Q(n) = n 0 +n 1 +n n k.

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1 25 2 Kongruenzen Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer festen Zahl nicht teilbar sind. Durch die Ähnlichkeit zum Rechnen mit Gleichungen ergeben sich darüber hinaus viele interessante Fragestellungen. Die hier vorgestellte Theorie wurde im wesentlichen von Gauß entwickelt und ist seitdem fester Bestandteil der elementaren Zahlentheorie. 2.1 Definition, Rechenregeln Beispiele (1) Ein schon in der Schule gebräuchlicher Test, ob eine natürliche Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist, ist die Untersuchung der Quersumme auf Teilbarkeit durch 3 bzw. 9. Wir betrachten eine beliebige natürliche Zahl n IN mit Einerziffer n 0, Zehnerziffer n 1 usw., d.h. n = n 0 +n 1 10+n n k 10 k, und ihre Quersumme Die Differenz Q(n) = n 0 +n 1 +n n k. n Q(n) = n 1 9+n n k (10 k 1) ist durch 9 (und damit auch durch 3) teilbar. Daher sind entweder beide Zahlen n und Q(n) durch 9 teilbar oder keine. (2) Wir wissen, dass am 4. April 2010 Sonntag war (Ostersonntag). Was für ein Wochentag ist dann der 8. Juli 2010? Da April und Juni 30 Tage haben und der Mai 31, liegt der 8. Juli 95 Tage hinter dem 4. April. Der 7., 14., 21.,...Tag nach dem 4. April ist jeweils wieder ein Sonntag, d.h. auch der 91. Tag. Damit liegt der 8. Juli 4 Tage nach Sonntag, ist also ein Donnerstag. Ganz analog folgt, dass der 24. Dezember in 2010 ein Freitag ist (das ist der 264. Tag nach dem 4. April) und dass der 1. Januar 2010 (der 93. Tag vor dem 4. April) ebenfalls ein Freitag war. Bei der Bestimmung des Wochentags kommt es offensichtlich nicht darauf an, wie oft die Zahl 7 in die Anzahl der Tage nach oder vor dem bekannten Tag geht, sondern nur auf den Rest. (3) Was ist der 4. April 2011 für ein Wochentag? Ein normales Jahr hat 365 Tage, und Division von 365 durch 7 ergibt den Rest 1. Daher muß dieser Tag ein Montag sein. Hätten wir in 2011 ein Schaltjahr mit dem zusätzlichen Tag im Februar 2011, dann ergäbe sich der Rest 2 und der 4. April 2011 wäre ein Dienstag.

2 2. Kongruenzen 26 Die folgende Definition fasst alle Zahlen zusammen, die bei Division durch eine feste Zahl m denselben Rest ergeben. Definition Seien a,b,m Z,m 0. a heißt zu b kongruent modulo m, wenn m (a b). Sonst heißen die beiden Zahlen inkongruent modulo m. (Schreibweise: a b mod m bzw. a b mod m. ) Die Zahl m heißt Modul. Beispiele (1) mod 6. (2) Modulo 2 sind alle geraden Zahlen zueinander kongruent, ebenfalls alle ungeraden Zahlen. Eine beliebige gerade Zahl ist zu einer beliebigen ungeraden Zahl inkongruent modulo 2. (3) Zwei ganze Zahlen sind genau dann zueinander kongruent modulo 10, wenn sie dieselbe Einerziffer haben. (4) Kongruenzen modulo 10 werden oft ausgenutzt, um Übertragungsfehler von z.b. Versicherungs-, Steuer- oder ISBN-Nummern zu erkennen. Dafür wird die jeweilige Nummer durch eine zusätzliche Ziffer ergänzt, so dass die Quersumme der neuen Zahl ein Vielfaches von 10 ist, also kongruent zu 0 modulo 10. Um Zahlendreher festzustellen, benutzt man auch (z.b. bei der ISBN-Nummer) gewichtete Quersummen. Bemerkungen (1) Da die beiden Kongruenzen a b mod m und a b mod ( m) äquivalent sind und je zwei beliebige ganze Zahlen zueinander kongruent modulo 1 sind, kann man sich auf die Untersuchung von Kongruenzen modulo m IN, m > 1, beschränken. Im folgenden sei der Modul immer eine solche Zahl. (2) Seien a,b Z. Division von a bzw. b durch m mit Rest ergebe Dann gilt a = k 1 m+r 1, b = k 2 m+r 2, 0 r 1,r 2 < m. a b mod m m (a b) = (k 1 k 2 ) m+(r 1 r 2 ) r 1 = r 2, d.h. a und b sind genau dann kongruent modulo m, wenn sich bei Division durch m derselbe Rest ergibt. Das ist wiederum genau dann der Fall, wenn sich a und b um ein ganzzahliges Vielfaches von m unterscheiden.

