Galerkin-Diskretisierung von Eigenwertproblemen für partielle Differentialgleichungen

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1 Galerkin-Diskretisierung von Eigenwertproblemen für partielle Differentialgleichungen Bachelorarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Bachelor of Science an der Technischen Universität Berlin Verfasser: Christian Heier Matrikelnummer: Betreuer: Dr. Kersten Schmidt Vorgelegt am 12. Dezember 2011

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3 Erklärung Die selbständige und eigenhändige Anfertigung versichert an Eides statt Berlin, den 12. Dezember 2011 Unterschrift

4 Zusammenfassung Wir betrachten in dieser Arbeit die Approximation der Lösung von variationellen Eigenwertproblemen mittels Galerkin-Diskretisierung. Das Hauptaugenmerk ist hierbei auf die von Babuška und Osborn in [2] dargestellte Theorie über Konvergenz und Konvergenzordnung der Galerkinapproximation kompakter Eigenwerte und Eigenvektoren gerichtet. In den letzten Abschnitten werden die vorher gewonnenen Resultate direkt auf die Finite-Elemente-Methode für symmetrischen, positive Eigenwertprobleme elliptischer Differentialoperatoren angewendet und die Konvergenzaussagen anhand einer konkreten Implementierung des Laplace Eigenwertproblems mithilfe der Finiten-Elemente- Bibliothek Concepts untersucht. 3

5 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Lineare stetige und kompakte Operatoren Dualräume und adjungierte Operatoren Konvergenz von Operatoren Spektraltheorie kompakter Operatoren Störungstheorie linearer, abgeschlossener Operatoren Kompakte variationelle Eigenwertprobleme Problemstellung und ein erstes Beispiel Formulierung als Operator Eigenwertproblem Galerkin-Approximation des kompakten Eigenwertproblems Galerkin Approximation Konvergenz des diskreten Problems gegen das kontinuierliche Problem Die Babuška-Osborn Theorie über spektrale Konvergenz Spektrale Approximation kompakter Operatoren Spektrale Approximation variationeller Eigenwertprobleme Symmetrische variationelle Eigenwertprobleme Untersuchung des symmetrischen Falls Implementierung des Laplace Eigenwertproblems in Concepts 61 A Quellcode zum numerischen Experiment 68 4

6 Einleitung Viele Probleme in Physik- und Ingenieurwissenschaften, lassen sich in Form von Eigenwertproblemen von Differentialoperatoren formulieren. Ein prominentes Beispiel hierfür ist die stationäre Schrödingergleichung aus der theoretischen Physik. In den seltensten Fällen jedoch lassen sich diese Eigenwertgleichungen analytisch lösen und so muss auf Näherungsverfahren zurück gegriffen werden. Eine Möglichkeit, mit der wir uns in dieser Arbeit auseinandersetzen wollen ist die Verwendung der Galerkinapproximation die vorallem in ihrer prominentesten Form, der Finiten Elemente Methode bei der Lösung partieller Differentialgleichungen große Anwendung findet. Hierbei wird das (Differential-) Operatoreigenwertproblem mittels Galerkinapproximation, durch ein endlichdimensionales Operatoreigenwertproblem (Matrixeigenwertproblem) angenähert, das dann mit den numerischen Verfahren zum Lösen von Matrixeigenwertproblemen gelöst werden kann. Hierbei muss genau wie bei dem Galerkinverfahren zum Lösen von Operatorgleichungen nachgewiesen werden, dass für eine bestimmte (zu wählende) Folge endlichdimensionaler Unterräume, die Lösungen des endlichdimensionalen Problems, gegen die Lösung des ursprünglichen Problems konvergieren. Die schwache Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen legt desweiteren nahe, Operatoreigenwertprobleme für bestimmte partielle Differentialoperatoren in einer variationellen Form zu formulieren. Wir werden daher eine bestimmte, besonders gut erforschte Klasse von variationellen Eigenwertproblemen studieren und die abstrakten Ergebnisse zum Schluss anhand eines konkreten Beispiels anwenden. Als Hauptreferenz sowohl für die Untersuchung, als auch die Formulierung dieser bestimmten Klasse, die wir im zweiten Abschnitt formulieren werden, sei [2] genannt. Eine anwendungsorientierte Einführung in die Ergebnisse enthalten die ersten zwei Teile des Überblicksartikels [3]. Da das Vorgehen in [2] nicht ganz elementar ist, führen wir zuerst die Grundlagen, mit denen in den späteren Abschnitten die Theorie formuliert und bewiesen wird, auf. Als wichtigste Quellen seien hier [1] für die Zusammenhänge zwischen Starker- und Normkonvergenz bei gewissen Klassen kompakter Operatoren, [14] für die Spektraltheorie kompakter Operatoren und weitere funktionalanalytische Grundlagen, sowie [9] für die Störungstheorie von Eigenwertproblemen abgeschlossener Operatoren, genannt.

7 1 Grundlagen In diesem Abschnitt werden wir die vor allem funktionalanalytischen Mittel aufführen, die wir für die Untersuchung und Formulierung eines variationellen Eigenwertproblems benötigen. Es sei bemerkt das wir nicht alle Resultate dieses Kapitels beweisen können, da dies den Umfang dieser Arbeit sprengen und uns zu weit von der eigentlichen Thematik entfernen würde. 1.1 Lineare stetige und kompakte Operatoren Dieser Abschnitt liefert uns die Begrifflichkeiten der Funktionenräume linearer stetiger und kompakter Operatoren und gibt einige äquivalente Definitionen für sie an. Des Weiteren wird eine Norm auf diesen Räumen definiert und ein Kriterium angegeben, wann diese Räume Banachräume sind. Weiter wird die Menge der abgeschlossenen Operatoren eingeführt und der Satz vom abgeschlossenen Graphen angegeben. Die Inhalte stammen im wesentlichen aus [14], sind jedoch in den meisten Einführungen der Funktionalanalysis zu finden. Definition (Lineare und kompakte Operatoren) Seien X, Y normierte Räume, so nennen wir eine lineare Abbildung T : X Y i) beschränkt, wenn T beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen abbildet. ii) kompakt, wenn T beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet. Wir bezeichnen mit L(X, Y ) den Raum der linearen beschränkten Abbildungen von X nach Y und mit K(X, Y ) den Raum der linearen kompakten Abbildungen von X nach Y. Weiter schreiben wir abkürzend L(X) für L(X, X) und K(X) für K(X, X). Es ist klar, dass K(X, Y ) L(X, Y ) gilt. Lemma (Äquivalente Definition von Beschränktheit und Kompaktheit) Seien X, Y normierte Räume und T : X Y eine linear Abbildung, so gelten: i) Folgende Aussagen sind äquivalent: 6

8 1.1 Lineare stetige und kompakte Operatoren (a) T ist beschränkt (b) Es existiert ein M 0 mit: T x M x x X (c) T ist stetig (d) T ist stetig in 0 ii) Folgende Aussagen sind äquivalent: (a) T ist kompakt (b) Jede beschränkte Folge (x n ) n besitzt eine Teilfolge (x pn ) n sodass (T x pn ) n eine in Y konvergente Folge ist. Beweis. Siehe [14, Kapitel II, Abschnitte 1, 3]. Bemerkung Seien X, Y normierte Räume über dem Körper K. Dann sind L(X, Y ) und K(X, Y ) ebenfalls Vektorräume über K bezüglich der Skalarmultiplikation und der Operatoraddition, die für S, T L(X, Y ) und λ K über: (λs)(x) := λs(x) x X definiert sind. (S + T )(x) := S(x) + T (x) x X Lemma (Norm auf dem Raum der linearen stetigen Funktionen) Seien X, Y normierte Räume über dem Körper K und sei T L(X, Y ). Dann definiert: eine Norm auf L(X, Y ). T x T L(X,Y ) := sup x X x = sup T x x B X(0,1) = inf{m > 0 T x M x x X} 7

