Analysis 2. Mitschrift von

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1 Anlysis 2 Mitschrift von Hinweis: Dies ist kein offizielles Script, sondern nur eine privte Mitschrift. Die Mitschriften sind teweilse unvollständig, flsch oder inktuell, d sie us dem Zeitrum stmmen. Flls jemnd einen Fehler entdeckt, so freue ich mich dennoch über einen kurzen Hinweis per E-Mil vielen Dnk! Kls Ole Kürtz (klsole@kuertz.net)

2 Inhltsverzeichnis 16.9 Huptstz Mehr über (unendliche) (Potenz)Reihen Logrithmusreihe Arcustngensreihe Endliche und unendliche Summen Konvergenzkriterium von Leibnitz für lternierende Reihen Logrithmus 2, Arcustngens Konvergenzrdius einer Potenzreihe Wurzel- und Quotientenkriterium erste Version weitere Vrinten Limes superior und inferior Berechnung des Konvergenzrdius einer Potenzreihe Konvergenzrdius der Ableitung der Potenzreihe Huptstz Die Binomilreihe Huptstz Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe um Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Unter- und Obersummen Unter- und Obersummen unterschiedlicher Intervllzerlegungen Unter- und Oberintegrl Zerlegung in Teilintegrle Differenzierbrkeit der Stmmfunktion Huptstz Beispiel Uneigentliche Integrle Beispiel Ds Integrlkriterium für Reihen Trivile Folgerungen Stetigkeit der Stmmfunktion Der verllgemeinerte Mittelwertstz der Integrlrechnung Die Tylorformel mit Integrl Riemnnsche Summen Stmmfunktion uf (nicht-)kompkten Intervll i

3 19 Bestimmung des unbestimmten Integrls einer Funktion Integrtionsmethoden Prtielle Integrtion Integrtion durch Substitution Prtilbruchzerlegung Ds Lebesguesche Integrbilitätskriterium Gleichmäßige Konvergenz Definition gleichmäßige Konvergenz Stetigkeit der Grenzfunktion Vertuschen von Integrl und Limes Vertuschen von Ableitung und Limes Cuchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz Weierstrss-Kriterium Normierte Räume Definition Die Supremumsnorm R n ls normierter Rum Konvergenz in jeder Komponente Vollständigkeit Bolzno-Weierstrss Stz vom Mximum und Minimum Äquivlenz ller R n -Normen Allgemeine Regel für normierte Räume Vollständigkeit jedes endlichen normierten Rumes Differenzierbre und Integrierbre Funktionen Sklrprodukt Die komplexen Zhlen Definitionen Differenzierbrkeit, Ableitung Konstnte Funktion/Ableitung null Differenzierbrkeitsstz für Funktionen in C Potenzreihen in C Ableitung von Potenzreihen in C Exponentil- und Logrithmusfunktion in C Funktionen mit konstntem Verhältnis Summenregel für Exponentil-Funktion Huptstz Exponentilfunktion in R und C ii

4 Hilfsstz Periodizität der Exponentilfunktion Bild der Exponentilfunktion Logrithmusfunktion Wurzeln im Komplexen Multipliktion und Norm Definitionen Stetigkeit einer lineren Abbildung endlichdimensionle linere Abbildungen Beispiel für nicht-stetige Abbildung Algebr der stetigen Endomorphismen Die Opertornorm Opertornorm des Mtrizenrumes Potenzreihen in einer Bnchlgebr Huptbeispiele Cuchy-Produkt von Reihen bsolute Konvergenz Anwendung Prtielle und totle Differenzierbrkeit Offene Mengen Prtielle Ableitungen Richtungsbleitung Allgemeine Differenzierbrkeit Ableitungsregeln Die Produktregel Die Kettenregel Ableitung in llen Komponenten llgemeine prtielle Differenzierbrkeit Jcobi-Mtrix Prtielle totle Differenzierbrkeit Stz von Schwrz llgemeiner Stz von Schwrz Zusmmenhng Definition Zusmmenhänge in R llgemeiner Zwischenwerstz Vereinigung von Zusmmenhängen Zusmmenhng des Abschlusses iii

5 25.6 Zusmmenhngskomponenten Wegzusmmenhng Streckenzusmmenhng offen, zsh. streckenzsh Konstnte Funktion/Ableitung null Kompktheit Definition kompkt und vollständig weitere Sätze über stetige Funktionen Mittelwertstz, Umkehrstz und der Stz über implizite Funktionen Mittelwertstz Konstnte Funktion/Ableitung null Der Schrnkenstz Ableitung der Umkehrfunktion Hilfsstz Ableitung der Umkehrfunktion Der Bnchsche Fixpunktstz Stetigkeit der inversen Abbildung Ableitung der Umkehrfunktion Huptstz: Der Umkehrstz Korollr zum Umkehrstz Umkehrstz uf C Stz über implizite Funktionen iv

6 16.9 Huptstz Sei D ein kompktes Intervll. Konvergiert die bgeleitete Reihe (P ) n n x n 1 von (P ) n x n n=1 bsolut für jedes x D, so konvergiert uch (P ) für lle x D bsolut. Zudem ist die Funktion differenzierbr mit Beweis: f : D R mit f : x f (x) = n=0 n x n n=0 n n x n 1 n=1 1. bsolute Konvergenz von (P ): für lle n x gilt: n x n n n x n 1. Wende ds Mjorntenkriterium (M) n. 2. Differenzierbrkeit: f n (x) = n x n ; f n (x) f n (y) x y = n x n y n x y = n x n 1+xn 2 y+...+xy n 2 +y n 1 n n u n für u D mit u x x D L n := n n u n L 0 := 0 n 0 L n = n n n U n } {{ } konvergiert, d (P ) bsolut konvergiert 17 Mehr über (unendliche) (Potenz)Reihen 17.1 Logrithmusreihe Für x < 1 ist 1

7 1. log 1 + x = x x2 2 + x3 3 x4 4 ± x 2. log = x + x3 + x5 + x x Zustz: Zu jedem y > 0 existiert genu ein x wie oben mit y = 1+x, nämlich 1 x x = 1 y. 1+y Beweis: 1. Wende Huptstz (16.9) n mit D = ( 1, 1) und (P ) ls x x2 + x3 2 3 x 4 ±..., dnn ist (P ) = 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 ±... 4 Siehe geometrische Reihe: 1+q+q 2 +q konvergiert für q < 1 gegen 1. Dnn ist (P ) die geometrische Reihe für q = x, lso konvergiert 1 q (P ) bsolut. Erhlte differenzierbre Funktion uf D mit f(x) = (P ), dnn ist f (x) = (P ) = 1, die Funktion log 1 + x ht dieselbe Ableitung. 1+x Also existiert eine reelle Zhl k mit log 1 + x = f(x) + k x D. Suche k: Für x = 0 folgt: log 1 = 0 = f(0), lso k = log 1 + x 1 x = log 1 + x log 1 x ) ) = (x x2 2 + x3 3 x4 4 ±... ( x x2 2 x3 3 x ( ) ( ) x 2 = (x + x) 2 x2 x x3 ±... 3 = 2x + 2 x x x ) = 2 (x + x3 3 + x5 5 + x Arcustngensreihe Für x < 1 ist rctg x = x x3 3 + x5 5 x7 7 ±... Beweis: Anlog zu (17.1) mit (P ) ls x x3 + x5 x (wie oben) und (P ) : 1 x 2 + x 4 x 6 ±..., wieder geometrische Reihe mit q = x 2. Erhlte f(x) = x x3 + x5 x mit f (x) = 1 x 2 + x 4 x 6 ±..., welches uch die Ableitung der Arcustngens-Funktion ist. Weiter wie eben. 2

