Die p-adischen Zahlen

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1 Universität Bielefeld Algebra Die p-adischen Zahlen Seminararbeit von Denny Otten FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Datum: 29. Oktober 2006 Betreuung: Prof. Dr. Dr. K. Tent Dipl.-Math. G. Hainke Dipl.-Math. L. Scheele

2 INHALTSVERZEICHNIS I Inhaltsverzeichnis 3. Die p-adischen Zahlen Konstruktion der p-adischen Zahlen Lokal-Global-Prinzip Henselsches Lemma Beweise Anhang A (Konstruktion der p-adischen Zahlen) Anhang B (Lokal-Global-Prinzip) Anhang C (Henselsches Lemma) Anhang D (Eigenschaften der p-adischen Zahlen) Literaturverzeichnis Namens- und Sachverzeichnis Symbolverzeichnis Personenverzeichnis A E F G H I K L

3 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 1 3 Die p-adischen Zahlen Dieser Vortrag ist eine kurze Einführung in das Themengebiet der p-adischen Zahlen. Da die eigentliche Theorie der p-adischen Zahlen jedoch dermaßen umfangreich ist, werden wir uns nur mit einem kleinen Teil dessen beschäftigen, was die Zahlen so interessant macht. In Kapitel 3.1 gilt unser Hauptaugenmerk der Herleitung der p-adischen Zahlen. Wir werden dabei lediglich die analytische Konstruktion betrachten und im Anschluss dazu den Zusammenhang zur Hensel schen Definition der p-adischen Zahlen verdeutlichen. Auf die algebraische Konstruktion über den projektiven Limes wird jedoch nicht näher eingegangen. Zum Abschluss des Kapitels werden wir noch einige Eigenschaften der p-adischen Zahlen aufzeigen und beweisen. Kapitel 3.2 ist eine erste Anwendung der p-adischen Zahlen. Es enthält ein sehr interessantes Prinzip, das so genannte Lokal-Global-Prinzip (oder auch Lokalisation genannt) von Hasse-Minkowski. Die Aussage ist dabei vereinfacht ausgesprochen, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen Q lösbar ist, wenn sie über den reellen Zahlen R und über allen p-adischen Zahlen Q p gelöst werden kann. In Kapitel 3.3 kommen wir als zweite Anwendung der p-adischen Zahlen auf das Hensel sche Lemma zu sprechen. Dieses Lemma ist von enormer Bedeutung. Denn es garantiert uns für ein Polynom f aus einem Bewertungsring A, dass es genau dann Nullstellen in A besitzt, wenn das modulo p reduzierte Polynom f eine einfache Nullstelle im Restklassenkörper von A besitzt. Der interessante Hintergrund hierbei ist, dass der Restklassenkörper von A wesentlich weniger Elemente besitzt, als A selbst enthält. Kapitel 3.4 enthält schlussendlich alle zugrunde liegenden Beweise. Im Anhang A, Anhang B und Anhang C sind einige Definitionen aufgeführt, die in diesem Vortrag als bekannt vorausgesetzt werden. Dabei handelt es sich zum größten Teil um Definitionen aus den mathematischen Teilgebieten der Analysis (Analysis I, II) und der Algebra (Algebra I). In Anhang D ist zum Abschluss eine zusammengefasst Auflistung aller wichtigen Eigenschaften der p- adischen Zahlen. 3.1 Konstruktion der p-adischen Zahlen Bei der Konstruktion der p-adischen Zahlen gibt es zwei grundlegende Herangehensweisen: Analytische Konstruktion (Bewertungen, Vervollständigung) Albegraische Konstruktion (projektiver Limes) Wir werden uns in diesem Vortrag jedoch lediglich mit der zuerst genannten Konstruktionsmethode auseinandersetzen. Funktionentheoretische Konstruktion über Potenzreihen: Die p-adischen Zahlen wurden erstmals 1897 von Kurt Hensel eingeführt in der Absicht, die machtvolle Methode der Potenzreihenentwicklung, welche in der Funktionentheorie eine sehr zentrale Rolle spielt, auch der Zahlentheorie zur Verfügung zu stellen. In diesem ersten Abschnitt definieren wir die p-adischen Zahlen also mit Hilfe unserer Analysis Kenntnisse über Potenzreihen und Laurentreihen. Dazu sei von nun an p P eine Primzahl, wobei P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,...} (Primzahlenmenge) die Primzahlenmenge darstellt. Bevor wir nun zur Herleitung der p-adischen Zahlen kommen, beginnen wir aus Motivationsgründen mit einem kurzen Beispiel.

4 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 2 Beispiel 3.1.1: Die Zahl 137 lässt sich zur Basis p=3 auch schreiben als 137 = = a i 3 i wobei a 0 = 2,a 1 = 0,a 2 = 0,a 3 = 2,a 4 = 1,a n = 0 ( n 5). Gelegentlich findet man diesbezüglich auch die folgende Schreibweise 137 = (20021) 3 Betrachten wir nun die Folge der Partialsummen ( n 1 ) (s n ) n N = a i 3 i = (2,2,2,56,137,137,...) n N dann sehen wir, dass diese Folge gegen unsere Zahl 137 konvergiert. Allgemeiner gilt: Satz 3.1.2: Sei p P beliebig aber fest. Dann gilt: Jede natürliche Zahl n N lässt sich eindeutig darstellen als n = Beweis: a i p i = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + (wobei a i {0,1,...,p 1}) zum Beweis Definition 3.1.3: Die Darstellung der Zahl n N in Satz heißt p-adische Entwicklung von n. Betrachten wir nun allgemein für n = a i p i (wobei n N) die Folge der Partialsummen ( n 1 ) (s n ) n N = a i p i n N so erkennen wir sofort, dass diese Folge gegen unsere natürliche Zahl n konvergiert. Wollen wir auf diese Weise nun auch negative und gebrochene Zahlen darstellen, so sind wir gezwungen auch unendliche Reihen der Form a i p i (wobei a i {0,1,...,p 1}) i= k zuzulassen, wobei k N 0. Dabei steht die obige Summe stellvertretend für den Grenzwert der Folge der Partialsummen ( n 1 ) (s n ) n N = a i p i (wobei a i {0,1,...,p 1}) i= k n N

5 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 3 Mit diesen zwei Vorüberlegungen erhalten wir: Definition 3.1.4: (p-adische Zahl) Sei p P. Dann: (i) (ii) a i p i (wobei a i {0,1,...,p 1}) heißt ganze p-adische Zahl a i p i (wobei a i {0,1,...,p 1}) heißt p-adische Zahl i= k (iii) Z p := { a i p i a i {0,1,...,p 1}} heißt Menge der ganzen p-adischen Zahlen (iv) Q p := { a i p i a i {0,1,...,p 1}} heißt Menge der p-adischen Zahlen i= k Die ganzen p-adischen Zahlen Z p können wir daher gewissermaßen als Potenzreihen aufgefassen, wobei wir eine Folge (a n ) n N0 {0,1,...,p 1} vorliegen haben und die Funktion f(x) = a i x i im Punkt x = p betrachten. Der Entwicklungspunkt ist hierbei x 0 = 0 gewählt. Für die p-adischen Zahlen Q p haben wir eine Zahlenfolge (a n ) n k {0,1,...,p 1} vorliegen. Setzten wir nun die Folge (a n ) n k zu einer Folge (a n ) n Z fort, indem wir a n := 0 n < k, so können wir die p-adischen Zahlen gleichsam als Laurentreihen f(x) = i= a i x i im Punkt x = p auffassen. Auch hier wurde der Entwicklungspunkt x 0 = 0 gewählt. Es gilt: Satz 3.1.5: (i) Z p in ein Ring mit 1 (ii) Q p in ein Körper Beweis: zum Beweis Wir beenden diesen ersten kurzen Abschnitt mit einem interessanten Satz 3.1.6: Sei a = i= k a ip i Q p, wobei a i {0,1,...,p 1} i k. Dann gilt: a Q (a i ) i k ist periodisch (Vorperiode ist zugelassen) Beweis: zum Beweis

