Anwendungen in der elementaren Zinsrechnung. Kapitalwert zum Zeitpunkt j (nach j Zinsperioden) Bsp Zeitpunkte

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Stefanie Julia Schuler
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1 Anwendungen in der elementaren Zinsrechnung Zinssatz (Rendite) je Zinsperiode i = p% p= Prozentpunkte Zinsfaktor (Aufzinsungsfaktor) q =1+i Diskontfaktor (Abzinsungsfaktor) v =1/(1 + i) =q 1 Laufzeit n Zinsperioden (Zeitintervalle) j =1,...,n zugehörige n +1Zeitpunkte j =0, 1,..., n K j K 0 K n! Kapitalwert zum Zeitpunkt j (nach j Zinsperioden) Bsp Zeitpunkte K 0 K 1 K 2 K 3 4 Kapitalwerte Barwert (Startkapital, Gegenwartswert) Endwert (Zielwert) vorsicht mit Bezeichnungen/Formeln bei der Zinsrechnung: Es ist auch üblich, den Prozentsatz i = p% als Zinsrate (interest rate) zu benennen und die Prozentzahl (Prozentpunkte) p als Zinssatz(!!!) oder als Zinsfuß. Dabei wird manchmal unklar definiert p = Zinssatz (in Prozent), obwohl damit kein Prozentsatz, sondern Prozentpunkte gemeint sind: Bsp. 2 p = 3 (Prozentpunkte), i = 3%. Dann ist p die Zahl 3 mit der Maßeinheit Prozentpunkte (missverstehbar: Prozent ), aber i = 3% meint die dimensionslose Zahl 0.03 = 3/100 = 3 Prozent von 1. Verwenden Sie bei Prozentangaben in der Zinsrechnung immer die Angabeform p Prozentpunkte, wenn Sie die Prozentzahl p meinen! Zinsperioden konstanter Länge (meist Jahre) 48 Zinseszinsrechnung (Auflösen der Endwertformel) K 0 > 0 Endwert Barwert K n = K 0 q n K 0 = K n q n = K n v n Zinsfaktor q =(K n /K 0 ) 1/n Rendite p% =i = q 1 Laufzeit 1. x = ln(k x/k 0 ) ln q = ln K x ln K 0 ln q meist: x N 2. n = x Zeitpunkt der ersten Überschreitung des Zielwerts K x durch K n, d.h. K n K x >K n 1 Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 1 von 5

1 0 1 2 3 4 Zeitpunkte K 0 K 1 K 2 K 3 4 Kapitalwerte Barwert (Startkapital, Gegenwartswert) Endwert (Zielwert) vorsicht mit Bezeichnungen/Formeln bei der Zinsrechnung: Es ist auch üblich, den

2 Bsp. 3a) Gegeben: K 0 > 0, p% = 3%, n = 5. Gefragt: K n K n = K ( K ) 3b) Gegeben: p% = 3%, n = 3, K n. Gefragt: K 0 K 0 = K n / ( K n 0.89) c) Gegeben: K 0 > 0, n = 12, K n =2K 0. Gefragt: i = p% q =2 1/12, p% =2 1/12 1 ( 6%) 3d) Gegeben: K 0 > 0, p% = 3%, K x =1.1 K 0. Gefragt: n = x 1.1 K Skizze des Verlaufs der Kapitalhöhe bei i = p% = 3%, K 0 = 1, mit dem Zielwert K x =1.1 K 0. Zeitpunkt n der ersten Überschreitung des Zielwerts K x ln 1.1 durch K n : n = = 3.22 = 4, ln 1.03 d.h. K 4 K x >K 3. Faustregel für Kapitalverdoppelung, d.h. mit dem End-/Zielwert 2 K 0 > 0 n p% 69%, etwas genauer/handlicher: n p% 72%, und damit zur Kapitalverdoppelung erforderliche Laufzeit n 72% p% (geg. p%) zur Kapitalverdoppelung erforderliche Rendite p% 72 n % (geg. n) Benutzte Näherung: Für x nahe bei 0 ist ln(1 + x) x Mathe 2 Bsp. 4 K x =2K 0 > 0, p% = 5%, nach Faustregel: n 72% 5% = 14.4 = 15 n = 15, K 15 =2 K 0 > 0, nach Faustregel: p% %=4.8%. Als Beispiel einer einfachen Anlageform auf Basis der Endwertformel (mit dem Spezialfall Bundesschatzbrief Typ B): 49 Zinsstaffel (verschiedene Zinssätze in den einzelnen Zinsperioden) i j = p j % Zinssatz für Zinsperiode j j =1,...,n q j =1+i j Zinsfaktor für Zinsperiode j Endwert K n = K 0 q 1... q n = K 0 (q eff ) n Effektiver Zinsfaktor q eff =(q 1... q n ) 1/n =(K n /K 0 ) 1/n Effektiver Zinssatz i eff = p eff %=q eff 1 Faktoren sind vertauschbar: Eine Zinsstaffel entsteht ggf. durch sortieren! 1... q n ) 1/n ist das geometrische Mittel der Zinsfaktoren Statistik Zur Berechnung effektiver Zinssätze (Renditeberechnung) bei weniger einfachen Anlageformen, insbes. Zinsstaffelung, siehe Thema 9.2/Mathe 2 Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 2 von 5