3 2. Kongruenzen 27 (3) Durch die Kongruenz modulo m wird eine Äquivalenzrelation in Z definiert, d.h. für festes m IN, m > 1, und alle a,b,c Z gilt a a mod m (Reflexivität) a b mod m = b a mod m (Symmetrie) a b mod m und b c mod m = a c mod m (Transitivität) Mit Kongruenzen kann man weitgehend wie mit Gleichungen rechnen, d.h. man kann Kongruenzen mit einer festen Zahl addieren, subtrahieren und multiplizieren sowie verschiedene Kongruenzen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Satz Seien a,b,c,d,m Z, m > 1, mit Dann gilt a b mod m, c d mod m. (a) a+c b+d mod m, speziell a+c b+c mod m. (b) a c b d mod m, speziell a c b c mod m. (c) a c b d mod m, speziell a c b c mod m. (d) a k b k mod m für alle k IN {0}. Bemerkungen (1) Mit Hilfe von Kongruenzüberlegungen lassen sich Rechnungen auf Richtigkeit überprüfen: Behauptung: = Wir betrachten die Kongruenz modulo 9 und nutzen die Quersummenregel aus: = mod 9 und mod 9, d.h. das Ergebnis ist nicht richtig. (2) Die Zahlen der Form F n := 2 2n +1, n = 0,1,2,... heißen Fermat-Zahlen. Fermat vermutete, daß alle diese Zahlen Primzahlen sind, und für die ersten 5, d.h. die Zahlen F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = trifft dies auch zu. Wir zeigen, daß F 5 zusammengesetzt ist:

4 2. Kongruenzen 28 Aus folgt Damit folgt Mit ergibt sich und damit F 5 1 = 2 32 = und = = mod 641. F = (5 2 7 ) 4 mod = F 5 1 (641 1) 4 1 mod 641 F 5 0 mod 641, d.h. 641 ist Teiler von F 5 und daher F 5 keine Primzahl. Gauß zeigte, daß ein reguläres n-eck genau dann allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn n = 2 k oder n = 2 k F n mit F n prim ist. (Damit löste er das klassische Problem, ob ein beliebiger Winkel allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal dreigeteilt werden kann.) Außer F 0,...,F 4 ist bisher keine weitere Fermatsche Primzahl bekannt. Die Fermat-Zahlen sind paarweise teilerfremd, und damit folgt erneut die Aussage des Satzes von Euklid, daß es unendlich viele Primzahlen in IN gibt. Eine Gleichung kann man durch eine beliebige Zahl ungleich Null dividieren. Daher verändert sich die Lösungsmenge einer Gleichung bei Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null nicht, denn man kann die Multiplikation wieder rückgängig machen. (Gleiches gilt bei Addition einer Gleichung mit einer beliebigen Zahl und Addition einer Kongruenz mit einer beliebigen ganzen Zahl.) Das Beispiel 9 5 = = 3 5 mod 10, 9 3 mod 10 zeigt, das man eine Kongruenz nicht einfach durch eine ganze Zahl ungleich Null dividieren darf. Betrachtet man die Definition der Kongruenz, dann ergibt sich Satz Seien a,b,c,m Z, m > 1. Dann gilt: (a) a c b c mod m a b mod (b) Sind m und c teilerfremd, dann gilt m ggt(c,m). (Kürzungsregel) a c b c mod m a b mod m.

