In diesem Kapitel werden wir Reihen untersuchen. Die Konvergenz von Reihen mit Hilfe der Konvergenz der Teilsummenfolge definiert.

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1 Kapitel 3 Reihen In diesem Kapitel werden wir Reihen untersuchen. Die Konvergenz von Reihen mit Hilfe der Konvergenz der Teilsummenfolge definiert. Inhaltsangabe 3. Konvergenz von Reihen Absolute Konvergenz Konvergenzkriterien Produkte von Reihen Die Exponentialreihe Der Logarithmus Konvergenz von Reihen Eine Reihe ist der Versuch eine unendliche Summation zu verstehen, d.h. sei {a n } n Æ eine reelle oder komplexe Folge und S(n) = n a k. k= Wir wollen nun der formalen Reihe k= unter bestimmten Umständen einen Wert zuordnen, durch k= a k a k = lim n S(n). 59

2 60 KAPITEL 3. REIHEN Formal gehen wir folgendermaßen vor. Definition 3.. (Reihe) Ein Paar von Folgen ({a j } j Æ, {S n } n Æ) heißt Reihe falls S n = n a j. j= Wir schreiben dafür kurz Falls der Grenzwert existiert sagen wir, die Reihe a j. j= lim n S n j= ist konvergent, im anderen Fall bezeichnen wir die Reihe als divergent. Der Wert S n wird als Partialsumme bezeichnet, lim n S(n) als Wert der Reihe. Die Folge {S n } n Æ nennen wir die Partialsummenfolge. Aus unseren bisherigen Erkenntnissen können wir sofort einige Aussagen über die Konvergenz von Reihen machen. Satz 3..2 (Geometrische Reihe) Für x Ê mit x < ist die Reihe a j x k konvergent. Der Wert dieser Reihe ist x. Beweis. Durch Induktion beweist man ( x)s n = x n+. Die Formel ist korrekt für n =. Angenommen, diese Formel ist gezeigt für,..., n. Dann ist ( x)s n+ = ( x)s n + x n+ ( x) = x n+ + x n+ x n+2. Aus dieser Formel folgt n x k = xn+ x.

3 3.. KONVERGENZ VON REIHEN 6 Dann ist lim n n x k = x x lim n xn+ = x, da wegen des Satzes von der (Un)Beschränktheit der Folge x n gilt lim n x n = 0 ist für x <. Notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist, dass {S n } n Æ eine Cauchyfolge bildet. Dies bedeutet, wie wir ja wissen, dass zu jedem ε > 0 ein N Æ existiert, so dass für alle m, n > N gilt S m S n < ε. Es gilt für m > n > N S m S n = m k=n+ Mit der speziellen Wahl m = n+ erhält man die wichtige Aussage des nächsten Satzes. Satz 3..3 (Notwendige Bedingung für Konvergenz einer Reihe) Notwendig für die Konvergenz einer Reihe k= a k ist, dass die zugrundeliegende Folge {a k } k Æ eine Nullfolge bildet. Diese Bedingung ist allerdings nicht hinreichend, wie das wichtige Beispiel der harmonischen Reihe zeigt. Bevor wir dieses behandeln noch eine weitere kleine Beobachtung. Lemma 3..4 (Reihen mit positiven Gliedern) Ist {a k } k Æ gegeben mit a k 0 für alle k, dann ist die Folge der {S n } n Æ monoton steigend und genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist. Beweis. Folgt aus Lemma a k. Satz 3..5 (Divergenz der harmonischen Reihe) Sei a k = k. Die Reihe ist divergent. a k Beweis. Wir zeigen, dass die Teilfolge {S(2 k )} k Æ unbeschränkt ist. Dafür beweisen wir 2 n k n 2. k=