8 17.3 Endliche und unendliche Summen Frge: Inwieweit knn mn mit unendlichen Summen wie mit endlichen umgehen? Illustrtion: (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = 0 konvergiert konvergiert nicht! Die Reihe (B) := b v gehe us der Reihe (A) := v durch sukzessive v=0 Zusmmenfssung einiger Summnden hervor, Beispiel: b 1 = 1 + 2, b 2 = 3, b 3 = , b 4 = usw. (beliebig). Behuptung: 1. Konvergiert (A) gegen R, dnn uch (B) 2. Konvergiert (B) gegen b R, und ist Beweis: () lim n n = 0, (b) b 1 = 1 + 2, b 2 = 3 + 4, b 3 = 5 + 6, stttdessen genügt uch die Vorussetzung, dß die Anzhl der Summnden b n beschränkt ist (folgt durch Induktion nch der mximlen Summndenzhl m), so konvergiert uch (A) gegen b. 1. Die Teilsummenfolge b 1, b 1 +b 2, b 1 +b 2 +b 3,... von (B) ist eine Teilfolge der Teilsummenfolge 1, 1 + 2, ,... Wegen = lim s s folgt: = lim t b b t 1 v=0 2. Sei s 1, s 2, s 3,... die Teilsummenfolge von (A). Es gilt: s 2n = b 1 +b b n und s 2n+1 = b 1 + b b n + 2n+1 Also: lim n 2 2n = b (Vor.) und b = lim n s 2n+1 = lim n s 2n + lim n 2n+1 = b + 0 D beide Teilfolgen von s 1, s 2, s 3,... konvergieren, konvergiert uch die Folge, d.h. b = Gucken Sie d m besten gr nicht hin! 3

9 17.4 Konvergenzkriterium von Leibnitz für lternierende Reihen Vorussetzung: ( n ) n N monoton fllende Nullfolge [lso n 0]. Behuptung: Die Reihe ist konvergent. Zustz: 0 (A) 1. (A) := ±... Beweis: Setze b n = 2n 1 2n (z.b. b 1 = 1 2 ), dnn gilt b n 0. Setze s n := b 1 + b b n = 1 ( 2 3 ) ( 4 5 )... 2n Jede der Klmmern ist 0, lso ist s n 1. Die Folge (s n ) n N ist monton wchsend und beschränkt (durch 1 ), lso existiert b := lim n s n, d.h. b = Σb n. Nch (17.3) ist uch b = ±... Zustzbemerkung: Sei b die Summe der Reihe. Schreibe b = R mit R = ±... Dmit ist R Logrithmus 2, Arcustngens 1 Erweiterung: Die beiden folgenden Gleichungen (us (17.1) und (17.2)) gelten uch für x = log 2 = ± rctg 1 = ±... Beweis: 0. Hilfsstz: Vorussetzung: f, g : M R stetig, M metrischer Rum; X M; f(x) g(x) x X; M Häufungspunkt von X Behuptung: f() g() Beweis: Annhme: f() > g(). Finde Umgebunden um f() und g(), die sich nicht schneiden. Mit der Stetigkeit beider Funktionen folgt der Widerspruch. 1. Für 0 x 1 ist x, x2, x3,... eine monoton fllende Nullfolge. Deshlb 2 3 konvergiert nch (17.4) die Reihe x x2 + x3 x4 ±... Definiere S(x) := S n (x) + R n (x) := x x2 2 ± x2n + x2n+1 } {{ 2n} 2n + 1 ±... } {{ } S n(x) R n(x) 4

10 Es gilt: S(x) lim n S n (x), zudem 0 R n (x) x2n+1. D S(x) = 2n+1 log 1 + x (17.1) gilt: ( ) 0 log 1 + x S n (x) x2n+1 2n + 1 Nch Hilfsstz (mit M = [0, 1] und X = [0, 1) sowie = 1) gilt ( ) uch für x = 1, d.h. 0 log 2 S n 1 1, dmit gilt: 2n+1 2. nlog. lim log 2 S n(1) = 0 log 2 = lim S n (1) n n 17.6 Konvergenzrdius einer Potenzreihe Sei (P ) = i=0 ix i. Dnn gibt es drei Fälle: 1. Die Potenzreihe konvergiert nur für x = 0 (Konvergenzrdius ist null). 2. Die Potenzreihe konverviert bsolut für x R (Konvergenzrdius ist unendlich). 3. r > 0 derrt, dß (P ) konvergiert für jedes x R mit x < r (P ) divergiert für jedes x R mit x > r (Konvergenzrdius ist r). Zum Beweis genügt es, folgendes zu zeigen: Vorussetzung: Sei y R derrt dß i=0 ny n konvergiert. Behuptung: (P ) konvergiert für jedes x < y bsolut. Beweis: Seien x, y wie oben. Setze q = x < 1. Die Folge ( y ny n ) n N ist eine Nullfolge, lso beschränkt. D.h. es existiert s > 0 mit n y n < s n. Erhlte n x n = ny n xn n y n = ny n x y sq n Mit Mjorntenkriterium 2 folgt: i=0 nx n konvergiert bsolut 3. 2 Ich schreib ds hier noch ml hin für die jungen Leute. 3 Im übrigen bin ich der Meinung, dß Computer die Leute eher verdummen. 5

11 17.7 Wurzel- und Quotientenkriterium erste Version Vorussetzung: Sei (R) := v und q R mit 0 < q < 1. Behuptung: v=0 1. Ist n n < q für (fst) lle n, so konvergiert (R) bsolut. 2. Ist < q für (fst) lle n, so konvergiert (R). n+1 n 3. Ist n n 1 für unendlich viele n, so divergiert (R). 4. Ist 1 für fst lle n, so divergiert (R). Beweis: n+1 n 1. Folgt wegen n < q n us dem Mjorntenkriterium (M). 2. Erledigt sich uch mit dem Mjorntenkriterium: n n q n 1 n 1 3. Aus n > 1 für unendlich viel n folgt, dß ( n ) n N keine Nullfolge ist. Also ist (R) divergent. 4. Aus 1 [d.h. n+1 n ] für fst lle n folgt ebenflls, dß n+1 n ( n ) n N keine Nullfolge ist. Bemerkung: Aus n n < 1 oder weitere Vrinten Vorussetzung: Sei weiterhin (R) := v. Behuptung: n+1 n < 1 für lle n folgt nichts! 4! v=0 1. () Ist lim n n < 1, so konvergiert (R) bsolut. (b) Ist lim n n > 1, so divergiert (R) bsolut. 4 Beispiel:

12 2. () Ist lim (b) Ist lim n+1 n n+1 n < 1, so konvergiert (R) bsolut. > 1, so divergiert (R) bsolut. 3. Mit lim sup nstelle von lim bleiben (1) und (2) richtig. ( ( n 4. Die Reihe (R) divergiert uch, wenn n ) oder n+1 )5 n eine unbeschränkte Folge ist. Beweis 6 : 1. Setze L = lim n n. () Wegen L < 1 existiert q R mit L < q < 1, es folgt: n n q für fst lle n. (b) Wegen L > 1 ist n n 1 für fst lle n. Wende (17.7) n. :) 2. nlog 3. setze L = lim sup n n, nlog zu oben 4. erledigt mit (17.8) 17.8 Limes superior und inferior Sei (X) := (x n ) n N eine reelle beschränkte Folge, dnn ht (X) mindestens einen Häufungspunkt. Die Menge H der Häufungspunkte ist bgeschlossen und beschränkt. H ht lso ein Mximum h mx, dnn ist lim sup x n := h mx n H ht zudem ein Minimum h min, dnn ist lim inf n Setze x mx = lim sup x n. Aus x mx > q folgt: x n q für unendlich viele n. Aus x mx < q folgt: x n q für fst lle n. x n := h min Beweis: Wäre x n > q für unendlich viele n, so hätte die Folge (X) eine Teilfolge (X T ) := (x jn ) n N mit x jn > q n. Dnn hätte (X T ) einen Häufungspunkt h H mit h q > x mx. Widerspruch zur Definition von x mx. 5 Der Punkt interessiert mich sowieso nicht. 6 bl bl bl... 7