5 2. Kongruenzen 29 Bemerkungen (1) Die Aussage aus Satz (b) gilt speziell, wenn m Primzahl und c nicht Vielfaches von m ist. (2) Für ggt(m,c) > 1 gibt es immer a,b IN mit a c b c mod m und a b mod m. Beispiele (1) 9 5 = = 3 5 mod 10 = 9 3 mod 2. (2) mod 12 = ( 6) mod 12. (3) 9 24 mod 5 = 3 8 mod Restklassen In der Bemerkung (3) wurde gezeigt, dass die Kongruenzrelation eine Äquivalenzrelation ist. Sie zerlegt wie jede Äquivalenzrelation die zugehörige Grundmenge (hier Z) in nichtleere, paarweise disjunkte Teilmengen (Äquivalenzklassen) von Z, deren Vereinigung Z ist. Man kann die Rechenvorschriften Addition und Multiplikation von Z auf dieses Mengensystem übertragen. Definition Sei IN, m > 1. (a) Die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation Kongruenz modulo m heißen Restklassen modulo m. Wir bezeichnen die Restklasse von a mit a. a heißt Vertreter oder Repräsentant der Restklasse ā. Weiter bezeichnen wir die Menge der Restklassen modulo m mit Z/m. (b) Eine Menge von m paarweise inkongruenten ganzen Zahlen modulo m heißt vollständiges Restsystem modulo m. {0, 1,.., m 1} heißt kleinstes nichtnegatives Restsystem. (c) Für a,b Z sei a b := a+b, a b := a b. Bemerkungen und Beispiele (1) Für m = 2 gibt es die beiden Restklassen 0 = {..., 4, 2,0,2,4,6,...} und 1 = {..., 5, 3, 1,1,3,5,7,...}, Für m = 3 die 3 Restklassen 1 = {..., 4, 1,2,5,...}, 1 = {..., 5, 2,1,4,7,...}, 9 = {..., 6, 3,0,3,6,9,12,...}.

6 2. Kongruenzen 30 (2) Da jede ganze Zahl in genau einer der Restklassen liegt, die Zahlen 0, 1,.., m 1 paarweise inkongruent modulo m sind und jede andere ganze Zahl zu einer dieser Zahlen kongruent ist, gibt es genau m Restklassen modulo m. Das erklärt die Bezeichnung vollständiges Restsystem. (3) Durch die Vorschriften und wird jedem Paar von Restklassen jeweils eine Restklasse zugeordnet. Der folgende Satz zeigt, dass dadurch Verknüpfungen auf der Menge der Restklassen modulo m definiert werden. Das Addieren und Multiplizieren von Mengen (und das sind die Restklassen ja) erscheint auf den ersten Blick ungewohnt. Aber man kann zum Beispiel die natürliche Zahl 5 als Kardinalzahl auffassen, d.h. als Menge aller Mengen, die dieselbe Elementzahl wie {a,b,c,d,e} haben. Natürliche Zahlen sind also im Prinzip Mengen von Mengen. Eine rationale Zahl (Bruchzahl) ist die Menge aller Brüche, die bezüglich a b c : a d = b c d äquivalent sind. Auch das uns geläufige Rechnen mit Bruchzahlen ist eigentlich Rechnen mit Mengen. Üblicherweise umgeht man die Probleme, indem man jede Äquivalenzklasse durch einen ihrer Vertreter ersetzt. Da die Wahl der Vertreter beliebig sein muss, ist natürlich zu zeigen, dass sich bei Wahl von verschiedenen Vertretern derselben Klasse dieselbe Summe bzw. dasselbe Produkt ergibt. Satz Sei m IN, m > 1. (a) Die in Definition (c) festgelegten Zuordnungen sind Verknüpfungen auf Z/m, d.h. jedem Paar von Restklassen wird durch bzw. eindeutig eine weitere Restklasse zugeordnet, die man Summe bzw. Produkt der Restklassen nennt. (b) Bezüglich dieser Verknüpfungen gelten in Z/m Rechenregeln: ( Z/m,, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselement, d.h. (i) für ( Z/m, ) gelten Assoziativ- und Kommutativgesetz sowie die Existenz des neutralen Elements (Nullelements) und des inversen Elements zu jeder Restklasse ( ( Z/m, ) ist eine kommutative Gruppe), (ii) für ( Z/m, ) gelten Assoziativ- und Kommutativgesetz sowie die Existenz des neutralen Elements (Einselements) ( ( Z/m, ) ist eine kommutative Halbgruppe), (iii) für ( Z/m,, ) gilt das Distributivgesetz a ( b c ) = ( a b ) ( a c ). Da Z/m endlich ist, lassen sich die Ergebnisse der Addition bzw. Multiplikation übersichtlich in Verknüpfungstafeln beschreiben. Für m = 3 bzw. m = 4 ergibt sich