4 62 KAPITEL 3. REIHEN Dies ist richtig für n =, denn 3. Angenommen wir wüssten, dass für,...,n 2 2 gilt 2 n k= k n 2. Dann ist 2 n+ k= k n 2n+ 2 + k=2 n + k. Nun stehen in der letzten Summation 2 n Terme, von denen jeder mindestens ist, die Summe ist also abzuschätzen durch 2 n+ 2 n+ k=2 n + k 2n 2 = n+ 2. Daraus folgt die Behauptung. Definition 3..6 (Harmonische Reihe) Die Reihe k wird als harmonische Reihe bezeichnet. Allerdings reicht die Voraussetzung, dass die Folge {a k } k Æ eine Nullfolge ist für eine spezielle Klasse von Reihen aus, um die Konvergenz zu erzwingen. Dazu betrachten wir für einen Moment reelle Reihen, d.h. Reihen deren Summanden a j alle in Ê sind. Definition 3..7 (Alternierende Reihe) Sei {a j } j Æ eine reelle Folge mit a j a j+ < 0 für alle j Æ. Dann heißt die Reihe alternierend. j= a j

5 3.. KONVERGENZ VON REIHEN 63 Lemma 3..8 (Alternierende Reihe) Eine Reihe k= a k ist genau dann alternierend wenn es eine Folge {b k } k Æ positiver reeller Zahlen gibt, so dass a k = sgn(a )( ) k b k ist. Hierbei steht sgn( ) für die Signumfunktion definiert für reelle Zahlen durch falls x > 0 sgn(x) = 0 falls x = 0 falls x < 0. Beweis. Setze b k = a k. Der Rest ist klar! Das folgende Konvergenzkriterium ist nach einem der Begründer der Analysis Leibniz benannt. Satz 3..9 (Leibniz-Kriterium) Sei {a k } k Æ eine Folge von Null verschiedener reeller Zahlen mit a k a k+ < 0 für alle k und sei b = {b k } k Æ die nach Lemma 3..8 zugeordnete Folge positiver Zahlen. Ist die Folge b monoton und gilt lim k a k = 0, so ist die Reihe konvergent. k= Beweis. Sei o.b.d.a. a < 0. Dann sind die Zahlen ( ) k a k alle positiv und bilden eine monnoton fallende Folge. Insbesondere ist a 2k > ( ) 2k+ a 2k+ und daher gilt für alle k Æ gilt a k a 2k+ + a 2k 0 und a 2k + a 2k 0 (wegen der Monotonie der b k ). Da a < 0 erhalten wir die Abschätzung Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) arbeitete als Diplomat, Philosoph, Jurist und Wissenschaftler. Mit seinen Arbeiten zur Analysis, die in Konkurrenz zu Isaac Newton, geschrieben wurden, war er einer ihrer Mitbegründer. Er war ein Universalgelehrter, der insbesondere auch in der Philosophie und Theologie deutliche Spuren hinterließ. Er plante die Gründung vieler wissenschaftlicher Akademien, war dabei aber nur in Berlin erfolgreich. In Deutschland ist der Zusammenschluss einer Reihe von Forschungsinstituten aus verschiedensten Disziplinen nach ihm benannt. Dies unterstreicht seine enorme Bedeutung für die Entwicklung der modernen Wissenschaft.

6 64 KAPITEL 3. REIHEN a a }{{} + a 2 + a }{{} = 2k+ j= + + a 2k + a 2k+ }{{} 0 } {{ } k-summanden a j = S(2k + ) S(2k + ) + a } 2k+2 {{} 0 = a + a 2 }{{} 0 = S(2k + 2) + + a 2k+ + a 2k+2 }{{} 0 } {{ } (k+)-summanden 0, die nebenbei noch zeigt, dass die Folge {S(2k + )} k Æ monoton steigend und die Folge {S(2k)} k Æ monoton fallend ist. Die Folge der S(k) ist aufgrund der angegebenen Abschätzung beschränkt, und die Grenzwerte A = B = lim S(2k) k lim S(2k + ) k existieren. Dann ist B A = lim k S(2k + ) lim k S(2k) = lim k (S(2k + ) S(2k)) = lim k a k+ = 0. Damit existiert der Grenzwert und die Reihe ist konvergent. 3.2 Absolute Konvergenz Wir kommen zur Beschreibung einer weiteren Konvergenzeigenschaft, die sich als ein Spezialfall einer großen und wichtigen Klasse erweisen wird.

