Höhere Mathematik. Lernt alle Aufgaben aus den beiden Testklausuren!!!

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1 Höhere Mathematik Universität Bremen, Wintersemester 213/214 Dozent: Prof.Dr. Michael Hortmann Lernt alle Aufgaben aus den beiden Testklausuren!!! Φ = a b = a + b a Mitschrift Autor: Mario Alfredo Gollub Korrekturen und Anmerkungen: Timo Neumann, Eugen Kuksa, ste_loh, Lobus Caudatus Arturius Stand: 4. Februar 214 Erläuterungen: Der vorliegende Text stellt meine Mitschrift zur Veranstaltung dar. Dieser Text kann Fehler enthalten und ist nicht vollständig. Wenn der Leser in der aktuellen Version Fehler entdeckt, freue ich mich über eine kurze an gollub@uni-bremen.de. Vielen Dank! 1

2 1 To-Do-Liste Seite 13, Gruppentafel, ich weiß nicht, was der liebe Herr Hortmann hier meinte und geschrieben hat. Inhaltsverzeichnis 1 To-Do-Liste 2 2 Einleitung - Themengebiete der Mathematik Grundlagen Lineare Algebra Analysis Textsatzsystem Grundlagen Mengen Logik Tautologien Quantoren Mengenlehre Nachtrag zu Mengen Abbildungen Permutationen Gruppen Mächtigkeit von Mengen Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen Variante Variante die damals in der Vorlesung aufgeschriebene Variante meine eigene Variante Rekursive Definition der Addition Vollständige Induktion Rekursive Definition der Multiplikation Rekursive Schreibweise der Fakultät Binomialkoeffizienten Binomischer Lehrsatz Division mit Rest Plenum am 1. November Ringe Die Menge der rationalen Zahlen Q Größter gemeinsamer Teiler (ggt) Euklidischer Algorithmus (Chinesischer Restsatz) Betrag einer Zahl Potenzgesetze b-adische Zahlendarstellung Irrationale Zahlen Plenum am 8. November Begriffe über Zahlen Angeordneter Ring Vollständigkeit Metrischer Raum Konvergente Folge

3 3.31 Nullfolge Komplexe Zahlen Anwendungen der Grenzwertsätze Monotone beschränkte Folge Konvergente Reihen in C Alternierende harmonische Reihe Absolute Konvergenz Kriterien für absolute Konvergenz Die Exponentialfunktion Additionstheoreme für sin(x) und cos(x) Der Tangens tan(x) Der natürliche Logarithmus ln(x) Gruppenhomomorphismen Stetigkeit Die von Kochsche Schneeflocke Stetigkeit: Fortsetzung I Mathematik-Seminar vom Stetigkeit: Fortsetzung II Notationen (=Schreibweisen) Sätze über stetige Funktionen Zusammenhängende Mengen und der Zwischenwertsatz Gleichwertige Konvergenz Potenzreihen Gleichmäßige und absolute Konvergenz von Reihen Lineare Algebra: Vektorräume Vektorräume über einem Körper K Vektorraumhomomorphismen Der Gaußsche Algorithmus Dimension und Basis eines Vektorraumes Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Lineare Gleichungssysteme Blockmatrizen Gaußsche Normalform Plenum vom 1. Januar Gaußer Algorithmus Determinanten Determinanten (Fortsetzung) Geometrische Interpretation der Determinante Plenum vom 17. Januar Skalarprodukt Normierte Vektorräume über R Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Orthonormalbasen Wiederholung: unzusammenhängende Mengen Wiederholung: Zwischenwertsatz Wiederholung: Konvergenz Konvergente Folge Cauchy-Folge Konvergenz in Vektorräumen

4 2 Einleitung - Themengebiete der Mathematik 2.1 Grundlagen Mengenlehre Logik (Aussagenlogik, Prädikatenlogik) Abbildungen injektiv surjektiv bijektiv Mächtigkeit von Mengen endliche und unendliche Mengen 2.2 Lineare Algebra Vektorräume Lineare Abbildungen Lineare Gleichungssysteme Gruppen 2.3 Analysis Differential- und Integralrechnung Differentialgleichungen Fourierreihen Topologie 2.4 Textsatzsystem Zum Erstellen wissenschaftlicher Texte ist das Textsatzsystem L A TEX zu empfehlen 1. Die offizielle englisch-sprachige Projektseite bietet einen Einblick für Anfänger und Fortgeschrittene. Für den deutsch-sprachigen Einstieg 1 Dieses Dokument wurde mit L A TEX erstellt; Version: TeX (TeX Live 212/Debian) c D.E.Knuth unter GNU/Linux

5 ist WikipediA zu empfehlen: Wer die L A TEX- Pakete und die notwendigen Zusatzprogramme (Editor, GhostScript, PDF-Viewer) installiert hat, erhält über die Texte von Manuela Jürgens einen guten Einstieg in die L A TEX-Welt: LaTeX - Eine Einführung und ein bischen mehr... von Manuela Jürgens (Herausgeber: FernUni Hagen) pdf LaTeX - Fortgeschrittene Anwendungen. Oder: Mehr von den Hobbits von Manuela Jürgens (Herausgeber: FernUni Hagen) pdf Dieses Angebot ist allerdings nicht richtungsweisend, da L A TEX derart umfangreich ist, dass viele Dinge auf unterschiedliche Weise realisiert werden können. Für deutschsprachige Seiten sind z.b. die KOMA-Script-Klassen besser geeignet, als die L A TEX-Standard- Klassen, welche für US-amerikanisch ausgerichtete Formate geeigneter sind. 3 Grundlagen 3.1 Mengen Die Menge... der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3,..} der ganzen Zahlen: Z = {.., 3, 2, 1,, 1, 2, 3,..} der rationalen Zahlen: Q = { p (p Z) (q N)} q der reellen Zahlen: R = I Q (die Vereinigung der irrationalen Zahlen und der rationalen Zahlen) der komplexen Zahlen C = {(a, b) (a R) (b R)} Daher können wir auch schreiben: N N Z Q R C 5

6 3.2 Logik Aussagenlogik Aussagen sind verbale Konstrukte, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch Aussagen kürzt man ab: A, B, C,.. Aussagenverknüpfungen: A und B : A B A oder B: A B Wahrheitstabellen: Die UND-Verknüpung: Die ODER-Verknüpung: A B A B w w w w f f f w f f f f A B A B w w w w f w f w w f f f Die Verneinung (Negation): NICHT A: A A A w f f w (A B) hat die selbe Wahrheitstabelle wie ( A) ( B) 3.3 Tautologien Was ist (eigentlich) eine Tautologie? WikipediA sagt: Eine Tautologie, auch Verum genannt, ist in der Logik eine allgemein gültige Aussage, das heißt eine Aussage, die aus logischen Gründen immer wahr ist. Beispiele für Tautologien sind Aussagen wie Wenn es regnet, dann regnet es. und Zwei linke Finger sind zwei linke Finger. A A A A ( A) A (A ( A)) 6

7 (A (A B)) B (A ( B) ( A)) B 3.4 Quantoren Existenzquantor : ( x) : E(x) Es gibt (existiert) ein Element (Objekt), dass die Eigenschaft E(x) besitzt. Allquantor : ( x) : E(x) Zu jedem Element (Objekt) x gilt: x hat die Eigenschaft E(x). oder: Für alle x trifft E(x) zu. 3.5 Mengenlehre..nach Cantor Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen. Beispiel: {1, 2, 3} ist die Menge, die genau die Objekte 1, 2, 3 als Elemente enthält. x M heißt: das Objekt x ist Element aus der Menge M. 2 {1, 2, 3} ist eine wahre Aussage 4 {1, 2, 3} ist eine falsche Aussage Statt (x M) schreibt man x / M Die Mengen M, N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Beispiel: M := {1, 2} N := {n N x, y, z N : x n + y n = z n } Dass die Eigenschaft E(n) = x n +y n = z n (x, y, z N) nur für n {1, 2} gilt, ist einer der großen Sätze aus der Mathematik-Geschichte. Dazu gibt es das interessante Taschenbuch Fermats letzter Satz, falls jemanden die Hintergründe interessieren. {7, 8,.., 88} die Menge der natürlichen Zahlen von 7 bis 88 (ab)geschlossenes Intervall: [a, b] sind alle reellen Zahlen von a bis b 7

8 offenes Intervall: ]a, b[ sind die reellen Zahlen zwischen a und b (OHNE a und OHNE b) ]a, b[ = {x R (x > a) (x < b)} halboffenes Intervall: [a, b[ sind alle Elemente von a bis b OHNE b [a, [ = {x R a x} Allgemein bilden wir Mengen zu einer Eigenschaft E: {x M E(x)}, wobei M eine bereits bekannte Menge ist. Die leere Menge (Leeremenge): M sei eine Menge E(x) : x x M = {x M E(x)} = {x M x x} Ist N eine weitere Menge, so zeigt man leicht, dass M = N Beweis: 1. Zu zeigen: x M x N 2. Zu zeigen: x N x M Das heißt, man kann einfach schreiben und nennt diese Menge "Leeremenge" Mengentheoretische Operationen: Differenzmenge von X ohne A X, A seien Mengen X \ A := {x X x / A} (sprich: X ohne A oder X minus A) Durchschnitt[smenge] Seien A, B Mengen A B := {x (x A) (x B)} disjunkt: Mengen sind disjunkt, wenn sie sich nicht überlappen / überschneiden. (disjunkt = unzusammenhängend) Vereinigung[smenge] A B := {x (x A) (x B)} Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): A B = B A A B = B A Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz): (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Distributivgesetz: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) De Morgansche Regeln Im Hintergrund stehen die Tautologien: 8

9 ( (A B) ( A) ( B)) ( (A B) ( A) ( B)) Teilmengen M N soll heißen ( x)(x M x N) D.h.: jedes Element von M ist auch Element von N (sprich: M ist Teilmenge von N). M = N (M N) (N M) Das Komplement Wenn wir in einer gegebenen Grundmenge X eine Teilmenge A dieser Grundmenge vorliegen haben und wir nun sagen wollen, dass wir alle diejenigen Elemente betrachten wollen, die nicht in A liegen, dann wollen wir also mit dem Komplement von A arbeiten. Dieses kann man schreiben als X \ A oder einfacher (weil kürzer) als A. 3.6 Nachtrag zu Mengen Die Potenzmenge P(M): Sei M = {1, 2, 3}. Dann ist die Potenzmenge von M P(M) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Wenn die Menge M n verschiedene Elemente enthält, dann ist die Potenzmenge 2 n -elementig. M = N P(M) A P(M), also A N Jetzt läßt sich A identifizieren mit einer aus und 1 gebildeten Folge Russellsche Antinomie Sei E eine Eigenschaft unser Mengenbildungsxiom M Menge A = {x M E(x)} M ist eine mögliche Mengenbildung. Bei Cantor war die Mengenbildung {x e(x)} erlaubt. Demnach ist erlaubt: R := {x x / x} Nun muss gelten: R R R / R Russell formulierte 1918 das Barbier-Paradoxon mit folgenden Worten: Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst? 9