6 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 4 Analytische Konstruktion über Bewertungen (Vervollständigung): In diesem Abschnitt versuchen wir den Körper der p-adischen Zahlen Q p aus dem Körper der rationalen Zahlen zu konstruieren. Die Vorgehensweise ähnelt dabei der Konstruktion der reellen Zahlen R aus den rationalen Zahlen Q, die uns bereits aus der Analysis bekannt ist. Diesen Prozess, den wir also bereits früher schon kennengelernt haben, nennt man Vervollständigung eines Körpers. Um ihn zu beschreiben, benötigen wir einen angeordneten Körper zusammen mit einer Bewertung. Für diese Zwecke befinden sich im Anhang A einige Definitionen (zur Wiederholung), die wir uns ratsamerweise ins Gedächtnis rufen sollten. Gemäß unserer Konstruktionsvorhaben von Q p, dem Körper der p-adischen Zahlen, betrachten wir im Folgenden den Körper der rationalen Zahlen Q. Von diesem wissen wir bereits aus der Analysis, dass er gemeinsam mit der Ordnung einen angeordneten Körper (Q, ) bildet, den wir abkürzend mit Q bezeichnen. Um nun eine Bewertung von Q herzuleiten, benötigen wir zunächst den p-adischen Betrag. Dazu sei p P eine beliebige aber feste Primzahl. Wir betrachten nun: x = a b Q, wobei a,b Z und b 0 Dann lässt sich x auch schreiben als: x = p m a b, wobei m,a,b Z und p a b Man überlege sich an dieser Stelle leicht, dass der Exponent m Z eindeutig bestimmt ist. Wir definieren somit: Definition 3.1.7: (p-adischer Absolutbetrag (1. Version)) Sei p P eine beliebige aber feste Primzahl. Dann:. p : Q R mit x p := 1 p m = p m heißt p-adischer Betrag (oder auch p-adischer Absolutbetrag). Wir setzen: 0 p := 0 Beispiel 3.1.8: Dann ist: x = = = x 2 = = 2 x 3 = = 1 9 x 5 = = 52 = 25 x 7 = = 1 7 x 11 = 1 = x p = 1 p 0 = 1 p P\{2,3,5,7,11}

7 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 5 Es wäre an dieser Stelle anzumerken, dass der soeben definierte p-adische Betrag nicht wie gewohnt die Größe einer Zahl misst. Vielmehr werden große Potenzen von p betragsmäßig klein. Wir entwickeln nun mit Hilfe unserer Vorüberlegungen zunächst eine Bewertung für die ganzen Zahlen Z und versuchen anschließend diese Bewertung auf Q fortzusetzen. Seien dazu p P weiterhin eine beliebige aber feste Primzahl und n Z\{0}. Dann lässt sich n nach dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) in Primfaktoren p,p 1,...,p k mit Vielfachheiten m,a 1,...,a k zerlegen, d.h. n = ±p m p a1 1 pa k k Dieser Exponent m wie ebenso die a 1,...,a k sind also wiederum allesamt eindeutig bestimmt. Wir definieren daher: und setzen: v p : Z Z { } mit v p (n) := m v p (0) := v p (n) := 0, falls p n Um diese Bewertung nun auf Q fortzusetzen, definieren wir für ein x = a b Q mit a,b Z\{0}: v p (x) = v p ( a b ) := v p(a) v p (b) Bei dieser Notation verwenden wir: + := x := x Z x < x Z Zusammengefasst erhalten wir folgende Definition: Definition 3.1.9: (p-adische Bewertung) v p : Q Z { } mit x v p (x) heißt p-adische Bewertung (oder p-bewertung, oder auch p-exponent) Beispiel : Dann ist: x = = v 2 (x) = v 2 (63) v 2 (550) = 0 1 = 1 v 3 (x) = v 3 (63) v 3 (550) = 2 0 = 2 v 5 (x) = v 5 (63) v 5 (550) = 0 2 = 2 v 7 (x) = v 7 (63) v 7 (550) = 1 0 = 1 v 11 (x) = v 11 (63) v 11 (550) = 0 1 = 1 v p (x) = v p (63) v p (550) = 0 0 = 0 p P\{2,3,5,7,11}

8 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 6 Die Funktion v p ist surjektv und erfüllt die folgenden Eigenschaften: Satz : (Bewertungseigenschaften) (i) v p (x) = x = 0 (ii) v p (x y) = v p (x) + v p (y) x,y Q (iii) v p (x + y) min{v p (x),v p (y)} x,y Q Beweis: zum Beweis Mit den drei Eigenschaften aus dem vorangegangenen Satz ist die p-adische Bewertung eine diskrete Bewertung und Q zusammen mit ihr ein diskret bewerteter Körper. Darüberhinaus gilt folgender interessanter Satz: Satz : Die einzigen nicht-trivialen Bewertungen auf Q sind die p-adischen Bewertungen. Beweis: zum Beweis Anhand der neu erlangten Bewertung definieren wir den p-adischen Absolutbetrag ein zweites Mal in eine etwas abgeänderte Form, jedoch mit der selben Wertzuweisung wie zuvor, durch: Definition : (p-adischer Absolutbetrag (2. Version)). p : Q R mit x p := 1 = p vp(x) pvp(x) heißt p-adischer Betrag (oder auch p-adischer Absolutbetrag). Für den p-adischen Betrag gelten folgende Betragseigenschaften bzw. Normeigenschaften, denn jeder Absolutbetrag ist eine spezielle Norm. (Den Begriff der Norm kann man als eine Verallgemeinerung des Absolutbetrages verstehen.) Satz : (Normeigenschaften, Betragseigenschaften) (i) x p = 0 x = 0 (ii) x p y p = x y p x,y Q (iii) x + y p x p + y p x,y Q (Dreiecksungleichung) (iv) x + y p max{ x p, y p } x,y Q (ultrametrische Dreiecksungleichung) Beweis: zum Beweis

9 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 7 Mit der Eigenschaft (iv), der ultrametrischen Dreiecksungleichung aus dem obigen Satz , wird der p-adische Absolutbetrag zu einem ultramerischen (oder auch nichtarchimedischen) Betrag (falls (iv) nicht gilt, so nennt man einen Betrag archimedisch), was eine bedeutsame Eigenschaft ist. Denn die ultrametrische Dreiecksungleichung hat ungewohnte Konsequenzen für die Topologie auf Q p. Dies soll der nun eingeschobene Satz verdeutlichen. Man stelle sich dazu eine p-adische Zahl wie im vorherigen Abschnitt als formale Potenzreihe vor. Satz : n= k Beweis: zum Beweis z n ist p-adisch konvergent (z n ) n I ist eine p-adische Nullfolge Damit konvergieren die formalen Potenzreihen bereits dann, wenn wir eine Nullfolge vorliegen haben. Wir erinnern daran, dass wir in der Analysis für R gezeigt haben, dass die Nullfolge ein notwendiges dennoch kein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Reihe war. Der obige p-adische Betrag. p : Q R bildet zusammen mit den vier Eigenschaften eine ultrametrische Norm auf Q, d.h. (Q,. p ) ist ein metrischer Raum. Wir weisen an dieser Stelle darauf hin, dass sich die Dreiecksungleichung (iii) unmittelbar aus der ultrametrischen Dreicksungleichung (iv) folgern lässt. Aus diesem Grunde bezeichnet man in einem solchen Fall die Eigenschaft (iv) auch als verschärfte Dreiecksungleichung. Ultrametrische Räume haben ebenso unerwartete Eigenschaften: Bemerkung : (i) Jedes Dreieck ist gleichschenklig (d.h. 2 Seiten haben dieselbe Länge) (ii) Jeder Punkt einer Kreisscheibe ist Mittelpunkt dieser Kreisscheibe. Wir kommen nun zu einem interessanten Satz. Hierbei bezeichne. den uns bereits schon bekannten euklidischen Betrag.. Satz : (Geschlossenheitsrelation, Produktformel) x Q\{0} : x p = 1 p P Beweis: zum Beweis Falls wir also alle p-adischen Beträge bis auf einen einzigen kennen, so verrät uns die Gleichung aus Satz , wie der unbekannte p-adische Betrag auszusehen hat. Genauer gibt uns die Gleichung sogar die Funktionswerte des fehlenden p-adischen Betrags an, und zwar für alle Q p. Als nächstes definieren wir uns unter Verwendung des p-adische Betrags eine Metrik auf Q: Definition : (p-adische Metrik) d p : Q Q R mit d p (x,y) := x y p