13 Genu dnn ist h H, wenn eine Teilfolge von (X) existiert mit Limes h. Genu dnn ist (X) konvergent, wenn lim sup x n = lim inf x n Flls x n 0 für lle n ist, gilt: Genu dnn ist (X) eine Nullfolge, wenn lim sup x n = 0. Für eine konvergente Folge (Y ) := (y n ) n N mit 0 y := lim y n ist H y die Menge der Häufungspunkt der Folge (x n y n ) n N, insbesondere gilt dnn (und flls y > 0 und x n 0 n gilt): lim sup x n y n = y lim sup x n Berechnung des Konvergenzrdius einer Potenzreihe (R) := v x v v=0 Der Konvergenzrdius der Reihe (R) ist , flls die Folge n n unbeschränkt ist...., flls lim n n n n = 0 (d.h. lim sup n = 0) n... 1 L, flls L = lim n n n 0 Weitere Fälle gibt es nicht 7. Beweis: Zu 0 x R setze b n := n n x n = n n x Ist (b n ) n N unbeschränkt ( 8, so divergiert (R). Nehme dher (b n ) n N ls beschränkt n, d.j. n ) n ist beschränkt. n N Mit L = lim sup n n ist x L = lim sup b n. Mit L = 0 lim n n = 0 (R) konvergiert bsolut, flls x L < 1 (äquivlent zu x < 1 L L > 0). für (R) divergiert, flls x L > 1 (äquivlent zu x > 1 L ). 7 Literturempfehlung: Forster (Wesentliches in Kürze), Königsberger ( Mein Liebling! ) und Kleine Enzyklopädie der Mthemtik 8 ich wr gerde wieder in einem nderen Märchen... 8

14 17.10 Konvergenzrdius der Ableitung der Potenzreihe Die Potenzreihen (P ) := v x v und (P ) := v=0 hben denselben Konvergenzrdius. 9 v v x v 1 Beweis: Die Reihe (P ) konvergiert für x 0 genu dnn, wenn v v x v konvergiert. Also ht (P ) denselben Konvergenzrdius wie die Reihe ( P ) := v v x v. v=0 Wegen n n n = n n n ( n und lim n n = 1 (nch (9.12.3)) sind die Folgen ( n n nn ) und n ) beide unbeschränkt oder beide beschränkt. n N n N beide unbeschränkt: Alles ht Konvergenzrdius 0 nch (17.9). beide beschränkt: Nch (17.8) gilt: lim sup n n n = ( lim sup n n ) v=0 v=0 ( lim sup n ) n = lim sup n n Also nch (17.9): Konvergenzrdius von (P ) = Konvergenzrdius von ( P ) = Konvergenzrdius von (P ) Huptstz Ist r > 0 ( ist zugelssen) der Konvergenzrdius der Potenzreihe v x v, so wird durch f : ( r, r) R mit f(x) = eine differenzierbre Funktion definiert mit f (x) = v v x v 1 v=0 v x v Beweis: Die bgeleitete Reihe konvergiert bsolut uf ( r, r) nch (17.10). Drus folgt die Behuptung nch (16.9). Beispiel: 9...ein Ergebnis, ds wir gleich usschlchten werden! v=0 v=0 9

15 Reihe: 1 1 x = 1+x+x2 +x 3 +x für x < 1, lso ist Konvergenzrdius 1. Erstes Differenzieren: 1 (1 x) 2 = 1 + 2x + 3x 2 + 4x Zweites Differenzieren: 1 (1 x) 3 = x + 4 3x 2 + 4x Die Binomilreihe (1 + x) p = ( ) p n p n=0 n=0 ( ) p x n p N 0, x < 1 n = p 1 p 1 p ( ) p (1 + x) p = x n x < 1 n p (n 1) n Die Bionilreihe ( p n=0 n) x n ht für p R \ N 0 den Konvergenzrdius 1. Beweis: Setze n := ( ) p n x n. Dnn ist n+1 n = p n x, lso n+1 lim n+1 n = x lim p n n + 1 x 1 = x Nch (17.7.2) konvergiert die Binomilreihe für x < 1, sie divergiert für x > Huptstz Für p R und x < 1 ist (1 + x) p = n=0 ( ) p x n n Beweis: O.B.d.A ist p / N 0. Erhlte us (17.12) und (17.11) die Funktion f : ( 1, 1) R mit f(x) = n=0 ( ) p x n und f (x) = n n n=1 ( ) p x n 1 n 10

16 Wegen ( p n ) = p n ( p 1 n 1) ist ( ) p 1 f (x) = p x n 1 n 1 n=1 ( ) p 1 = p x n n n=0 ( ) p 1 ( ) p 1 (1 + x)f (x) = p x n + p n n 1 n=0 n=1 (( ) ( )) p 1 p 1 = p + x n n n 1 n=0 ( ) p = p x n n n=0 = p f(x) x n = Mit g(x) = (1 + x) p ist uch (1 + x)g (x) = pg(x). ( ) f g f g fg g 2 p = (fg fg) 1 + x p = konstnt 0 = x f(0) = 1 = g(0) Dmit sind beide Funktionen gleich: f = g Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe um 1. Zu einer Potenzreihe (P ) n=0 n(x ) n gibt es drei Fälle: () Konvergenz nur für x = (Konvergenzrdius 0) (b) Absolute Konvergenz für lle x R (Konvergenzrdius ) (c) Es existiert r > 0 mit bsoluter Konvergenz für x < r und Divergenz für x > r (Konvergenzdrius r) 11

17 2. Die Potenzreihen n=0 n(x ) n und n=0 n n(x ) n 1 hben denselben Konvergenzrdius. 3. Sei r > 0 der Konvergenzrdius von (P ). Setze D = ( r, + r) (bzw. D = R flls r = ). Dnn definiere eine (beliebig oft) differenzierbre Funktion f : D R mit f(x) := n (x ) n und f (x) = n=0 n n (x ) n 1 n=0 4. In 3. ist n = f (n) () n! n. 5. m N, x D gilt n m n(x ) n = f (m) (x 0 ) m! (x ) m für ein x 0 echt zwischen und x. Beweis: 1-3 sind im Wesentlichen Umformulierungen von (17.6), (17.10) und (17.11). Nr. 4 folgt us 2 und 3: f() = 0, f () = 1, f () = 2! 2, f () = 3! 3,...; Nr. 5 folgt sofort us dem Stz von Tylor. Bemerkung: Für eine beliebig oft differenzierbre Funktion f und D f heißt die folgende Reihe Tylorreihe von f um : v=0 f (v) () (x ) v v! 18 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Betrchte ein Intervll D = [, b] und eine beschränkte (später stetige) Funktion f : D R. Betrchte weiter endliche Intervllzerlegungen P = {P i i I} (und I endlich), ds soll bedeuten: jedes P i ist ein Intervll, P i = D und P i P j 1 für i j. Die Länge des Intervlls P i sei d i (in der Anschuung: d i = x i x i 1 ), somit gilt: Σd i = b. 12

18 Setze weiter m := inf f(d) und M := sup f(d). Entsprechend m i := inf f(p i ) und M i := sup f(p i ). Setze die Untersumme P := i m i d i und die Obersumme P := i M i d i Es gilt: m m i M i M 18.1 Unter- und Obersummen Für jede untere Schrnke m von f(d) und für jede obere Schrnke M von f(d) gilt: m(b ) P P M(b ) 18.2 Unter- und Obersummen unterschiedlicher Intervllzerlegungen Ist Q = {Q j j J} eine weitere Intervllzerlegung von D, so ist uch die Menge R der Schnitte R ij = P i Q j eine Intervllzerlegung von D. Zudem gilt: Q R R P und P R R Q Beweis: Für festes i I ist {R ij j J} eine Intervllzerlegung von P i. Es folgt d i = j J d ij. Wegen R ij P i ist m i m ij und M ij M i. Erhlte P = i = i i,j m i d i ( m i ) d ij m ij d ij j = R R Alles ndere nlog Unter- und Oberintegrl Jede Untersumme ist eine untere Schrnke der Menge ller Obersummen. Jede Obersumme ist eine obere Schrnke ller Untersummen. Für ds Supremum (Oberintegrl) ller Untersummen P und ds Infimum (Unterintegrl) ller Obersummen P gilt: HONK! 13