10 3.7 Abbildungen Gegeben seien die Mengen M, N Eine Abbildung f : M N ordnet jedem x M ein eindeutig bestimmtes Elemtent f(x) N zu. f(x) heißt: Bild von x unter f M heißt: Definitionsbereich von f N heißt: Wertebereich von f Beispiele: Paare: M = N = N f : N N x 2x f : N N{ 1 falls x, y, z N, x, y, z 1, x + y = z f(n) := sonst Graph(f) := {(x, f(x) x M} wenn (x, y) = (z, w), dann sollte gelten: x = z und y = w Eine solche Eigenschaft wird hergestellt durch die Konstruktion: (x, y) := {{x}, {x, y}} Diese Definition verstehe ich nicht! Kann mir jemand eine Erklärung geben, bitte? Sind M, N Mengen, dann bildet man M N := {(a, b) a M und b N} Beispiele: 1. M = {1, 2, 3} N = {a, b} M N = {{1, a}, {1, b}, {2, a}, {2, b}, {3, a}, {3, b}} 2. M = R, N = R R R läßt sich mit den Punkten einer Ebene identifizieren. ((a, b), c) ((M N) K), wobei a M, b N, c K (a, (b, c)) M (N K) Man identifiziert diese Paare und schreibt statt ((a, b), c) oder (a, (b, c)) nur (a, b, c) und nennt dies ein geordnetes Tripel (3- Tupel). Genauso schreibt man statt (M N) K oder statt M (N K) nur M N K. Analog gilt diese Schreibweise auch für n-tupel. Mengen, die sich über das Symbol verknüpfen lassen, nennt man kartesisches Produkt. 1

11 M = R R 1 = R ist eine Dimension (eine Gerade) R 2 = R R sind zwei Dimensionen (eine Ebene) R 3 = R R R (Raum) f : M N Graph(f) := {(x, f(x)) x M} (M N) Die Abbildung f : R R x x ist eine ganz besondere Abbildung. Daher hat sie einen eigenen Namen: Die Identität. Wenn wir eine Menge mit der Identität abbilden, werden die Elemente aus der Definitionsmenge auf die identischen Elemente in der Zielmenge abgebildet. Augenscheinlich verändert sich eigentlich nichts. Wenn wir z.b. die natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen über die Identität abbilden, so werden diese Zahlen in die ganzen Zahlen eingebettet. Die Identität schreiben wir ab jetzt auch so: id(x) g : R R x x 2 M = {1, 2, 3}, N = {a, b} (es gibt N M = 2 3 mögliche Abbildungen) f : M N f(1) = a f(2) = a f(3) = b Wenn die Menge M aus m Elementen besteht 2 und wenn die Menge N aus n Elementen besteht, dann existieren n m mögliche Abbildungen, um die Elemente aus M abzubilden. Einheitskreis: S := {(x, y) R R x 2 + y 2 = 1} S ist kein (Funktions)Graph G f einer Abbildung f : R R, da S keine Funktion ist. Begründung: Eine Funktion besitzt nur eindeutige Funktionswerte. Die Menge S besitzt aber bei den meisten x-werten bis zu zwei Funktionswerte! Der obere Halbkreis ist jedoch ein Graph Verknüpfung von Abbildungen Seien zwei Abbildungen gegeben: M f N und N g K Dann definiert man die Abbildung (g f) : M K durch: (g f)(x) = g(f(x)) Man spricht auch von Hintereinanderschaltung von Abbildungen. 2..man schreibt dann auch, die Mächtigkeit von M ist #M = 6 11

12 Eine Abbildung f : M N heißt.. surjektiv, wenn jedes Element von N als Bild eines Elementes von M vorkommt. formal: surjektiv y N x M : y = f(x) (umgangssprachlich: jedes y aus der Zielmenge N wird erreicht) injektiv, wenn verschiedene Elemente von M immer auf verschiedene Elemente von N abgebildet werden. formal: injektiv x, y M : x y f(x) f(y) diese Definition ist äquivalent zu der Definition.. formal: injektiv x, y M : f(x) = f(y) x = y (umgangssprachlich: jedes y aus der Zielmenge N wird höchstens ein einziges Mal erreicht) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. (umgangssprachlich: jedes y aus der Zielmenge N wird genau ein Mal erreicht) Bei bijektiven Abbildungen f : M M gibt es jeweils eine inverse Abbildung f 1 y M!x M : f(x) = y (Zu jedem y M existiert genau ein x M, sodass gilt: f(x) = y.) Wir sehen: f 1 (y) = x Damit haben wir eine neue Abbidung f 1 : M M definiert. Und übrigens gilt dann: f 1 f = id M Wenn f, g bijektive Abbildungen sind, dann sind auch deren Hintereinanderschaltungen f g und g f bijektive Abbildungen. 3.8 Permutationen Sei n N eine festgewählte natürliche Zahl. Dann definieren wir uns damit eine Menge N n = {1,.., n} Jetzt können wir Abbildungen konstruieren, die von dieser Menge N n in die gleiche Menge abbilden. Alle diese Abbildungen zusammen genommen bilden eine Menge von Abbildungen. Wenn wir uns von diesen Abbildungen nur diejenigen heraus nehmen, welche bijektiv sind, so erhalten wir die Menge: S n := Die Menge der bijektiven Abbildungen N n N n Für n = 3 lautet unsere Menge beispielsweise S 3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)} Bei der folgenden Gruppentafel hatte ich Schwierigkeiten, mitzuschreiben und gleichzeitig seinen Erklärungen zu folgen. Kann mir jemand ein scharfes Foto von der Gruppentafel schicken und mir erklären, was 12

13 er hiermit aussagen wollte, bitte? Vielen Dank! Gruppentafel: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a 4 a 5 a 5 a 6 a Gruppen Definition: Eine Gruppe ist eine Menge G mit einem Element e G 3 Abbildung (genannt Verknüpfung) ϕ : G G G und den Eigenschaften: (Notation: ϕ(a, b) kann auch geschrieben werden als a b oder ab.) und einer Existenz eines neutralen Elements: a G : ea = ae = a Existenz eines inversen Elements: a G!b G : ab = ba = e Das eindeutig bestimmte Element b bezeichnet man mit a 1 Assoziativgesetz: a, b, c G : (ab)c = a(bc) Wenn die folgende Eigenschaft in der Gruppe G auch gilt, so sprechen wir von einer kommutativen Gruppe bzw. einer abelschen Gruppe: Kommutativgesetz: a, b G : ab = ba Beispiele für Gruppen: 1. S n mit der Verknüpfung und der identischen Abbildung als neutralem Element 2. (Z, +) (Die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition und der als neutralem Element) 3. (Q, +), (R, +) 4. E = {1, 1}, (E, ) 5. G = {1, 2, 3, 4}, Definiere: a b = ist der Rest, wenn ich durch 5 teile 6. R = R \ {}, (R, ), 1 ist das neutrale Element 3 Das e steht für das Einselement oder auch genannt neutrales Element bzgl. der Verknüpfung. In der Literatur wird manchmal auch 1 G, oder n, oder auch einfach nur die 1 bei der Multiplikation und die bei der Addition benutzt. Je nach Autor kann es auch sein, dass das Element e das Einselement symbolisiert und das Element n das Nullelement symbolisiert. Das liegt in der Freiheit des Mathematikers in Euch ;-) 13

14 ( a 7. R R = R 2. Man schreibt jetzt häufig ( ) b ist der Vektor ) statt (a, b). Das neutrale Element 3.1 Mächtigkeit von Mengen Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. in Zeichen: A B (A und B sind gleichmächtig) A B A und B sind gleichmächtig oder A ist weniger mächtig als B. Satz: A B und B A A B Satz: Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist immer mächtiger als die Menge selbst. Das bedeutet, dass es keine surjektive Abbildung M P(M) gibt. Verallgemeinerte Kontinuumshypothese: 4 Gibt es eine Menge M, die zwischen den beiden Mengen N, P(M) liegt? Antwort: Nein Bemerkung: Annahme: f : M P(M) sei surjektiv. Beweis: (wie bei der Russellschen Antinomie) R := {r M r / f(r)}, R M, R P(M) Weil f surjektiv ist, gibt es ein r M mit f(r) = R Jetzt muss gelten:: r R ODER r / R 1. Fall: (r R) r f(r) r / R 2. Fall: (r / R) r / R r R Das ist insgesamt ein Widerspruch! Also: gibt es keine solche Abbildung Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen Variante 1 Es gibt eine unendliche Menge und darauf kann eine injektive aber nicht surjektive Abbildung erzeugt werden ODER eine surjektive Abbildung, die nicht injektiv ist. 4 Auszug aus WikipediA: Die sogenannte einfache Kontinuumshypothese CH (englisch continuum hypothesis) besagt: Es gibt keine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, die in ihrer Mächtigkeit kleiner ist als die der reellen Zahlen. Anders ausgedrückt: Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. 14

15 Variante 2 Es gibt eine Menge N mit einem Element 1 N und einer injektiven (aber nicht surjektiven) Abbildung S : N N, sodass gilt: 1 / S(N), d.h.: n N : S(n) 1 (Induktionsaxiom:) Ist M N und 1 M, und gilt: n N : n M S(n) M, dann ist M = N die damals in der Vorlesung aufgeschriebene Variante 3 Es gibt eine Menge N mit einem Element 1 N und einer injektiven Abbildung S : N N n n + 1, sodass gilt: 1 / S(N) := {S(n) n N} = {2, 3, 4,...}. (Die 1 tritt in der Bildmenge nicht auf. Daher wird die 1 aus den natürlichen Zahlen nicht erreicht. Daher ist die Abbildung nicht surjektiv.)..und (Induktionsaxiom) ist M N und gilt: 1 M n M S(n) M. Dann ist M = N meine eigene Variante 4 Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N: Gegeben ist eine Menge, die wir mit dem Symbol N bezeichnen wollen. Es gilt 1 N und es existiert eine Abbildung S : N N n n + 1. Falls eine Teilmenge M N existiert, in welcher die 1 als Element vorkommt und die Menge M die Eigenschaft besitzt n M S(n) M, dann ist M = N Rekursive Definition der Addition n N n + 1 := S(n) n + S(m) := S(n + m) Man hat mit diesen beiden Zeilen eine Operation (nämlich die Addition) + : N N N (n, m) n + m definiert. 15

16 Es sind jetzt zu beweisen: n, m, k N : (n + m) + k = n + (m + k) (Assoziativgesetz der Adition) m, n N : m + n = n + m Der Beweisansatz für das Assoziativgesetz folgt hier mit der vollständigen Induktion Vollständige Induktion Beweis: (Beweisprinzip der vollständigen Induktion) zu zeigen: k N : ( m, n N : (m + n) + k = m + (n + k)) Beweis: 1. Induktionsanfang: Wir setzen die 1 ein: E(1) z.z.: (m + n) + 1 = m + (n + 1) (m + n) + 1 = S(m + n) = m + S(n) = m + (n + 1) 2. Induktionsvoraussetzung: Es darf also E(k) vorausgesetzt werden; daraus ist E(k + 1) zu folgern. E(k) heißt, dass für m, n N gilt: (m + n) + k = m + (n + k) 3. Induktionsschritt: zu zeigen: E(k) E(k + 1). das heisst: (m + n) + (k + 1) = m + (n + k + 1) Beweis: (m + n) + (k + 1) = (m + n) + S(k) = S((m + n) + k) I.V = S(m + (n + k)) = m + S(n + k) = m + (n + (S(k))) = m + (n + (k + 1)) 4. Induktionsende: (Antwortsatz) Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung für alle m, n, k N Rekursive Definition der Multiplikation m 1 := m m S(n) := m n + m 16

17 Mit Folgendem ist die Operation der Multiplikation definiert: : N N N (m, n) m n Man zeigt mithilfe der vollständigen Induktion, dass das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz der Multiplikation, sowie das Distributivgesetz gelten. Notationen: n i=1 a i = a a n n i=1 a i = a 1... a n Mit (G, ) meinen wir ab jetzt eine multiplikativ geschlossene Gruppe 3.12 Rekursive Schreibweise der Fakultät Fakultät: n! := n n N 1! := 1 (n + 1)! = n!(n + 1) M Anzahl der Elemente einer Menge M M =, falls die Anzahl der Elemente der Menge unendlich ist M = n gdw Es gibt eine bijektive Abbildung N M (Abkürzung gdw: genau dann wenn) 3.13 Binomialkoeffizienten (Pascalsche Dreieck) ( ) ( ) m m Für m setze: := 1 und := 1 ( m ) ( ) m + 1 m Für m 1 und < n < m setze: := + n + 1 n ( m n + 1 Damit ist für alle m N und n N mit 1 n m der Binomialkoeffizient eindeutig bestimmt. Man beweist jetzt durch vollständige Induktion, dass ( m n ) ) = m! n!(n m)! ( m n ) 17