10 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 8 heißt p-adische Metrik. Damit wird (Q,d p ) zu einem metrischen Raum, wobei die Metrikeigenschaften unmittelbar aus den Normeigenschaften von. p folgen. Wir definieren nun den Körper Q p der p-adischen Zahlen aufs Neue, indem wir genauso vorgehen werden, wie bei der Konstruktion des Körpers der reellen Zahlen. Die Vervollständigung des metrischen Raums (Q,d p ) wird der metrische Raum ( Q p,d p) der p-adischen Zahlen werden. Wir erinneren an dieser Stelle an die Definitionen einer p-adischen Cauchy-Folge, einer p-adischen konvergenten Folge, einer p-adisch beschränkten Folge und einer p-adischen Nullfolge, die im Anhang A beigefügt sind. Ohne Zweifel unterscheiden sich die Definitionen zu den uns geläufigen Definitionen einer Cauchy-Folge (bzw. einer konvergenten Folge) lediglich im gewählten Betrag. p (p P { }). So ist beispielsweise die Folge ( ) 1 n bzgl.. n N eine Nullfolge und bzgl.. p (p P) unbeschränkt und somit insbesondere nicht konvergent. Die Abbildung 1 veranschaulicht dies speziell für p = 3. Abbildung 1: Graphische Darstellung der Folge ( ) 1 n bzgl.. n N (links) und. 3 (rechts) Wie wir bereits in der Analysis bewiesen haben, ist jede konvergente Folge (x n ) n N Q eine Cauchy- Folge. Die Umkehrung gilt bzgl.. p nicht. Daher ist unser Ziel die rationalen Zahlen Q mit der Betragsfunktion. p zu einem derartigen Körper zu erweitern, dass die Umkehrung der Aussage gilt. Wir definieren uns nun eine komponentenweise Addition und Multiplikation für zwei rationale Folgen (x n ) n N,(y n ) n N Q durch: (x n ) n N + (y n ) n N := (x n + y n ) n N (x n ) n N (y n ) n N := (x n y n ) n N Mit den obigen Verknüpfungen erhalten wir: Satz : (i) R := {(x n ) n N Q (x n ) n N ist p-adische Cauchy-Folge} ist ein kommutativer Ring mit 1 (ii) I := {(x n ) n N Q (x n ) n N ist p-adische Nullfolge} ist ein maximales Ideal von R Beweis: zum Beweis Wir definieren nun die p-adischen Zahlen durch den Faktorring R/I, d.h. Q p := R/I = {r + I r R} Da R sogar ein kommutativer Ring mit Einselement (1,1,1,...) und I ein maximales Ideal ist, wissen wir aus der Algebra 1, dass der Faktoring R/I, demnach auch Q p, ein Körper ist. Man bezeichnet Q p, also den

11 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 9 Körper der p-adischen Zahlen, aufgrund der Definition über den Faktorring auch als den Restklassenkörper von R. Der Strich von Q p dient an dieser Stelle lediglich dazu, die zwei verschiedenen Definitionen der p- adischen Zahlen nicht zu verwechseln, da an dieser Stelle noch kein Zusammenhang zwischen Q p und Q p erkennbar ist. Darauf gehen wir jedoch später noch ein. Im folgenden Schritt betten wir Q in Q p ein, indem wir jeder rationalen Zahl x Q die entsprechende konstante Folge (x,x,x,...) Q p zuordnen. Mit anderen Worten verwenden wir zur Inklusion den folgenden injektiven Homomorphismus: i : Q Q p mit x (x,x,x,...) Damit haben wir gezeigt, dass Q ein Teilkörper von Q p ist. Da Q zudem nach Algebra 1 die Charakteristik 0 besitzt, muss auch Q p als Oberkörper von Q die Charakteristik 0 haben, d.h. char ( Q p) = 0. Damit gilt in Q p: n N : n (1) = (1,1,1,...) + + (1,1,1,...) (0,0,0,...) = (0) } {{ } n Faktoren Man beachte an dieser Stelle, dass zwischen den verschiedenen Körpern Q p kein derartiger kanonischer Homomorphismus existiert. Ferner sind die verschiedenen Q p nicht isomorph zueinander. Wir müssen nun den p-adischen Absolutbetrag. p sowie die p-adische Bewertung v p auf Q p fortsetzen und anschließend noch zeigen, dass jede Cauchy-Folge in Q p bezüglich dieser Fortsetzung konvergiert. Im folgenden Verlauf weist der Strich stets auf eine Fortsetzung auf Q p hin. Wir behalten dabei die Bezeichungen bei und definieren: Definition : (p-adischer Absolutbetrag auf Q p) Bemerke:. p : Q p R mit x p := lim n x n p R (i) Die Dastellung eines Elements x Q p ist zur Erinnerung: x = {x n } mod I Q p = R\I (ii) Der Limes existert, da (x n ) n N eine Cauchy-Folge in R ist. Definition : (p-adische Bewertung auf Q p) v p : Q p Z { } mit v p(x) := log p x p Bemerke: ) v p(x) := log p x p = log p lim x n n p = lim ( log p x n n p = lim n v p(x n ) Bemerkung : Sei p P beliebig aber fest. Dann gilt wieder: x p = p v p (x) x Q p

12 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 10 Beweis: zum Beweis Wir weisen an dieser Stelle darauf hin, dass die Fortsetzung der Bewertung sowie des Absolutbetrages die dazugehörigen Rechenregeln erfüllen (siehe: Satz (Bewertungseigenschaften) und Satz (Betragseigenschaften)). Ebenso setzen wir die p-adische Metrik auf Q p fort, durch d p : Q p Q p R mit d p(x,y) := x y p Der Körper Q p ist zusammen mit der durch den fortgesetzten p-adischen Absolutbetrag induzierten p- adischen Metrik d p wieder ein metrischer Raum. Kommen wir nun zum Satz : (i) : Z p ist (als metrischer Raum) vollständig (ii) : Q p ist (als metrischer Raum) vollständig d.h.: Jede Cauchy-Folge in Q p (bzw. in Z p) konvergiert. Beweis: zum Beweis Wir erhalten durch Vervollständigung des metrischen Raums (Q,d p ) den vollständigen metrischen Raum (Q p,d p). Desweiteren haben wir bereits früher gezeigt, dass Q p ein Körper, genauer eine Körpererweiterung von Q ist. Durch die Vervollständigung ist er somit ein vollständiger Oberkörper von Q. Die unendlich vielen Körper Q 2, Q 3, Q 5, Q 7, Q 11, Q 13, Q 17,... und Q = R die alle nach dem gleichen Konstruktionsprinzip gewonnen worden sind, heißen auch lokale Körper. Q wird in diesem Zusammenhang auch als globaler Körper bezeichnet. Da wir Q p gerade so konstruiert haben, dass jede Cauchy-Folge aus Q bezüglich der p-adischen Norm. p in Q p konvergiert, gilt: Q p = Q bezüglich. p D.h. Q p ist der Abschluß von Q bezüglich der obigen Norm und damit liegt Q dicht in Q p ( p P { }). Man nennt Q p daher auch die p-adische Komplettierung von Q. Kommen wir noch einmal kurz auf die ganzen p-adischen Zahlen Z p zurück. Sie werden in diesem Zusammenhang folgendermaßen definiert: Definition : Z p := {x Q p v p(x) 0} = {x Q p x p 1} Auf Z p ist eine Reihe von Sätzen der Ringtheorie aus der Algebra anwendbar, was der folgende Satz erlaubt. Im Beweis werden wir sehen, dass die ultrametrische Eigenschaft von enormer Bedeutung für den Satz ist.