19 m(b ) M(b ) Definition: Eine Funktion f heißt integrierbr genu dnn, wenn 10 = ist Zerlegung in Teilintegrle Lemm: Für u b gilt: [ b =] = u + b u Dsselbe gilt für. Folgerung: f ist integrierbr uf [, b] genu dnn, wenn f integrierbr ist uf [, u] und [u, b]. Beweis: Sei D 1 = [, u] und D 2 = [u, b] Ist Z 1 Zerlegung von D 1 und Z 2 Zerlegung von D 2, so ist Z := Z 1 Z 2 eine Zerlegung von D und es gilt: Z = Z 1 + Z 2. Mit Q = {D 1, D 2 } sind diese Z genu die Zerlegung R in (18.2). Es folgt 11 : (18.2) = inf {Z Z} = inf {Z 1 Z 1 } + inf {Z 2 Z 2 } 18.5 Differenzierbrkeit der Stmmfunktion Ist f stetig in u D, ist die folgende Funktion differenzierbr: Dsselbe gilt für. F : D R mit f : x x f und F (u) = f(u) Beweis: Sei ε > 0. Dnn existiert δ > 0 mit f(u + h) f(u) ε (d.h. f(u) ε f(u + h) f(u) + ε) für lle h R mit h < δ und u + h D. Behuptung: f(u) ε für lle h 0 wie oben. F (u+h) F (u) h Beweis: Fllunterscheidung: 10...dmit uch lles schön chotisch wird Es ist immer nur eins von beidem sinnvoll, ds gilt - egl, ws ich sge! 14

20 1. Für h > 0: Nch (18.4) ist F (u + h) = = u+h u + u+h }{{} =F (u) Wende (18.3) nd uf [u, u + h] nstelle von [, b]. Mit f(u) ε nstelle von m und f(u) + ε nstelle von M. Erhlte (f(u) ε) h f(u) ε 1 h ε 1 u+h u u+h u u+h h u F (u+h) F (u) h f(u) f(u) u (f(u) + ε) h f(u) + ε ε ε 2. Für h < 0: Wende (18.4) uf [u + h, u] n, erhlte wie oben (f(u) ε) ( h) u+h (f(u) + ε) ( h) ( ) (18.4) liefert jetzt: F (u) = u = u u+h + u u+h, Rest nlog Huptstz Eine stetige Funktion f : [, b] R (mit < b) ist integrierbr. Die Funktion b F : [, b] R mit x f ist eine Stmmfunktion (d.h. F = f) und für jede Stmmfunktion g von f ist b f = g(b) g() 15

21 Zustz: Sei D ein beliebiges Intervll. D und f : D R stetig. Für x x x D mit x < setze :=. Dnn ist F : x f ist F = f. x Beweis: f ist beschränkt (nch Anlysis1) 12. Nch (18.5) ht f eine Stmmfunktion g. Für F wie in (18.5) gilt: F = g + k mit k := g() konstnt. F (x) = g(x) g() F (b) = g(b) g() b = g(b) g() b = g(b) g() b = b Dmit ist f integrierbr. Beweis Zustz: Drf D = [u, ] nnehmen mit u <. Für jedes x D ist = x +. Also gilt: u u x F (u) = F (x) = x u x F (x) f + F (u) x Wobei f nch Huptstz: differenzierbre Funktion von x mit Ableitung f. u Stndrdbezeichnung: b 12 [verwirrt] Wo ist denn mein Huptstz?! u f(x)dx 16

22 Die Bezeichnung dx ist sinnvoll, siehe folgende Beispiele: b b 2xt dx und 2xt dt Beispiel Beispiel: D = [0, b] mit 0 < b, Sei f : D R definiert durch f(x) = sin 1 x für x 0, definiere einfch so f(0) := 5. Also existiert lim x 0 f(x) nicht! Für 0 < < b ist f uf [, b] integrierbr, d stetig. Außerdem (nch (18.3)) ist ( 1)( 0) ( 0) Also Es folgt: b b (18.4) = 0 0 b + b 0 0 = b b 0 = Also ist f integrierbr. Merke: Beim Integrieren kommt es uf die Endpunkte des Intevlls nicht n. Allgemeiner: Auf endlich viele Punkte kommt es nicht n wegen n 0 = m i i=1 i 1. Insbesondere: Stückweise stetige Funktionen sind integrierbr Uneigentliche Integrle Vorussetzung: Sei D := [, b), f : D R, integrierbr uf [, u] für lle u D. Definition: Flls der Limes existiert definiere: b f := lim u b 17 u f

23 Dbei ist uch b = + zugelssen. Anlog für D = (, b], wobei uch = erlubt ist: b b f := lim f u u Für f : (, b) R wähle ein beliebiges c (, b) und definiere entsprechend b f := c f + b f c Beispiel Ds Integrl existiert für jede Zhl s > 1. Denn: u 1 dx x s = 1 1 s 1 1 } {{ x s 1 } Stmmfunktion 1 x dx = 1 s s 1 u 1 = 1 ( s ) u s Ds Integrlkriterium für Reihen Vorussetzung: Sei R, f : R R 0, zudem f monton fllend und I := f. Behuptung: Die Reihe n=0 f( + n) konvergiert gegen eine Zhl Z zwischen I und f() + I Beispiel: Sei = 1, f(x) := 1, s > 1, I = 1. Dnn ist Z = 1 x s s 1 n=0 und n s 1 Z s 1 s 1 Bemerkung: ζ : s Z ist die Riemnnsche Zetfunktion Beweis: Schreibe wieder sttt f. Setze für m N: m s m := f( + m) und I m := n=0 +m 18

24 Wegen f 0 ist I = sup {I m m N} und es genügt der Nchweis von I m s m 1 und s m f() + I m. Nch (18.3) ist für lle n > 0 (wegen monton +n+1 fllend): f( + n + 1) f( + n). Weiter (nch (18.4)) ist I m = I m = m 1 n=0 m 1 n=0 +n +n+1 +n +n+1 +n s m I m + f() m 1 n=0 m Trivile Folgerungen n=0 f( + n) = s m 1 f( + n + 1) = s m f() Folgerungen us der Definition der Ober- und Unterintegrle; seien f, g : [, b] R beschränkt und k R. 1. f g f g und f g 2. f 0 f 0, fgeq0 3. k 0 kf = k f und kf = k f k 0 kf = k f und kf = k f 4. f + g f + g f + g f + g Somit ist mit f und g uch f + g integrierbr, wobei f + g = f + g; und für jede reelle Zhl k ist uch kf integrierbr mit kf = k f Stetigkeit der Stmmfunktion 1. Die Funktion F in (18.5) sind stetig, sogr gleichmäßig stetig, sogr Lipschitz-stetig, d.h. es existiert L > 0 mit F (x) F (y) L x y x, y D = [, b] 2. Ist f stetig in u D und f(u) > 0 sowie f(x) 0 x D, so ist b Beweis: f > 0. 19

25 1. D = [, b], f : D R beschränkt, F (x) = Sei x y, dnn ist F (x) F (y) (18.4) = m(y x) y x y x x f (bzw. Unterintegrl). f. Zudem ist f M(y x) Es folgt y x f mx{ M, m } (y x) } {{ } L 2. Es existiert ein Intervll P positiver Länge l P mit f(x) q x P für ein q > 0. Sei P eine Zerlegung von D = [, b] mit P P. Dnn ist P l P q > Der verllgemeinerte Mittelwertstz der Integrlrechnung Vorussetzung: Sei f : [, b] R stetig. m = min f(d) und M = mx f(d) (existieren nch (11.6.2)) Behuptung: Gewöhnlicher Mittelwertstz 13 : Es existiert u D mit b = f(u) (b ) Vorussetzung: Sei zuätzlich g : D R integrierbr mit g(x) 0 x D. Behuptung: Verllgemeinerter Mittelwerstz: Es existiert u D b b mit fg = f(u) g (nlog für ein u für ) Beweis: Wegen mg fg Mg ist b mg b fg b Mg 13 Anekdote us seiner Vorlesungezeit... Ds wr ds letzte Ml, dß ich ds Mul ufgemcht hbe! 20

26 Drf lso G := b b m g b fg M b g 0 nnehmen, sogr G > 0. Erhlte m < 1 G b fg M Mit Zwischenwertstz ((11.6.1)) existiert u [, b] mit f(u) = 1 G g fg Bemerkung: Mn knn zeigen: Aus der Integrierbrkeit von f und g folgt: f g ist integrierbr Die Tylorformel mit Integrl Vorussetzung: Sei D Intervll, f : D R sie (n + 1)-ml stetig differenzierbr, sei D, n N 0. Definiere R := R n+1 = R n+1 (x) für x D durch f(x) = ( n i=0 f (i) () i! Behuptung: R = (x ) i ) Beweis: Induktion nch n: x +R = f()+ f () 1! (x t) n n! f (n+1) (t) dt Induktionsnfng: f(x) = f() + stetig) Induktionsnnhme: Sei lso n 1 und R n = (x )+...+ f (n) () (x ) n +R n! x f (t)dt (nch (18.6), denn f ist x (x t) n 1 f (n) (t) dt (n 1)! Induktionsschluß: Für g n (t) := (x t)n n! ist g n = g n 1. Die stetige Funktion g n f (n+1) (uf D) ht eine Stmmfunktion F. Dnn ist ( F gn f (n)) = gn f (n+1) g n f (n+1) + g n 1 f (n) = g n 1 f (n) 21