7 2. Kongruenzen Bemerkung Besonders in der Zeit- und Winkelrechnung ist jeder von uns mit Rechnungen modulo 12, 24, 60, 360 vertraut. Die Eigenschaft teilerfremd zu m ist eine Eigenschaft der gesamten Restklasse, d.h. ist ein Vertreter der Restklasse teilerfremd zu m, dann auch jeder andere: Satz Seien a,m Z, m > 1. Dann gilt ggt(a,m) = 1 und b a mod m = ggt(b,m) = 1. Eine Restklasse a mit ggt(a,m) = 1 heißt prime Restklasse modulo m. In ( Z, +, ) gelten die Rechenregeln von Satz 2.2.3(b). Mengen mit diesen Eigenschaften heißen kommutativer Ring mit Einselement. Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist, dass ein Produkt von ganzen Zahlen genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Man nennt diese Eigenschaft Nullteilerfreiheit und einen nullteilerfreien kommutativen Ring mit Einselement Integritätsbereich. Wie man an der Verknüpfungstafel von Z/4 erkennt, ist Z/m im allgemeinen nicht nullteilerfrei. Es gilt Satz Sei m IN, m > 1. Z/m ist genau dann nullteilerfrei und damit ein Integritätsbereich, wenn m prim ist. In Ringen kann man im allgemeinen nur die Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation durchführen. In manchen Ringen wie Z oder dem Ring der Polynome mit reellen Koeffizienten gibt es auch eine Division mit Rest, aber im allgemeinen gibt es keine Division. Ist allerdings a eine prime Restklasse im Restklassenring Z/m, dann gilt und nach Bemerkung gibt es x,y Z mit ggt(a,m) = 1 ax+my = 1 bzw. a x 1 mod m. x ist also das inverse Element in Z/m zu a bezüglich der Multiplikation, und jede prime Restklasse hat genau ein solches Inverses.

8 2. Kongruenzen 32 Wie bei der Addition in Z und der Multiplikation in IQ oder IR ist das Inverse des inversen Elements zu a wieder a. Ist m Primzahl, dann ist jede der Restklassen 1,2,...,m 1 prim, d.h. man kann in Z/m durch jede Restklasse ungleich 0 dividieren (mit der Inversen multiplizieren), und Z/m ist mit den Rechenoperationen und ein Körper, in dem man im Prinzip so rechnen kann wie in IQ oder IR. Zum Beispiel in der Kodierungstheorie arbeitet man mit endlichen Körpern, also endlichen Mengen, in denen eine Addition und eine Multiplikation definiert ist und in denen die entsprechenden Rechenregeln gelten. Die Restklassenkörper Z/p (mit p prim) liefern dazu gute Beispiele. Eine sofortige Folgerung ist Satz (Wilson) Sei m IN, m > 1. Dann gilt m ist Primzahl (m 1)! 1 mod m. Als Anwendung ergibt sich folgendes Korollar (a) Sei p eine Primzahl. Die quadratische Kongruenz ist lösbar, wenn p 3 mod 4. (b) Insbesondere hat die Kongruenz x 2 1 mod p (i) für p = 2 die (modulo 2) eindeutige Lösung x 1 mod 2 und (ii) für p 1 mod 4 die (modulo p) verschiedenen Lösungen 2.3 Teilbarkeitsregeln x ( p 1 2 ) (p 1)! und x!. 2 Wir sind früher schon einmal auf die Dreier- und Neunerregel eingegangen (eine Zahl wird durch 9 genau dann geteilt, wenn ihre Quersumme durch 9 geteilt wird). In diesem Abschnitt wollen wir uns mit solchen Teilbarkeitsregeln beschäftigen. Bekanntlich stellen wir die natürlichen Zahlen in unserem Stellenwertsystem mit Hilfe der Ziffern 0,1,2,...,9 dar und der Ort, an dem die Ziffer steht, gibt an, mit welcher Zehner-Potenz diese Ziffer multipliziert werden soll. Die Zahlenbasis 10 unseres dekadischen Ziffernsystems ist nicht mathematisch begründet, sondern biologisch. Man kann genauso gut als Basis jede andere natürliche Zahl größer als 1 wählen. (Dass diese Zahlendarstellungen überhaupt möglich sind, liegt an der Eindeutigkeit der Division mit Rest.) Wir betrachten in diesem Abschnitt die natürlichen Zahlen in einer b-adischen Darstellung, d.h. in einem Ziffernsystem mit Basis b IN, b > 1, und Ziffern 0,1,...,b 1. Als Teilbarkeitsregel entsprechend der Dreier- bzw. Neunerregel ergibt sich