18 (Hierfür ist es notwendig,! = 1 zu setzen.) (m + S(n) := S(m + n)) 3.14 Binomischer Lehrsatz (a + b) n = n i= ( n i ) a i b n i..mit a := 1 ( ) m ist die Anzahl der Möglichkeiten aus einer m-elementigen Menge n Elemente n auszuwählen. ( binomial(m, ) n) 4 = 6 {1, 2, 3, 4} 2 {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 3.15 Division mit Rest Seien m N, n N gegeben. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q, r N, sodass gilt: Wir schreiben dann m%n für den Rest r und m \ n für den Quotienten q m = qn + r Divident = Quotient Divisor + Rest Ist jetzt m N beliebig, so gibt es eine eindeutige Darstellung m = k a n i i= 3.16 Plenum am 1. November 213 zu Aufgabenblatt 2 Aufgabe 5: p = for-schleife in PARI-GP: for(i=anfang,ende,befehlssequenz) 18

19 if-schleife in PARI-GP: if(bedingung, Befehlssequenz, else-befehlssequenz) Beispiel:? p= = ? if(3,1,2) = 1? if(,1,2) = 2? if(3<4,1,2) = 1? if(4<3,1,2) = 2? for(i=1, ,if(((135*i)% )==1,print(i);break)) Ringe Ein Ring ist eine nichtleere Menge R mit der Struktur einer abelschen Gruppe (kommutativen Gruppe) (R, +), mit einer weiteren Operation (Verknüpfung) R R R mit (a, b) a b, welche assoziativ ist, sodass für diese Operationen die Distributivgesetze a (b + c) = ab + ac UND (b + c) a = ba + ca gelten 5. Hat diese Operation ein neutrales Element, so spricht man von einem Ring mit Eins (oder: unitärer Ring). Ist die Operation kommutativ, so spricht man von einem kommutativen Ring. Beispiele: 1. (Z, +, ) 2. Z n = {, 1,..., n 1} Addition und Multiplikation definiert modulo n, d.h.: a b := (a + b) % n a b := (a b) % n 3. Z 2 := {, 1} 4. Eine (m n)-matrix mit Koeffizienten in R ist ein rechteckiges Schema a 11 a 1n A :=.. = (a ij ) a m1 a mn 5 Damit bildet die nichtleere Menge M mit der Multiplikation eine Halbgruppe (R, ) 19

20 von Elementen aus R mit m Zeilen und n Spalten. Zwei Matrizen A, B M m n (R) werden addiert, indem man die entsprechenden Elemente in R addiert: A := (a ij ), B := (b ij ), A + B = C bzw. c ij = a ij + b ij ( ) ( ) ( ) ( (3 + 7) (4 + 8) 1 12 A + B := + = = (5 + 9) (6 + 1) Damit wird M m n (R) mit dieser Addition zu einer abelschen Gruppe, deren neutrales Element die sogenannte Nullmatrix ist. Die Matrix-Multiplikation: a 11 a 1n b 11 b 1k A B =.... = C a m1 a mn b n1 b nk n (c ij ) := a il b lj l=1 Beispiel: R = Z ( ) 4 7 = ( ( ) ( ) = ) = ( ) 5 8 Man rechnet für größenmäßig passende Matrizen A, B, C nach, dass gilt. A (B C) = (A B) C Assoziativgesetz für Matrizen 5. Die quadratischen Matrizen M n (R) = M n n (R) mit Eins bilden einen Ring bezüglich Matrixaddition und -multiplikation (, wenn R Ring mit Eins ist). Das Einselement bei Matrizen also das neutrale Element sieht folgendermaßen aus: 1 E n = E =... = (δ ij ) M n (R) 1 wobei gilt: δ ij := { 1, falls i = j, sonst 6. Ein Ring R mit 1 heißt Körper, wenn R = R \ {} bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bildet. Beispiele: Q, R, C, Z p (wenn p prim (=Primzahl)). ) 2

21 3.18 Die Menge der rationalen Zahlen Q Man bildet Brüche aus ganzen Zahlen mit von verschiedenenem Nenner: Wir bilden Z (Z \ {}) und schreiben m n statt (m, n). Wir definieren zwei solche Zahlenpaare m n = m n, wenn mn = m n Man definiert die Addition von Brüchen mit a + c b d von Brüchen mit a c = ac b d bd = ad+bc bd und die Multiplikation Mit dieser Addition und Multiplikation bilden die aus Z gebildeten Brüche einen kommutativen Körper. Man identifiziert einen Bruch m mit der ganzen Zahl m. Damit können wir sagen, dass 1 Z Q (Q = Menge der Brüche). Ist ein Bruch m gegeben, so läßt sich ein äquivalenter Bruch mit positivem Nenner n finden. Teilbarkeit in Z Wir schreiben a b (gesprochen: a teilt b), falls c Z : Ein Element c Z heißt größter gemeinsamer Teiler von a, b Z, wenn jeder Teiler von a, b auch Teiler von c ist! Es gibt einen eindeutig bestimmten positiven größten gemeinsamen Teiler von zwei von verschiedenen Zahlen. Das ist für Brüche relevant. Teilt man den Zähler und den Nenner durch ihren ggt, so erhält man einen äquivalenten Bruch, dessen Zähler und Nenner den ggt 1 besitzen. Ist jetzt der Nenner positiv, so spricht man von der gekürzten Form des Bruches Größter gemeinsamer Teiler (ggt) p N heißt Primzahl, wenn in N nur 1 und p Teiler von p sind. Ist n N mit n 2. Dann gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen p 1 < p 2 <... < p k und eindeutig bestimmte Exponenten a 1,..., a n N, sodass gilt: n = k i=1 p a i i Diese Produktdarstellung von n nennt man die eindeutige Primfaktorzerlegung von n. 21

22 Beispiel 1: m = 15 = Beispiel 2: n = 6 = Dann ist der ggt von 6 und 15 gegeben durch ggt(6, 15) = = 15, da die 3 und die 5 die gemeinsamen Faktoren sind (siehe Beispiele 1,2) 3.2 Euklidischer Algorithmus (Chinesischer Restsatz) m, n N m n setze: r = m und r 1 = n Sobald R k+1 =, ist r k = ggt(m, n) r RM = r M %r k (1) 15 : 6 = 1 Rest 45 (2) 6 : 45 = 1 Rest 15 (3) 45 : 15 = 3 Rest (4) Jede rationale Zahl läßt sich geometrisch als Punkt auf der Zahlengerade deuten Betrag einer Zahl Sei a Q gegeben. Dann ist der Betrag von a gegeben durch { a, falls a > a := a, sonst 3.22 Potenzgesetze (G, ), m, n Z Mit a G : Mit a, b G : Mit a, b G : a m+n = a m a n (ab) m = a m b m (ab) 1 = b 1 a b-adische Zahlendarstellung k x = a i b i i=1 Beispiel im dyadischen System (Binärsystem) = (5) = (6) 22

23 3.24 Irrationale Zahlen All diejenigen Zahlen, die sich nicht als (gekürzter Bruch) rationale Zahl p q Z, q N) darstellen lassen, werden als irrationale Zahlen bezeichnet. (mit p Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist Plenum am 8. November Wiederholung: Was ist ein Ring? Antwort: Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit 2 Operationen auf R, sodass.. R zusammen mit der Addition + eine abelsche Gruppe bildet und die Multiplikation in R assoziativ ist und die Distributivgesetze a(b + c) = ab + ac und (b + c)a = ba + ca gelten. Wiederholung: Was ist ein Ring mit Eins? Antwort: Wenn wir bereits einen Ring (R, +, ) vorliegen haben, und zusätzlich ein neutrales Element der Multiplikation existiert, so spricht man von einem Ring mit Eins. weiter gilt: Ist die Multiplikation kommutativ, so spricht man von einem kommutativen Ring. weiter gilt: Wenn R \ {} = R R Körper. mit der Multiplikation eine Gruppe bildet, heißt Folgende Mengen sind Körper zusammen mit den auf ihnen definiereten Operationen +, : Q, R, C, H Die Menge der n n-matrizen mit Einträgen aus der Menge R ist in der Regel kein Körper Begriffe über Zahlen Satz: Es gibt einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper, den wir mit R bezeichnen. Ordnung: Sei M eine Menge, auf welcher folgende Relation gilt: R M M. (Man spricht dann von einer Relation auf M) und schreibt arb statt (a, b) R. Eine Relation R auf M heißt Ordnung (oder Ordnungsrelation), wenn folgende Eigenschaften gelten: 1. a M : ara 23

24 2. a, b M : (arb bra) a = b 3. a, b, c M : (arb brc) arc Beispiele: M = N, R = oder R = M = Q, R =, M = {a} R = {(a, a)} M = {a, b} R = {(a, a), (b, b), (a, b)} M = {a, b, c} R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)} N, P(N), A, B P(N), Die Teilmengen-Relation auf P(N) ist eine Ordnungsrelation, denn: A A, A B b A A = B, A B B C A C Eine Ordnung R auf M heißt total (totale Ordnung), wenn a, b M : arb bra Die obigen Beispiele für Ordnungen auf N, Q sind total Angeordneter Ring Sei R ein Ring und eine Ordnung auf R. Wenn die folgenden Verträglichkeitsbedingungen gelten: i) a, b, c R : a b a + c b + c ii) a, b R : a b a b Wenn i) und ii) gelten, so nennt man R zusammen mit dieser Ordnungsrelation einen geordneten Ring. Beispiele: Z und Q mit der üblichen Ordnung sind angeordnete Ringe Ein angeordneter Körper ist ein angeordneter Ring der auch Körper ist (Beispiel: Q) Ein angeordneter Körper heißt archimedisch (geordnet), wenn zu jedem x K ein n N K existiert mit x n Vollständigkeit Den Begriff der Vollständigkeit eines archimedisch angeordneten Körpers läßt sich auf verschiedene Weisen fassen: 1. Jede monoton wachsende beschränkte Folge besitzt einen Grenzwert. 2. Jede Cauchy-Folge besitzt einen Grenzwert. 3. Jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum. Zunächst Diskussion zu

25 3.29 Metrischer Raum Zu einer Menge M sei eine Abbildung (Metrik) d : M M R 6 mit x, y M : d(x, y) (positiv definit) x, y M : d(x, y) = x = y x, y, z M : d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y M : d(x, y) = d(y, x) (Dreiecks-Ungleichung) (Symmetrie) gegeben. Eine solche Abbildung nennt man eine Metrik auf M, und M zusammen mit dieser Metrik nennt man einen metrischen Raum. Beispiele: 1. M = R, d(x, y) = x y Analog für jede Teilmenge M R : (, ) = 2. M beliebige { Menge 1 x y d(x, y) = sonst 3. M = R 2 d(x, y) ist die Länge der Strecke von x nach y: (y 2 x 2 ) 2 + (y 1 x 1 ) 2 Diese Metrik nennt man die natüliche oder die euklidische Metrik auf R 2 4. Andere Metrik auf R 2 (Manhattan-Metrik) d (x, y) = y 2 x 2 + y 1 x 1 5. Maximums-Metrik d (x, y) := max{ y 2 x 2, y 1 x 1 } 6. M = R 3 (euklidische Metrik im R 3 ) d(x, y) = (y 3 x 3 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 1 x 1 ) 2 7. d (x, y) = y 3 x 3 + y 2 x 2 + y 1 x 1 8. d (x, y) = max{ y 3 x 3, y 2 x 2, y 1 x 1 } 9. analog kann man diese Metriken auf den R n erweitern n 1. d m (x, y) = m x i y i m i=1 6 d = distance 25