9 1.1 Lineare stetige und kompakte Operatoren Beweis. Siehe [14, Kapitel II, Abschnitt 1]. Satz (Vollständigkeit der Funktionenräume) Seien X ein normierter Raum und Y ein Banachraum, so ist L(X, Y ) versehen mit der Norm L(X,Y ) ein Banachraum und K(X, Y ) ist ein abgeschlossener Unterraum von L(X, Y ) und daher ebenfalls ein Banachraum. Beweis. Siehe ebenfalls [14, Kapitel II, Abschnitte 1, 3]. Mit Blick auf den Abschnitt über die Störungstheorie von Operatoren führen wir nun eine sehr große Klasse von linearen Operatoren ein Definition (abgeschlossener Operatoren) Seien X und Y normierte Räume. So nennen wir eine lineare Abbildung S : D(S) X Y abgeschlossen, wenn sie der Bedingung } (x n ) n D(S) mit x n x X x D(S) und T x = y (T x n ) n y Y genügt. Wir bezeichnen dann die Menge C(X, Y ) als Menge der linearen abgeschlossenen Operatoren von X nach Y. Es ist recht leicht zu sehen, dass stetige Operatoren auf einem abgeschlossenem Definitionsbereich auch abgeschlossen sind. Interessant hingegen ist, dass für Operatoren auf Banachräumen auch eine Umkehrung gilt, die wir hier abschließend angeben. Satz (vom abgeschlossenen Graphen) Seien X und Y Banachräume, D X ein abgeschlossener Untervektorraum und T : D X Y linear und abgeschlossen. Dann ist T stetig. Beweis. Siehe dazu [14, Kapitel IV, Abschnitt 4]. 8

10 1.2 Dualräume und adjungierte Operatoren 1.2 Dualräume und adjungierte Operatoren Definition (Dualraum) Es sei (X, ) ein normierter Raum über dem Körper K {R, C}. Dann definieren wir: X := L(X, K) als den (topologischen) Dualraum von X. Definition (Adjungierter Operator) Seien X, Y Banachräume T L(X, Y ). Dann definieren wir: T : Y X f f T als den zu T adjungierten Operator oder (Banachraum-) Adjungierten von T. Offensichtlich gilt T L(Y, X ). Satz (Satz von Schauder) Seien X und Y Banachräume und T L(X, Y ) ein stetiger linearer Operator. Dann ist T kompakt genau dann wenn T kompakt ist. Beweis. Siehe [14, Kapitel III Abschnitt 4] Satz (Darstellungssatz von Fréchet-Riesz) Sei ( H, (, ) ) ein Hilbertraum. Dann ist die Abbildung Φ : H H x (, x) bijektiv, isometrisch und konjugiert linear (d.h.: Φ(λx) = λφ(x)). Wir nennen Φ die Rieszsche Abbildung zu H. Beweis. Siehe [14, Kapitel V, Abschnitt 3] Definition (Hilbertraum Adjungierte) Seien ( V, (, ) V ) und ( W, (, )W ) Hilberträume und T L(V, W). Dann 9

11 1.3 Konvergenz von Operatoren definieren wir die Abbildung T := Φ 1 T Ψ als den (Hilbertraum-) adjungierten Operator zu T. Wobei wir mit Φ bzw. Ψ die Rieszsche Abbildung zu V respektive W bezeichnen. Es gilt dann für beliebige v V und w W: (T v, w) W = (v, T w) V. 1.3 Konvergenz von Operatoren Wir werden im Folgenden für uns wichtige Zusammenhänge zwischen starker Konvergenz und Normkonvergenz von Operatoren angeben. Hauptresultat dieses Abschnittes ist die Äquivalenz von Starker- und Normkonvergenz für gewisse Folgen von kompakten Operatoren in einem Banachraum. Die Resultate und Beweise dieses Abschnittes stammen in ihren wesentlichen Punkten aus [1]. Wir beginnen unsere Ausführungen in dem wir die starke und die Normkonvergenz einführen: Definition (Konvergenz von Operatoren) Seien (X, X ), (Y, Y ) Banachräume und T n, T L(X, Y ). So konvergiert i) T n stark oder punktweise gegen T wenn T n x T x Y n 0 x X gilt. Wir schreiben dann: T n ii) T n (in Norm) gegen T wenn stark T. T n T L(X,Y ) gilt. Wir schreiben dann: T n T. n 0 Proposition Seien X, Y Banachräume und T n, T L(X, Y ). So folgt aus der Konvergenz in Norm, die starke Konvergenz. 10

12 1.3 Konvergenz von Operatoren Beweis. Sei x X beliebig, so gilt: T n x T x Y = (T n T )x Y T n T L(X,Y ) x X n 0. Lemma (Beschränktheit stark konvergenter Folgen) stark Seien X, Y Banachräume und T, (T n ) n L(X, Y ) mit T n T, so existiert eine Konstante M, sodass gilt: T n M n N Beweis. Da T n stark konvergiert, ist die Folge (T n x) n konvergent für beliebiges x X. Das bedeutet insbesondere, dass die Menge {T n x} n N beschränkt ist. Das heißt die Menge {T n } n N ist punktweise beschränkt. Da X ein Banachraum ist, folgt mit dem Satz von Banach Steinhaus [14, Kapitel IV, Abschnitt 2, Satz IV.2.1] die gleichmäßige Beschränktheit der Menge {T n } n N und damit die Behauptung. Lemma stark Seien X, Y Banachräume und T, (T n ) n L(X, Y ) mit T n T. Sei weiter K X eine relativ kompakte Menge, dann konvergiert T n gleichmäßig auf K gegen T. Beweis. Sei M eine Konstante, sodass T n + T M für alle n N gilt (Lemma 1.3.3). Da K relativ kompakt ist, existiert zu jedem ɛ > 0 eine Menge {x 1,..., x Mɛ } K sodass min x x k < k=1,...,m ɛ ɛ 2M x K n gilt. Da (T n T )x i 0 für i = 1,..., M ɛ existiert ein N ɛ sodass für n > N ɛ gilt: (T n T )x i < ɛ i = 1,..., M ɛ. 2 11

13 1.4 Spektraltheorie kompakter Operatoren Das bedeutet für x K beliebig und i {1,..., M ɛ } sodass x x i < (T n T )x (T n T )x i + (T n T )(x x i ) ɛ 2 + M ɛ 2M ɛ ɛ : 2M für alle n N mit n > N ɛ. Da ɛ > 0 beliebig gewählt war, folgt die Behauptung. Satz (Normkonvergenz aus punktweiser Konvergenz) stark Sei X ein Banachraum und seien T n, T, S L(X) mit T n T und sei S ein kompakter Operator. Dann gilt: (T T n )S L(X) n 0 Beweis. Es gilt: (T T n )S L(X) = sup (T T n )Sx X x B X (0,1) = sup (T T n )z X z S(B X (0,1)) n 0. Wobei wir im letzten Schritt das Lemma und die Kompaktheit von S, bzw. die daraus resultierende relative Kompaktheit von S(B X (0, 1)) genutzt haben. 1.4 Spektraltheorie kompakter Operatoren In diesem Abschnitt werden wir die für uns relevanten Ergebnisse der Spektraltheorie kompakter Operatoren aufführen. Für ausführliche und elementare Beweise sei auf [14] verwiesen. Sei nun X ein komplexer Banachraum und T : X X ein abgeschlossener Operator. Dann definieren wir die Resolventenmenge und das Spektrum von T wie folgt: Definition (Spektrum, Resolventenmenge und Resolventenabbildung) Wir definieren: 12

