LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

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1 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: Deprtment Biologie II Telefon: Großhernerstr. 2 Fx: Plnegg-Mrtinsrie 7. Übung/Lösung Mthemtik für Stuierene er Biologie Abgbe m vor er Vorlesung. Die Aufgben weren in en Tutorien vom 3., 4. un 7. Dezember besprochen. Aktuelle Infos un Übungszettel finen Sie unter: Differentilgleichungen) Gegeben ist ie Differentilgleichung mit k, l R un k, l 0. t x = k cos l x) ) Um ws für eine Differentilgleichung hnelt es sich Ornung, Linerität)? b) Führen Sie eine qulittive Anlyse er Differentilgleichung urch. c) Welches Verfhren knn mn zum Lösen einer solchen Differentilgleichung verwenen? ) Berechnen Sie ie llgemeine Lösung er Differentilgleichung. e) Ist iese Lösung für lle t > 0 efiniert? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. ) Nicht-linere DLG,. Ornung b) fx) = k cos l x) ist nur für cosl x) 0 efiniert. Drus folgt x n + /2)π, n + 3/2)π) für n Z, wobei lim x n+/2)π fx) = ±. Keine sttionäre Lösung vorhnen, fx) 0 für lle x. c) Seprtion er Vribeln ) t t 0 t = k xt) xt 0) cos l x)x t t 0 = k l {sin [l xt )] sin [l xt 0 )]} xt ) = ) l l rcsin t t 0 ) + sin [l xt 0 )] k Wenn mn möchte knn mn noch wie in en Übungen oft gemcht) s Ergebnis mit t := t, t 0 = 0 rstellen. Dies soll ber nicht explizit verlngt sein: xt) = ) l t l rcsin k + sin [l xt 0)]. e) Die Lösung ist nur uf einem Intervl efiniert, soss l t k + sin [l xt 0)] ) im Intervl [, ] liegt, ies em Defintionsbereich es Arkussinus entspricht. 2. Differentilgleichungen) Gegeben ist ie Differentilgleichung t x = x2

2 mit xt 0 ) = x 0 für beliebiges x 0 > 0. ) Um ws für eine Differentilgleichung hnelt es sich Ornung, Linerität)? b) Führen Sie eine qulittive Anlyse er Differentilgleichung urch. c) Welches Verfhren knn mn zum Lösen einer solchen Differentilgleichung verwenen? ) Berechnen Sie ie llgemeine Lösung er Differentilgleichung. e) Ist iese Lösung für lle t > 0 efiniert? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. ) Nicht-linere DLG,. Ornung b) fx) = x 2 un x fx) = 2x sin für lle x stetig, her gibt es eine eineutige Lösung. lim x ± fx) =. Eine sttionäre Lösung xt) = x = 0. Diese ist instbil xfx) > 0 für lle x > 0. c) Seprtion er Vribeln ) t xt) t = x 2 x für x 0 t 0 xt 0) t t 0 = [ xt ) xt 0 ) ] xt ) = [ t 0 t + xt 0 ) ] Wenn mn möchte knn mn noch wie in en Übungen oft gemcht) s Ergebnis mit t := t, t 0 = 0 rstellen. Dies soll ber nicht explizit verlngt sein: xt) = [ t + xt 0 ) ]. e) Für xt 0 ) > 0 ivergiert ie Lösung in enlicher Zeit bei t = xt 0 ) + t 0. Für xt 0 ) < 0 konvergiert ie Lösung gegen Differentilgleichungen, Eineutigkeit er Lösung) Welche er folgenen Differentilgleichungen t x = fx, t) hben in welchem Gebiet D R2, wobei x, t) D, eineutige Lösungen? ) c) t x = t + x b) t x = tx 3 t x = x ) t 2 + x 2 ) t t x = x2 ) D = R 2. fx, t) = t+x un ie prtielle Ableitung xfx, t) = sin in t R stetig un ie Differentilgleichung ht her eine in D = R 2 eineutige Lösung. b) D = {t R; x > 0, x R} oer D = {t R; x < 0, x R}. fx, t) = tx 3 ist überll stetig für negtive x knn mn en reell-negtiven Zweig von x 3 wählen), ber bei x = 0 ist ie Ableitung nch x singulär un her nicht stetig. Ds Gebiet D umfsst lso t R un je nch Anfngsbeingung) entweer nur positive oer nur negtive x. c) D = {t 0, t R; x R}. fx, t) = x t ist nur für t 0 stetig, sselbe gilt für ie Ableitung nch x. Die Differentilgleichung ht nur für t 0 eine eineutige Lösung. ) D = R 2 \ 0. fx, t) = x 2 /t 2 + x 2 ) ist überll, ußer m Ursprung t 2 + x 2 ) = 0 stetig. Dsselbe gilt für x fx, t). D ist her R2 \ 0.