26 3.3 Konvergente Folge Eine Folge (x n ) n N in einem metrischen Raum M mit der Metrik d heißt konvergent mit Grenzwert a M, wenn gilt: ε > n N n n : d(a, x n ) < ε In Worten: Zu jedem noch so kleinen positiven Abstand Epsilon zu a gibt es eine Distanz, die noch kleiner ist zwischen a und dem n-ten x aus der Folge. oder in den Worten aus dem Seminar: Für alle echt positiven Zahlen ε gibt es einen Folgenindex n, ab dem die Folgenglieder von dem Punkt a M einen Abstand haben, der kleiner als ε ist. Beispiele: 1. (M, d) sei ein metrischer Raum und a M, sodass gilt: n N : x n = a. Diese definierte (konstante) Folge ist konvergent mit Grenzwert a. 2. (M, d), { a, b M, a b a für gerade n x n = b für ungerade n 3. Ist (x n ) eine Folge mit dem Grenzwert a, so schreibt man dies abkürzend mit Eine andere Schreibweise (Notation) ist: lim x n = a n ε > n N n n : x U ε (a) Behauptung: Die Folge (a n ) n N = 1 ist konvergent und hat den Grenzwert. n Beweis: Sei ε > gegeben. Weil R archimedisch geordnet ist, gibt es ein n N : n > 1 ε Ist jetzt n n, so gilt erst recht n > 1 ε Das war zu zeigen! 3.31 Nullfolge Eine Folge mit Grenzwert heißt Nullfolge. Die Tatsache, dass der Grenzwert der Folge (a n ) ist, darf symbolisch geschrieben werden: 1 lim n n = Beispiele: 26

27 1 1. lim n n 2 1 = lim lim 1 n n n n 2. < q < 1, (a n ) = q n, lim n q n = 3. Man zeigt leicht, dass die Formel auch für 1 < q < 1 gilt Komplexe Zahlen Ausgangspunkt ist der R 2. Die Addition ist (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Die Multiplikation ist auf den ersten Blick nicht trivial: (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). Mit diesen Operationen ist der R 2 ein Körper. (1, ) ist das neutrale Element der Multiplikation (Einselement). (, ) ist das neutrale Element der Addition (Nullelement). Das multiplikative Inverse lautet (, ), Anstelle von (1, ) schreibt man auch 1 und man a b a 2 +b 2 a 2 +b 2 schreibt anstelle von (, 1) auch i. a + bi = (a, ) + (b, )(, 1) = (a, ) + (, b) = (a, b) (7) Ab jetzt schreiben wir anstelle von R 2 immer C. Die Elemente von C nennen wir komplexe Zahlen und mit der Schreibweise x = (x, ) identifizieren wir die komplexen Zahlen auf der x-achse mit den reellen Zahlen. Komplexe Zahlen der Form bi = (, b), die auf der y-achse liegen, nennen wir imaginäre Zahlen. Die Gleichung a + bi = (a, b) zeigt, dass sich jede komplexe Zahl eindeutig als Summe einer reellen und einer imaginären Zahl schreiben läßt. z C, z = (a + bi) mit a, b R, a heißt Realteil von z ( a=re(z) ). b heißt Imaginärteil von z ( b=im(z) ). Die komplex konjugierte Zahl von z = a + ib lautet z = a ib. Der Abstand einer komplexen Zahl z zur Null lautet z = z z Anwendungen der Grenzwertsätze Sei C gegeben. z n := 1 n 2 x n := 1 n, y n := 1 n, lim n z n = lim n (x n y n ) = z n := n3 + n + 1 2n 3 + n = n n n + 7 n 3 lim z n n = lim 2 n 3 n n = lim (1 + 1n + 1n ) n ( n n ) = lim 1 + lim 1 n n n + lim n n 3 lim 2 + lim n n ( lim n x n ) ( lim n n + 7 n lim n n 7 n 3 ) lim y n n = = 27

28 3.34 Monotone beschränkte Folge Satz: Eine monoton steigende, nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen ist eine Cauchyfolge und damit konvergent! (x n ) n N Folge in R heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl A R gibt, sodass Analog: nach unten beschränkt n N : x n A Analog: beschränkt, wenn die Folge nach oben und nach unten beschränkt ist, das heißt, wenn A R : n N : x n A. x n heißt monoton wachsend, wenn m, n N : m n x m x n. x n heißt streng monoton wachsend, wenn m, n N : m < n x m < x n. Beispiele: 1 n ist streng monoton fallend und nach unten beschränkt ( 1 1 n) ist streng monoton steigend und nach oben beschränkt Satz: (x n ) n N sei eine konvergente Folge in R n bezüglich der euklidischen Metrik mit Grenzwert a. Es gibt also x k = x 1 k. x n k Jetzt folgt für jedes i N : 1 i n, a = a 1. a n ε > n N k n : d(x k, a) < ε ε > n N k n a i x i k < ε Das bedeutet, dass für jeden Index i mit 1 i n gilt: Auch umgekehrt gilt: Sind die Komponenten Folgen lim k xi k = a i. (x 1 k),..., (x k k) 28

29 konvergent, so ist auch die Folge (x k ) konvergent und es gilt lim (x k) = k 3.35 Konvergente Reihen in C Sei (a n ) n N eine Folge in C. Man setze lim k x1 k. lim k xn k s n := n i=1 a i Man interessiert sich jetzt für die Konvergenz der Folge (s n ). Wenn (s n ) konvergent ist, also lim n (s n ) = s existiert, so schreibt man diesen Grenzwert auch als. a n = s n=1 Man schreibt statt der Folge (s n ) auch einfach n=1 a n. In diesem Sinne bedeutet die Summe auch eine Folge. Man nennt die Folge a n auch eine Reihe; die a n nennt man deren Summanden und die s n nennt man die Partialsummen der Reihe. Beispiele: i) a n :=, s n = also a n = ii) a n := 1, s n := n, n=1 n=1 a n existiert nicht. n=1 iii) Wenn a n existiert, dann ist die Summanden-Folge (a n ) eine Nullfolge. iv) n=1 n=1 1. Diese Reihe heißt harmonische Reihe und sie ist nicht konvergent. n v) Die Reihe n=1 1 n 2 ist konvergent! n 2 a n = 1 1 = ( 1 n 2 } n {{ 1 ) n } =b n (t n ) = n b i = (1 1) + ( 1 1) + ( ( 1 1 )) = n 1 n n n=2 29

30 Also lim (t n ) = 1 n s n = n = 1 + n i=1 1 i 2 i= (t i 2 n ) 2 monoton wachsende Folge nach oben beschränkt. vi) Die geometrische Reihe q C, q < 1,. Wir wissen, dass (q n ) n N Nullfolge ist. Dann ist auch die Reihe konvergent und es ist n= q n = 1 1 q n n= q n Zum Beispiel für q = = Die geometrische Summenformel lautet: = 2 s n = n i= q i = 1 qn+1 1 q. Ist jetzt q < 1 lim s n = n 1 lim q n n 1 q = 1 1 q 3.36 Alternierende harmonische Reihe (vorzeichenwechselnde harmonische Reihe) Die Reihe ( 1) n+1 1 n = n= ist konvergent. Beweis: Die (s 2n ) ist eine monoton wachsende Folge. Die (s 2n+1 ) ist eine monoton fallende Folge. s 2n s 2n+1, d.h. s 2n ist eine nach oben beschränkte Folge. (s 2n+1 ) ist eine nach unten beschränkte Folge. Beide Folgen sind also konvergent. s 2n+1 s 2n = 1 2n+1 : Da die Differenzen der Folgenglieder klein werden, sind diese Grenzwerte gleich und müssen daher gleich dem Grenzwert der Folge (s n ) sein. Die Folge ist also konvergent. 3

31 3.37 Absolute Konvergenz Eine Reihe a n mit Summanden a i C heißt absolut konvergent, wenn die Reihe n=1 = a n konvergiert. n=1 Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent; aber nicht absolut konvergent. Satz: Eine absolut konvergente Reihe ist (auch) konvergent. Beweis: Ich zeige, dass die Partialsummenfolge (s n ) eine Cauchy-Folge ist. Zu zeigen ist also: ε > n N m, n n : s n s m < ε Wir wissen: Mit t n := n a i ist t n eine konvergente Folge, also eine Cauchy-Folge. D.h. i=1 ε > n N m, n n : t n t m < ε ( ) m, n n Daher können wir ohne Beschränkung der Allgemeindheit = obda sagen: n m s n = n i=1 a i analog: s m = s n s m = t n t m = m i=1 a i n i=m+1 n i=m+1 Sei jetzt zu ε > das n so gewählt, dass (*) erfüllt ist. Dann n n s n s m = a i a i = t n t m < ε i=m+1 i=m+1 Umordnungssatz Bei einer absolut konvergenten Reihe kann man die Summanden beliebig umordnen. Dadurch ändert sich die Konvergenz und der Grenzwert nicht. Bei einer nicht-absolut konvergenten Reihe läßt sich durch umordnen der Summanden jeder beliebige Grenzwert erzielen! a i a i 31

32 Anwendung: Doppelreihe (a ij ) i N,j N seien reelle positive Zahlen. Sei die Folge ( n b n = i=1 ) n a ij j=1 konvergent. Dann sind für alle j N die Reihen i=1 konvergent. Setzt man c j = a ij, so ist auch die Reihe c j konvergent und es gilt Analog gilt auch: i 1 a ij ( ) a ij = b j=1 i=1 ( ) a ij = b i=1 Dieselben Argumente für eine beliebige Doppelfolge in C für die gilt: Beispiele: q C Die geometrische Reihe ist absolut konvergent für q < 1 q n = q n < n= n= Produktsatz für absolut konvergente Reihen a n, b b seien absolut konvergente Reihen in C Dann ist h = n= n= ( ) a i b j = i= j= j=1 n= q n zw = z w z 2 = zz = z z = z 2 i= a i b j = j= j=1 k= (i+j)=k a i b j i=1 j=1 } {{ } Cauchy-Produkt von zwei Reihen b ij < 32

33 3.38 Kriterien für absolute Konvergenz 1. Majorantenkriterium Sei (*) eine Reihe in C und b n sei eine konvergente Reihe nicht-negativer reeller n= n= Zahlen. Wenn n N : a n b n, dann ist die Reihe (*) absolut konvergent. 2. Quotientenkriterium Sei a n eine Reihe in C und n N : a n n=1 Wenn es eine reelle Zahl < q < 1 gibt, sodass so ist a n absolut konvergent. n N : a n+1 a n q, Absolute Konvergenz braucht man, weil es dabei um die Reihenfolge der Reihenglieder ankommt. Nun eine schwächere Form des Quotientenkriteriums: Sei a n eine Reihe in C n=1 a n+1 und lim n a n Dann ist obige Reihe absolut konvergent. Beispiel: n= z n n! wobei gilt (z C) a n = zn n! a n+1 a n = zn+1 (n+1)! zn n! = z n+1 < 1 Die Reihe ist also für alle z C absolut konvergent. Daher hat man eine Abbildung C C mit der Vorschrift z z n. Diese Ab- n! bildung erhält den Namen exp; also exp(z) := Eponentialabbildung bzw. Exponentialfunktion n= n= z n. exp nennt man auch die n! exp() = 1, e := exp(1) x R, exp(x) R, d.h. wenn ich die Exponentialabbildung auf R beschränke, erhalte ich die reelle Exponentialfunktion exp : R R 33