14 1.4 Spektraltheorie kompakter Operatoren i) ii) iii) iv) ρ(t ) := {λ C (λ T ) 1 L(X)} als die Resolventenmenge von T, σ(t ) := C\ρ(T ) als das Spektrum von T, σ p (T ) := {λ C (λ T ) ist nicht injektiv} als das Punktspektrum oder die Eigenwerte von T, σ c (T ) := {λ σ(t ) (λ T ) ist injektiv und ran(λ T ) = H} v) vi) als das stetige Spektrum von T, σ r (T ) := {λ C (λ T ) ist injektiv und ran(λ T ) H} als das Restspektrum und R : ρ(t ) L(X) λ R λ (T ) := (λ T ) 1 als die Resolventenabbildung und R λ (T ) die Resolvente von T in λ. Bemerkung Es ist mithilfe des Satzes über die Neumannschen Reihe (siehe dazu [14] Kapitel II Abschnitt 1) möglich zu zeigen, dass die Resolventenmenge offen und das Spektrum, als dessen Komplement abgeschlossen ist. Auf eine sehr ähnliche Art und Weise kann man ebenfalls zeigen, dass die Resolventenabbildung als Funktion auf ρ(t ) analytisch ist und daher stückweise holomorph (im Sinne der Differenzierbarkeit auf Banachräumen). Beides sind Resultate, die wir im späteren noch benötigen werden. Oftmals sehr nützlich sind folgende Identitäten für die Differenz zweier Resolventen 13

15 1.4 Spektraltheorie kompakter Operatoren Korollar (Resolventenidentitäten) Es sei X ein komplexer Banachraum und T, S C(X) abgeschlossene Operatoren. Dann gelten für λ, µ ρ(t ) ρ(s) die Resolventenidentitäten: i) Erste Resolventenidentität: R λ (T ) R µ (T ) = (µ λ)r λ (T )R µ (T ) ii) Zweite Resolventenidentität: R λ (T ) R λ (S) = R λ (T )(T S)R λ (S) Beweis. Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen. Zu i): (λ T ) 1 (µ T ) 1 = (λ T ) 1( 1 (λ T )(µ T ) 1) zu ii): = (λ T ) 1( (µ T ) (λ T ) ) (µ T ) 1 = (λ T ) 1 (µ λ)(µ T ) 1 (λ T ) 1 (λ S) 1 = (λ T ) 1 (1 (λ T )(λ S) 1 ) = (λ T ) 1( (λ S) (λ T ) ) (λ S) 1 = (λ T ) 1 (T S)(λ S) 1. Satz (von Riesz-Schauder) Sei T K(X) ein kompakter Operator und X ein Banachraum dann gelten: i) ker (1 T ) ist ein endlich dimensionaler Untervektorraum von X, ii) ran (1 T ) ist ein abgeschlossener Untervektorraum von X. Beweis. Siehe [14, Kapitel VI, Abschnitt 2]. Definition (Eigenraum und geometrische Vielfachheit) Für T K(X) und λ σ p (T ) definieren wir: i) V λ := ker(λ T ) als den zu λ gehörigen Eigenraum, ii) n λ := dim(v λ ) die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ. Bemerkung Mit Satz folgt: Für ein λ σ p (T )\{0} ist der zugehörige Eigenraum 14

16 1.4 Spektraltheorie kompakter Operatoren V λ = ker(λ T ) endlichdimensional und damit auch die geometrische Vielfachheit n λ eine natürliche Zahl. Der nachfolgende Satz wird das Spektrum kompakter Operatoren genau charakterisieren und garantiert uns, dass jeder nicht verschwindende Eigenwert eines kompakten Operators ein isolierter Punkt des Spektrums ist. Dies ist eine Eigenschaft kompakter Operatoren, von der wir noch sehr häufig Gebrauch machen werden. Satz (Spektrum kompakter Operatoren) Für einen kompakten Operator T K(X) gelten folgende Aussagen: i) Ist dim(x) = so gilt: ii) 0 σ(t ) σ(t )\{0} σ p (T ) iii) Entweder ist σ(t ) endlich oder (λ n ) n C sodass gilt: σ(t ) = {λ n n N} {0} und λ n n 0. In jedem Fall ist 0 der einzig mögliche Häufungspunkt in σ(t ). Beweis. Siehe ebenfalls [14, Kapitel VI, Abschnitt 2]. Als letztes Resultat dieses Abschnittes führen wir nun den Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte bzw. normale Operatoren auf, den wir benötigen werden, wenn wir uns dem Spezialfall der selbstadjungierten Operatoren widmen. Ein stetiger Operator T in einem Hilbertraum H, d.h. T L(H) heißt normal wenn T T = T T und selbstadjungiert falls T = T gilt. Das Resultat für kompakte Operatoren lautet dann: Satz (Spektralsatz für kompakte, normale Operatoren) Sei H ein Hilbertraum über dem Körper K und T K(H) ein kompakter Operator. Sei weiter T normal (falls K = C) bzw. selbstadjungiert (falls 15

17 1.5 Störungstheorie linearer, abgeschlossener Operatoren K = R). Dann existiert ein maximal abzählbares (eventuell endliches) Orthonormalsystem {e 1, e 2,...} H, sowie eine (eventuell abbrechende) Nullfolge {λ 1, λ 2,...} K\{0}, sodass gelten: i) H = ker T span{e 1, e 2,...}, ii) T e k = λ k e k k, iii) T x = k λ k(x, e k ) e k x H, wobei iii) für abzählbar unendlich viele Eigenwerte im Sinne von Konvergenz bezüglich der Hilbertraum-Norm zu verstehen ist. Beweis. Siehe wieder [14, Kapitel VI, Abschnitt 3]. 1.5 Störungstheorie linearer, abgeschlossener Operatoren Im folgenden Abschnitt betrachten wir wichtige Ergebnisse der Störungstheorie linearer abgeschlossener Operatoren nach [9]. Die Störungstheorie beschäftigt sich unter anderem mit der Änderung des Spektrums eines Operators unter (kleinen) Störungen. Kleine Störungen können zum Beispiel die Addition eines Operators V ɛ L(X) mit V ɛ L(X) < ɛ sein. Wir werden in den nächsten Abschnitten ein Operator-Eigenwertproblem formulieren und untersuchen, inwiefern sich die Lösungen dieses Problems mittels diskreter Approximation nähern lassen. Für einen Operator T und Näherungen T h mit T T h h 0 0 stellt sich also die Frage, inwiefern sich die Eigenwerte von T von denen des gestörten Operators T h = T + V für V = T h T unterscheiden. Wir beginnen unsere Ausführungen mit dem folgenden Satz, der uns das Werkzeug liefern wird, um die algebraische Vielfachheit kompakter Operatoren sinnvoll zu definieren und uns gleichzeitig einen Ausdruck für die Projektionen auf die verallgemeinerten Eigenräume liefert. Satz (Zerlegung des Spektrums) Sei X ein Banachraum und T C(X) ein abgeschlossener Operator. Sei weiter σ(t ) = σ T σ T eine disjunkte Zerlegung des Spektrums von T. Sei Γ ρ(t ) eine rektifizierbare geschlossene Kurve derart, dass σ T von Γ umschlossen wird und σ T außerhalb Γ liegt. Dann existieren T -invariante Un- 16

18 1.5 Störungstheorie linearer, abgeschlossener Operatoren terräume M, M X, sodass X = M M gilt und T M L(M ) ist. Weiter gilt: σ(t M ) = σ T und σ(t M ) = σ T. Es gilt weiterhin für den Operator P := 1 (z T ) 1 dz L(X) 2πi Γ die Identität: M = P X und M = (1 P )X. Beweis. Siehe [9, Kapitel III, 6, Abschnitt 4]. Definition Sei X ein Banachraum und T K(X) ein kompakter Operator. Für einen Eigenwert λ σ p (T )\{0} definieren wir: i) E λ := k=1 ker(λ T )k als den zu λ gehörigen verallgemeinerten Eigenraum von T, ii) m λ := dim(e λ ) als die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ, iii) α λ := min{k N ker(λ T ) k = E λ } als die Aufsteigende des Eigenwertes λ, iv) für v E λ nennen wir s λ,v := min{k N (λ T ) k v = 0} α λ die Stufe von v. Den Vektor v nennen wir einen verallgemeinerten Eigenvektor der Stufe s λ,v zum Eigenwert λ. Wir benötigen den Satz in seiner allgemeinen Form nicht, sondern zeigen mit ihm den Spezialfall für kompakte Operatoren. Korollar (Verallgemeinerter Eigenraum kompakter Operatoren) Sei X ein Banachraum, T K(X) ein kompakter Operator und λ σ(t )\{0} ein Eigenwert von T. Dann ist der verallgemeinerte Eigenraum E λ aus Definition endlichdimensional. Weiter existiert ein Kreisring Γ mit Mittelpunkt λ derart, dass alle Punkte außer λ außerhalb des Spektrums liegen. Dann ist durch E(λ) := 1 2πi Γ (z T ) 1 dz die Projektion auf den verallgemeinerten Eigenraum E λ definiert. Und es 17