13 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 11 Satz : (i) Z p Q p ist ein Unterring von Q p (ii) Z p := {x Q p v p(x) = 0} = {x Q p x p = 1} enthält alle Einheiten von Z p (iii) Z p ist nullteilerfrei (also ein Integritätsring) (iv) Z p ist ein lokaler Ring (v) Z p ist ein Hauptidealring Beweis: zum Beweis Dieser Unterring Z p von Q p hat einen speziellen Namen, man nennt ihn Bewertungsring von v p. Da es sich bei v p um eine diskrete Bewertung handelt, heißt Z p auch diskreter Bewertungsring von v p. Desweiteren heißt Z p Menge der p-adischen Einheiten. Ebenso, wie wir in der Analysis für die reellen Zahlen R die Überabzählbarkeit mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahren gezeigt haben, gilt auch hier Satz : Q p ist überabzählbar Beweis: zum Beweis Zusammenhang der Konstuktionsmethoden: Nachdem wir nun zwei Darstellungsmethoden der p-adischen Zahlen kennengelernt haben, stellen wir uns mit Recht die Frage In wiefern hängen die konstruierten Körper Q p und Q p (bzw. die Ringe Z p und Z p) zusammen? Und falls ein Zusammenhang zwischen ihnen bestehen sollte Welche Eigenschaften übertragen sich von dem einen auf den anderen Körper (bzw. Ring)? Die Antworten dieser interessanten Fragen wollen wir im Folgenden klären. In der Tat ist es aufgrund der Herleitungen keineswegs offensichtlich, dass es sich bei Q p und Q p sowie bei Z p und Z p um dieselben Körper (bzw. Ringe) handelt. Der erste Schritt zur Aufklärung der ersten Frage ist der Satz : Seien a i {0,1,...,p 1}, p P eine beliebige aber feste Primzahl und k Z. Dann: ( ) ( n (i) f : Z p Z p mit a i p i a i p )n N0 i ist Ringisomorphismus (ii) g : Q p Q p mit ( ) ( n ) a i p i a i p i i= k i= k n k ist Körperisomorphismus

14 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 12 Beweis: zum Beweis Man bemerke an dieser Stelle Bemerkung : (i) x Z p 1 (x n ) n N0 {0,1,...,p 1} : x = (ii) x Q p 1 (x n ) n Z {0,1,...,p 1} : x = Beweis: zum Beweis x i p i x i p i Dem Satz nach zufolge stimmen die Körper (bzw. Ringe) tatsächlich (bis auf Isomorphie) überein. Desweiteren gilt nun zusätzlich eine wichtige Eigenschaft (ohne Beweis), die es uns erlaubt, die Körper- und Ringeigenschaften auf den jeweiligen anderen Körper (bzw. Ring) zu übertragen. Es gelten nämlich: i= k (i) a p = f(a) p (ii) a p = g(a) p a Z p a Q p Damit erhalten wir abschließend zur Konstruktion der p-adischen Zahlen Corollar : (1) Q p ist überabzählbar (2) Q Q p p P (3) Z p ist (als metrischer Raum) vollständig (4) Q p ist (als metrischer Raum) vollständig (5) Z p ist ein lokaler Ring, sogar ein diskreter Bewertungsring (6) Z p ist ein Hauptidealring (7) Z p ist nullteilerfrei, also ein Integritätsring (8) Q p hat Charakteristik 0, also char (Q p ) = 0 Beweis: zum Beweis

15 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld Lokal-Global-Prinzip Kommen wir nun zu einer ersten Anwendung der p-adischen Zahlen im Bereich der Arithmetik. Wir betrachten dazu im Folgenden Diophantische Gleichungen. Eine Diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form F(x 1,...,x n ) = 0 wobei F ein Polynom in mehreren Veränderlichen x 1,...,x n mit ganzzahligen Koeffizienen darstellt. Man stellt sich hierbei stets die Frage nach der Lösbarkeit von F(x 1,...,x n ) = 0 in ganzen Zahlen. Dieses schwierige Problem können wir dadurch abschwächen, dass wir anstelle der Gleichung die sämtlichen Kongruenzen F(x 1,...,x n ) 0 mod m m N betrachten. Dabei hoffen wir, auf diesem Wege später Rückschlüsse auf die Lösbarkeit über Z zu erlangen. Diese Kongruenzgleichung ist nach dem chinesischen Restsatz (Algebra 1) gleichbedeutend zu der folgenden Formulierung: F(x 1,...,x n ) 0 mod p v p P v 1 Die Vielzahl dieser Kongruenzen wird nun durch die ganzen p-adischen Zahlen wieder zu einer Gleichung zusammengefasst. Denn es gilt: Satz 3.2.1: Seien p P beliebig aber fest und F(x 1,...,x n ) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Dann gilt: F(x 1,...,x n ) 0 mod p v lösbar v 1 F(x 1,...,x n ) = 0 lösbar in Z p Beweis: zum Beweis Beispiel 3.2.2: p=7. Wir betrachten die Funktion F(x) = x 2 2 und suchen ein x Z 7, derart dass F(x) = x 2 2! = 0 erfüllt ist. Dazu untersuchen wir die Lösbarkeit von v = 1: v = 2: x mod 7 v v 1 x 2 2 mod 7 v v 1 x 2 2 mod 7 7 (x 2 2) = Lösung x 0 = ±3 x 2 2 mod 7 2 = x 2 2 mod 7 Wir definieren nun x 1 := 3 + t 1 7 = Lösung besitzt die Form ± 3 + t 1 7, wobei t 1 {0,1,...,6}

16 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 14 und setzen x 1 in die Kongruenzgleichung ein, also: x mod 7 2 (3 + t 1 7) 2 2 mod t t mod t t mod t 1 0 mod 7 2 7(1 + 6 t 1 ) 0 mod t 1 0 mod 7 t 1 1 mod 7 6 t 1 1 mod 7! = 6 mod 7 Wir erhalten somit t 1 = 1 als Lösung und insgesamt damit v = 3: x 1 = x 2 2 mod 7 3 = x 2 2 mod 7 2 Wir definieren nun x 2 := t und setzen x 2 in die Kongruenzgleichung ein, also: = Lösung besitzt die Form ± t 2 7 2, wobei t 2 {0,1,...,6} x mod 7 3 ( t2 7 2) 2 2 mod t 2 + t mod t 2 + t mod t 2 0 mod ( t 2 ) 0 mod t 2 0 mod t 2 2 mod 7 10 t 2 1 mod 7! = 6 mod 7 3 t 2 6 mod 7 t 2 2 mod 7 Wir erhalten somit t 2 = 2 als Lösung und insgesamt damit x 2 = v = 4: Mit dem Ansatz x 3 := t 3 7 3, t 3 {0,1,...,6} erhält man als Lösung t 3 = 6 und insgesamt damit x 3 =

