 nx für x ( n, 2 n ) 0 für x [ 2 n, ] in C[0, ], d.h. f n C[0, ] für alle n 2. Unsere Frage: Konvergiert die Folge (f n ) n N im normierten Vektorraum C[0, ]? Unsere Antwort: Bei dimensionalen Räumen hängt die Konvergenz von der Norm ab! Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 93 / 90

3 Konvergenz in endlichdimensionalen Vektorräumen. Satz: (Normäquivalenzsatz) Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, und seien und zwei Normen auf V. Dann gibt es zwei Konstanten C, C > 0mit C v v C v für alle v V d.h. die beiden Normen und sind äquivalent auf V. Folgerung: In endlichdimensionalen Vektorräumen ist die Konvergenz (und der Grenzwert) einer Folge lediglich von dem jeweiligen Vektorraum abhängig, aber nicht von der zugrundeliegenden Norm. Eine Folge (a n ), die in einem endlichdimensionalen Vektorraum V bezüglich einer Norm in V gegen einen Grenzwert a V konvergiert, konvergiert ebenso bezüglich jeder anderen Norm in V gegen a. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 94 / 90 Konvergenz von Folgen im R n. Satz: Eine Folge (x m )imr n konvergiert genau dann, wenn alle n Koordinatenfolgen (x (m) j ) m N, j =,...,n konvergieren. Der Grenzwert der Folge lässt sich komponentenweise berechnen. Beweis: x m x ist äquivalent zu x m x 0 j n : x (m) j x j 0 für m Beispiel: Für die Folge (x m ), gegeben durch x m = ( ( ) ) T m, +exp, m2 +2m +3 m 2m 2 R 3 für m N gilt lim x m = m ( 0, 2, ) T 2 Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 95 / 90

4 Konvergenz in endlichdimensionalen Vektorräumen. In endlichdimensionalen Vektorräumen gilt daher auch das Cauchysche Konvergenzkriterium a m a (m ) ε>0: N = N(ε) : m, n N : a m a n <ε 2 und der Satz von Bolzano, Weierstraß Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Beispiel: Für a n := z n, z C gegeben, gilt z > a n = z n unbeschränkt (a n )divergent z < a n = z n 0(n ) lim n zn =0 Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 96 / 90 Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.5. Konvergenzkriterien für Reihen Definition: Sei (a n ) n N0, a n R (oder a n C), eine reelle (komplexe) Folge. Dann heißt die Folge (s n ) n N0, definiert durch s n = a k für n N 0 eine reelle (oder komplexe) Reihe. Die Folgenglieder s n der Reihe werden als Partialsummen bezeichnet. Falls die Folge (s n ) der Partialsummen gegen einen Grenzwert s konvergiert, d.h. die Reihe konvergiert, so schreibt man s = a k = lim a k n für den Grenzwert der Reihe (s n ) n N0. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 97 / 90

5 3.5. Konvergenzkriterien für Reihen Satz: (Unmittelbare Konvergenzkriterien für Reihen) a) Es gilt das Cauchysches Konvergenzkriterium a k konvergent ε>0: N : m, n N : m a k <ε k=n b) Es gilt die notwendige Bedingung a k konvergent = lim k a k =0 Beweis: a) folgt unmittelbar aus dem Cauchy Kriterium für Folgen. b) folgt aus dem ersten Teil für den Spezialfall m = n. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 98 / 90 Weitere unmittelbare Konvergenzkriterien für Reihen. Satz: a) Seien a k, b k konvergente Reihen. Dann konvergieren die Reihen (ak + b k ), (λa k ), und es gilt (a k + b k ) = a k + (λa k ) = λ b) Leibnizsches Kriterium: Einealternierende Reihe der Form ( ) k a k, a k 0, deren (nicht negativen) Folgenglieder (a k ) k N0 eine monoton fallende Nullfolge bilden, konvergiert, und es gilt 2n 2 ( ) k a k ( ) k a k ( ) k a k a k b k Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 99 / 90