19 1.5 Störungstheorie linearer, abgeschlossener Operatoren gilt: X = E λ (1 E(λ))X. Beweis. Es ist nach Satz λ kein Häufungspunkt von σ(t ). Daher existiert ein geschlossener Kreisring Γ derart, dass λ von Γ umschlossen wird und σ(t )\{λ} außerhalb von Γ liegt. Dann sind nach Satz M λ := E(λ)X und M := (1 E(λ))X T -invariante Unterräume von X. Wir zeigen nun: Da T kompakt ist, ist M λ endlichdimensional. Es ist T Mλ K(M λ ) und σ(t Mλ ) = {λ}. Aus dim(m λ ) = würde mit Satz folgen, dass 0 σ(t Mλ ) = {λ} ist. Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Wahl von λ: λ σ(t )\{0}. Wir zeigen: E λ M λ. Sei dazu v E λ. Da X = M λ M existieren eindeutige v λ M λ, v 0 M mit v = v λ + v 0. Da v E λ ist, existiert ein α N mit: 0 = (λ T ) α v = (λ T ) α v λ + (λ T ) α v 0. Dies gilt wegen der T -Invarianz von M λ und M genau dann, wenn (λ T ) α v λ = 0 und (λ T ) α v 0 = 0 gelten. Angenommen nun v 0 0, dann existiert ein k {0,..., α 1} mit: (λ T ) k v 0 0 und (λ T ) k+1 v 0 = 0. Da M T -invariant ist und v 0 M, ist (λ T ) k v 0 M und (λ T )(λ T ) k v 0 = (λ T M )(λ T M ) k v 0 = 0. Das heißt aber λ σ(t M ) im Widerspruch zu Satz der besagt, dass σ(t M ) = σ(t )\{λ}. Daher folgt v 0 = 0 und v = v λ M λ. Nun zeigen wir M λ E λ. Wie wir eben gezeigt haben ist dim(m λ ) =: d < und der einzige Eigenwert von T Mλ ist λ. Das heißt, das charakteristische Polynom von T ist gegeben durch χ T Mλ (z) = (z λ) d. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton [6, Kapitel 4, Abschnitt 5] ist damit (T Mλ λ) d = 0. D.h. für v M λ folgt (λ T ) d v = (λ T Mλ ) d v = 0 und damit v E λ. Damit haben wir gezeigt: E λ = M λ. D.h. E(λ) ist die Projektion auf den verallgemeinerten Eigenraum und die algebraische Vielfachheit m λ ist für nicht Null-Eigenwerte kompakter Operatoren endlich. 18

20 1.5 Störungstheorie linearer, abgeschlossener Operatoren Bemerkung Seien λ 1, λ 2,..., λ n σ(t )\{0} und E(λ 1,..., λ n ) := 1 2πi Γ (z T ) 1 dz, mit einer Kurve Γ ρ(t ) welche die Punkte λ 1,..., λ n aus dem Spektrum umschließt und das restliche Spektrum außerhalb lässt. Ähnlich zu dem Beweis von Korollar kann man folgern, dass E(λ 1,..., λ n ) eine Projektion auf die direkte Summe der verallgemeinerten Eigenräume der Eigenwerte ist. Bemerkung (Wohldefiniertheit der Aufsteigenden) Nach Korollar ist die Aufsteigende für nicht Null-Eigenwerte kompakter Operatoren endlich und immer kleiner oder gleich der Dimension des verallgemeinerten Eigenraumes. Zu einem späteren Zeitpunkt wollen wir im Rahmen von Eigenvektorapproximationen die Konvergenz von (verallgemeinerten) Eigenräumen untersuchen. Dazu ist der Begriff des Abstandes zwischen abgeschlossenen Unterräumen nötig. Es trifft sich, dass man mithilfe dieses Abstandes einen Abstandsbegriff für abgeschlossene (also insbesondere auch nicht stetige) Operatoren definieren kann, der für die Störungstheorie unerlässlich ist und der auch in den hier aufgeführten Ergebnissen aus [9], die wir für die Untersuchung unseres Problems benötigen, häufig vorkommt. Definition (Abstand zwischen abgeschlossenen Unterräumen und Operatoren) Sei X ein Banachraum und V, W X abgeschlossene Unterräume von X. So definieren wir: δ(v, W) := sup x V x =1 dist(x, W) und ˆδ(V, W) := max { δ(v, W), δ(w, V) }. Wir nennen ˆδ den Abstand (engl. gap) zwischen V und W. Seien X, Y Banachräume und T, S C(X, Y ) abgeschlossene Operatoren und seien G(T ), G(S) X Y die Graphen von T und S 1. Dann 1 Der Graph eines Operators ist über G(T ) := {(x, T x) x D(T )} definiert. 19

21 1.5 Störungstheorie linearer, abgeschlossener Operatoren sind G(T ), G(S) abgeschlossene Unterräume des Banachraumes X Y. Wir definieren dann: ˆδ(T, S) := ˆδ(G(T ), G(S)). Wir sagen (T n ) n C(X, Y ) konvergiert im verallgemeinerten Sinne gegen T, wenn ˆδ(T, T n ) n 0 gilt. Häufig nützlich ist folgendes Resultat: Satz Sei X ein Banachraum und seien V, W X mit dim(v) < und dim(w) <. So gilt: δ(v, W) δ(w, V) 1 δ(v, W) Beweis. Vergleiche [8, 2, Abschnitt 1]. Proposition (Normkonvergenz und Konvergenz im verallg. Sinne) Seien X, Y Banachräume und S, T L(X, Y ). So gilt ˆδ(T, S) T S L(X,Y ). Beweis. Der Beweis folgt mittels der Abschätzung δ(t, S) := sup (x,t x) G(T ) x X + T x Y =1 inf (z,sz) G(S) ( ) x z X + T x Sz Y = sup x X z X x X + T x Y =1 sup x X x X + T x Y =1 ( ) inf x z X + T x Sz Y ( x x X + T x Sx Y ) sup T S L(X,Y ) x X x X x X + T x Y =1 T S L(X,Y ). 20

22 1.5 Störungstheorie linearer, abgeschlossener Operatoren Offensichtlich liefert die gleiche Abschätzung δ(s, T ) T S L(X,Y ), womit die Aussage folgt. Diese Proposition liefert außerdem für Banachräume X, Y und Operatoren T, (T n ) n L(X, Y ) mit T T n n 0, dass (T n ) n im verallgemeinerten Sinne gegen T konvergiert. Das ist wichtig, um die folgenden Resultate, die in [9] für Folgen im verallgemeinerten Sinne gezeigt werden, auch auf den beschränkten Fall und die Normkonvergenz anwenden zu können. Die Aussage, dass für stetige Operatoren die Konvergenz in Norm die Konvergenz im verallgemeinerten Sinne impliziert, lässt sich sogar noch umkehren. Dies und weitere Zusammenhänge liefert der Satz Seien X und Y Banachräume und T, T n L(X, Y ), so gelten: i) ˆδ(T n, T ) n n 0 T n T L(X,Y ) 0. ii) Wenn T 1 L(Y, X) existiert, so gilt T n T im verallgemeinerten Sinne genau dann wenn ein N N existiert, so dass Tn 1 L(Y, X) für alle n > N existieren und gilt. T 1 n T 1 L(Y,X) n 0 iii) Seien nun T, T n L(X) und w ρ(t ), so existiert ein N so dass w ρ(t n ) für alle n N und es gilt: R w (T ) R w (T n ) = (w T ) 1 (w T n ) 1 n 0. Beweis. Siehe [9, Kapitel IV, 2, Abschnitt 6]. Im Hinblick auf Korollar und die dort definierte Projektion interessieren die Ergebnisse des folgenden Satzes. Satz Sei X ein Banachraum, T C(X) sowie Γ ρ(t ) eine kompakte Teilmenge 21