34 f : C C Γ(f) = Graph(f) } {{ } ={(z,f(z)) z C} C C (vierdimensional) nicht ohne weiteres visualisierbar Oft ist es schon hilfreich die Abbildung f : C R mit der Vorschrift z f(z) zu visualisieren. Hier ist der Graph eine Teilmenge von C R = R 3 und damit grafisch darstellbar. Man könnte auch C C mit der Vorschrift z f(z) = f(z) f(z) falls f(z). f(z) Die Werte lassen sich über Farben realisieren Die Exponentialfunktion Die Funktionalgleichung einer Exponentialgleichung mit z, w C exp(z + w) = exp(z) exp(w) Fundamentalgleichung exp(z) = exp(z) Sei z imaginär mit z = ix, wobei x R, dann gilt: exp(ix) = exp(ix) = exp( ix) 1 = exp() = exp(ix + ( ix)) = exp(ix) exp( ix) = exp(ix) exp(ix) Also: exp(ix) S, d.h. exp(ix) leigt auf dem Einheitskreis. Außerdem: 1 = exp(z + ( z)) = exp(z) exp( z) Daraus folgt: exp(z) und (exp(z)) 1 = exp( z) exp(ix) S cos(x) := Re(exp(ix)) = exp(ix) + exp( ix) 2 exp(ix) exp( ix) sin(x) := Im(exp(ix)) = 2i cos(x) + i sin(x) 34

35 Die obigen Definitionen von Sinus und Kosinus für reelle x nehmen wir zum Anlaß, die Funktionen auch für komplexe Argumente zu definieren durch und ( cos(z) = 1 (iz) n 2 n! n= + cos(z) = sin(z) = exp(iz) + exp( iz) 2 exp(iz) exp( iz) 2i ) ( ( iz) n = 1 ) (iz) n + ( iz) n = n! 2 n! n= n= ( 1) n z2n (2n)! n= } {{ } Kosinus Reihe 35

36 analog: ( sin(z) = 1 (iz) n 2i n! n= ) ( ( iz) n = 1 ) (iz) n ( iz) n = n! 2i n! n= n= n= ( 1) n z 2n+1 (2n + 1)! } {{ } Sinus Reihe Hoch-inter-essante Zusammenhänge und analog: exp(2) = exp(1 + 1) = exp(1) exp(1) = e e = e 2 exp(n) = exp(1 } {{ } ) = exp(1)... exp(1) = e n } {{ } n Summanden n mal exp( n) = (exp(n)) 1 = (e n ) 1 = e n Mit n N ( exp( 1 ) n n ) = exp( 1 n )... exp( 1 n ) = exp( 1 } {{ } n n ) = exp(1) = n mal exp( 1 n ) = n e = e 1 n exp( m n = e m n ) also schreibt man grundsätzlich exp(z) = e z mit m n Q Einheitskreis 1 Gaußsche Zahlenebene b z=exp(ix) sin(z)=b cos(z)=a a 1 a²+b²=1 36

37 Die Eulersche Gleichung lautet: e ix = cos(ix) + i sin(ix) bzw: etwas allgemeiner r ( e ix) = r (cos(ix) + i sin(ix)) 3.4 Additionstheoreme für sin(x) und cos(x) Sei x R gegeben. Wir wissen bereits, dass gilt: cos(x) + i sin(x) = exp(ix) Dann können wir folgern: cos(x + y) + i sin(x + y) = exp(i(x + y)) Also: = exp(ix + iy) = exp(ix) exp(iy) = (cos(x) + i sin(x)) (cos(y) + i sin(y)) = (cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)) + i (sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) Im Folgenden werden alle Gleichungen mit diesen gerade genannten Gleichungen gelöst!!! Zur Erinnerung: Abbildung 1: Die trigonometrischen Funktionen von Sinus und Kosinus cos(x) = ( 1) n x2n (2n)! = 1 x2 2 + x n= 37

38 Dass cos(2) < ist, rechnet man noch durch Abschätzen der cos-reihe nach. Ein Stetigkeitsargument zeigt, dass zwischen und 2 die kleinste Nullstelle des Kosinus (lateinisch: Cosinus) heißen muss. Diese erfüllt den Namen π 2. Wir setzen cos( π 2 ) cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 Es folgt sin( π 2 ) = ±1 Wissen über Kosinus und ein Stetigkeitsargument führt zu sin( π 2 ) = 1, denn es gilt: Nun schauen wir uns folgendes an: cos( π 2 + π) = cos(π 2 ) cos(π) sin( π } {{ } 2 ) sin(π) = } {{ } = =sin(π) sin(π) = sin( π 2 + π 2 ) = 2 sin(π 2 ) cos(π 2 ) = } {{ } = cos(x + 2π)! = cos(x) cos ist 2π-periodisch sin(x + 2π)! = sin(x) Schauen wir mal, ob wir auch cos(π) ausrechnen können: cos(π) = cos( π 2 + π 2 ) = cos2 ( π 2 ) sin2 ( π 2 ) = 1 = 1 und cos(2π) = cos(π + π) = cos 2 (π) sin 2 (π) = 1 = 1 sin(x π 2 ) = sin(x) cos(π 2 )+cos(x) sin( π ) =...(keine Ahnung, was da an der Tafel wo hin gehört) 2 Für später ein kleiner Einschub: sin(x + π 2 ) = sin(x) cos(π 2 ) + cos(x) sin( π } {{ } 2 ) = cos(x) } {{ } = =1 Also existiert die inverse Abbildung cos : [, π] [ 1, 1] ist bijektiv [ 1, 1] [, π], x y Diese inverse Abbildung lautet Arkuskosinus (arccos(x) oder cos 1 (x)) 38

39 3.41 Der Tangens tan(x) Der Tangens ist definiert durch tan(z) = sin(z) cos(z), da cos(z) cos(z) = z = π 2 + kπ Abbildung 2: Die trigonometrische Funktion des Tangens: tan(x) z C mit exp(z) gilt: exp : C C = C \ {} ist surjektiv; allerdings nicht (!) bijektiv, denn exp() = 1 und ebenso exp(i 2π) = 1 und so weiter.. aber die Abbildung ist bijektiv. exp : R R Der natürliche Logarithmus ln(x) Der natürliche Logarithmus ln(x) stellt die Umkehrfunktion zur e-funktion dar. log : R + R log(1) = 39

40 Abbildung 3: Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp b (x) = a ist die Logarithmusfunktion log b (a) = x. Die Umkehrfunktion der Funktion exp e (x) e x = a ist die Funktion log e (a) ln(a) = x 3.43 Gruppenhomomorphismen Seien G, H Gruppen und ϕ : G H eine Abbildung und es gelte: 1. ϕ(e G ) = e H 2. ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y) 3. ϕ(x 1 ) = (ϕ(x)) 1 Dann bezeichnen wir diese Abbildung ϕ als einen Gruppenhomomorphismus. In der Mathematik sind diese Abbildungen hochgradig wichtig, da diese beim Abbilden des einen Raumes in den anderen die Struktur mit abbilden. Daher spricht man bei Homomorphismen auch von strukturerhaltenden Abbildungen. Ein Gruppenhomomorphismus bildet also die Eigenschaften für Gruppen mit ab, sodass diese Eigenschaften auch in der Zielmenge gelten. Das ist fantastisch Stetigkeit Stetigkeit wird zunächst für Abbildungen zwischen metrischen Räumen definiert. Seien M, N metrische Räume also eine nichtleere Menge mit einer Metrik d und 4

41 eine Abbdildung f : M N. Sei x M. f heißt stetig in x M, genau dann wenn gilt: ε > δ > x M : d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε Man könnte diese Stetigkeit im Punkt x auch durch Umgebungen definieren: ε > δ > : f(u δ (x )) < U ε (f(x )) 3.45 Die von Kochsche Schneeflocke Einschub einer speziellen Menge zu Vorlesungsbeginn Weiter im Thema Stetigkeit 3.46 Stetigkeit: Fortsetzung I Zur Erinnerung: Was ist Stetigkeit? Die Stetigkeit im Punkt x ist definiert durch: ε > o δ > : f( δ (x )) f( ε (x )) f heißt stetig (auf M), wenn f stetig in jedem Punkt von M ist. Stetigkeit von f in x bedeutet, dass kleine Änderungen von x zu kleinen Änderungen von f(x ) führen. Beispiele: 41

42 Die Abbildung f : M N mit der Zuordnungsvorschrift x y ( x M : f(x) = y ) das bedeutet, f ist konstant) Eine konstante Abbildung ist stetig Die Abbildung f : M M mit der Zuordnungsvorschrift x x nennt sich Identität oder identische Abbildung. Die Identität ist stetig! f : M { N mit der Zuordnungsvorschrift: für x f(x) := 1 für x = a) f ist nicht stetig in x = b) f ist stetig in allen anderen Punkten Beweis von a) : ε > δ > x R : d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε stimmt nicht! Jetzt gibt es eine Tautologie aus der Assagenlogik, die besagt dass die Aussage A B gleichwertig ist zu der Aussage A B Also kann ich das obige umschreiben zu : ( ε > δ > x R : d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε) ε > ( δ > x R : d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε) ε > δ > ( x R : d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε) ε > δ > x R : (d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε) ε > δ > x R : (d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) ε) Wir wählen jetzt ε = 1 2 Sei dann δ > beliebig gewählt. Wir wählen x δ (x ) beliebig, d.h. ein beliebiges x R (x ) mit d(x, x ) < δ Jetzt gilt: d(f(x), f(x } {{ } )) = f(x) f(x = ) = x x 1 = Satz: Seien folgende Abbildungen (f, g) gegeben: M f N g K Ist f stetig in x M und g stetig in y = f(x ) N, so ist (g f) stetig in x. Sei f : M N gegeben, wobei N entweder für die Menge R oder C steht, so nennt man die Abbildung f eine (reellwertige, bzw. komplexwertige) Funktion. 42

43 f : M R n für x M ist also f(x) R n (y = ). Damit sind n Abbildungen gegben: f i : M R; f i (x) = y i f 1 (x) und damit gilt für x M: F (x) =. f n (x) Die f i heißen Komponentenfunktion von f y 1. y n. Dies schreibt man auch als f = Satz: Ist x M, so ist f genau dann stetig in x, wenn alle Komponentenfunktionen f i in x stetig sind. Satz: Wir haben zwei Abbildungen f, g : M C, dann gilt x M: (f + g)(x) := f(x) + g(x) f 1. f n. und für g(x) gilt: (f g)(x) := f(x) g(x) ( ) f g (x) := f(x) g(x) Damit sind für uns die neuen Funktionen (f + g), (f g), ( f g ) definiert. Jetzt gilt: Sind f, g stetig in x M, so sind auch (f + g), (f g), ( f g ) stetig in x Beispiele: f : C C; z z ist stetig in C g : (f f) Dann gilt: g(z) = f(z)f(z) = z z = z 2 a C und h(z) := a h : C C ist also konstant; und daher stetig auf C; damit ist f h stetig (f h)(z) = f(z)h(z) = f(z) a = a z Auf dieselbe Weise ist f(z) := 4z 3 + 2z 2 + z + 7 stetig Und auch f(x) = 4x3 +2x 2 +x+7 x 2 +1 unserem Satz stetig. ist eine stetige reellwertige Funktion auf R und nach Damit sind polynomiale Funktionen C C stetig. D.h. Funktionen der Form f(z) := N a i z i = a N z N + a N 1 z N a 1 z + a i= 43