1 K 0 0 1 2 3 4 5 Skizze des Verlaufs der Kapitalhöhe bei i = p% = 3%, K 0 = 1, mit dem Zielwert K x =1.1 K 0. Zeitpunkt n der ersten Überschreitung des Zielwerts K x ln 1.1 durch K n : n = = 3.

3 Endliche (geometrische) Summe einzelner Endwerte (vgl. Nrn. 42 und 48) 50 Regelmäßige konstante Zahlungen zu den einzelnen Zinsperioden Endwert bei jährlicher Ratenzahlung A über n Zinsperioden (Jahre) Einzahlung A>0, Auszahlung A<0 E n = E 0 q n + A q t qn 1 q 1 vorschüssig t =1 nachschüssig t =0 Bsp. 5a) Zeitpunkte vorschüssig E 0 + A A A 0 3 Raten & E 0 nachschüssig E 0 A A A 3 Raten & E 0 q 3 q 2 q 1 q 0 4 Zinsfaktoren Barwert einer jährlichen Rente R über n Zinsperioden (Jahre) B n = R v t 1 vn 1 v = R q t q n 1 qn 1 q 1 vorschüssig t =0 nachschüssig t =1 Bsp. 5b) Zeitpunkte vorschüssig R R R 0 3 Raten/Renten nachschüssig 0 R R R 3 Raten/Renten q 0 q 1 q 2 q 3 4 Diskontfaktoren v 0 v 1 v 2 v 3 Bsp. 6a) Geg. n = 10, A>0, i = 3%, vorschüssige Zahlung. E 10 =? q =1.03, E 10 =0+A ( A) Bsp. 6b) Geg. n = 5, R>0, i = 3%, vorschüssige Zahlung. B 5 =? 1.03 q =1.03, B 5 = R ( 4.72 R) Bsp. 6c) Ein Betrag K>0 soll jährlich vorschüssig über 10 gleiche Raten der Höhe A angespart werden um dann ab dem folgenden Jahr durch eine vorschüssige jährliche Rente der Höhe R in 5 Jahren aufgebraucht zu werden. Kalkulationszinssatz i = 3%. Welche Beziehung besteht zwischen A und R? [ , ] Ansatz: E 10 = K = B 5, also E 10 A = B R 5 1. Dies ergibt A = R, d.h. R/A= ( )= Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 3 von 5

q 1 vorschüssig t =1 nachschüssig t =0 Bsp.

4 Bsp. 7 Ratenkauf mit konstanter jährlicher Rate A: Vertragsdauer n Jahre, der Vertrag beginnt mit Zahlung der ersten Rate und endet mit Zahlung der letzten Rate. Es wird mit jährlicher Verzinsung (Zinseszins) bei konstantem Zinssatz kalkuliert. Kauf-Endwert=? Kauf-Barwert=? Zeitpunkte A A A A 4 Ratenzahlungen q 3 q 2 q 1 q 0 4 Aufzinsungsfaktoren v 0 v 1 v 2 v 3 4 Abzinsungsfaktoren [Lösung mit Hilfe der obigen Formeln aus Nr. 50 Aufgaben zum Thema] Direkte und unmittelbare Lösung mit der geometrischen Summenformel: 7a) Die n+1 Aufzinsungsfaktoren q n,q n 1,...,q 1,q 0 der jeweiligen Zahlungen A zu den n + 1 Zeitpunkten 0, 1,...,n führen zum Kauf-Endwert = A (q n q +1)=A qn+1 1 q 1 7b) Die n + 1 Abzinsungsfaktoren v 0,v 1,...,v n der jeweiligen Zahlungen A zu den n + 1 Zeitpunkten 0, 1,...,n führen zum! Kauf-Barwert = A (1 + v v n )=A 1 vn+1 1 v vorsicht vor Begriffsverwirrung: Der Kauf-Barwert ist (ausführlicher) der Barwert des Ratenkaufs. Als Bar-Kaufwert wird dagegen oft kurz der Kaufpreis bei Barzahlung bezeichnet. Grenzwertbildungen Ergänzung Anwendungsbeispiel für die Bildung einer geometrische Reihe Weil v = 1+i 1 < 1, gibt es den Grenzwert der Rentenbarwerte B n ( Nr. 50 ): Barwert einer ewigen Rente B := lim B n = R v t 1 v n lim n n 1 v = R 1 vorschüssig t =0 vt 1 v nachschüssig t =1 Die Folge B n,n N, ist monoton wachsend (d.h. B n B n+1,n N) und konvergiert relativ schnell (geometrisch) gegen die Zahl B. Deswegen ist dieser Barwert gut als sichere Abschätzung nach oben geeignet, wenn Zahlungen mit ungewisser Laufzeit (grob) bewertet werden müssen. Bsp.: Die Gewinnmöglichkeit einer konstanten Rente auf Lebenszeit beim Zahlenlotto. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 4 von 5