9 2. Kongruenzen 33 Satz (Quersummenregel) Sei b IN, b > 1 und für a IN mit a = a 0 +a 1 b+a 2 b a n b n, n IN 0, a i {0,1,...,b 1} sei Q(a) := a 0 +a 1 +a a n die Quersumme von a. Weiter sei d IN ein Teiler von b 1. Dann gilt: d ist Teiler von a d ist Teiler von Q(a). Beispiel Wir prüfen die Teilbarkeit der Zahl a = ( ) 7 = in 7-adischer Darstellung durch 2, 3 und 6. Die Quersumme Q(a) = (24) 7 ist durch 2, 3 und 6 teilbar, also auch a. Im Zehnersystem kann man dies mit der bekannten Quersummenregel und a = (479580) 10 und Q(a) = (33) 10 nachweisen. Analog zur 11-Regel gilt Satz (alternierende Quersummenregel) Sei b IN, b > 1 und für a IN mit a = a 0 +a 1 b+a 2 b a n b n, n IN 0, a i {0,1,...,b 1} sei Q (a) := a 0 a 1 +a 2...+( 1) n a n die alternierende Quersumme von a. Weiter sei d IN ein Teiler von b+1. Dann gilt: d ist Teiler von a d ist Teiler von Q (a). Beispiel Wir prüfen die Teilbarkeit der Zahl a = (22374) 10 = (122142) 7 c = (679722) 10 = ( ) 5 durch 11 und 8 bzw. 6. Die alternierende Quersumme Q (a) = (0) 10 ist durch 11 teilbar, also auch a. Die alternierende Quersumme Q (a) = (2) 7 ist nicht durch 8 teilbar, also auch nicht a. Die alternierende Quersumme Q (c) = (1) 10 ist nicht durch 11 teilbar, also auch nicht a. Die alternierende Quersumme Q (c) = (0) 5 ist durch 6 teilbar, also auch c.

10 2. Kongruenzen 34 Man erkennt an der letzten Ziffer der dekadischen Darstellung einer Zahl sofort, ob sie gerade oder ungerade ist. Allgemein ergibt sich Satz (Endstellenregel) Sei b IN, b > 1 und a IN mit a = a 0 +a 1 b+a 2 b a n b n, n IN 0, a i {0,1,...,b 1}. Weiter sei d IN. Gibt es ein l IN mit d b l, dann gilt: d ist Teiler von a d ist Teiler von a 0 +a 1 b+...+a l 1 b l 1. Beispiel Damit funktioniert im dekadischen System die Endstellenregel für die letzte Ziffer, d.h. l = 1, für die Teiler d = 2,5,10, für die letzten beiden Ziffern, d.h. l = 2, für die Teiler d = 4,25,50,100 und für die letzten drei Ziffern, d.h. l = 3, für die Teiler d = 8,40,125,200,250, Lineare Kongruenzen Da die Kongruenzrelation sehr ähnlich ist zur Gleichheitsrelation, ist es nicht verwunderlich, dass man Kongruenzen mit Unbekannten untersucht. In Korollar wurde sogar schon die quadratische Kongruenz x 2 1 modulo einer Primzahl auf Lösbarkeit untersucht und Lösungen bestimmt. Wir beschränken uns hier auf lineare Kongruenzen mit einer Unbekannten: Definition Seien a,b,m Z mit m > 1. Die Kongruenz ax b mod m heißt lineare Kongruenz mit der Unbekannten x. Ist für x = x 0 Z die Kongruenz erfüllt, dann heißt x 0 Lösung der Kongruenz. Beispiele (1) Die lineare Kongruenz hat keine Lösung. 2x 1 mod 4 (2) Die lineare Kongruenz 3x 4 mod 7 hat die Lösung x 0 = 6. Es sind aber auch alle ganze Zahlen Lösung, die zu 6 kongruent modulo 7 sind, d.h. alle Zahlen aus 6 = {..., 8, 1,6,13,...}.