44 sind außerhalb ihrer Polstel- Rationale Funktionen mit polynomial p, q lenmenge stetig. f(z) = p(z) q(z) Behauptung: Die Summe von zwei Funktionen, die in x stetig sind ist stetig in x Beweis: Seien zwei in x stetige Funktionen f, g : M C und x M. und Zu zeigen ist also: ε > δ > x M : d(x, x ) < δ f(x) f(x ) < ε ε > δ > x M : d(x, x ) < δ g(x) g(x ) < ε ε > δ > x M : d(x, x ) < δ (g + f)(x) (g + f)(x ) < ε Sei also ε > beliebig vorgegeben. Zu diesem ε findent man δ 1, δ 2 >, sodass gilt: x M : d(x, x ) < δ 1 f(x) f(x ) < ε 2 Jetzt wählen wir d := min{δ 1, δ 2 } Ist jetzt x M und d(x, x ) < δ, so folgt x M : d(x, x ) < δ 2 g(x) g(x ) < ε 2 (g + f)(x) (g + f)(x ) = g(x) + f(x) g(x ) f(x ) = (g(x) g(x )) + (f(x) f(x )) (g(x) g(x )) + (f(x) f(x )) < ε 2 + ε 2 = ε 3.47 Mathematik-Seminar vom Innerhalb eines metrischen Raumes konvergiert eine Cauchy-Folge gegen einen festen Grenzwert bezüglich einer festen Metrik d. Dann konvergiert eine Cauchy-Folge auch gegen den gleichen festen Grenzwert bezüglich der Metrik d := d(x,y) dieses Raumes. 1+d(x,y) (Aus unserer Aufgabe auf dem Aufgabenblatt 6) Behauptung: cos(2) < 44

45 Beweis: cos(x) = ( 1) n x2n (2n)! n= = 1 x2 2 + x4 x6 } {{ 24} 72 ±... = 1 3 = ( 1) n x2n (2n)! n=3 ( 1) n 22n (2n)! n=3 n=3 2 2n (2n)! Die Abschätzung wurde nicht zuende geführt :) Eine Frage zu Aufgabenblatt 7 Aufgabe 1, wurde von Herrn Hortmann damit beantwortet, dass wir vielleicht einen indirekten Beweis führen könnten. Wir sollten also behaupten, dass die gegenteilige Behauptung gelte, um dann am Ende des Beweises einen Widerspruch zu erhalten. Wenn es einen Widerspruch gebe, dann haben wir bewiesen, dass die ursprüngliche Behauptung gelte Stetigkeit: Fortsetzung II Stetigkeit: M und N seien metrische Räume und f eine Abbildung von M nach N. Mit x M gilt: genau dann wenn f ist stetig in x oder in anderen Worten: ε > δ > x M : d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε f ist stetig in x genau dann wenn ε > δ > x M : f( δ (x )) ε (f(x )) Man schreibt dies als lim f(x) = f(x ) x x Folgenkriterium für Stetigkeit: f ist stetig Für alle Folgen (x n ) in M mit lim n x n = x gilt: lim f(x n) = f(x ) n 45

46 Beweis: (nur die eine Richtung des Beweises) f sei stetig in x, das heißt: genaudannwenn f ist stetig in x Sei (x n ) eine Folge in M mit lim n x n = x zu zeigen: lim n f(x n ) = f(x ), und das bedeutet: ε > δ > x M : d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε ε > n N n n : d(f(x n ), f(x )) < ε Sei also ε > gegeben. Wegen der Stetigkeit von f in x gibt es ein δ >, sodass x M : d(x, x ) < δ d(f(x), f(x )) < ε da x n x gibt es ein n N n n : d(x n, x ) < δ Mit diesem n gilt also: n n : d(f(x n, f(x )) < ε 3.49 Notationen (=Schreibweisen) bedeutet: und der Ausdruck bedeutet Der Ausdruck bedeutet: f : R R lim f(x) = a R x ε > A R x R : x A f(x) a < ε lim f(x) = x a A R δ > x R : x a < δ f(x) A lim f(x) = x A R B R : x R : x B f(x) A 3.5 Sätze über stetige Funktionen Kompaktheit: Kompakte Teilmengen des R n sind beschränkte abgeschlossene Mengen. Eine Teilmenge M R n heißt beschränkt, genau dann wenn es ein A R gibt, mit x, y M : d(x, y) A 46

47 Eine Teilmenge M von R n ist abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder aus Elementen aus M gebildeten Cauchy-Folge in M liegt. Anschaulich: M enthält alle ihre Randpunkte. Beispiele: ], 1[ R = R 1 ist nicht abgeschlossen ( ) x Kreislinie: S 1 = { R y 2 x 2 + y 2 = 1} ist eine abgeschlossene Teilmenge des R 2 ( ) x Kreis: K = { R y 2 x 2 + y 2 1} ist eine abgeschlossene Teilmenge im R 2 Dagegen ist der offene Kreis ( x D = { y ) R 2 x 2 + y 2 < 1} nicht abgeschlossen Satz: M R n sei beschränkt und abgeschlossen und f : M R sei stetig. Dann nimmt f in M ein Maximum an. D.h. x M x M : f(x) f(x ) Beispiele: stetig auf offenem Intervall; aber kein Maximum 1 offenes Intervall ],1[ stetig auf abgeschlossenen Intervall; hier existiert ein Maximum 47

48 1 abgeschlossenes Intervall ],1[ 3.51 Zusammenhängende Mengen und der Zwischenwertsatz Offene Mengen (in metrischen Räumen). Sei M ein metrischer Raum. U M heißt offen, wenn es zu jedem x U ein ε > gibt: ε (x) U Damit ist ein abgeschlossenes Intervall I R nicht offen. ein offenes Intervall ist offen. Ein abgeschlossener Kreis ist nicht offen. Ein offener Kreis ist offen. Die Menge der offenen Teilmengen von M bezeichnen wir mit O M (oft nur O). Es gilt: 1. die Leeremenge und M sind offen 2. U, V O U V O 3. beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen (U i ) i I sei eine Familie von offenen Mengen U i = {x i I : x U i } O i I Wiederholung der letzten Begriffe: Kompakte Teilmengen des R n sind beschänkt und abgeschlossen. Offene Mengen eines metrischen Raumes: U M offen x M ε > : U ε (x) < U 48

49 Die Teilmenge L M ist unzusammenhängend U, V M offen L (U V ) U V = (U L ) (V L ) Definition: Zusammenhängend Sei M in R liegend und L M heißt unzusammenhängend, wenn es nicht-leere offene Teilmengen U, V M gibt, mit U V =, U L, V L Offene und abgeschlossene Quader im R n sind zusammenhängend. Offene und geschlossene Kugeln sind zusammenhängend. Satz: f : M N sei stetig, L M sei zusammenhängend Dann ist f(l) zusammenhängend. Die zusammenhängenden Teilmengen von R sind genau die Intervalle: (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], R, (a, ), [a, ), (, a), (, a] Satz: Sei f : A B beliebig und V B. Dann ist auch f(f 1 (V )) = V. Mittelwertsatz: Sei f : R R stetig und die Menge I R ein Intervall. Dann ist (übrigens) f(i) zusammenhängend. Mit x, y I gilt dann o.b.d.a. (ohne Beschänkung der Allgemeinheit): f(x ) > und f(y ) < (dann gilt) z I : f(z ) = 3.52 Gleichwertige Konvergenz Sei eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften gegeben f n = metrischer Raum M C Damit ist f n eine Folge von komplexwertigen Funktionen auf M. Die Funktionenfolge heißt punktweise konvergent, wenn x M : (f n (x)) n N ist konvergent 49

50 3.53 Potenzreihen Sei a n C, z C und die Reihe a n (z z ) n n= gegeben. Hierbei nennt man z den sogenannten Entwicklungspunkt. Behauptung: Grundsätzlich konvergiert eine Potenzreihe in einem offenen Kreis um z. (Radius des Kreises kann auch oder sein) Beweis: dar. Die Reihe Innerhalb des Konvergenzkreises stellt die Potenzreihe eine stetige Funktion (z ) C R (z ) := {z } (z ) := C a n z1 n sei konvergent. Dann ist a n z1 n eine Nullfolge (z C, und z < z 1 ) Behauptung: a n z n konvergiert (sogar) absolut. Denn: n= n= a n z n = a n z 1 n n= ( ) n z z 1 Berechnung des Konvergenzradius n N n n : a n z 1 n < 1 n 1 ( ) n z =... + a n z 1 n z n= n=n 1 ( ) n z < A + z 1 n=n < a n z n konvergiert absolut, wenn n= 5

51 wenn also ist a n+1 z n+1 a n+1 1 > lim = z lim n a n z n n a n z < falls der Grenzwert existiert. 1 a lim n+1 n a n falls definiert a n = lim n a n+1 R = lim n a n a n+1, 3.54 Gleichmäßige und absolute Konvergenz von Reihen Man bildet Reihen von Funktionen: f n : K C mit K C sei eine Folge komplexwertiger Funktionen. Man bildet die Partialsummen s n = s n : K C Dass die (s n ) eine gleichmäßige Cauchyfolge bilden, läßt sich so ausdrücken ε > n N m, n n x K : s n (x) s m (x) < ε n i=1 f i Wie könnte man dies zeigen: m n s m (x) s n (x) = = m n f i (x) f i (x) i= i= m f i (x) i=n+1 m f i (x) falls absolute Konvergenz i=n+1 i=n +1 f i (x) wenn sich diese Summe unabhängig von x gegen ε abschätzen läßt, liegt gleichmäßige Konvergenz vor. 51

52 Wenn wir folgende Beziehung haben für q: Dann gilt: n=n+1 z z 1 q < 1 q n = 1 1 q 1 qn+1 1 q n q n n= ( ) = qn q = q n +1 1 q jetzt läßt sich n so groß wählen, daß dieser Ausdruck < ε für ein vorgegebenes ε wird. Damit ist die Potenzreihe in jedem kleineren Kreis als dem Konvergenzkreis gleichmäßig konvergent und damit stetig! n= q n 52

53 3.55 Lineare Algebra: Vektorräume Zugrunde liegt ein Körper K also eine nichtleere Menge K, die den Eigenschaften eines Körpers genügt. Eine abelsche Gruppe (V, +) heißt Vektorraum über K, wenn es eine Operation K V V (λ, v) λ v gibt (genannt: Multiplikation mit Skalaren), sodass gilt: 1 v = v v V K v = V λ, µ K, v V : (λ + µ)v = λv + µv λ K, v, w V : λ(v + w) = λv + λw λ(µv)(λµ)v Beispiele: 1. K selbst ist in natürlicher Weise ein K-Vektorraum K K K (λ, µ) λµ Körpermultiplikation als die Multiplikation mit Skalaren 2. n N K n = K }. {{.. K } n mal v = v 1. v n λv = λ mit v i K v 1. v n = λv 1. λv n 3. P ist die Menge der Polynome mit Koefizienten in K ( m ) λ a i X i = i= m (λ i a i )X i i= 53

54 4. Funktionenräume Sei M eine Menge F M := {f f : M K} (f + g) (x) := f(x) + g(x) ist die Nullfunktion F M ist eine abelsche Gruppe mit der NULL als neutralem Element und der (gerade) eben definierten Adition als Verknüpfung. Sei M = {1} und F M K mit der Zuordnung f f(1) ist bijektiv. ( ) f(1) 5. Sei M = {1, 2} und F M K 2 = K K mit der Zuordnung f f(2) ) ist ebenfalls bijektiv. 6. Analog gilt für M = {1,..., n}, dass die Abbildung F M K n mit der Zuordnung f(1) f. ist bijektiv. f(n) 3.56 Vektorräume über einem Körper K Die Abbildungen F K M = {f f : M K} Definition: gilt Ein Unterraum eines K-Vektorraumes V heißt Unterraum U V, wenn 1. U ist Untergruppe der Gruppe (V, +) 2. λ K, u U : (λu) U Beispiele: ( x V = K 2, U := { ( ) U := { } Nullraum ) x K} U := V Der Gesamtraum ist ein Unterraum von sich selbst. a, b K( ) x U := { αx + βy = } y ( ) ( ) x u Behauptung: + U y v 54