23 1.5 Störungstheorie linearer, abgeschlossener Operatoren der Resolventenmenge. So existiert ein δ > 0, sodass für S C(X) mit ˆδ(T, S) < δ gilt: Γ ρ(s). Beweis. Siehe [9, Kapitel IV, 3, Abschnitt 1]. Eine Verschärfung der obigen Aussage und das für uns wichtigste Ergebnis dieses Abschnittes ist der folgende Satz, der aufführt wie die Konvergenz im verallgemeinerten Sinne (und damit auch die klassische Normkonvergenz von Operatoren) eine Konvergenz von gewissen Teilen des Spektrums nach sich zieht. Seine volle Stärke entfaltet er für kompakte Operatoren, deren Spektrum, wie wir nach Satz wissen, keinen Häufungspunkt außerhalb der Null besitzt und für die die Projektion auf den verallgemeinerten Eigenraum eines nicht verschwindenen Eigenwertes wie in Korollar definiert werden kann. Satz Sei X ein Banachraum und T C(X) ein abgeschlossener Operator. Sei weiter σ(t ) = σ T σ T eine disjunkte Zerlegung des Spektrums von T. Sei Γ ρ(t ) eine rektifizierbare geschlossene Kurve derart, dass σ T von Γ umschlossen wird und σ T außerhalb Γ liegt und seien weiter M T, M T zu der Zerlegung des Spektrums gehörige Zerlegung von X in T -invariante Unterräume (definiert wie in Satz 1.5.1). Dann existiert ein nur von T und Γ abhängiges δ > 0, sodass für S C(X) mit ˆδ(S, T ) < δ folgt: Γ ρ(s) und das Spektrum von S besitzt eine disjunkte Zerlegung σ(s) = σ S σ S derart, dass σ S von Γ umschlossen wird und σ S außerhalb von Γ liegt. Weiter gilt σ S respektive σ S sind nicht leer, wenn σ T respektive σ T nicht leer ist und für M S, M S, die zu der Zerlegung des Spektrums gehörige Zerlegung von X in S-invariante Unterräume gilt: M T ist isomorph zu M S und M T ist isomorph zu M S. Für die in Satz erklärten Projektionen P T, P S auf M T bzw. M S gilt: P T P S L(X) ˆδ(S,T ) 0 0 Beweis. Siehe dazu [9, Kapitel IV, 3, Abschnitt 4]. 22

24 2 Kompakte variationelle Eigenwertprobleme 2.1 Problemstellung und ein erstes Beispiel Wir formulieren im folgenden ein kompaktes variationell gestelltes Eigenwertproblem in Hilberträumen. Seien also V und W Hilberträume über C und seien a : V W C b : V W C Sesquilinearformen. Sei weiter a stetig, das heißt es existiert ein C > 0, sodass gilt: a(v, w) C v V w W und sei b stetig bzgl. einer kompakten Norm, d.h. es existiert eine Norm K in V, sodass jede in (V, V ) beschränkte Folge eine Teilfolge besitzt, die eine Cauchyfolge in (V, K ) ist und es gilt: b(u, v) C v K w W. Wir betrachten das folgende variationelle Eigenwertproblem: Finde ein λ C und ein u V mit u 0, sodass gilt: a(u, w) = λ b(u, w) w W. (2.1) Das so eben formulierte Eigenwertproblem ist in seiner obigen Form recht abstrakt gehalten. Um dem Leser diese Formulierung zu motivieren und einen Eindruck zu geben, wie man bei dem Nachweis der obigen Eigenschaften bei einem variationell formulierten Eigenwertproblem eines Differentialoperators vorgehen kann, geben wir als Beispiel das Eigenwertproblem des Laplace Operators. Beispiel (Das Laplace Eigenwertproblem) Sei nun Ω R N ein beschränktes, glattberandetes Gebiet. Wir betrachten das Problem: Finde ein λ C und eine Funktion u 0 sodass gilt: u = λu u = 0 in Ω auf Ω. 23

25 2.1 Problemstellung und ein erstes Beispiel Über Multiplikation mit einer Testfunktion, Integration über das Gebiet Ω und partielle Integration gelangen wir zur variationellen Formulierung 2 des Eigenwertproblems: Finde ein u H0(Ω) 1 und ein λ C, so dass gilt: u(x) v(x) dx = λ u(x) v(x) dx v H0(Ω) 1 Ω Ω Hierbei ist H0(Ω) 1 der Raum der schwach differenzierbaren, quadratintegrierbaren Funktionen, deren schwache Ableitung wieder quadratintegrabel ist mit verschwindender Spur, versehen mit dem Skalarprodukt, das ihn zum Hilbertraum macht (v, w) H 1 0 (Ω) = v(x) w(x) dx. Ω In unserer oben verwendeten Schreibweise heißt das: V = W = H0(Ω) 1 und K = L 2 (Ω) sowie a : V W R (v, w) v(x) w(x) dx Ω b : V W R (v, w) v(x) w(x) dx. Die Stetigkeit der Bilinearformen a und b ist klar. Wir zeigen nun dass b stetig bezüglich einer kompakten Norm ist. Nach dem Satz von Rellich [5, Kapitel 5, Abschnitt 7] ist H 1 (Ω) 3 kompakt eingebettet in L 2 (Ω) 4. Damit folgt sofort, wegen der Äquivalenz von H 1 0 (Ω) und H 1 (Ω) auf H 1 0(Ω) und der Tatsache, dass H 1 0(Ω) H 1 (Ω) ist, dass H 1 0(Ω) L 2 (Ω). Nun gilt mit der Hölderungleichung [5, Anhang B, Abschnitt 2] und der Poincaré- Ungleichung [5, Kapitel 5, Abschnitt 8.1]: b(v, w) v L 2 (Ω) w L 2 (Ω) v L 2 (Ω) w H 1 (Ω) C v L 2 (Ω) w H 1 0 (Ω) wobei C die Konstante aus der Poincaré-Ungleichung ist. Es folgt, da mit obiger Argumentation H 1 0(Ω) L 2 (Ω) gilt, dass L 2 (Ω) eine kompakte Norm ist und somit, dass b stetig bezüglich einer kompakten Norm ist. 2 Für eine ausführliche Einführung von schwachen Ableitungen und Sobolevräumen verweise ich auf [5] Kapitel 5. 3 Wir bezeichnen mit L 2 (Ω), den Raum der quadratintegrierbaren Funktionen und mit H s (Ω) (bzw. H0(Ω)) s die Räume der s-mal schwach differenzierbaren, quadratintegrierbaren Funktionen, deren s-te Ableitung wieder quadratintegrabel ist (und deren Spur verschwindet). 4 Für zwei Banachräume X und Y mit X Y sagen wir X ist kompakt eingebettet in Y und schreiben X Y, wenn eine lineare, injektive und kompakte Abbildung j : X Y existiert. Ω 24