11 2. Kongruenzen 35 Allgemein gilt: Hat eine lineare Kongruenz eine Lösung, dann ist jede zu dieser Lösung kongruenten Zahl auch Lösung. Man kann eine solche Kongruenz auch in Form einer Restklassengleichung schreiben: Gesucht ist (immer modulo m) eine Restklasse x mit a x = b. Durch Austesten der Zahlen 0,1,2,3,4,5 erkennt man, dass außer den zu 6 kongruenten Zahlen keine ganze Zahl Lösung der Kongruenz ist. Man nennt eine solche lineare Kongruenz eindeutig lösbar. (3) Die lineare Kongruenz 9x 6 mod 12 hat die paarweise inkongruenten Lösungen x 1 = 2, x 2 = 6 und x 3 = 10. Wieder sind alle zu diesen Lösungen modulo 12 kongruenten Zahlen Lösungen, aber keine weitere. Die Anzahl der modulo m paarweise inkongruenten Lösungen bzw. der verschiedenen Restklassen die Lösung der entsprechenden Restklassengleichung sind, heißt Lösungsanzahl der Kongruenz. Satz Seien a,b,m Z mit m > 1. (a) Die lineare Kongruenz ax b mod m ist lösbar genau dann, wenn ggt(a,m) b. (b) Gilt ggt(a, m) b, dann ist die Anzahl der paarweise inkongruenten Lösungen gleich ggt(a, m), d.h. für teilerfremde a, m ist die lineare Kongruenz eindeutig lösbar. Die lineare Kongruenz ax b mod m ist genau dann lösbar, wenn es ganze Zahlen x,y gibt mit ax+my = b. Eine solche Gleichung, in der nur nach ganzzahligen Lösungen gesucht wird, heißt diophantische Gleichung (nach dem griechischen Mathematiker Diophant, ca. 320 n.chr.). Bemerkung Vom mathematischen Standpunkt erscheint es auf den ersten Blick merkwürdig, dass man sich bei der möglichen Lösungsmenge einschränkt. Oft sind in Anwendungsaufgaben aber nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll. Beispiel Auf einem Päckchen müssen wir 3, 90 Euro an Briefmarken aufkleben. Wir haben nur Briefmarken von 45 und 55 Cent zur Verfügung. Nennt man x die Anzahl der Briefmarken mit Wert 55 Cent und y die Anzahl der Briefmarken mit Wert 45 Cent, dann erhält man als mathematisches Modell die Aufgabe, die Gleichung x 55+y 45 = 390

12 2. Kongruenzen 36 zu lösen. Es gibt natürlich unendlich viele Lösungen (x, y), wenn man rationale Zahlen zuläßt, nämlich Da die Post aber keine 11 9 mit x,y IN 0 sinnvoll. {(x, x); x IQ}. 9 Briefmarke akzeptiert, sind nur Lösungen mit x,y Z, ja sogar nur Aus Satz ergibt sich für die Lösbarkeit einer linearen diophantischen Gleichung mit 2 Unbekannten Satz Seien a,b,m Z mit m > 1. (a) Die lineare diophantische Gleichung ist lösbar genau dann, wenn ggt(a,m) b. ax+my = b (b) Ist (x 0,y 0 ) eine spezielle Lösung, dann beschreibt { ( m x 0 + ggt(a,m) z,y a 0 ggt(a,m) z) ; z Z} alle Lösungen. Speziell gilt: Eine lineare diophantische Gleichung in 2 Unbekannten ist entweder nicht lösbar oder hat unendlich viele Lösungen. Bemerkung Aussage (a) von Satz gilt auch für lineare diophantische Gleichungen mit mehr als 2 Unbekannten: Die lineare diophantische Gleichung a 1 x 1 +a 2 x a n x n = b ist lösbar genau dann, wenn ggt(a 1,a 2,...,a n ) b. Beispiele (1) Wir kommen zurück zu unserem Briefmarkenbeispiel Wir dividieren die Gleichung durch ggt(55,45) = 5 und wandeln sie in die Kongruenz um. Sie ist äquivalent zu 11x 78 mod 9 2x 6 mod 9 bzw. x 3 mod 9. Als spezielle Lösung erhält man x = 3, y = 5 und als Lösungsmenge { ( 3+9 z,5 11 z ) ; z Z}. Für z > 0 wird y negativ, für z < 0 wird x negativ, d.h. (3,5) ist die einzige zulässige Lösung.