27 Es folgt mit (18.6): ( F gn f (n)) x = x g n 1 f (n) = R n = F (x) F () + = x = R Riemnnsche Summen Betrchte Funktion f und Zerlegung g n f (n+1) + (x )n n! (x )n n! (x )n n! f (n) () f (n) () f (n) () P i = [ i 1, i ], P = {P 1,..., P n } Zerlegung von [, b]; d i = i i 1. Betrchte Riemnnsche Summen Dnn gilt: S = n f(x i )d i mit x i P i i=1 P S P Definition: Feinheit von P := mx {d i i = 1,..., n} Stz: Genu dnn ist f integrierbr uf [, b] und es existiert dmit wenn ein I existiert, so dß zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert mit S I < ε für lle Riemnnschen Summen S zu llen Zerlegungen P mit Feinheit < δ Stmmfunktion uf (nicht-)kompkten Intervll Vorussetzung: f, g : [, b] R stetig, g = f uf (, b) Behuptung: g = f uch uf [, b] Beweis: Existiert die Stmmfunktion F von f nch (18.6). Dnn ist F (x) = f(x) für lle x [, b]. Dnn existiert c R mit F (x) + c = g(x) für lle 22 b f,

28 x (, b). Ersetze F durch F + c. Dnn ist F (x) = g(x) für lle x (, b). Zudem ist g() = lim x g(x) = lim x F (x) = F (), nlog für F (b) Bestimmung des unbestimmten Integrls einer Funktion Sei f : D R. Gesucht: Funktion g : D R mit g = f. Schreibe f = g oder f(x) dx = g(x) oder f(x) dx = g(x) + c (c konstnt). Nenne g unbestimmtes Integrl von f. Gegenstnd von (18) wr ds bestimmte Integrl. Einfchste Ingegrlrechenregeln: f 1 + f 2 = f 1 + f 2 und kf = k f (k R) 19.1 Integrtionsmethoden Prtielle Integrtion Regel: Aus der Produktregel (fg) = f g + fg folgt: fg = fg f g Beispiele: 1. xe x dx = xe x e x dx = (x 1) e x 2. x 2 e x dx = x 2 e x 2xe x dx = (x 2 2x+2) e x (und nlog für beliebige x n e x dx) 3. x cos x dx = x sin x sin x dx = x sin x + cos x 14 Wrum ist die Funktion stetig? Weil sie differenzierbr ist! Wenn mn keine Antwort weiß, stimmt diese Antwort in 70% der Fälle! 23

29 4. Auf ( 1, 1) (und dmit nch (18.14) uch uf [ 1, 1]) gilt: 1 x2 dx = 2x 1 x 2 x 2 1 x dx x } {{ 2 } f = x 2 1 x 2 x + dx 1 x 2 = ( 1 1 x 2 x + ) 1 x 2 dx 1 x x2 dx = dx 1 x 2 x + 1 x 2 = 1 x 2 x + rcsin x Anwendung von Beispiel 4: Flächeninhlt eines Hlbkreises mit dem Rdius 1 um den Ursprung ist gleich ( x 2 1 x2 + 1 rcsin x) 1 = 1 (rcsin rcsin 1) = π Integrtion durch Substitution Um f(x) dx zu bestimmen, setze für x irgendeine Funktion einer neuen Vriblen t ein, ersetze dx durch dx dt, bestimme ds Integrl f(x(t)) dxdt dt dt und drücke dnn wieder t durch x us. Begründung: Seien D, D Intervlle, f : D R und g : D D bijektiv, differenzierbr und g (t) 0 t D mit Umkehrfunktion u : D D. Sei weiter G Stmmfunktion der Funktion t f(g(t))g (t). Definiere zudem F : D R durch x G(u(x)). Behuptung: F = f Beweis 15 : F (x) = G (u(x)) u (x) = f(g(u(x)) ) g (u(x)) u (x) = f(x) } {{ } } {{ } =x =1 Beispiel: 15 Die Tfel hrmoniert nicht so gnz mit der Kreide! 24

30 1. 1 x 2 dx. Substituiere 16 x = sin t. Also: dx = cos t. dt Erhlte17 : 1 x2 dx = 1 sin 2 t cos t dt = cos 2 t dt (t + 12 ) sin 2t Prtilbruchzerlegung = 1 2 = 1 2 rcsin x + 1 sin 2t 4 = 1 2 rcsin x }{{} sin t cos }{{} t x 1 x 2 Integrtion rtionler Funktionen h (mit h, f Polynomfunktionen) mittels f Prtilbruchzerlegung. Es genügt der Fll 18 grd h < grd f. Dnn existieren Polynome h, r mit h = h f + r und grd r < grd f (Division mit Rest) Vorussetzung: K ist Körper, f K[x] Polynom, normiert; f = f 1 f n und f i = p e i i mit e i N und p 1,..., p n normiert, irreduzibel und prweise verschieden. 0 h K[x]. Behuptung: 1. Es existieren h 1,..., h n K[x] mit grd h i < grd f i und es gilt: h f = h 1 f 1 + h 2 f h n f n 2. Sei nun n = 1. Setze p = p 1, e = e 1. Dnn existieren u 1,..., u e mit grd u i < grd p und es gilt: h f = u 1 p + u 2 p u e 2 p e 3. Zustz: die h i und u i sind eindeutig bestimmt 16...genil, wie ich bin mit Additionstheoremen cos 2t + 1 = 2 cos 2 t und sin 2t = 2 sin t cos t 18 definiere hierfür grd 0 = 1 25

31 Beweis: 1. Definiere Polynome g 1,..., g n durch g j := i j f i = f f j Polynome g 1,..., g n sind teilerfremd 19. Mn knn h i wählen, so dß gilt: Also gilt: h = h 1 g h n g n mit h j K[x] h = h 1 f h n f n Die h i können so gewählt werden, dß grd h i < grd f i ist, denn mit Division von h i in h i = q i f i + r i erhält mn Flls s 0, so ist h = h f = n i=1 q i } {{ } s sf }{{} grd grdf + n i=1 r i f i + f f i r i } {{ } grd<grdf Dmit ist s = 0. Somit sind die h i gefunden wie gewünscht. 2. Es ist f = p e. Schreibe h = qp + r mit grd r < grd p. Dnn ist h = q + r f p e 1 p e. Im Flle q = 0 ist nichts zu zeigen, bei q 0 ist Weiter mit Induktion nch e. 3. Beweis siehe Linere Algebr grd q = grd h grd p < grd f grd p = (e 1) grd p = grd p e 1 Irreduzible Polynome über R hben einen grd 1 oder grd 2 (Beweis später). Dmit wird die integrierbre rtionle Funktion zurückgeführt uf folgende Fälle: 19 Ich bin so klein, die Tfel ist so groß... 26

32 (1) 1 (x+) m dx (2) 1 (x 2 +x+b) m dx (3) x+c (x 2 +x+b) m dx Dbei ist x 2 +x+b irreduzibel über R. Wegen x 2 +x+b = ( x + 2 ) ) 2+ (b 2 4 ist b 2 4 > 0, lso x2 + x + b = ( x + 2) 2 + d 2 mit d > 0. Es genügt lso, sttt (2) und (3) folgende zu betrchten: (2 ) 1 (x ) m dx (3 ) x+c (x ) m dx ) ). ( ( Dbei knn noch = 1 ngenommen werden, d x = 2 x Zudem läßt sich bei (3 ) ds c durch Fll (2 ) erledigen. Dmit ergibt sich: (2 ) 1 (x 2 +1) m dx (3 ) x (x 2 +1) m dx Die Funktion log x ist uf R \ {0} definiert und ht die Ableitung 1. Dmit x gilt für die Fälle (1), (2 ) und (3 ): (1) { dx log x + flls m = 1 = (x+) m (2 ) dx (x 2 +1) m = { 1 1 m 1 1 2(m 1) (x+) m 1 flls m 2 ( rctg x flls m = 1 x + dx (x 2 +1) m 1 (x 2 +1) m 1 ) (3 ) { 2x log(x 2 + 1) flls m = 1 dx = (x 2 +1) m 1 1 flls m 2 m 1 (x 2 +1) m 1 Beispiel: flls m 2 1. Sei f(x) = (x 1) 3 x 2 (x 2 + 1) 2 und h(x) mit grd h < 9. Dnn ist h(x) f(x) = x 1 + b (x 1) + c 2 (x 1) + d 3 e + e x + u 2 x mit, b, c, d, e R und u, v Polynome vom Grd 1. Weiter: u x = mit s, r R und nlog für v. s x tx x v (x 2 + 1) 2