3 4. Differentilgleichungen, Vrition er Konstnten) Gegeben ist ie Differentilgleichung mit > 0 un ω > 0. x = x + sinωt) t ) Geben sie ie sttionäre Lösung er Differentilgleichung n, flls eine existiert. b) Wie heisst s Verfhren, um eine solche Differentilgleichung zu lösen? c) Berechnen Sie ie llgemeine Lösung er homogenen Differentilgleichung. ) Lösen Sie ie inhomogene Differentilgleichung urch Vrition er Konstnten. e) Finen Sie zusätzlich eine spezielle Lösung mit em Anstz xt) = A sinωt + α) un bestimmen Sie A un α. f) Skizzieren Sie α ls Funktion von! g) Diskutieren Sie ie beien Grenzfälle 0 un. ) Eine sttionäre Lösung gibt es nicht, s System von einer zeitbhängigen Funktion getrieben wir. b) Mit Knonen uf Sptzen schiessen Vrition er Konstnten) c) Lösung er homogenen Differentilgleichung urch Seprtion er Vribeln: t xt) t = t 0 xt 0) x x t t 0 ) = ln xt 0 ) ) ln xt ) ) t 0 t ) = ln xt ) xt 0 ) xt ) = xt 0 )e t0 t) un mit t 0 = 0 un t = t: x h t) = c h e t, wobei c h = x 0 für ie homogene Lösung. ) Definiere yt) = xt) x h t) = et c h xt). Dmit erhlten wir et yt) = sinωt). t c h Integrtion urch Substitution Drstellung von sin urch exp mittels komplexen Zhlen) oer prtielle Integrtion ergibt ) yt) = et sinwt) c h 2 + w 2 coswt) w 2 + w 2 + c y mit er Konstnten [ c y. Wir erhlten ) ] e t xt) = yt)x h t) = sinwt) c h 2 + w 2 coswt) w 2 + w 2 + c y c h e t ) xt) = sinwt) 2 + w 2 coswt) w 2 + w 2 + c y c h e t mit c y c h = x 0 + w 2 +w. 2 e) xt) = A sinωt+α) yt) = A et c h sinωt+α). Dieser Anstz beschreibt ie spezielle Lösung für x 0 = w 2 +w 2, c y = 0 gelten muss c h beliebig). Einsetzen in ergibt et yt) = sinωt) t c h A sinωt + α) + Aω cosωt + α) = sinωt) Durch ie trigonometrischen Ientitäten cos+b) = cos) cosb) sin) sinb) un sin+b) = sin) cosb)+ sinb) cos) bekommen wir A cosα) sinωt) + A sinα) cosωt) + Aω cosα) cosωt) Aω sinα) sinωt) = sinωt) A cosα) Aω sinα)) sinωt) A sinα) + Aω cosα)) cosωt) = sinωt)

4 Also muss sinα) + ω cosα) =0 A cosα) Aω sinα) = zweite rune Klmmer) erste rune Klmmer) sein. Setze sinα) = ω/ cosα) in ie zweite Gleichung oben ein bzw. cosα) = /ω sinα) A cosα) + Aω 2 / cosα) = A cosα) = 2 + ω 2 Wegen un A 2 /ω sinα) Aω sinα) = A sinα) = sinrctnβ)) = cosrctnβ)) = β + β 2 + β 2 ω 2 + ω 2 folgt A = 2 + w 2 α =rctn ω/) = rctnω/) Α.4 f) Für ω =, g) Für 0 hben wir xt) = sinωt), t Nch Integrtion bekommen wir xt) = ω cosωt) = ω sinωt + π 2 ). Für wir s ynmische System unenlich träge. Die symptotische Lösung ist xt) = sinωt) un ie Phsenifferenz wir Null Antwort un ie treibene Sinusfunktion sin in Phse). 5. Differentilgleichungen, Beispiel us er Neurobiologie) Der Strom über ie Membrn eines Neurons setzt sich zusmmen us einem kpzitiven Strom C V/t un einem Leckstrom gv. Dbei ist V ie Spnnung über er Membrn, C > 0 ie Kpzität un g > 0 ie Leitfähigkeit er Membrn. Zusätzlich knn über eine Mikroelektroe ein Strom I in ie Zelle injiziert weren. Insgesmt wir mit s Membrnpotentil urch folgene Differentilgleichung beschrieben: C t V = gv + I ) Welche Art von Differentilgleichung liegt hier vor? b) Skizzieren Sie ie Funktion gv + I einml für I = 0 un einml für I > 0.

5 c) Führen Sie eine qulittive Anlyse er Differentilgleichung urch. ) Bestimmen Sie ie sttionäre Lösung er Differentilgleichung. e) Berechnen Sie ie Lösung er zugehörigen homogenen Differentilgleichung. Der Quotient C/g wir uch Membrnzeitkonstnte τ gennnt. f) Berechnen Sie ie Lösung V t) er ursprünglichen Differentilgleichung für V 0) = V 0 un fertigen Sie eine Skizze von V t) n. ) linere inhomogene DLG b) Skizzieren Sie ie Funktion gv + I einml für I = 0 un einml für I > 0. c) Aus fv ) = C gv + I) = 0 folgt ie sttionäre Lösung V t) = V = I/g. D V fv ) V =V = g/c < 0 ist iese stbil. ) V = I/g e) Berechnen Sie ie Lösung er zugehörigen homogenen Differentilgleichung. Der Quotient C/g wir uch Membrnzeitkonstnte τ gennnt. V h t) = V 0 e t t 0 τ f) Berechnen Sie ie Lösung V t) er ursprünglichen Differentilgleichung für V 0) = V 0 un fertigen Sie eine Skizze von V t) n. V t) = V 0 I ) e t t 0 τ + I g g Diese Lösung läßt sich sowohl urch Seprtion er Vriblen ls uch Vrition er Konstnten bestimmen.