13 2. Kongruenzen 37 (2) Eine der bekanntesten Aussagen der Mathematik ist der Satz des Pythagoras: Für die Seitenlängen a, b der Katheten und c der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gilt a 2 +b 2 = c 2. Man kann auch leicht die Umkehrung zeigen: Wenn die Seitenlängen a, b, c eines Dreiecks die Gleichung a 2 +b 2 = c 2 erfüllen, dann ist das Dreieck rechtwinklig mit Katheten der Länge a, b und Hypothenuse der Länge c. Gerade die Umkehrung hat praktische Bedeutung, da man wegen = 5 2 relativ leicht nur mit Hilfe eines Zollstocks einen rechten Winkel zeichnen kann. Wir beschränken uns auf ganzzahlige Lösungen, betrachten also die diophantische Gleichung x 2 +y 2 = z 2. Eine Lösung (x, y, z) heißt pythagoräisches Tripel. Lösungen mit x = 0 oder y = 0 sind uninteressant. Ist (x 0,y 0,z 0 ) Lösung, dann auch (kx 0,ky 0,kz 0 ) für jedes k Z. Daher beschränkt man sich auf Lösungen mit teilerfremden x, y, z. Solche Lösungen nennt man primitiv. (Die Zahlen sind dann auch paarweise teilerfremd.) (3,4,5), (5,12,13) und (8,15,17) sind primitive pythagoräische Tripel, (15,36,39) ist ein pythagoräisches Tripel, aber nicht primitiv. Von Euklid stammt die Beschreibung aller solcher Lösungen: Die diophantische Gleichung x 2 +y 2 = z 2 hat genau die primitive Lösung x,y,z, wenn es r,s Z gibt mit ggt(r,s) = 1 und nicht beide ungerade und x = ±(r 2 s 2 ), y = ±2r s, z = ±(r 2 +s 2 ). (3) Eine sehr berühmtes Problem ist der sogenannte letzte Satz von Fermat (1607? ), der besagt, dass die diophantische Gleichung x n +y n = z n für n IN, n > 2, keine Lösung mit x, y, z IN hat. Er wurde 1995 durch Andrew Wiles bewiesen.

14 2. Kongruenzen 38 Bemerkung Beispiel 2.4.8(1) zeigt, wie man eine lineare Kongruenz bzw. eine lineare diophantische Gleichung mit zwei Unbekannten lösen kann: Nach Division von a, b und m durch ggt(a,m) erhält man eine Kongruenz a x b mod m mit ggt(a,m ) = 1. Die Restklasse a ist prim, es existiert also dazu die inverse Restklasse c mit a c = 1. Multiplikation der Kongruenz mit c isoliert die Unbekannte x, d.h. man erhält die Kongruenz x b c mod m. Im Beispiel ist a = 55, b = 390, m = 45, a = 11, b = 78, m = 9 bzw. mit Wahl der kleinsten nichtnegativen Reste a = 2 und b = 6. Mit c = 5 folgt x 30 3 mod 9. Eine andere Lösungsmöglichkeit der zugehörigen diophantischen Gleichung ist die Bestimmung der Darstellung von ggt(a,m) = a x +m y als ganzzahlige Linearkombination von a und m mit Hilfe des euklidischen Algorithmus, d.h. in unserem Beispiel 5 = 55 ( 4) Mit b = k ggt(a,m) ( bzw. in unserem Beispiel 390 = 78 5) ergibt sich die Lösung x = 4 78 = 312, y = 5 78 = 390, die noch auf die Lösung in IN zu reduzieren wäre. 2.5 Simultane lineare Kongruenzen, der chinesische Restsatz Beispiele (1) Zauberer Magix hat 35 von 1 bis 35 durchnumerierte Karten. Er legt sie in Reihen zu je 7 Karten auf den Tisch (d.h. in der 1. Reihe von links die Karten 1 bis 7, in der 2. Reihe von 8 bis 14 usw.). Dann bittet er einen Zuschauer, sich eine Zahl zwischen 1 und 35 zu denken, und ihm zu sagen, in welcher Spalte diese Karte liegt. Anschließend sammelt er die Karten ein und legt sie in derselben Reihenfolge erneut auf den Tisch, diesmal aber in Zeilen zu je 5 Karten (d.h. in der 1. Reihe von links die Karten 1 bis 5, in der 2. Reihe von 6 bis 10 usw.). Der Zuschauer wird nun befragt, in welcher Spalte jetzt die Karte mit der gedachten Zahl liegt, und Magix nennt ihm die Zahl.