33 2. konkreter: 1 x 3 4x = 1 x(x 2)(x+2) ergibt 1 x(x 2)(x + 2) = x + b x 2 + c x + 2 Multipliziere mit x, setze x = 0, erhlte = 1 4. Multipliziere mit (x 2), setze x = 2, erhlte b = 1 8. Multipliziere mit (x + 2), setze x = 2, erhlte c = 1 8. Entsprechend: ( 1 x 3 4x = 1 4 ) ( x 8 ) ( x 2 8 ) 1 x + 2 x 3. Sei 3 gegeben. Dnn ist in den reellen Zhlen die folgende (x 1) 2 (x 2 +1) Zerlegung möglich: x 3 (x 1) 2 (x 2 + 1) = (x 1) + b (x 1) 2 + cx + d (x In den komplexen Zhlen: mit, b, c, d R x 3 (x 1) 2 (x 2 + 1) = (x 1) + b (x 1) + s 2 x + i + t mit, b R und s, t C x i Multipliziere die Gleichung mit (x 1) 2 und setze x = 1, erhlte b = 1 2 durch weiteres Einsetzen bzw. Multiplizieren erhält mn direkt Werte oder Gleichungssysteme für die Vriblen, b, c, d bzw., b, s, t: x 3 = (x 1)(x 2 + 1) + b(x 2 + 1) + cx(x 1) 2 + d(x 1) 2 Konstnte Glieder der Gleichung: 0 = + b + d Glieder der Potenzen 1, 2... Glieder der Potenz 3: 1 = + c 19.2 Ds Lebesguesche Integrbilitätskriterium Definition: Eine Menge X heißt Nullmenge, wenn zu jedem ε > 0 offene Intervlle X 1, X 2, X 3,... existieren mit X i = ( i, b i ) und i=1 (b i i ) ε (die Menge der rtionlen Zhlen und jede bzählbre Menge reeller Zhlen ist eine Nullmenge!). Stz: Genu dnn ist die beschränkte Funktion f : [, b] R integrierbr, wenn die Menge = {x [, b] f nicht stetig in x} eine Nullmenge ist. Beweis: siehe Zustz-Vorlesung 28

34 20 Gleichmäßige Konvergenz 20.1 Definition gleichmäßige Konvergenz Betrchte 20 Folge f 1, f 2, f 3,... oder eine Reihe f 1 + f 2 + f von Funktionen f n : D R mit Grenzfunktion f, d.h. f(x) = lim n f n (x) x D bzw.f(x) = Beispiel: f n (x) = x n für D = [0, 1] und { 1 flls x = 1 f(x) := 0 flls x < 1 f n (x) x D Dnn ist f = lim n f n. Jedes f n ist stetig, ber: die Grenzfunktion f ist nicht stetig. Definition: Eine Folge (f n ) n N konvergiert gleichmäßig genu dnn, wenn für lle ε > 0 gilt: f(x) f n (x) < ε für fst lle n und lle x D. Definition: Eine Reihe n=1 f n konvergiert gleichmäßig gegen f genu dnn wenn f(x) n i=1 f i(x) < ε für fst lle n und lle x D Stetigkeit der Grenzfunktion Stz: Der gleichmäßige Limes einer Folge oder Reihe stetiger Funktionen ist ebenflls stetig. Beweis: Sei f = lim n f n gleichmäßiger Limes, seien die f n stetig. Sei D und ε > 0. Dnn existiert n N mit D f n stetig ist, existiert δ > 0 mit Für diese x folgt: n=1 f n (x) f(x) < ε x D f n () f n (x) < ε x D mit x < δ f() f(x) = f() f n () + f n () f n (x) + f n (x) f(x) f() f n () + f n () f n (x) + f n (x) f(x) < ε + ε + ε = 3 ε 20 Kommentr zum begrenzten Tfelpltz: In der Beschränktheit zeigt sich erst der Meister! 29

35 20.3 Vertuschen von Integrl und Limes Vorussetzung: Seien f n integrierbr uf D = [, b]. Konvergiere (f n ) n N gleichmäßig gegen f. Behuptung: f ist integrierbr mit b b lim f n = lim f n n n Beweis: Sei ε > 0. Dnn ist f(x) f n (x) < ε für lle x für fst lle n, d.h. f n (x) ε f(x) f n (x) + ε Dmit ist f beschränkt. Mit (18.9)() folgt: (f n ε) f f (f n + ε) Dmit ist und es folgt: und zudem f n ε (b ) f f f f ε(b ) f f n + ε (b ) f = f f n < ε2 (b )für fst llen 20.4 Vertuschen von Ableitung und Limes Vorussetzung: Seien f 1, f 2,... stetig differenzierbr uf [, b], konvergiere (f n) n N gleichmäßig und konvergiere (f n (x 0 )) n N für ein x 0 D Behuptung: (f n ) n N konvergiert gleichmäßig mit ( ) lim f n = lim n n f n Für Reihen nlog: n=1 f n konvergiert gleichmäßig mit ( lim n n i=1 f i ) = lim n 30 n i=1 f i

36 Beweis: Sei g n := f n stetig. Dmit ist g n := lim n g n stetig. Für jedes x D = [, b] gilt: Nch Huptstz (18.6) gilt: x x x 0 g = lim x n x 0 g n x 0 g n = f n (x) f n (x 0 ) Also konvergiert (f n (x)) n N für jedes x D, Erhlte f(x) = lim n f n (x). Mit k n := f n (x 0 ) und k := f(x 0 ) folgt: x x 0 g = f(x) k Nch Huptstz der Integrlrechnung (18.6) gilt: (f k) = g f = g Es bleibt zu zeigen: (f n ) n N konvergiert gleichmäßig. Sei ε > 0. Wir hben x f(x) f n (x) = g g n + k k n x 0 x (g g n ) + k k n } {{ } x } 0 <εffn {{ } <εffn y D x x 0 g g n ε x x 0 ε (b ) Erhlte f(x) f n (x) ε (b ) + ε für fst lle n., dmit ist f der gleichmäßige Limes von (f n ) n N Cuchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz Stz: 31

37 1. Für Folgen: (f n ) n N gleichmäßig konvergent genu dnn, wenn für lle ε > 0 für fst lle p, q und lle x gilt: 2. Für Reihen: f p (x) f q (x) ε f v gleichmäßig konvergent genu dnn, wenn für lle v=0 ε > 0 für fst lle m, p und lle x gilt: m f p+i (x) ε Beweis: Teil 1 genügt. i=1 Für festes x ist (f n (x)) n N Cuchyfolge, konvergiert lso. Setze f(x) := lim n f n (x). Sei ε > 0, es existiert n mit f p (x) f q (x) ε für lle p, q n. Behuptung: f(x) f p (x) 2ε für lle x und p n. Wähle dzu bei festem x die Zhl q n so, dß f(x) f q (x) ε. Es folgt: f(x) f p (x) = f(x) f q (x) + f q (x) f p (x) f(x) f q (x) + f q (x) f p (x) Sei f = lim n (f n ) n N und ε > 0. Für fst lle p, q ist Also: 2ε f(x) f p (x) ε x und f(x) f q (x) ε x f p (x) f q (x) = f(x) f g (x) + f p (x) f(x) = f(x) f g (x) + f p (x) f(x) 2ε 20.6 Weierstrss-Kriterium Eine Funktionenreihe f v konvergiert gleichmäßig, flls L n 0 existieren mit v=0 32