26 2.2 Formulierung als Operator Eigenwertproblem 2.2 Formulierung des variationellen Eigenwertproblems als Operator Eigenwertproblem Im folgenden Abschnitt, den Darstellungen von [3] folgend, wollen wir einen kompakten Operator T : V V definieren, dessen Eigenwertproblem äquivalent zu dem Problem (2.1) ist, um dieses mit Hilfe der weitreichenden Spektral und Konvergenz-Theorie über kompakte Operatoren untersuchen zu können. Wir betrachten daher zur stetigen Sesquilinearform a das lineare variationelle Problem: Sei f W ein Element im Dualraum von W. Finde ein v f V, sodass gilt: a(v f, w) = f, w W,W w W. (2.2) Wir geben ein wichtiges Resultat zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu diesem variationellen Problem an: Satz (inf-sup-bedingungen) Sei a : V W C eine stetige Sesquilinearform. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: i) Für alle f W besitzt das lineare variationelle Problem (2.2) genau eine Lösung u f, die folgender Abschätzung genügt: u f 1 γ f W, wobei γ eine von f unabhängige Konstante ist. ii) Die Sesquilinearform a genügt den inf-sup-bedingungen: γ > 0 : inf w W\{0} : sup v V\{0} w W\{0} a(v, w) v V w W γ sup a(v, w) > 0 v V\{0} (2.3a) (2.3b) Beweis. Siehe dazu [11, Kapitel 2, Abschnitt 1.5]. Erfülle nun a die inf-sup-bedingungen, so definieren wir die Abbildung A : V W derart, dass a(v, w) = (Av, w) W für alle v V und w W gilt. Da a die inf-sup-bedingungen erfüllt, ist A wohldefiniert und bijektiv (wie wir gleich 25

27 2.2 Formulierung als Operator Eigenwertproblem zeigen werden). Weiter definieren wir die Abbildungen: sodass gilt: T : V V T : W W a(t f, w) = b(f, w) f V, w W (2.4a) a(v, T g) = b(v, g) v V, g W. (2.4b) Die Abbildungen T, T sind wohldefiniert. In der Tat: Sei f V. Da b stetig ist, folgt b(f, ) W und das lineare variationelle Problem: Finde ein v f V, sodass w W gilt a(v f, w) = b(f, w) besitzt genau eine Lösung (wegen Satz 2.2.1). Es ist nun aber v f genau das Bild von f unter T. Die Wohldefiniertheit von T folgt analog. Lemma Die wie oben definierten Abbildungen T, T sind lineare, kompakte Operatoren auf den Hilberträumen V, W. Weiter ist A ein bijektivier, stetiger und linearer Operator und es gilt: T = A T A 1 Beweis. Die Linearität von T, T folgt leicht aus der Linearität des linearen variationellen Problems und der Definition von T als Lösungsoperator. Die Kompaktheit von T folgt direkt aus der Kompaktheit von b. Sei (v n ) n V eine beschränkte Folge, so existiert nach Voraussetzung eine Teilfolge (v pn ) n sodass v pn eine K Cauchyfolge ist. Weiter gilt mit Satz 2.2.1: T v n V 1 γ b(v n, ) W = 1 γ sup b(v n, w) w W =1 1 γ C v n K 26

28 2.2 Formulierung als Operator Eigenwertproblem Damit folgt für ɛ > 0 bel. und N ɛ sodass v pm v pn K < ɛγ C für alle m, n > N ɛ: T v pm T v pn V C γ v p m v pn K C γ = ɛ Das heißt (T v pn ) n ist eine Cauchyfolge in (V, ) und da der Raum vollständig ist folgt, dass die Folge konvergiert. Das aber heißt T bildet beschränkte Mengen auf relativkompakte Mengen ab und ist damit ein kompakter Operator. Um die Kompaktheit von T zu zeigen genügt es T = A T A 1 und die Stetigkeit sowie Invertierbarkeit von A zu zeigen. Wir zeigen nun, dass A ein linearer, bijektiver und stetiger Operator ist. Die Linearität ist klar, sie folgt sofort aus der Linearität von a im ersten Eingang. Stetigkeit. Sei nun v V und o.b.d.a Av 0 so gilt: ɛγ C Av 2 W = (Av, Av) W = a(v, Av) C v V Av W und das heißt (da Av 0 vorausgesetzt wurde) und damit, dass A stetig ist. Av W C v V Bijektivität. Die Bijektivität folgt aus Satz 2.2.1: Sei w W so existiert nach dem Darstellungssatz von Riesz genau ein w W, sodass gilt: w ( ) = (w, ) W Da a die inf-sup-bedingungen erfüllt, besitzt das lineare variationlle Problem (vgl. (2.2) ): Finde ein v w V, sodass gilt: a(v w, u) = w, u W,W = (w, u) W u W genau eine Lösung. Es ist w aber gerade das Bild von v w unter A. Damit folgen Injektivität und Surjektivität. 27

29 2.2 Formulierung als Operator Eigenwertproblem Da A stetig und bijektiv ist folgt, A ist invertierbar und daher ist A 1 wohldefinierter stetiger Operator und somit auch A, A 1. Es bleibt zu zeigen: T = A T A 1. Hierbei ist A der Hilbertraum Adjungierte von A, d.h. A : W V mit Daher gilt für alle v, u V: (A w, v) V = (w, Av) W. (v, A T A 1 u) V = (Af, T A 1 u) W = a(v, T A 1 u) = b(v, A 1 u) = a(t v, A 1 u) = (AT v, A 1 u) W = (A 1 AT v, u) V = (T v, u) V und daher T = A T A 1. Nun ist T wie wir oben gesehen haben ein kompakter Operator. Damit ist nach dem Satz von Schauder (Satz 1.2.3) auch T ein kompakter Operator. Nun haben wir gesehen, dass T = A 1 T A und A ist ein stetiger, invertierbarer Operator. Das heißt T ist ähnlich zu einem kompakten Operator und daher selbst kompakt. Nun stehen uns die Mittel zur Verfügung um ein dem variationellen Eigenwertproblem (2.1) äquivalentes Operator Eigenwertproblem zu formulieren. Betrachte das Eigenwertproblem: Finde ein v V\{0} und ein µ C, sodass für den wie oben definierten, kompakten Operator T gilt: T v = µv (2.5) dann gilt für µ 0: µ a(v, w) = a(t v, w) = b(v, w) w W bzw. a(v, w) = 1 b(v, w) µ w W d.h. ist µ σ p (T )\{0} ein Eigenwert und v V ein Eigenvektor von T, dann sind v und λ := 1 Lösung von (2.1). µ 28

30 Es ist ebenso leicht einzusehen, dass für λ Eigenwert des variationellen Problems, µ = 1 ein Eigenwert des Operators T zum selben Eigenvektor ist. λ Wie wir bereits gesehen haben (Satz 1.4.7) besitzt ein kompakter Operator entweder endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Eigenwerte, wobei im unendlichen Falle die Eigenwerte eine Nullfolge bilden. Daraus folgt sofort, dass auch das variationelle Eigenwertproblem entweder endlich viele oder abzählbar unendlich viele Eigenwerte besitzt und das im unendlichen Falle die Folge der Eigenwerte unbeschränkt ist. Die Begriffe der verallgemeinerten Eigenvektoren und Eigenräume, sowie der Begriff der algebraischen bzw. geometrischen Vielfachheit eines Eigenwertes und dessen Aufsteigende (vergleiche hierzu Definition und Definition ) lassen sich daher leicht auch auf das Problem (2.1) anwenden, indem wir sie über den Operator T definieren. Wenn wir also fortan von der algebraischen Vielfachheit eines Eigenwertes eines kompakten variationellen Eigenwertproblems sprechen, meinen wir dies im Sinne der algebraischen Vielfachheit von T. 3 Galerkin-Approximation des kompakten Eigenwertproblems In diesem Kapitel wird es, den Ausführungen von [2], [3] und [15] folgend, um die Galerkin-Approximation der Eigenwerte und Eigenvektoren des in Kapitel 2 beschriebenen variationellen und in Abschnitt 2.2 eingeführten äquivalenten Problems gehen. Mithilfe der Galerkin-Approximation des kompakten Lösungsoperators werden wir eine Familie von Operatoren mit endlichdimensionalem Bild definieren, die in Operatornorm gegen den kompakten Lösungsoperator konvergiert. Dies wird uns Motivation sein, um uns im darauf folgenden Abschnitt der Babuška-Osbourn Theorie zu widmen, die uns dann eine umfassende Theorie über die Konvergenz und Konvergenzordung der Eigenwerte bzw. Eigenräume liefern wird. Seien also weiterhin V und W Hilberträume, a und b stetige Sesquilinearformen, die den inf-sup-bedingungen genügen, wobei b zusätzlich noch bezüglich einer kompakten Norm in V stetig sei. 3.1 Galerkin Approximation Um nun eine Galerkindiskretisierung der Eigenwerte und Eigenvektoren von T bzw. (2.1) zu erklären, benötigen wir eine Familie endlichdimensionaler Unterräume V h V und W h W mit einem positiven reellen Parameter h. 29