6 Beweis zum Leibnizschen Kriterium für Reihen. Für die Reihen u n := ( ) k a k v n := 2n 2 ( ) k a k gilt u n+ = u n +(a 2n a 2n+ ) u n v n+ = v n (a 2n+ a 2n+2 ) v n v n = u n + a 2n u n v n u n = a 2n 0 (n ) Somit bilden die Folgen (u n ), (v n ) eine Intervallschachtelung, konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert, und es gilt u n ( ) k a k v n Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 00 / 90 Beispiele: die geometrische Reihe. Beispiel: Für x, y C gilt x m y m =(x y) m x m j y j j= Insbesondere mit x =,y = q und m = n + gilt s n = q k = qn+ q für die Partialsummen der geometrischen Reihe q k. Daraus folgt, dass die geometrische Reihe für q < konvergiert mit Grenzwert q k = q die geometrische Reihe für q > divergiert. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 0 / 90

7 Beispiele: die harmonische Reihe. Beispiel: Die harmonische Reihe divergiert, denn es gilt k= k = m k=n m k k=n m = m m k=n = m n + m (m ) und somit ist das Cauchy Kriterium a k konvergent ε>0: N : m, n N : m a k <ε k=n für ε< verletzt. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 02 / 90 Beispiele: die alternierende harmonische Reihe. Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe ( ) k k + = konvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, und es gilt ( ) k k + =ln2= für den Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe. Zur Erinnerung: Alternierende Reihen ( ) k a k, a k 0, deren (nicht negativen) Folgenglieder eine monoton fallende Nullfolge bilden, sind konvergent. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 03 / 90

8 Absolute Konvergenz von Reihen. Definition: Eine Reihe a k heißt absolut konvergent, falls die Reihe a k konvergiert. Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe ( ) k k + = ist nicht absolut konvergent, denn es gilt a k =( ) k ( )k k + = = ist die harmonische Reihe, die nicht konvergiert. k+ und k= k Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 04 / 90 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen. Satz: Sei a k ein Reihe. Dann gelten die folgenden Konvergenzkriterien. ( n ) a) a k absolut konvergent a k beschränkt b) Majorantenkriterium a k b k b k konvergent = n 0 a k absolut konvergent c) Quotientenkriterium Sei a k 0( k k 0 ) a k+ a k q < ( k k 0) = a k absolut konvergent d) Wurzelkriterium k ak q < ( k k 0 ) = a k absolut konvergent Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 05 / 90

9 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen. Beweis: a): Die Folge ( n a k ) n 0 ist monoton wachsend und daher genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist. b): Da a k b k gilt b k 0für alle k. Somit ist die Reihe b k sogar absolut konvergent. Nach Teil a) ist die Folge ( n b k) n 0 beschränkt. Mit a k b k b k < folgt, dass die Folge ( n a k ) beschränkt und somit nach a) absolut konvergent ist. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 06 / 90 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen. Beweis: (Fortsetzung) c): Aus a k+ a k q für alle k k0 folgt a k q k k 0 a k0 per Induktion. Somit gilt k 0 n k 0 a k a k + a k0 q j j=0 k 0 a k + a k0 q }{{} Beschränktheitskonstante für alle n. Nach Teil a) ist a k dann auch absolut konvergent. Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 07 / 90

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen. Beweis: (Fortsetzung) d): Aus k a k q (k k 0 ) folgt direkt a k q k für alle k k 0 und a k k 0 a k + qk 0 q = a k absolut konvergent Bemerkung: a) Das Quotienten bzw. Wurzelkriterium ist erfüllt, falls gilt lim a k+ k k a k < bzw. lim ak < k b) Die Reihe a k ist dagegen divergent, falls gilt lim a k+ k k a k > bzw. lim ak > k Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 08 / 90 Beispiele zur Konvergenzuntersuchung bei Reihen. Beispiel: Wir untersuchen die Konvergenz der Reihe k= k(k +) Es gilt k k + = k + k k(k +) = k(k +) und daher k(k +) = n n + = n + k= Daraus folgt die (absolute) Konvergenz der Reihe mit Grenzwert ( k(k +) = lim n k(k +) = lim ) = n n + k= k= Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 09 / 90

11 Beispiele zur Konvergenzuntersuchung bei Reihen. Beispiel: Wir untersuchen die Konvergenz der Reihe k r (r N, r 2) k= Nach dem letzten Beispiel gilt k= k r k= < + k 2 =+ k=2 k=2 k 2 n k(k ) =+ k= k(k +) < 2 Damit ist die Reihe (absolut) konvergent. Einige Grenzwerte (ohne Beweis) k 2 = π2 6, k 4 = π4 90, k 6 = π6 945 Reiner Lauterbach (Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 0 / 90