55 ( ) ( ) ( x u x + u Beweis: + = y v y + v αx + βy + αu + βv = α(x + u) + β(y + v) = F M := {f F M Es gibt eine endliche Teilmenge N M außerhalb von welcher alle Funktionswerte von f sind.} ) V 1, V 2 seien K-Vektorräume und V := V 1 V 2 V 1 V 2 ist mit der Operation (u 1, u 2 ) + (v 1, v 2 ) := (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) eine Abelsche Gruppe mit neutralem Element (, ) λ(u 1, u 2 ) := (λu 1, λu 2 ) Damit ist V 1 V 2 ein K-Vektorraum (auch genannt: Produktraum). U 1, U 2 seien Unterräume von V. Dann ist U 1 U 2 ein Unterrraum des Vektorraumes V Vektorraumhomomorphismen (Also: Homomorphismen zwischen Vektorräumen = Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen) Definition: Seien V und W K-Vektorräume und f eine Abbildung von V in W f : V W Dann heißt f V ektorraumhomomorphismus bzw. linear, wenn gilt: 1. f ist Gruppenhomomorphismus der Gruppen (V, +), (W, +) d.h. x, y V : } f(x + y) = f(x) + f(y) = f(x y) = f(x) f(y) f( x) = f(x) 2. λ K, v V : f(λv) = λf(v) f : V W sei linear und U V ist ein Unterraum von V, dann ist f(u) W ein Unterraum von W S W UR (=Unterraum) f 1 (S) ist UR Speziell: S={} Der Kern von f lautet ker f := f 1 (S) = {x V f(x) = } Der Kern ist (also) alles das, was auf die null abgebildet wird. Beispiele für lineare Abbildungen 55

56 A M m n (K) K n K m x Ax ist linear Dann ist zu zeigen A(x y) = Ax Ay A(λx) = λa(x) Dies sind aber Eigenschaften des MAtrizenprodukts, die wir bereits hatten! a a 1n x 1 y 1... =. } a m1... {{ a mn } } x n {{ } } y n {{ } =A =x =y Ist f injektiv, so nennt man f einen Monomorphismus. Ist f surjektiv, so nennt man f einen Epimorphismus. Ist f bijektiv, so ist auch f 1 auch linear und f einen Isomorphismus. Ist f : V W ein Isomorphismus, so nennt man V, W isomorph. V, W haben dann die selben Vektoraum-Eigenschaften 3.58 Der Gaußsche Algorithmus..zur Berechnung der zu A inversen Matrix A 1 Sei A M n n (K) (das bedeutet, dass A eine Matrix mit n Zeilen und n Spalten ist, welche Elemente (Einträge/ Koeffizienten) aus dem Körper K besitzt) Die Matrix A bildet Vektoren aus dem K n in den K n ab K n A K n Nun suchen wir eine Matrix B M n n (K), sodass gilt BA = AB = E (dann ist die eine MAtrix jeweils das multiplikative Inverse der anderen) Solch eine Matrix B existiert nicht immer!!! Es kann also sein, dass man solch eine Matrix nicht findet! Der Gauß-Algorithmus ist elementar und sollte auswendig gelernt werden. Er ist unter verschiedenen Namen im Internet zu finden: Gauß-Algorithmus, Gauß-Verfahren, Gaußsches Eliminationsverfahren,... Beispiele findet ihr im Internet zuhauf: 56

57 Beispiel: A = M 3 3 (Z 5 ) Wir addieren das 4-fache der 1. Zeile zu der 2. Zeile: Wir addieren das 3-fache der 1. Zeile zu der 3. Zeile: } {{ } Einheitsmatrix Nun ist A 1 = die inverse Matrix von A bezüglich der Multiplikation Also ist die Multiplikation von A A 1 = E n und auch umgekehrt A 1 A = E n Probe: = 1, In PARI-GP würden die Zeilen zum Lösen des Problems (nämlich: das Finden der mul- 57

58 tiplikativen Inversen von A) lauten: A=[1,2,3;1,3,4;2,1,1] A=Mod(A,5) A^ Dimension und Basis eines Vektorraumes Erzeugendensysteme Sei V K-VR (also: V ist ein K-Vektorraum) und S V (also: S ist eine Untermenge(ein Untervektorraum) von V ). Die Elemente v 1,..., v n S und λ 1,..., λ n K sind gegeben. Dann heißt n λ i v i i=1 Linearkombination von Elementen aus S. < S >:= Menge der Linearkombinationen von Elementen aus S. Diese Menge ist ein Untervektorraum von V. Man nennt ihn den von S erzeugten Untervektorraum (UVR). Definition: Ist < S >= V, so heißt S Erzeugendensystem von V. Bemerkung: Ist S ein Erzeugendensystem von V mit S T V, so ist auch T Erzeugendensystem von V. Definition: Ein maxmimales Erzeugendensystem von V heißt Basis von V. 1 Die Vektoren e 1 :=., e 2 :=..., e n bilden eine Basis von K 1. n Satz: Zwischen zwei Basen eines VR gibt es immer eine bijektive Abbildung. Damit ist die Elementezahl einer Basis eindeutig bestimmt. Satz: Jeder Vektorraum besitzt eine Basis Definition: 58

59 Die Elementezahl einer Basis eines VR heißt Dimension: dim V Die Dimension von K n ist N.also dim K n = n 3.6 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Sei S V gegeben. S heißt linear unabhängig, wenn in jedr Linearkombination von Elementen aus S, deren Ergebnis der Nullvektor ist, alle Koeffizienten sind; das heißt formal: Sind v 1,..., v n S und λ 1,...λ n K gegeben und ist n λ i v i =, dann folgt λ 1,..., λ n = Satz: Eine Basis eines Vektorraumes von V heißt Basis von V. Satz: S V ist genau dann eine Basis, wenn S ein Erzeugendensytem ist und S linear unabhängig ist. Bemerkung: Ist S V linear unabhängig und T S, so ist T linear unabhängig. Satz: Eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V ist Basis von V. Satz: Ist S V ist auch eine Basis von V, so läßt sich jeder Vektor von V eindeutig als Linearkombination aus S schreiben. Konstruktion einer Basis: 1. Beginne mit einer linear unabhängigen Menge 2. Prüfe, ob diese Menge bereits ein Erzeugendensystem bildet. (Wenn ja, dann hier bereits fertig, wenn nein, dann gibt es einen Vektor, der sich nicht eindeutig als Linearkombination von S schreiben läßt) 3...bilde S S {v} und beginne von vorn Ist V endlichdimensional, so bricht dieser Prozess ab Lineare Gleichungssysteme Wir haben eine Matrix A M m n (K), einen Lösungsvektor b K m und wollen heraus finden, wie die Einträge des Vektors x K n bei gegebenen Gleichung gefunden werden: Ax = b i=1 59

60 Homogenes Gleichungssystem: Ax = Inhomogenes Gleichungssystem: Ax = b mit b Die Lösungen des homogenen Systems sind der Kern des Vektorraumhomomorphismus A : K n K m x Ax Der Kern ker(a) = {x K n Ax = } ist Unterraum von K n. Gleichzeitig hat man mit A den Unterraum (Bild=image ) Im(A) = {Ax K m x K n }. Satz: Die Dimension von Im(A) ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Spalten von A. Außerdem gilt (vereinfachte Dimensionsformel): dim(a) + dim kern(a) = n Im(A) wird erzeugt von den Spalten der Matrix A. y Im(A). y 1. y n = a 11 a 1n.. a m1 a mn y = Ax, x 1. x n x K n = n x i a 1i i=1. n x i a mi i=1 = y Im(A) ist also eine Linearkombination der Spalten von A. Umgekehrt liegt jede Spalte von A in Im(A): a 11 a 1n.. a m1 a mn 1. = a 13. a m3 n i=1 x i a 1i. a mi 6

61 Somit liegen auch alle Linearkombinationen der Spalten von A in Im(A). Also Im(A) wird erzeugt von den Spalten von A, und besitzt eine Basis, die gegebenenfalls durch Wegnahme eineiger Spalten generiert wird. Man bezeichnet dim Im(A) als Rang von A: rg A. Bemerkung: (Behauptung) Die Abbildung A : K n K m ist genau dann unjektiv, wenn kern (A) = {}. Beweis: kern (A) = {}. Ax = Az Ax Az = A(x z) = (x z) ker (A) x z = x = z. Also ist A injektiv. Umgekehrt: Ist A injektiv und Ax =, dann gilt auch A =, und wegen Injektivität von A folgt x = ker A = {} Inhomogenes System Ax = b Es gibt eine Lösung x K n, wenn b Im (A). Ist dann x kern (A), dann ist A(x + x ) = }{{} Ax + Ax = b. Also erhält man alle Lösungen des inhomogenen }{{} = =b Systems durch Adition von Elementen von ker(a) zu einer speziellen Lösung Blockmatrizen U = A C B D wobei U M m n (K) und A M k k, B M k (n k) et cetera. A C B D ( a1 a 2 ) ( Aa1 + Ba1 = Ca 1 + Da 2 ) = ( b1 b 2 ) 61

62 3.63 Gaußsche Normalform Wir haben eine Matrix A M m n (K). Wenn A die folgende Block-Gestalt hat E C A =, so hat A definitionsgemäß die Gauße Normalform. Hierbei gilt E = M k k (K) und k n, k m. Jetzt gehen wir davon aus, dass A in Gaußscher Normalform vorliege. Wir haben die homogene Gleichung Ax = gegeben: E C ( x1 x 2 ) = Man sieht sofort, dass die Elemente von K n der Form ( ) ( Cx2 x 2 ) die Lösungen des homogenen Systems bilden. Damit erhalte ich sogar eine Basis des Kerns. Im(A) besteht aus allen y K m, deren letzte m k Komponenten gleich null sind! Bemerkung: Man versucht, eine beliebige Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Gaußsche Normalform zu bringen. Sei z.b. A M m n (K) eine gegebene Matrix. Alle elementaren Zeilenoperationen lassen sich als Matrixmultiplikation mit quadratischen m m-matrizen von links interpretieren Plenum vom 1. Januar 214 Beispiel 1: A = (1, 2, 3) M 1 3 (Z 5 ) A : Z 3 5 Z 5 x x y (1 2 3) y = x + 2y + 3z z z 62

63 ker(a) =: U : { x y z x + 2y + 3z = } Wir berechnen die Basis und damit auch die Dimension von U! Dimensionsformel dim kern(a) + dim Im(A) = 3 } {{ } =1 dim Im(A) = rg(a) Probe: 1 A = 1 Im(A) {} dim Im(A) = 1 dim ker(a) = 2 2 linear unabhängige Vektoren in ker(a) bilden Basis von ker(a). A = (1 2 3) hat Gauße Normalform: (1 2 3) Die Basis des Kerns ker(a) wird( gebildet ) durch den hineteren Teil der Matrix (Blockmatrix C) bestehen 2 und 3 zu C E Und das ist im Z 5 : Beispiel 2: ( ) 1 2 A 2 = 1 3 Die Dimension des Bildes dim Im(A) ist 2 Die Dimension des Kerns dim kern(a)=1 1 Eine Basis des Bildes ist {, 1 } 3 Die Basis des Kerns lautet: 2 Z unsere Basis des Kerns 63