15 2. Kongruenzen 39 (2) Aus dem Handbuch der Arithmetik des Chinesen Sun-Tzu (zwischen 200 und 470 n.chr.): Wir haben eine gewisse Anzahl von Dingen, wissen aber nicht genau wieviele. Wenn wir sie zu je drei zählen, bleiben zwei übrig. Wenn wir sie zu je fünf zählen, bleiben drei übrig. Wenn wir sie zu je sieben zählen, bleiben zwei übrig. Wieviele Dinge sind es? Die Bedingungen kann man ausdrücken durch das System von Kongruenzen x 2 mod 3 x 3 mod 5 x 2 mod 7 Die 1. Kongruenz hat die Lösungsmenge L 1 = {..., 7, 4, 1,2,5,8,11,14,17,20,23,26,...}, die 2. Kongruenz die 3. Kongruenz L 2 = {..., 7, 2,3,8,13,18,23,28,...}, L 3 = {..., 12, 5,2,9,16,23,30,...}. Eine gemeinsame Lösung der Kongruenzen muss im Durchschnitt der Lösungsmengen liegen wie zum Beispiel 23. Offensichtlich ist dann auch jede Zahl der Form eine Lösung des Systems. 23+k (3 5 7) = 23+k 105, k Z, Beide Beispiele führen auf ein System von mehreren linearen Kongruenzen. Wir betrachten daher nun ein allgemeines System linearer Kongruenzen das auch simultane Kongruenz heißt. a i x b i mod m i, 1 i n, Das System ist nur dann lösbar, wenn jede der einzelnen Kongruenzen lösbar ist, und das ist nach Satz der Fall, wenn ggt(a i,m i ) b i, 1 i n. Wir setzen dies im folgenden voraus. Division der einzelnen Kongruenzen durch den jeweiligen größten gemeinsamen Teiler ergibt das neue System a i x b i mod m i, 1 i n, mit a i := a i ggt(a i,m i ), b i := b i ggt(a i,m i ), m i := m i ggt(a i,m i ), ggt(a i,m i ) = 1, 1 i n.

16 2. Kongruenzen 40 a i ist prime Restklasse modulo m i, und durch Multiplikation der jeweiligen Kongruenz mit einem Rest aus der zu a i inversen Restklasse erhält man das äquivalente System Für paarweise teilerfremde Moduln gilt x c i mod m i, 1 i n. Satz (Chinesischer Restsatz) Seien n IN, c i,m i Z mit m i > 1, 1 i n, und m 1,...,m n paarweise teilerfremd. Weiter sei m := kgv(m 1,...,m k ). Dann hat das System genau eine Lösung modulo m. x c i mod m i, 1 i n, Was macht man nun, wenn die Moduln nicht paarweise teilerfremd sind? Beispiel Bei der simultanen Kongruenz x 2 mod 3 x 3 mod 4 x 5 mod 6 gilt ggt(3,6) = 3 und ggt(4,6) = 2, die Moduln sind also nicht paarweise teilerfremd. Wir zerlegen den Modul 6 in seine verschiedenen Primfaktoren. Die Kongruenz ist äquivalent zu dem System x 5 mod 6 x 1 mod 2 x 2 mod 3 und damit erhält man das System x 2 mod 3 x 3 mod 4 x 1 mod 2 x 2 mod 3. Es können sich also Kongruenzen mit demselben Modul in dem System ergeben, und diese sind entweder identisch, d.h. man kann alle bis auf eine weglassen wie in dem Beispiel, oder sie widersprechen sich, und dann ist die simultane Kongruenz nicht lösbar.

17 2. Kongruenzen 41 Kongruenzen bezüglich verschiedener Potenzen derselben Primzahl (hier 2 und 4 = 2 2 ) widersprechen sich entweder, und dann ist das System nicht lösbar, oder die Kongruenz modulo der höheren Potenz beinhaltet die Bedingung der anderen, d.h. nur die Kongruenz, deren Modul die höchste Primzahlpotenz darstellt, wird beibehalten. Unser Beispiel reduziert sich auf das System x 2 mod 3 x 3 mod 4 mit der Lösung x 11 mod 12.

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