31 3.1 Galerkin Approximation In dem hier besprochenen Fall werden die Räume V h und W h stets gleiche Dimension besitzen. Wir fordern weiterhin, dass die endlichdimensionalen Räume V h, W h den diskreten Inf-Sup-Bedingungen genügen, d.h. es existiert eine Familie γ h > 0, sodass für alle h gilt: inf sup v V h \{0} w W h \{0} a(v, w) v V w W γ h > 0 (3.1a) sup a(v, w) > 0 w W h \{0}. (3.1b) v V h Desweiteren stellen wir eine Konvergenz-Bedingung an den Unterraum V h, die als punktweise Konvergenz verstanden werden kann: lim h 0 γ 1 h inf u u h V = 0 u U. (3.2) u h V h Diese Bedingung versichert uns, dass die Folge V h den Raum V in einer zufriedenstellenden Weise ausschöpft. Bemerkung Die Forderung (3.1b) folgt, wenn die Dimensionen der Räume V h und W h übereinstimmen aus der Forderung (3.1a). Es ist hierbei wesentlich, dass die Räume V h und W h endliche Dimension besitzen. Nun definieren wir eine Familie von diskreten variationellen Eigenwertproblemen: Finde ein u h V h \{0} und ein λ h C, sodass gilt: a(u h, w h ) = λ h b(u h, w h ) w h W h. (3.3) Seien nun ϕ 1,..., ϕ Nh eine Basis von V h und sei ψ 1,..., ψ Nh eine Basis von W h. Dann gilt für u h := N h i=1 α iϕ i : Das Paar (Eigenpaar) (u h, λ h ) löst (3.3) genau dann wenn Aα = λ h Bα (3.4) gilt, mit α = (α 1,..., α Nh ) T, A = (a ij ) ij mit a ij = a(ϕ j, ψ i ) und B = (b ij ) ij mit b ij = b(ϕ j, ψ i ). Das Problem (3.3) ist also äquivalent zu einem verallgemeinerten Matrixeigenwertproblem. Wir definieren nun die Familie von Operatoren T h : V V h über a(t h v, w) = b(v, w) v V w W h. (3.5) 30

32 3.1 Galerkin Approximation Lemma (Wohldefiniertheit der T h ) Die durch (3.5) definierten Operatoren T h sind wohldefinierte, lineare Operatoren. Beweis. Wie auch im unendlichdimensionalen Fall folgt die Wohldefiniertheit aus den Inf-Sup-Bedingungen, in diesem Fall den diskreten: Sei u V beliebig, so ist das variationelle Problem: Finde ein u h V h mit: a(u h, w h ) = b(u, w h ) w h W h für u h := N h i=1 α iϕ i äquivalent zu dem linearen Gleichungssystem Aα = β u mit A, α wie oben und β u = (β u,i ) i mit β u,i = b(u, ψ i ). Das heißt, nach Ergebnissen der Linearen Algebra, ist T h wohldefiniert, genau dann wenn det A 0 ( Ax = 0 x = 0 ) gilt. Sei nun also x C N h mit Ax = 0. Dann folgt: N h j=1 x j a(ϕ j, ψ i ) = 0 i = 1,..., N h. Da a linear im ersten Argument ist folgt: N h a( x j ϕ j, ψ i ) = 0 i = 1,..., N h. j=1 Das heißt aber für u 0 = N h j=1 x jϕ j V h : a(u 0, w) = 0 w W h und mit (3.1a) folgt u 0 = 0. Da ϕ 1,..., ϕ Nh linear unabhängig sind, folgt x j = 0 für j = 1,..., N h. Das aber heißt nach obiger Argumentation: T h ist wohldefiniert. Die Linearität von T h ist wegen der Linearität von a und b im ersten Argument klar. Wir stellen analog zu den Ausführungen um die Gleichung (2.5) fest, dass das diskrete variationelle Eigenwertproblem (3.3) äquivalent zu dem diskreten Operator-Eigenwertproblem ist: 31

33 3.1 Galerkin Approximation Finde ein µ h C und ein v V h \{0}, sodass gilt: T h v = µ h v. Dann ist wie im kontinuierlichen Falle v ein Eigenvektor zu (3.3) zum Eigenwert λ h := 1 µ h (für µ h 0). Wir definieren nun die zu der Sesquilinearform a gehörige elliptische Projektion P h : V V h sodass P h der Gleichung: a(u, w) = a(p h u, w) w W h (3.6) genügt. Die Wohldefiniertheit von P h liefert das folgende Lemma (Wohldefiniertheit der Projektion P h ) Sei P h definiert wie oben. So ist P h eine wohldefinierte lineare Projektion auf den Raum V h, das heißt P 2 h = P h. Weiter gilt T h = P h T. Beweis. Wohldefiniertheit. Sei A wie oben definiert und sei a u := (a u,i ) i mit a u,i = a(u, ψ i ) so gilt für u h := N h j=1 α jϕ j : a(u h, w) = a(u, w) w W h a(u h, ψ i ) = a(u, ψ i ) i = 1,..., N h N h j=1 α j a(ϕ j, ψ i ) = a u,i i = 1,..., N h Und das gilt genau dann, wenn Aα = a u gilt. Da a, V h und W h die diskreten inf-sup-bedingungen (3.1) erfüllen, gilt nach Argumentation wie in Lemma det(a) 0. Damit existiert eine eindeutige Lösung zum linearen Gleichungssystem Aα = a u und damit ist nach obiger Argumentation P h durch (3.6) wohldefiniert. Die Linearität von P h folgt wieder leicht über die Linearität von a im ersten Argument. Idempotenz. Sei u h V h, so folgt mit a(p h u h, w) = a(u h, w) w W h 32

34 3.2 Konvergenz des diskreten Problems gegen das kontinuierliche Problem und der Linearität von u im ersten Argument: a(p h u h u h, w) = 0 w W h. Mit (3.1a) folgt sofort P h u h u h = 0. Das heißt, für u h V gilt P h u h = u h. Da mit Definition von P h gilt: P h u V h u V folgt Phu 2 = P h P h u }{{} = P h u u V V h und damit die Idempotenz von P h. Zusammenhang zwischen T h und P h. Sei u V beliebig, so gilt: a(p h T u, w) = a(t u, w) = b(u, w) w W h Dies ist gerade die Definition von T h, d.h. P h T = T h. 3.2 Konvergenz des diskreten Problems gegen das kontinuierliche Problem Um die Frage zu beantworten, inwiefern die Lösungen der endlichdimensionalen variationellen Eigenwertprobleme (3.3) gegen die Lösung des unendlichdimensionalen variationellen Eigenwertproblems (2.1) konvergieren, benötigen wir zuerst einmal einen geeigneten Konvergenzbegriff. Dieser muss zu einem beliebigem Eigenwert λ (außer der Null) des unendlichdimensionalen Problems mit algebraischer Vielfachheit m λ garantieren, dass genau m λ Eigenwerte des diskreten Problems (wiederholt nach algebraischer Vielfachheit) λ 1 h,..., λm λ h gegen λ konvergieren. Wie in [3] ausführlich besprochen wird, benötigt ein sinnvoller Konvergenzbegriff jedoch noch mehr als die bloße Existenz von Eigenwerten respektive Eigenfunktionen, die mit den entsprechenden Vielfachheiten gegen die tatsächlichen konvergieren. Es ist weiterhin nötig zu fordern, dass keine unechten Eigenwerte auftreten. Das bedeutet, dass für diskrete Probleme, die das eigentliche Problem genügend gut approximieren gelten soll, dass nur die Eigenwerte sehr nah an dem zu approximierenden Eigenwert sind, die auch gegen ihn konvergieren. Das Problem der unechten oder störenden (engl. spurious) Eigenwerte ist ein Problem, dessen Abwesenheit wir für eine sinnvolle Konvergenz benötigen. Eine Möglichkeit, dem zu begegnen, ist die Anordnung von Eigenwerten (nach einer bestimmten Ordnung). Dann fordern wir das der k-te Eigenwert des diskreten Problems gegen den k-ten 33