64 PARI-GP Befehle: A=matrix(6,5) A[3,4]=7 A A=matrix(6,5,i,j,random(5)) A=Mod(A,5) lift(a) Dimensionsformel: dann ist die Dimensionsformel f : V W dim ker(f) + dim Im(f) = dim(v ) In Worten: Die Dimension des Kerns von f und die Dimension des Bildes von f sind gleich der Dimension des Urbildes V Gaußer Algorithmus Seien gegeben: A M m n (K), b K m vorgegeben, und x K n wird gesucht. Wenn A in Gaußscher Normalform vorliegt. Also: A = E k C Dann können wir schreiben: E k C C E n k =. ( C Der Kern von A (in Gaußscher Normalform) läßt sich als Blockmatrix E n k ) schreiben. Die Elemente dieses Kerns sind dann gerade die Spalten der Blockmatrix. Jetzt sei A nich a priori in Gaußscher Normalform (=GNF). 64

65 1. Fall: A läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf GNF bringen. Zeilenumformungen entsprechen Multiplikation mit gewissen invertierbaren m m- Matrizen von links. M N... M 2 M 1 A =: Ã Und Ãx = kann ich lösen....(hier fehlt etwas aus der Mitschrift) Ã und A haben also den selben Kern. Damit ist das homogene System Ax = gelöst. Inhomogenes System Ax = b Ãx = M N... M 1 AX = M N M 1 b = b Das inhomogene System ist also nur dann lösbar, wenn b k1... b m = sind. Dann gilt aber: b1. bk. ist eine Lösung. Damit haben wir eine Lösung für das inhomogene System gefunden! Zahlenbeispiel: ( ) } {{ } =A x ist gesucht! Hier kommt der Gaußsche Algorithmus: x 1 x 2 x 3 } {{ } =x ( ) 2 = 1 } {{ } =b Damit können wir folgern, das der Kern der Matrix A lautet: 65

66 ker(a) = {α β mit Einträgen aus dem Z } = {α β 2 1 } 2. Fall: Es werden auch Spaltenumformungen benötigt, um A in GNF zu bringen. Jede dieser Spaltenvertauschungen läßt sich durch eine Matrixmultiplikation mit einer invertierbaren Matrix von rechts realisieren. Falls man (=wir) die Spaltenvertauschungen nicht berücksichtigt, erhählt der Lösungsvektor des inhomogenen Systems den Fehler, dass seine Zeilen entsprechend vertauscht sind. Diese Vertauschungen (, wenn wir sie denn richtigerweise durchgeführt haben,) muss man dann in umgekehrter Reihenfolge am Ende wieder rückgängig machen Determinanten Den Quadratischen Matrizen A wird ein Skalar det(a) K zugeordnet. Dabei soll gelten det(e n ) = 1 det(ab) =det(a) det(b) det(a) = A ist nicht invertierbar die Spalten von A sind linear abhängig der Rang rg(a) < n Vertauschung von zwei Zeilen oder zwei Spalten von A ändert das Vorzeichen der Determinetante det(a). det(a t )=det(a) (A t erhält man durch Vertauschung von Zeilen und Spalten von A.) Die folgende Definition erfüllt diese Eigenschaften. det(a) := σ Sn Vorzeichen {}}{ ε σ a σ(1)1... a σ(n)n Leibniz F ormel = σ Sn ε σ n a σ(i)i i=1 Wie wir später sehen werden, kann mithilfe dieser Zahl nänmlich der Determinante einer Matrix sehr vieles relativ schnell berechnet werden. Das berechnen einer Determinante ist zwar auf dem Blatt Papier bei größeren Matrizen mühsam. Da diese Rechnungen heutzutage allerdings von einer Software übernommen werden, kann -schneller als durch den klassischen Eliminations-Algorithmus von Gauß- jede gewünschte Kompononente eines gesuchten Vektors x durch das Teilen zweier Determinanten bestimmt werden! Doch dazu kommen wir erst später.. 66

67 3.67 Determinanten (Fortsetzung) Sei A M m n (K) gegeben. Determinanten det(a) gibt es NUR von quadratischen Matrizen. Zur Erinnerung: det(a) = σ Sn ɛ σ a σ(1)1... a σ(n)n Leibniz F ormel Beispiel: n = 3 S 3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1.3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) } } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } ɛ σ=1 ɛ σ= 1 ɛ σ= 1 ɛ σ=1 ɛ σ=1 ɛ σ= 1 det(a) = 1 a 11 a 22 a 33 + ( 1) a 11 a 32 a 23 + ( 1) a 21 a 12 a a 21 a 32 a a 31 a 12 a 23 + ( 1) a 31 a 22 a 13 Die Determinante der transponierten Matrix A ist gleich der Determinante der Matrix A: det(a t ) =det(a) Addiert man ein skalares Vielfaches einer Spalte bzw. Zeile zu einer anderen Spalte bzw. Zeile, so ändert sich der Wert der Determinante nicht. Vertauscht man 2 Zeilen oder Spalten, so ändert die Determinante ihr Vorzeichen. A habe obere Dreiecksmatrix, das heißt: A =... det(a) = σ S n ɛ σ aσ(1)1 a σ(n)n Hat A nicht obere Dreiecksgestalt, so bringe man A durch Operationen auf obere - Gestalt. In der Regel wird das Gaußsche Eliminationsverfahren benutzt, um eine Matrix in die obere Dreiecksmatrix zu bringen. Wenn AB = E B = A 1, A = B 1 und det(e) =det(ab) =det(a) det(b) det(a 1 ) = (det(a)) 1 A M m n (K) A ij entstehe aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte. A ij M (n 1) (n 1) (K) b ij := ( 1) i+j det(a ji ) B := (b ij ) 67

68 Dann gilt: AB = det(a) E, falls det(a) E 1 A ( det(a) B) = E } {{ } A 1 Beispiel: K = Z selber machen! es ergibt sich auch: } {{ } Co F aktor Matrix A = b 11 = ( 1) i+j det(a ji ) b 11 = 4 b 21 = ( 1) = 1 b 31 = 1 b 12 = ( 4) = 4 b 22 = 8 = 3 = 2 b 32 = ( 4) = 4 AB = det(a) E 4 = 4 4. = det(a) E det(a) = 4 det(a) = n a 1j b j1 = j=1 n ( 1) j+1 a 1j det(a 1j ) j=1 Laplacescher Entwicklungssatz ( 1 1 det(a) = a 11 det 2 1 ) = 4 2 ( 1) = = 4 ( 2 1 a 12 det 3 1 ) ( a 13 det 3 2 ) 68

69 3.68 Geometrische Interpretation der Determinante Ist A eine reelle 2 2 oder 3 3-Matrix, so ist das von den Spalten der Matrix aufgespannte Parallelogramm bzw. Parallelepipeds gleich dem vorzeichenbehafteten Volumen. A sei eine beliebige (auch nicht-quadratische) Matrix. Also: A M m n (K) und 1 i 1 <... < i k m 1 j 1 <... < j k n I = {i 1,.., i k } J = {j 1,.., j k } A IJ = (b µν ) b µν = a iµjν A IJ nennt man eine quadratische Untermatrix von A. deta IJ nennt man Unterdeterminante von A Satz: Die Matrix A hat genau dann den Rang k, wenn es eine k k Unterdeterminante von A gibt, deren Wert aber keine (k + 1) (k + 1) Unterdeterminante deren Wert ist Plenum vom 17. Januar 214 Erinnerung: Dimensionsformel n = dim (Im(A)) + dim ( ker(a)) = Rg(A) + dim ( ker(a)) Behauptung: B r (x ) ist abgeschlossen. Beweis: z.z. M \ B r (x ) ist offen. Ich nehme ein y M \ B r (x ) d(y o, x ) > r ɛ := r d(x, y ) Betrachte die offene Kugel U ɛ (y ) z.z. U ɛ (y ) M \ B r (x ) z.z. U ɛ (y ) B r (x ) = Annahme: es gibt z U epsilon (y ) B r (x ) dann d(z, y ) < ɛ, d(z, x ) r d(x, y ) d(y, z ) + d(z, x ) < ɛ + r = r d(x, z ) + d(z, x ) = r Also war die Annahme falsch; also U ɛ (y ) M \ B r (x ) Widerspruch In der Klausur kommt sehr wahrscheinlich ein Beweis dran, bei dem man zeigen soll, wann ein metrischer Raum entweder offen oder abgeschlossen ist. Z.B.: Wann ist der metrische Raum ({x }, d) abgeschlossen, oder ({}, d) ist nicht offen? 69

70 3.7 Skalarprodukt Das Skalarprodukt ist eine bilineare Abbildung f : U V W, wenn f(λu, v) = λf(u, v) f(u, λv) = λf(u, v) f(u + u, v) = f(u, v) + f(u, v) f(u, v + v ) = f(u, v) + f(u, v ) Beispiele: f : K K K (x, y) xy ist bilinear f : K V V (λ, v) λv ist bilinear Eine bilineare Abbildung f : V V R (, wobei V ein R-Vektorraum ist), heißt Skalarprodukt, wenn zusätzlich gilt. f ist symmetrisch: f(u, v) = f(v, u) f heißt positiv definit, wenn x V : f(x, x) x V : f(x, x) = x = Wichtigstes Beispiel: Das kanonische Skalarprodukt (=Standardskalarprodukt) auf dem R n ist f : R n R n R (x, y) n x i y i i=1 Notation (=Schreibweise): Ist f ein Skalarprodukt, so schreibt man meist < x, y > statt f(x, y). Orthogonalität <.,. > sei das kanonische Skalarprodukt auf dem R n 7

71 < y x, y x >=< y, y > < y, x > < x, y > + < x, x >=< x, x > 2 < x, y > + < y, y > Setze: x := < x, x > (dies ist die euklidische Länge (Metrik) des Vektors). und damit ist x 2 =< x, x > daraus folgt: z 2 = x 2 2 < x, y > + y 2 Ist also < x, y >=, so gilt für x, y, z der Satz des Pythagoras; d.h. x, y stehen senkrecht aufeinander. Jetz definiert man x, y heißen orthogonal, wenn < x, y >=. Diese Definition ist in jedem Vektorraum gültig Normierte Vektorräume über R V R x x heißt Norm, wenn x V : x x V : x = x = x V : x + y x + y Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum. Eine Norm definiert auf natürliche Weise eine Metrik: d(x, y) := x y. Beispiele: Im R n : x 1 := n x i i=1 x := max i { x i } n x 2 := x i 2 = < x, x > i=1 Weil wir diese Metrik häufig nutzen, schreiben wir ab jetzt ohne Index kurz x. Ein normierter Vektorraum heißt Banachraum, wenn er bezüglich der durch die Norm gegebene Metrik vollständig ist. vollständig und damit auch Ba- Der R n ist mit jeder der Normen. 1,. 2,. nachraum. 71

72 3.72 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Satz: Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. x, y V : < x, y > x y Beweis: Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt sofort die -Ungleichung für die Euklidische Norm. Beweis: a + b 2 = < a + b, a + b > = < a, a > + < a, b > + < b, a > + < b, b > a < a, b > + b 2 a a b + b 2 = ( a + b ) 2 Geometrische Interpretation a + b a + b Abbildung 4: < a, b >= a b a < x, y > x y = x x, y y = cos ϕ ϕ ist der Winkel (im Bogenmaß) zwischen x, y Orthonormalbasen V sei ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt. Eine Basis e 1,.., e n V heißt Orthonormalbasis, wenn gilt: { 1 für i = j < e i, e j >= δ := sonst 72