17 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 15 v = 5: Mit dem Ansatz x 4 := t 4 7 4, t 4 {0,1,...,6} erhält man als Lösung t 4 = 1 und insgesamt damit x 3 = v = n: Man sieht leicht, dass sich dieser Prozess bis ins Unendliche fortsetzen lässt, so dass wir bei genauerem Hinsehen eine Rekursionsformel erhalten. Dabei setzen wir stets x n 1 = x n 2 + t n 1 7 n 1 und lösen die Kongruenzgleichung x 2 n 1 2 mod 7 n Auf diesem Wege erhalten wir eine 7-adische Lösung x = Z 7 die die Gleichung x 2 2 = 0 in Z 7 löst. Dabei wird die Lösung mit 2 := x Z 7 bezeichnet. Man beachte jedoch, dass sie nichts im Geringsten mit 2 R zu tun und ist daher strikt von ihr zu trennen. Für den Fall, dass es sich bei dem Polynom F(x 1,...,x n ) um ein homogenes Polynom vom Grad d 1 handelt, dürfte klar sein, dass die Gleichung F(x 1,...,x n ) = 0 immer die triviale Lösung (0,...,0) besitzt. Hier stellt man sich die Frage nach einer nicht-trivialen Lösung für das Problem. Corollar 3.2.3: Seien p P beliebig aber fest und F(x 1,...,x n ) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Dann gilt: F(x 1,...,x n ) 0 Beweis: zum Beweis Die Frage zu Begin des Abschnitts war F(x 1,...,x n ) = 0 lösbar in Z p mod p v nicht-trivial lösbar v 1 F(x 1,...,x n ) = 0 nicht-trivial lösbar in Z p p P? = F(x 1,...,x n ) = 0 lösbar in Z und die dazugehörige Antwort lautet: Dies trifft nur sehr selten zu. Diese Schlussfolgerung hängt auch immer sehr stark von der Form des Polynoms ab. Speziell für quadratische Formen hat man jedoch das sogenannte Lokal-Global-Prizip (oder Lokalisation) von Hasse-Minkowsik, mit dem wir diesen Abschnitt nun beenden wollen. Satz 3.2.4: (Lokal-Global-Prinzip, Hasse-Minkowski) Sei F(x 1,...,x n ) eine quadratische Form mit rationalen Koeffizienten. Dann gilt: nicht-trivial lösbar in R F(x 1,...,x n ) = 0 nicht-trivial lösbar in Q F(x 1,...,x n ) = 0 und nicht-trivial lösbar in Q p p P Beweis: zum Beweis

18 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld Henselsches Lemma Abschließend mit dem Kapitel der p-adischen Zahlen behandeln wir nun das Henselsche Lemma, das, wie wir noch sehen werden, eine enorme Aussagekraft besitzt und unerwartete Konsequezen mit sich bringt. Wir beschäftigen uns nun mit Gleichungen der Form f(x) = a n X n + a n 1 X n a 0 = 0, wobei f(x) Z p [X] in einer Variablen. Wie wir bereits im zweiten Abschnitt (3.2 Lokal-Global-Prinzip) festgestellt haben, ist diese Gleichung genau dann in Z p lösbar, wenn ihre sämtlichen Kongruenzen lösbar sind. Wir erinnern an dieser Stelle daher nochmals an den Satz 3.2.1, dessen Aussage folgende war: F(x 1,...,x n ) 0 mod p v lösbar v 1 F(x 1,...,x n ) = 0 lösbar in Z p Wir werden nun eine neue Feststellung machen: Beschränkt man sich ausschließlich auf einfache Nullstellen, so genügt es lediglich die Lösbarkeit der Kongruenz f(x) 0 mod p zu prüfen. Dazu das Lemma 3.3.1: (Henselsches Lemma) Sei f Z p [X] ein Polynom und f F p [X], wobei F p = Z/pZ = Z p /pz p der Restklassenkörper von Z p ist. Falls ḡ, h F p [X] mit ḡ, h teilerfremd : f = ḡ h Dann gilt: g,h Z p [X] : Beweis: zum Beweis (i) (ii) (iii) f = g h ḡ ist die Reduktion von g h ist die Reduktion von h Da die Bedeutung dieses Lemmas so gewaltig ist, wiederholen wir kurz nocheinmal dessen Aussage. Sei f Z p [X] und f das Polynom, welches sich ergibt, wenn man die Koeffizienten mod p reduziert. Dann ist jede einfache Nullstelle von f in F p = Z/pZ = {0,1,...,p 1} = Z p /pz p eine Nullstelle von f in Z p. Diese Feststellung ist äußerst erstaunlich, da der Restklassenkörper F p viel weniger Elemente (genauer nur p-elemente) besitzt als Z p selbst. Man spricht daher auch vom Hochheben bzw. vom Liften einer Nullstelle von F p in Z p. Wir weisen an dieser Stelle daraufhin, dass es eine Vielzahl von unterschiedlichen Formulierungen des Henselschen Lemmas gibt. Auch das von uns aufgezeigte Lemma ist ein Spezialfall, denn das Henselschen Lemmas gilt viel allgemeiner, wie es die folgende Bemerkung zeigt: Bemerkung 3.3.2: Seien K ein vollständig bewerteter Körper, A der Bewertungsring von K und k der Restklassenkörper von A. Weiter sei f A[X] und f k[x]. Falls ḡ, h k[x] mit ḡ, h teilerfremd : f = ḡ h

19 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 17 Dann gilt: g,h A[X] : Beweis: zum Beweis (i) (ii) (iii) f = g h ḡ ist die Reduktion von g h ist die Reduktion von h Kommen wir nun zu zwei Beispielen in Bezug auf das Henselsche Lemma: Beispiel 3.3.3: ((p-1)-ten Einheitswurzeln) p P, K = Q p, A = Z p, k = F p = Z/pZ = {0,1,...,p 1}. Wir betrachten die Funktion Es gilt: f(x) = X p 1 1 Z p [X] f(x) = X p 1 1 = (X 1) (X 2) (X (p 1)) F p [X] Weiter sind (X i),(x j) paarweise teilerfremd (wobei i,j {0,1,...,p 1} und i j). Demnach sind die Voraussetzungen des Hensel schen Lemmas erfüllt. Das Lemma besagt nun: { (i) f = g 1 g p 1 g 1,...,g p 1 Z p [X] : (ii) g i (X) (X i) mod p i = 1,...,p 1 Damit müssen die Polynome g i die Form g i (X) = a i X + b i besitzen, wobei a i 1 = {...,1+( 2) p,1+( 1) p,1,1+1 p,1+2 p,...} = 1+p Z. Sei also o.b.d.a. a i = 1. Dann haben die Polynome die Form g i (X) = X + b i Also gibt es ζ 1,...,ζ p 1 Z p, so dass f(x) = X p 1 1 = (X ζ 1 ) (X ζ 2 ) (X ζ p 1 ) Z p [X] ζ k = e i 2kπ p 1 (k = 1,...,p 1) sind gerade die (p 1)-ten Einheitswurzeln. Man kann somit, wie wir gerade gezeigt haben, das Hensel sche Lemma dazu verwenden, die Existenz der (p 1)-ten Einheitswurzeln in Z p zu beweisen. Beispiel 3.3.4: p P, K = Q p, A = Z p, k = F p = Z/pZ = {0,1,...,p 1}. Wir betrachten die Funktion Es gilt: f(x) = X p 1 Z p [X] f(x) = X p 1 = (X 1) (X 1) (X 1) F p [X] } {{ } p mal Da wir bei der Zerlegung jedoch keine teilerfremden Polynome erhalten, ist das Hensel sche Lemma nicht anwendbar.

20 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 18 Wir haben nun also das überraschende Resultat erhalten, dass die (p-1)-ten Einheitswurzeln in Z p und damit auch in Q p liegen. Dies sollte uns an die komplexen Zahlen erinnern, denn auch sie enthielten die (p-1)-ten Einheitswurzeln, denen wiederum eine imaginäre Komponente angehörte, wie man es im ersten Beispiel deutlich erkennt. In diesem Zusammenhang stellt man sich die Frage: Sind die p-adischen Zahlen Q p eine Teilmenge der komplexen Zahlen C, also Q p C? Und wenn dies zutrifft, dann frage man sich: Ist Q p oder vielmehr Z p überhaupt angeordnet? Die Anwort auf die erste Frage ist ja. In der Tat liegen die p-adischen Zahlen Q p in dem komplexen Zahlenkörper C, was jedoch nicht ohne Weiteres trivial ist, denn die Inklusionsabbildung ist keineswegs kanonisch. Auf den Beweis hierfür werden wir jedoch an dieser Stelle verzichten. Viel interessanter ist die Beantwortung der zweiten Frage. Sie führt uns abschließend zur letzten Folgerung dieses Kapitels, die sich erstaunlicherweise mit dem Henselschen Lemma beweisen lässt. Corollar 3.3.5: p P : Q p und Z p sind nicht angeordnet. Beweis: zum Beweis