35 3.2 Konvergenz des diskreten Problems gegen das kontinuierliche Problem Eigenwert des kontinuierlichen Problems konvergiert. Dieser Konvergenzbegriff schließt das Vorhandensein von zusätzlichen, unechten Eigenwerten aus, da dadurch die Ordnung der Eigenwerte gestört würde. Die Konvergenz der Eigenfunktionen des diskreten Problems gegen die Eigenfunktionen des kontinuierlichen Problems ist in dem Sinne zu verstehen, dass der Abstand (wie in Definition 1.5.6) zwischen dem verallgemeinerten Eigenraum des diskreten Problems und dem verallgemeinerten Eigenraum des kontinuierlichen Problems gegen Null konvergiert. Wir werden uns in dieser Arbeit nicht mit unechten Eigenwerten beschäftigen, sondern uns mit einer lokalen Form der Konvergenz auseinander setzen. Wir formulieren unseren Gedankengang in der folgenden Definition (Konvergenz von Eigenwerten und Eigenfunktion) Wir sagen, dass die Lösungen des diskreten Eigenwertproblems (3.3) gegen die Lösungen des kompakten Eigenwertproblems (2.1) konvergieren, oder kurz T h konvergiert gegen T lokal spektral 5, wenn für λ σ(t )\{0} beliebig mit algebraischer Vielfachheit m λ genau m λ Eigenwerte wiederholt nach algebraischer Vielfachheit λ 1 h,..., λm λ h σ(t h ) existieren, sodass gilt: i) die λ i h konvergieren gegen λ, das heißt λ i h λ h 0 0, ii) für alle ɛ > 0 existiert ein h 0, sodass für 0 < h < h 0, und λ h σ(t h ) mit λ h λ < ɛ folgt λ h = λ i h für ein i {1,..., m λ}, iii) für den verallgemeinerten Eigenraum E λ zum Eigenwert λ und Operator T und die verallgemeinerten Eigenräume Eh λi der Eigenwerte λi h gilt m λ ˆδ(E λ, Eh λi ) h 0 0. i=1 Wir werden nun mit Methoden aus [15] zeigen, dass die Operatoren T h stark gegen den Operator T konvergieren um dann unter Verwendung der 5 Der Begriff spektral bezieht sich auf die Konvergenz des Spektrums, der Begriff lokal schließt hierbei das Auftreten unechter Eigenwerte nicht aus. Im wesentlichen bezieht sich diese Definition auf die von Boffi in [3, Teil 2, Kapitel 7] für selbstadjungierte Eigenwertprobleme formulierte Konvergenzdefinition. 34

36 3.2 Konvergenz des diskreten Problems gegen das kontinuierliche Problem Kompaktheit des Operators T daraus die Konvergenz in Operatornorm zu folgern. Zum Ende dieses Abschnittes werden wir mit störungstheoretischen Mitteln zeigen, dass die Konvergenz in Norm, die Konvergenz nach Definition bereits beinhaltet. Wir beginnen unsere Ausführungen mit folgendem Lemma Sei (H, (, ) H ) ein Hilbertraum und P : H H eine nicht triviale idempotente, lineare Abbildung, d.h. 0 P = P 2 1 Dann gilt: P L(H) = 1 P L(H). Beweis. Siehe hierzu [15] Abschnitt 4. Satz (Starke Konvergenz der Galerkinapproximationen) Seien a, T, T h und P h wie oben, so gelten für u V beliebig: und mit (3.2) folgt dann, u P h u V a γ h T u T h u V a γ h inf u u h V (3.7) u h V h inf u h V h T u u h V und u P h u V T u T h u V h 0 0 u V h 0 0 u V. Beweis. Seien u V und v h V h beliebig. Da ohne Beschränkung der Allgemeinheit P h dem Lemma genügt, folgt: u P h u V = (1 P h )(u v h ) V 1 P h L(V) u v h V = P h L(V ) u v h V. 35

37 3.2 Konvergenz des diskreten Problems gegen das kontinuierliche Problem Weiter folgt aus der diskreten inf-sup-bedingung (3.1a): und somit P h u V γ h a(p h u, w h ) sup w h W h P h u V w h W a(p h u, w h ) a(u, w h ) sup = sup a u V. w h W h γ h w h W w h W h γ h w h W γ h Unter Verwendung der Zwischenergebnisse folgen: u P h u V P h inf u h V h u u h a γ h und mit der Darstellung T h = P h T folgt inf u h V h u u h V T u T h u V = (1 P h )T u P h inf u h V h T u u h a γ h inf T u u h V. u h V h Satz (Normkonvergenz der Galerkinapproximation) Unter den Voraussetzungen des letzten Satzes gilt T T h L(V) h 0 0. Beweis. Wegen Satz gilt: P h konvergiert stark gegen die Identität für h 0. Weiter ist T ein kompakter Operator. Mit Satz und Lemma folgt dann: h 0 T T h L(V) = (1 P h )T L(V) 0. Nun werden wir mithilfe von Satz wie bereits angekündigt, die Konvergenz nach Definition folgern. 36

38 3.2 Konvergenz des diskreten Problems gegen das kontinuierliche Problem Satz (Normkonvergenz liefert lokale Spektralkonvergenz) Das Problem (3.3) konvergiert im Sinne von Definition gegen das Problem (2.1), wenn die Operatoren T h in Norm gegen T konvergieren. Beweis. Sei λ σ(t )\{0} ein Eigenwert von T. Da λ nach Satz kein Häufungspunkt des Spektrums ist, existiert zu ɛ > 0 genügend klein ein Kreisring Γ mit Mittelpunkt λ und Radius ɛ, sodass λ von Γ umschlossen wird, d.h. es ist max z Γ z λ ɛ und alle Punkte des Spektrums außer λ liegen außerhalb von Γ. Dann existiert nach Satz 1.5.1, Satz und Satz ein δ > 0, sodass aus T T h δ folgt, dass Γ in ρ(t h ) liegt und dim(e λ ) = dim(eh λ) sowie E h(λ) E(λ) < ɛ ist für und E h (λ) := 1 2πi Wir wählen nun h 0 > 0 derart, dass Γ E λ h := E h (λ)v. (z T h ) 1 dz T T h δ h (0, h 0 ) gilt. Wegen dim(e λ ) = dim(e λ h ) und Korollar folgt dim(eλ h ) = m λ, wobei m λ die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ zu T ist. Ebenfalls Korollar und Bemerkung sowie die Definition der E λ h liefert uns, dass innerhalb von Γ gezählt nach algebraischer Vielfachheit genau m λ Eigenwerte liegen. Diese Eigenwerte sind (mit beliebiger Nummerierung) die gesuchten λ i h mit i = 1,..., m λ. Es gilt für λ h σ(t h ) mit λ h λ < ɛ, dass λ h von Γ umschlossen wird und daher folgt λ h = λ i h für ein i {1,..., m λ}. Weiter gilt für v E λ mit v V = 1: inf v w V v E h (λ)v V w Eh λ = E(λ)v E h (λ)v E(λ) E h (λ) ɛ. Und daher gilt δ(e λ, E λ h ) ɛ. Weiter folgt für ɛ 1 2 und mit Satz 1.5.7: δ(e λ h, E λ ) δ(eλ, E λ h ) 1 δ(e λ, E λ h ) 2δ(E λ, E λ h) 37