38 n=1 L n konvergent f n (x) L n n, x Dnn heißt f v norml konvergent. v=0 Beweis: Sei ε > 0. Dnn existiert q mit n=q L n ε. Erhlte m m f p+i (x) f p+i (x) i=1 i=1 m L p+i ε für lle p q und lle m. Wende (20.5) n. Beispiel: 1. Eine Potenzreihe v x v mit Konvergenzrdius r ist norml konvergent v=0 uf D = [, ] für lle (0, r) Beweis: es existiert y mit y < r. Setze L n = n x n, dnn ist n x n L n x D. Wegen x < y ist L v = v y v konvergent. 2. Die Reihe v=0 konvergiert nch (18.8). i=1 v=0 v=0 1 v 2 sin(v 2 x) ist norml konvergent mit L n = 1 n 2. n=0 1 n 2 3. Die Tgki-Funktion, seien f n definiert durch folgenden Grphen: Behuptung: f(x) = f n (x) n=1 gleichmäßig konvergent Beweis: Wende ds Weierstrsskriterium n mit L n mit L n = n ( L n ist geometrische Reihe mit q = 1 ), lso: f ist stetig (20.2). 4 Aber: f ist nirgends differenzierbr.! Beweis: Sei x R. Definiere Nullfolge (h n ) n N : Wähle h n = ± n, so dß f n zwischen x und x + h n liner verläuft. Ds gilt dnn uch für lle f k mit k n, und es folgt: f k (x + h n ) f k (x) h n = ±1 33

39 Wäre f in x differenzierbr, so wäre f (x) = lim n f(x + h n ) f(x) h n Es ist ber f(x + h n ) f(x) h n = = f k (x + h n ) f k (x) h n k=1 n f k (x + h n ) f k (x) k=1 } h n {{ } ±1±1...±1 + f k (x + h n ) f k (x) k=n+1 } h n {{ } ( ) =0 Ds ist jedoch ein Widerspruch, der Limes existiert lso nicht, d ±1 ± nicht konvergiert. Beweis der Behuptung ( ): f n ist periodisch mit Periode 4 n, f k ist periodisch mit Periode 4 k = 1 z 4 n für ein z N, lso: f k periodisch mit Periode 4 n. Dmit ist f n+1 periodisch mit Periode h n, dmit uch f k für lle k n + 1, d.h. f(x + h n ) f k (x) = Normierte Räume 21.1 Definition Definition: Ein normierter Rum (über R) ist ein R-Vektorrum V zusmmen mit einer Normfunktion N : V R 0. Normfunktion bedeutet: Für lle v, u V gilt: 1. N(v) = 0 v = 0 2. N(kv) = k N(v) k R 3. N(u + v) N(u) + N(v) Übliche Bezeichnung für N: v oder v Ein normierter Rum V ist uch ein Metrischer Rum: d(u, v) := N(u v) ist eine Metrik uf der Menge V (folgt genu wie für V = R). Definition: Normen N, N uf V heißen äquivelent genu dnn, wenn r, r > 0 existieren mit N(v) r N (v) N (v) rn(v) v V 34

40 Äquivlente Normen führen zu demselben Umgebungsbegriff, lso zu demselben Konvergenzbegriff in V : U ε (v) = {u V N(u v) < ε} {u V N (u v) < r ε} = U r ε(v) Ds gilt uch für Cuchyfolgen und gleichmäßige Stetigkeit Die Supremumsnorm Sei B(D, R) die Menge der beschränkten Funktionen f : D R (lso ein Teilrum von F(D, R)). Die Supremumsnorm uf V = B(D, R) ist definiert ls: f = f D = sup { f(x) x D} Bemerkung: Mn knn R n ls F({1,..., n}, R) uffssen, dnn ist f D = f. Frge: Ws bedeutet lim n f n = f für f, f 1, f 2,... B(D, R)? ε > 0 f.f.. n : f f n ε Nch (20.5) gilt: Eine Folge (f n ) n N konvergiert in B(D, R) genu dnn, wenn für lle ε > 0 f.f.. p, q : f p f q ε Ds bedeutet: (f n ) n N ist eine Cuchyfolge; jede Cuchyfolge in B(D, R) konvergiert und dmit ist B(D, R) vollständig. Definition: Ein Bnchrum ist ein vollständiger, normierter Rum. Stz: In jedem Bnchrum gilt: Wenn eine Reihe bsolut konvergent, ist sie uch konvergent. Für B(D, R) ist ds ds Weierstrss-Kriterium (20.6). Sei D = [, b]. Dnn ist C(D, R) die Menge der stetigen Funktionen f : D R ein Teilrum von B(D, R) (Stz von Minimum und Mximum). Außerdem ist C(D, R) ist ebenflls ein Bnchrum, denn nch (20.2) ist lim n f n stetig für jede in B konvergente Folge (f n ) n N mit f n C. Sei D = [, b]. Dnn ist R := R(D, R) die Menge der integrierbren Funktionen f : D R Lemm: Die Abbildung R R mit f 35 b f

41 ist stetig. Beweis: Sei ε > 0 und f R. Gesucht: Ein δ > 0 mit b b g ε g R mit f g D δ Mit δ := (b )δ = ε ε b gilt: Aus (f g)(x) δ x D folgt: b 21.3 R n ls normierter Rum Definiere Normen für R n : 1-Norm: ( 1,..., n ) 1 = n j=1 j n 2-Norm: ( 1,..., n ) 2 = j=1 j 2 (p-norm: ( 1,..., n ) p = p n j=1 j p ) -Norm: ( 1,..., n ) = mx { i i = 1,..., n} Bemerkung: v R n gilt: (f g) v v 2 v 1 n v Also: Diese drei Normen sind äquivlent 21, ber die 2-Norm ist die Stndrdnorm uf R n, d 2 in R n die Distnz zwischen 0 und ngibt und b 2 die Distnz zwischen und b Konvergenz in jeder Komponente Sei V = R n, sei v := v p für p {1, 2, }. Sei (x i ) i N eine Folge in R n Schreibe x i = (x i1, x i2,..., x in ). Genu dnn konvergiert (x i ) i N gegen = ( 1,..., n ), wenn lim i x ij = j für j = 1,..., n. Beweis: Es genügt, die -Norm zu betrchten. 21 später folgt noch: lle Normen des R n sind äquivlent 36

42 Vorussetzung: lim i x ij = j für lle j = 1,..., n. Sei ε > 0. Für j = 1,..., n und fst lle i ist j x ij < ε Für diese i folgt: x i = mx j x ij < ε Vorussetzung: lim i x i =. Sei ε > 0. Dnn ist x i < ε für fst lle i. Allgemein gilt für lle drei Normen: (r 1,..., r n ) r j für j = 1,..., n. Es folgt: j x ij x i < ε f.f.. i Anlog gilt für einen metrischen Rum M und für Funktionen f : M R n : lim f(x) = ( 1,..., n ) lim f j (x) = j j {1,..., n} x u x u Dbei sind f 1,..., f n die sogennnten Koordintenfunktionen von f, definiert durch f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)). Zudem: Genu dnn ist f stetig, wenn lle Koordintenfunktionen stetig sind. Eine Folge (x n ) n N ist Cuchyfolge genu dnn, wenn (x ni ) n N Cuchyfolge ist für jedes i 1,..., n Vollständigkeit R n ist vollständig Bolzno-Weierstrss In R n gilt der Stz von Bolzno-Weierstrss, d.h. jede beschränkte Folge und jede beschränkte unendliche Teilmenge ht einen Häufungspunkt. Andere Formulierung: Jede beschränkte und bgeschlossene Teilmenge ist folgenkompkt. Beweis: Sei X R n beschränkt, bgeschlossen. Dnn existiert r > 0 mit x r x X. Setze W = {( 1,..., n ) R n i r i} (sozusgen ein n-dimensionler Würfel um den Ursprung). Dnn ist X W. Es genügt zu zeigen: W ist folgenkompkt (denn X bgeschlossen). Sei lso (x n ) n N eine Folge in W. Will (21.3.1) nwenden. Dnn ist (x n1 ) n N eine Folge in [ r, r], ht lso einen Häufungspunkt 1 in [ r, r] (denn R ist folgenkompkt). Dnn ist 1 Limes einer Teilfolge. Ersetze (x n ) n N durch die entsprechende Teilfolge. Dnn ist 1 Limes der 37