21 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld Beweise Beweise zu: 3.1 Konstruktion der p-adischen Zahlen: Beweis: (Satz 3.1.2) zurück zum Satz Existenz: Die Existenz einer solchen Potenzreihe lässt sich mit Hilfe einer fortgesetzten Division durch p zeigen. Wir betrachten dazu das folgende System von Gleichungen n = a 0 + p n 1 n 1 = a 1 + p n n k 1 = a k 1 + p n k n k = a k wobei a i {0,1,...,p 1} = Z/pZ = F p und n i N 0. Damit erhalten wir n = k a i p i Setzen wir nun a i = 0 i > k, so erhalten wir n = a i p i und somit die Existenz einer solchen Darstellung von n durch eine Potenzreihe im Punkt p mit Entwicklungspunkt x 0 = 0. (Bemerke: Für konkrete natürliche Zahlen n N erhält man eine derartige Darstellung, indem man die Gleichungen des obigen Systems der Reihe nach von oben beginnend nach untenhin löst.) Eindeutigkeit: Die Eindeutigkeit ist nach dem Konstruktionsprinzip klar. zurück zum Satz Beweis: (Satz 3.1.5) zurück zum Satz zu (i): Wir haben in diesem Teil die Ringeigenschaften aus Definition A.5 zu zeigen. Dazu sollten wir uns zunächst überlegen, wie wir die Verknüpfungen + und definieren: ( ) ( ) ( ) + : Z p Z p Z p mit a i p i + b i p i := (a i + b i ) p i : Z p Z p Z p mit ( ) ( ) ( a i p i b i p i := k=0 ) i a k b i k p i wobei a i,b i {0,1,...,p 1}. Man beachte jedoch in beiden Fällen, dass Überträge auftreten können, weswegen sich der mathematische Beweis nicht im Einzelnen niederschreiben lässt. (Z p,+) abelsche Gruppe: Das Assotiativgesetz sowie das Kommutativgesetz dürften klar sein, da sich diese Gesetze auf den reellen

22 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 20 Fall zurückführen lassen. Das neutrale Element der Addition in Z p ist die Reihe 0 := a i p i mit a i = 0 i N 0 Das zu a ip i (a i {0,1,...,p 1}) additive Inverselement in Z p ist ( ) a i p i := ( a i ) p i Damit ist (Z p,+) eine abelsche Gruppe. (Z p, ) Halbgruppe mit Einselement: Das Assotiativgesetz ist klar, denn auch dies lässt sich (wie bereits bei der Additon) auf den reellen Fall zurückführen. Das Einselement ist die Reihe 1 := a i p i mit a 0 = 1 und a i = 0 i N Damit ist (Z p, ) eine Halbgruppe mit Einselement. Distributivgesetze: Wir zeigen hier lediglich das erste in Definition A.5 angegebene Distribuivgesetz. Das zweite lässt sich analog zeigen. Dem Leser sei gesagt, dass die Überträge in dieser allgemeinen Form nicht ersichtlich sind! Seien a i,b i,c i {0,1,...,p 1} i N 0. Dann: ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) a i p i b i p i + c i p i = a i p i (b i + c i ) p i = = k=0 ( i a k (b i k + c i k ) p i = k=0 ) ( i a k b i k p i + k=0 k=0 i a k b i k p i + a k c i k p i ) i a k c i k p i ( ) ( ) ( ) ( ) = a i p i b i p i + a i p i c i p i Damit ist Z p ein Ring mit Einselement. zu (ii): Wir haben hier nun die Körpereigenschaften aus Definition A.5 zu überprüfen, d.h. im Vergleich zum ersten Teil des Beweises muss (Q p, ) eine abelsche Gruppe sein. Wir definieren uns auch hier ähnlich wie zuvor die Addition und Multiplikation auf Q p durch ( ) ( ) + : Q p Q p Q p mit a i p i + b i p i := (a i + b i ) p i : Q p Q p Q p mit i= n ( i= n a i p i ) i= m ( i= m b i p i ) := i=min{ n, m} ( i+m i= n m k= n a k b i k p i ) wobei a i,b i {0,1,...,p 1} und n,m Z. Auch hier gebe man Obacht mit den möglicherweise auftretenden Überträgen! Der mathematische Beweis lässt sich daher auch hier nicht im Einzelnen aufführen. (Q p,+) abelsche Gruppe: Das Assotiativgesetz sowie das Kommutativgesetz dürften klar sein, da sich diese Gesetze auf den reellen Fall zurückführen lassen. Das neutrale Element der Addition in Q p ist die Reihe 0 := a i p i mit a i = 0 i Z i=

23 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 21 Das zu i= n a ip i (a i {0,1,...,p 1}, n Z) additive Inverselement in Q p ist ( ) a i p i := ( a i ) p i i= n i= n Damit ist (Q p,+) eine abelsche Gruppe. Insbesondere stimmt das Nullelement mit dem von Z p überein. (Q p, ) abelsche Gruppe: Das Assotiativgesetz ist klar, denn auch dies lässt sich (wie bereits bei der Additon) auf den reellen Fall zurückführen. Das Einselement ist die Reihe 1 := i= a i p i mit a 0 = 1 und a i = 0 i Z\{0} Das inverse Element der Multiplikation lässt sich nicht allgemein definieren, es ist jedoch in Q p enthalten. Man erhält es unter Betrachtung von a 1 = 1 a mit a Q p\{0} und unter Verwendung des p-adischen Divisionsalgorithmus, der unter und dem Suchbegriff p-adic division algorithm zu finden ist. Damit ist (Q p, ) eine abelsche Gruppe. Distributivgesetze: Wir zeigen hier lediglich das erste in Definition A.5 angegebene Distribuivgesetz. Das zweite lässt sich analog zeigen. Dem Leser sei gesagt, dass die Überträge in dieser allgemeinen Form nicht ersichtlich sind! Seien i= n i= n a i p i, i= m b i p i, c i p i i= l i= m Q p wobei a i,b i,c i {0,1,...,p 1} und n,m,l Z. Dann: ( ) [( ) ( )] ( ) a i p i b i p i + c i p i = a i p i = = = = Es dürfte klar sein, dass i= n+min{ m, l} i= n+min{ m, l} ( i= n m k= n ( i= n i+m a i p i ) i= l i min{ m, l} k= n i+max{m,l} k= n a k b i k p i ) + ( i= m i min{ m, l} = i + max{m,l} Damit ist Q p ein Körper. zurück zum Satz b i p i ) + i= n a k (b i k + c i k ) p i a k b i k p i + a k c i k p i ( i+l i= n l k= n ( i= n a k c i k p i ) i=min{ m, l} ) ( ) a i p i c i p i i= l (b i + c i ) p i

24 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 22 Beweis: (Satz 3.1.6) zurück zum Satz =: Sei (a i ) i k periodisch. Wir dürfen annehmen, dass k = 0 und a 0 0 ist (z.b.: durch Indizeumbenennung). Dann ist (a i ) i N0 von der Gestalt (a 0,a 1,...) = (b 0,b 1,...,b k 1,c 0,c 1,...,c n 1 ) wobei c 0,c 1,...,c n 1 die Periode und b 0,b 1,...,b k 1 die Vorperiode darstellen. Wir setzen nun: Dann ist b := b 0 + b 1 p 1 + b 2 p b k 1 p k 1 c := c 0 + c 1 p 1 + c 2 p c n 1 p n 1 a = b + c p k (1 + p n + p 2n + ) = b + c = : ohne Beweis. (siehe [1] im Literaturverzeichnis) zurück zum Satz p k 1 p n Q Beweis: (Satz ) zurück zum Satz zu (i): =: Sei x = 0. Dann gilt: v p (x) = v p (0) = = : Sei v p (x) =. Angenommen x 0. Sei x = a b mit a,b Z\{0}. Dann gilt: v p (x) = v p (a) v p (b) und nach Voraussetzung v p (a) v p (b) = Da a,b Z\{0} sind, gilt nach Definition von v p, dass v p (a),v p (b) Z und damit v p (a) v p (b) Z also v p (a) v p (b) Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Voraussetzung. Wir erhalten somit, dass x = 0 sein muss. zu (ii): 1.Fall: x = 0,y = 0 v p (x) + v p (y) = v p (0) + v p (0) = + = v p (x y) = v p (0 0) = v p (0) = 2.Fall: x = 0,y 0 v p (x) + v p (y) = v p (0) + v p (y) } {{ } =:z Z v p (x y) = v p (0 y) = v p (0) = = + z = 3.Fall: x 0,y 0 Seien x = a b,y = c d Q mit a,b,c,d Z\{0}. Es ist klar, dass folgendes gilt: v p (z) + v p (w) = v p (z w) z,w Z