0 1 2 3 4 Zeitpunkte A A A A 4 Ratenzahlungen q 3 q 2 q 1 q 0 4 Aufzinsungsfaktoren v 0 v 1 v 2 v 3 4 Abzinsungsfaktoren [Lösung mit Hilfe der obigen Formeln aus Nr.

5 Anwendungsbeispiel für den Grenzwert e x = lim n (1 + x n )n ( Nr. 24 ) Stetige Verzinsung (exponentielle Aufzinsung) Unterjährige Verzinsung: Unterteilung einer Zinsperiode (Jahr) in m Teile (4 Quartale, 12 Monate, 50 Wochen, 360 Tage) Der Zinsfaktor (1 + i) wird dabei zu (1 + m i )m mit dem Grenzwert lim (1 + i m m )m = e i Stetige Verzinsung bedeutet: Zinsfaktor je Zinsperiode = e i, K n = K 0 e i n Stetige Verzinsung mit dem Zinssatz i und jährliche Verzinsung mit dem Zinssatz e i 1 liefern die gleichen Endwerte Kn = K 0 e i n, d.h. e i 1 ist der effektive Jahreszinssatz bzgl. stetiger Verzinsung. Umgekehrt liefern jährliche Verzinsung mit dem Zinssatz i und stetige Verzinsung mit dem Zinssatz i = ln(1 + i), der sog. Zinsintensität, wiederum die gleichen Endwerte K n = K 0 e i n = K 0 e n ln(1+i), denn [ ] e n ln(1+i) = (1 + i) n für n N ( Nr. 24) Dies führt direkt zu einem anderen, griffigeren Ansatz zum Verständnis stetiger Verzinsung und der Zinsintensität: Hinführung zu Mathe 2-Stoff Gesucht ist eine ( glatte ) Funktion, die zu jedem jährlichen Zinszeitpunkt die Aufzinsungsstufe der entsprechenden Treppenfunktion trifft (siehe z.b. auch die Treppenfunktion in Beispiel 3d)). Gleichung [ ] liefert uns den Hinweis auf die allgemeine Exponentialfunktion f(t) := (1 + i) t = e t ln(1+i) (t 0) (1 + i) t = e i t t Bsp.: K 0 =1g, i =0.05 = 5% Zeitdiskrete Aufzinsung (Treppenfunktion) und zeitstetige Aufzinsung (graue Kurve) mit den äquivalenten Zinssätzen i =0.05 und i = ln(1.05) Die Zinsintensität i = ln(1 + i) ist also rein mathematisch lediglich der Faktor im Exponenten der natürlichen Exponentialfunktion, der sich ohne jede weitere Umrechnung durch bloßes Umschreiben der allgemeinen Exponentialfunktion (1 + i) x ergibt.! Vorsicht vor einer Fehlinterpretation der Grafik: Die Kurve ist in diesem Bereich zwar nahe an einer Geradenform, sie stellt aber eine Exponentialfunktion ( Wachstumsfunktion ) dar keine Gerade! Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 5

dabei zu (1 + m i )m mit dem Grenzwert lim (1 + i m m )m = e i Stetige Verzinsung bedeutet: Zinsfaktor je Zinsperiode = e i, K n = K 0 e i n Stetige Verzinsung mit dem Zinssatz i und jährliche

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