43 Folge (x n1 ) n N. Anlog für (x n2 ) n N, ersetze (x n ) n N durch eine Teilfolge, so dß 2 = lim n x n2 [ r, r] existiert. Ersetze nlog für lle Koordintenfolgen die Folge (x n ) n N durch eine entsprechende Teilfolge, bis 1, 2,..., n [ r, r] existieren mit (nch (21.3.1)): ( 1,..., n ) = lim i x i = lim i (x i1,..., x in ) Stz vom Mximum und Minimum Vorussetzung: X R n, beschränkt, bgeschlossen, nicht leer. f : X R stetig. Behuptung: f(x) ht ein Mximum und ein Minimum. Beweis: X ist folgenkompkt nch (21.3.3), lso ist f(x) folgenkompkt (11.7), somit beschränkt und bgeschlossen (gilt llgemein in metrischen Räumen) Äquivlenz ller R n -Normen Stz: Alle Normen eines endlich-dimensionlen R-Rumes sind äquivlent. Beweis: Es genügt, R n zu betrchten. Sei N eine Norm uf R n und die -Norm, es genügt zu zeigen: N ist äquivlent zur -Norm. Setze c = n i=1 N(e i). Für x = (x 1,..., x n ) = n i=1 x ie i folgt: N(x) = n N(x i e i ) i=1 n x i N(e i ) i=1 mx { x i i = 1,..., n} = x i c x R n n N(e i ) c > 0, d n 1, d.h. R n 0. Wende (21.4) n, für lle x, y R n gilt: i=1 N(x) N(y) N(x y) c x y Also: N : R n R ist Lipschitz-stetig 22 mit L = c bezüglich der -Norm. Setze W = {x R n x = 1}, W ist beschränkt und bgeschlossen. Dmit ht N(W ) ein Minumum N(u) =: d (nch (21.3.4)) ds ist ds Tollste, ws es so n Stetigkeit gibt! 38

44 Wir hben d > 0, denn sonst wäre u = 0, lso 0 = u = 1.Für jedes Element 0 x R n gilt: ( ) x N(x) = N x x ( ) x = x N x ( ) x = x N x } {{ } W x d Erhlte: d x N(x) c x x R n Also ist die Normfunktion N äquivlent zur -Norm, dmit sind lle Normen äquivlent Allgemeine Regel für normierte Räume In normierten Räumen gilt: x y x y Besser: x y x y Diese Ungleichung bedeutet: Die Abbildung V R mit x x ist Lipschitzstetig mit L = 1. Beweis: x = y + x y y + x y x y x y y x y x = x y 21.5 Vollständigkeit jedes endlichen normierten Rumes Jeder endlichdimensionler Teilrum eines normierten Rumes ist bgeschlossen. 39

45 21.6 Differenzierbre und Integrierbre Funktionen Sei f : D V (wobei D R und V ein normierter Rum). Jedes x D sei Häufungspunkt von D. Definition: Flls der Limes existiert, ist f 1 (x) = lim (f(x + h) f(x)) h 0 h Sei D = [, b] und I V. Definition 23 : b f = I : ε > 0 δ > 0 mit I f(x i )d i ε i } {{ } Riemnnsche Summe für jede Zerlegung P = {P i i I} von [, b] mit der Feinheit 24 kleinergleich δ und jede Whl von x i P i. Sei V = R n. Anlog (21.3.1) ist f genu dnn differenzierbr bzw. integrierbr, wenn die Koordintenfunktionen f 1,..., f n es sind, und es gilt: f (x) = (f 1(x),..., f n(x)) und b f = b b f 1,..., Die einfchsten Grundregeln bleiben richtig, ebenso der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. Weiter 25 : 21.7 Sklrprodukt Sei V ein R-Vektorrum. f = 0 f konstnt Ein positives definites Sklrprodukt uf V ist eine symmetrische bilinere Abbildung f : V V R mit f(v, v) 0 v V und f(v, v) = 0 v = 0 Bezeichnung: u, v oder u v. 23 vergleiche hier mit (18.13) 24 lso d i = P i δ i 25 Wenn Sie sich nicht erinnern: Der Mittelwertstz besgt, dß irgendso n Punkt existiert, für den irgendws gilt f n

46 Stndrdsklrprodukt uf R n : ( 1,..., n ) (b 1,..., b n ) := n i b i i=1 Für jedes Sklrprodukt gilt die Cuchy-Schwrzsche Ungleichung: (uv) 2 (uu)(vv) bzw. u, v 2 u, u v, v und folgendes ist eine Normfunktion uf V : x = c c wobei dies im Flle des Stndrdsklrprodukts die 2-Norm ist. Dbei: uv u v Noch ein Beispiel 26 : Sei V = C([, b], R) (Menge der stetigen Funktionen von [, b] nch R). Definiere f, g := b fg Dnn ist die Cuchy-Schwrzsche Ungleichung: b fg b b f 2 g 2 Die drus bgeleitete Norm ist die L 2 -Norm 27 : b f = f 2 26 bechte (18.10)(b) 27 In den Übungsufgben km die L 1 -Norm vor! 41

47 22 Die komplexen Zhlen 22.1 Definitionen C = R 2 mit folgender Multipliktion mit Einselement (1, 0): (, b) (, b ) := ( bb, b + b ) identifiziere R mit (, 0), dnn ist (, b) = (, 0) + (b, 0) i = + bi Die komplexen Zhlen bilden einen Körper C, R ist ein Teilkörper. Als R-Rum ht C die Dimension 2. Es gibt ein i C mit i 2 = 1. Die Menge {1, i} ist eine R-Bsis von C. Nottion: z = x + iy mit x = Re(z) = R(z) und x = Im(z) = I(z) mit x, y R Erhlte die komplexe Zhlenebene mit R(z) ls Abzisse und I(z) ls Ordinte. Die zu z konjugiert komplexe Zhl ist definiert ls z = x iy. Die Abbildung z z ist ein Automorphismus von C. Der Betrg z := x + iy = x 2 + y 2 ist nichts nderes ls die 2-Norm des R 2. Zudem gilt: zz = (x + iy)(x iy) = x 2 (iy) 2 = x 2 + y 2 z = zz Es folgt sofort 28 : uv = u v u, v C Die Polrkoordinten r, ϕ einer komplexen Zhl z = + bi mit sin ϕ = b r und cos ϕ = r Zudem: z = r(cos ϕ + i sin ϕ) und r = z = 2 + b 2 C wird ls normierter Rum der Betrgsfunktion ls Norm betrchtet. C ist vollständig, lso uch ein Bnchrum (denn R 2 ist vollständig (21)). 28 Ws sich herusstellt: Die Welt C ist eine viel schönere Welt ls die Welt R! D herrscht viel mehr Hrmonie und Ordnung! 42

48 22.2 Differenzierbrkeit, Ableitung Sei f : D C mit D C und jedes z D Häufungspunkt von D. Definition und Gundregeln genu wie für R: (cf) = cf (f + g) = f + g Produkt-, Quotienten- und Kettenregel nlog (z n ) = nz n 1 n N ist f differenzierbr, so ist f stetig Konstnte Funktion/Ableitung null Vorussetzung: Sei f : D C differenzierbr mit D = C oder D = R. Behuptung: Ist f = 0, so ist f konstnt. Beweis: Zu u, v D definiere g : [0, 1] C durch: g(x) = u + (v u) x Es gilt 29 : g(0) = u, g(1) = v und g (x) = v u. Die Kettenregel liefert: f(g(x)) = f (g(x)) g (x) = 0 } {{ } =0 Die Funktion f g ist von [0, 1] nch C( R 2 ), konstnt nch (21.6). Dnn gilt: f(u) = f(g(0)) = f(g(1)) = f(v) Zustz: Es genügt die folgende Eigenschft von D: Für jedes u, v D existiert eine Folge u 0,..., u n in D mit u 0 = u und u n = v mit der Eigenschft {u i 1 + (u i u i 1 ) x 0 x 1} D i = 1,..., n Anschulich: Jeder Punkt jeder Verbindungsstrecke zwischen zwei Folgegliedern u i 1 und u i muß in D liegen. 29 Die Funktion ist differenzierbr, differenzierbrer geht s kum! 43