25 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 23 Damit erhalten wir: ( a ) ( c ) v p (x) + v p (y) = v p + v p = v p (a) v p (b) + v p (c) v p (d) b d = v p (a) + v p (c) [v p (b) + v p (d)] = v p (a c) v p (b d) ( a = v p b c ) = v p (x y) d zu (iii): 1.Fall: x = 0,y = 0 v p (x + y) = v p (0 + 0) = v p (0) = v p (x) = v p (0) = und v p (y) = v p (0) = = min{v p (x),v p (y)} = 2.Fall: x = 0,y 0 v p (x + y) = v p (0 + y) = v p (y) Z v p (x) = v p (0) = und v p (y) Z = min{v p (x),v p (y)} = v p (y) 3.Fall: x 0,y 0 Seien x = a b,y = c d Q und a,b,c,d Z\{0}. Dann gilt: ( a v p (x + y) = v p b + c ) ( ) ad + cb = v p = v p (ad + cb) v p (bd) d bd zurück zum Satz min{v p (ad),v p (cb)} v p (bd) = min{v p (a) + v p (d),v p (c) + v p (b)} v p (b) v p (d) ( a ) ( c ) = min{v p (a) v p (b),v p (c) v p (d)} = min{v p,v p } b d = min{v p (x),v p (y)} Beweis: (Satz ) zurück zum Satz Bevor wir nun mit dem Beweis beginnen, erwähnen wir vorweg zunächst noch ein Theorem, auf das wir im Verlauf des Beweises zurückgreifen werden: Jeder Körper K besitzt eine Bijektion zwischen den Äquivalenzklassen der Bewertung v auf K (d.h. K/ := {[a] a K}) und den Bewertungsringen V von K. (In diesem Zusammenhang ensprechen Bewertungsringe und Bewertungen einander.) Dieses Theorem sagt also aus: f : K/ V bijektiv Kommen wir nun zum Beweis des Satzes. Dem Theorem nach zufolge reicht es aus, die Bewertungsringe von Q zu bestimmen, da wir mit Hilfe der Bewertungsringe und dem Theorem Rückschlüsse auf die Bewertung selbst erzielen können. Sei dazu V ein beliebiger Bewertungsring von Q. Da V ein Bewertungsring ist, ist V insbesondere ein lokaler Ring und besitzt somit ein eindeutig bestimmtes maximales Ideal. Sei I nun dieses maximale Ideal von V. Da 1 Q und 1 zu sich selbst invers ist, muss aufgrund der Definition eines Bewertungsrings x Q : x V oder x 1 V

26 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 24 auch 1 V liegen. Diese Eigenschaft gewährleistet uns sogar, dass Z V. Nach Algebra 1 gilt: I V maximale Ideal von V = I V Primideal von V Wir verwenden nun einen Satz aus der Algebra 1: S (hier: Z), R (hier: V ) Ringe mit S R (hier: Z V ) und p Primideal von R (hier: I Primideal) von V ). Dann gilt: p S ist Primideal in S (hier: I Z ist Primideal in Z) Man überlege sich auch leicht ohne Verwendung des Satzes, dass I Z ein Primideal in Z ist, denn: Da I ein Primideal in V ist, gilt definitionsgemäß: a,b V mit a b I : a I b I Seien nun a,b Z mit a b I Z beliebig, dann gilt: 1. a b I 2. a b Z I Primideal = a I b I n. Vor. = a Z b Z Insgesamt ergibt sich daher a,b Z mit a b I Z : a I Z b I Z Damit ist I Z ein Primideal von Z. Allgemein besitzen die Ideale J von Z nach Algebra 1 die Form Weiter gilt: J = (n) = {z n z Z}, n N 0 J = (n) Primideal n = 0 oder n P Daher unterscheiden wir zwei Fälle: 1.Fall: I Z = (0) = {0} Da I ein maximales Ideal von V ist und als maximales Ideal von V alle Nicht-Einheiten von V enthält, gilt: x Z mit x 0 : x ist Einheit in V (d.h. x 1 V : x x 1 = 1 = x 1 x) Damit besitzt jede ganze Zahl 0 x Z V ein multiplikatives Inverses x 1 in V. Somit muss V der Quotientenkörper von Z sein, d.h. V = Q(Z) := { a b a,b Z b 0}! = Q Wir erhalten auf diese Weise V = Q, also den trivialen Bewertungsring. Nach dem Theorem muss es sich bei der Bewertung um die triviale Bewertung handeln. Wir können dies auch zeigen indem wir zwei Fälle betrachten: 1.Unterfall: x Z\{0} Sei x Z\{0}, dann ist x eine Einheit in V und es gilt: x p = 1 Def = p v(x) = 1 = v(x) = 0 x Z\{0} (also x 0) 2.Unterfall: x = 0 Sei x = 0, dann gilt nach Definition des p-adischen Betrags: 0 p = 0 Def = p v(0) = 0 p :=0 = v(0) = für x = 0

27 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 25 Damit erhalten wir genau die triviale Bewertung. 2.Fall: I Z = (p) = pz (p P) In diesem Fall gilt { p n,n pz n Z : p n,n / pz (d.h. n Z\pZ) Betrachten wir nun also diese beiden Fälle: 1.Unterfall: n pz Sei n pz, also p n (insbesondere ist n eine Nicht-Einheit). Dann gilt: x Z mit p x m Z\{0} : n = x p m Nach der Definition des p-adischen Betrags gilt nun n p = x p m p p x = 1 p m = p m Machen wir nun auch Gebrauch von der Definition , so erhalten wir n p = p m = v v(n) = v(n) = m n pz Speziell für n = 0 pz gilt mit Hilfe von Definition : 0 p = 0 Def = p v(0) = 0 p :=0 = v(0) = für x = 0 2.Unterfall: n / pz Sei n Z\pZ, also p n (insbesondere ist n einen Einheit). Dann gilt: ggt(p,n) = 1 p n = n p = 1 = p v(n) = 1 = v(n) = 0 n Z\pZ also für alle n mit p n. Wir erhalten somit im 2. Fall die p-adische Bewertung und damit die Behauptung. zurück zum Satz Beweis: (Satz ) zurück zum Satz zu (i): =: Sei x = 0. Dann gilt: x p = 0 p = 0 = : Sei x p = 0. Angenommen x 0. Dann gilt: Damit gilt: 1 m Z : x = p m a b mit a,b Z\{0} und p a b x p = p m und nach Voraussetzung p m = 0 Aber wir wissen: p m 0 m Z

28 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 26 Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Wir erhalten somit, dass x = 0 sein muss. zu (ii): 1.Fall: x = 0,y = 0 x p = 0 p = 0, y p = 0 p = 0 = x p y p = 0 x y p = 0 0 p = 0 p = 0 2.Fall: x = 0,y 0 x p = 0 p = 0, y p R\{0} = x p y p = 0 y p = 0 x y p = 0 y p = 0 p = 0 3.Fall: x 0,y 0 x p y p = p vp(x) p vp(y) = p vp(x) vp(y) = p (vp(x)+vp(y)) = p vp(x y) = x y p zu (iv): 1.Fall: x = 0,y = 0 x + y p = p = 0 p = 0 x p = 0 p = 0, y p = 0 p = 0 = max{ x p, y p } = 0 2.Fall: x = 0,y 0 x + y p = 0 + y p = y p x p = 0 p = 0 = max{ x p, y p } = max{0, y p } 3.Fall: x 0,y 0 v p (x + y) min{v p (x),v p (y)} v p (x + y) min{v p (x),v p (y)} = min{ v p (x), v p (y)} v p (x + y) min{ v p (x), v p (y)} max{ v p (x), v p (y)} p vp(x+y) p max{ vp(x), vp(y)} = max{p vp(x),p vp(y) } Damit erhalten wir: x + y p = p vp(x+y) max{p vp(x),p vp(y) } = max{ x p, y p } zu (iii): Wir verwenden (iv) und erhalten: x + y max{ x p, y p } x p + y p zurück zum Satz Beweis: (Satz ) zurück zum Satz = : Wir betrachten ohne Einschränkung lediglich n=0 z n

29 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 27 denn falls die Reihe konvergiert, so konvergiert sie auch mit den k weggelassenen Summanden. Sei n=0 z n konvergent, dann gilt nach dem Cauchyschen Konvergenz Kriterium n ε > 0 N N n m N : k < ε k=mz p Insbesondere gilt daher für m = n: z n p ε n N Somit ist (z n ) n N eine p-adische Nullfolge. Ergänzen wir die Folge mit den fehlenden Folgengliedern, so ist auch (z k,...,z 1,z 0,...), also (z n ) n I eine p-adische Nullfolge. =: Sei (z n ) n I eine p-adische Nullfolge, dann ist auch (z n ) n N eine solche und es gilt: ε > 0 N N n N : z n p < ε Damit gilt n m N: n (iv) k max k=mz { z k p } < ε m k n }{{} p <ε Nun gilt nach dem Cauchysche Konvergenz Kriterium: ist konvergent n=0 z n Fügen wir nun noch die k fehlenden Summanden hinzu, so ändert dies nichts am Konvergenzverhalten, also gilt ist konvergent n= k z n zurück zum Satz Beweis: (Satz ) zurück zum Satz Sei x Q\{0} beliebig. Dann lässt sich x eindeutig in Primfaktoren zerlegen: Dabei gilt: x = ±p a1 1 pan n x = p a1 1 pan n = x pi = p ai i n i=1 i = 1,...,n p ai i x p = p 0 = 1 p P\{p 1,...,p n } Damit gilt insgesamt: x p = x p1 x pn x p P = p a1 1 p an n n i=1 p P\{p 1,...,p n} x p } {{ } p ai i = n i=1 = 1 p ai i n i=1 p ai i = n p 0 i = 1 i=1

30 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 28 zurück zum Satz Beweis: (Satz ) zurück zum Satz zu (i): Wir haben folgende Eigenschaften zu beweisen: (1) (R,+) ist abelsche Gruppe (2) (R, ) ist abelsche Halbgruppe mit Einselement (3) Distributivgesetze Seien (x n ) n N,(y n ) n N R Cauchy-Folgen, dann sind auch die Summe (x n + y n ) n N wie auch das Produkt (x n y n ) n N Cauchy-Folgen, d.h. R ist abgeschlossen bezüglich + und. zu (1): (a) Assoziativgesetz: (x n ) + [(y n ) + (z n )] = (x 1 + [y 1 + z 1 ],x 2 + [y 2 + z 2 ],...) = ([x 1 + y 1 ] + z 1,[x 2 + y 2 ] + z 2,...) = [(x n ) + (y n )] + (z n ) (b) Nullelement: (0) := (0,0,0,...) ist p-adisch konvergent gegen 0 und damit eine Cauchy-Folge, also (0) R. Es gilt: (x n ) + (0) = (x 1 + 0,x 2 + 0,...) = (x n ) = (0 + x 1,0 + x 2,...) = (0) + (x n ) Dass (0) eindeutig bestimmt ist, dürfte klar sein und wird daher nicht bewiesen. (c) Inverses Element: (x n ) := ( x 1, x 2,...) ist eine Cauchy-Folge, falls (x n ) eine solche ist, also (x n ) R. Es gilt: (x n ) + [ (x n )] = (x 1 + ( x 1 ),x 2 + ( x 2 ),...) = (0,0,0,...) = (( x 1 ) + x 1,( x 2 ) + x 2,...) = [ (x n )] + (x n ) Dass (x n ) eindeutig bestimmt ist, dürfte klar sein und wird daher nicht bewiesen. (d) Kommutativgesetz: (x n ) + (y n ) = (x 1 + y 1,x 2 + y 2,...) = (y 1 + x 1,y 2 + x 2,...) = (y n ) + (x n ) zu (2): (a) Assoziativgesetz: (x n ) [(y n ) (z n )] = (x 1 [y 1 z 1 ],x 2 [y 2 z 2 ],...) = ([x 1 y 1 ] z 1,[x 2 y 2 ] z 2,...) = [(x n ) (y n )] (z n ) (b) Einselement: (1) := (1,1,1,...) ist p-adisch konvergent gegen 1 und damit eine Cauchy-Folge, also (1) R. Es gilt: (x n ) (1) = (x 1 1,x 2 1,...) = (x n ) = (1 x 1,1 x 2,...) = (1) (x n ) Dass (1) eindeutig bestimmt ist, dürfte klar sein und wird daher nicht bewiesen. (c) Kommutativgesetz: (x n ) (y n ) = (x 1 y 1,x 2 y 2,...) = (y 1 x 1,y 2 x 2,...) = (y n ) (x n )

31 Kapitel 3 - Die p-adischen Zahlen - Denny Otten - Universität Bielefeld 29 zu (3): (a) 1.Distributivgesetz: (x n ) [(y n ) + (z n )] = (x 1 [y 1 + z 1 ],x 2 [y 2 + z 2 ],...) (b) 2.Distributivgesetz: = (x 1 y 1 + x 1 z 1,x 2 y 2 + x 2 z 2,...) = (x n ) (y n ) + (x n ) (z n ) [(x n ) + (y n )] (z n ) = ([x 1 + y 1 ] z 1,[x 2 + y 2 ] z 2,...) zu (ii): Wir haben folgende Eigenschaften zu beweisen: (1) I ist ein Ideal von R (2) I ist maximal = (x 1 z 1 + y 1 z 1,x 2 z 2 + y 2 z 2,...) = (x n ) (z n ) + (y n ) (z n ) zu (1): (a): z.z.: (0) I (0) := (0,0,0,...) ist p-adisch konvergent gegen 0 und damit eine Nullfolge, also (0) I (b): z.z.: (x n ) n N,(y n ) n N I : (x n y n ) n N I Seien (x n ) n N,(y n ) n N I, also zwei Nullfolgen. Damit gilt: ε > 0 N 1 N n > N 1 : x n p ε 2 ε > 0 N 2 N n > N 2 : y n p ε 2 Sei ε > 0 beliebig. Wähle N := max{n 1,N 2 }. Dann gilt: x n y n p x n p + y n p ε 2 + ε 2 = ε also eine p-adische Nullfolge. Folglich ist (x n y n ) n N I. (c): z.z.: (a n ) n N R (x n ) n N I : (a n x n ) n N I Seien (a n ) n N R und (x n ) n N I. (a n ) n N ist als Cauchy-Folge beschränkt. Damit gilt: K Q n N : a n p K ε > 0 N N n > N : x n p ε K Sei ε > 0 beliebig. Dann gilt: a n x n p = a n p x n p K ε K = ε also eine p-adische Nullfolge. Folglich ist (a n x n ) n N I. zu (2): Angenommen I ist kein maximales Ideal von R. Dann gilt: J Ideal von R mit I J und J R : I J Sei (x n ) n N R\I beliebig. Dann ist (x n ) n N eine Cauchy-Folge, jedoch keine Nullfolge, d.h. es gilt: k N n k : x n 0 (denn falls andernfalls gelten würde k N n k : x n = 0