7 3.2. ABSOLUTE KONVERGENZ 65 Definition 3.2. (Absolute Konvergenz von Reihen) Es sei a = {a n } n Æ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Die Reihe n= heißt absolut konvergent, falls die Reihe konvergent ist. a n a n n= Die Bedeutung der absoluten Konvergenz kommt durch zwei Resultate zum Ausdruck, die sich auf die Umordnung von Reihen beziehen. Wir definieren diesen Begriff zunächst. Definition (Umordnung) Gegeben sei eine Folge a = {a n }n Æ reeller oder komplexer Zahlen und eine bijektive Abbildung β : Æ Æ. Dann heißt die Reihe j= a β(j) eine Umordnung der Reihe a j. j= Wir werden nun sehen, dass der Wert einer Reihe sich durch eine Umordnung verändern lässt. Beispiel (Alternierende harmonische Reihe). Die alternierende harmonische Reihe ( )k k +... ist konvergent. Dies folgt sofort aus dem Leibniz-Kriterium Satz 3..9.

8 66 KAPITEL 3. REIHEN Beispiel (Alternierende harmonische Reihe (Fortsetzung)) 2. Diese Reihe ist nicht absolut konvergent, denn ansonsten würde die harmonische Reihe konvergieren. 3. Es gibt eine Umordnung dieser Reihe, so dass der Wert der umgeordneten Reihe ist. Um dies einzusehen betrachten wir den positiven Beitrag des Abschnittes der Reihe zwischen 2 n + und 2 n+. Dies sind die Glieder mit ungeraden Indizes, davon gibt es 2 n, an jeder Stelle steht eine Zahl, welche größer ist als 2 (n+), also ist der Gesamtbeitrag mindestens 2 n 2 (n+) =. Davon ziehen wir den Betrag des Wertes des 2n + 2-Gliedes 4 ab. Damit erhalten wir folgende Anordnung in der umgeordneten Reihe (beachte die Sonderfälle für die ersten Glieder n = 0 und n = ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 2 n n n+ ).... 2n + 2 Ab einem gewissen N Æ, d.h. für n > N ist der in der Ausdruck in der Klammer mindestens und damit übersteigt der Wert jede Schranke. 8 Satz (Konvergenz absolut konvergenter Reihen) Eine absolut konvergente Reihe reeller oder komplexer Zahlen ist konvergent. Beweis. Sei {a n }n Æ eine Folge, so dass n= a n absolut konvergent ist. Wir wollen das Cauchysche Konvergenzkriterium anwenden um zu schließen, dass die Reihe konvergent ist. Sei S n die entsprechende Partialsumme. Dann ist m m S n S m = a j a j. j=n+ j=n+ Ist ε > 0 gegeben, so existiert aufgrund der absoluten Konvergenz ein N Æ, so dass für n, m > N der rechte Ausdruck durch ε abgeschätzt werden kann. Das ist aber gerade die Konvergenzbedingung. Satz (Invarianz gegen Umordnung) Der Wert einer absolut konvergenten Reihe ist invariant gegen Umordnungen. Beweis. Sei {a n } n Æ eine Folge, so dass die Reihe n= a n absolut konvergent ist, ferner sei β : Æ Æ eine Bijektion. Zu zeigen ist, dass a n = a β(n). n= n=

9 3.2. ABSOLUTE KONVERGENZ 67 Sei ε > 0 gegeben und A = a n. n= Dann gibt es wegen der absoluten Konvergenz ein N Æ, so dass für m > N gilt a n < ε. n=m Insbesondere ist dann für m > N m A a n n= n=m+ a n a n < ε. Fixiere m > N und wähle M > m, so dass für alle k Æ mit k m gilt k = β(j) für ein j < M. Dann ist M A a β(j) a β(j) a j < ε. j= j=m+ n=m j=m Satz (Umordnungssatz) Ist {a n } n Æ eine reelle Folge, so dass die zugehörige Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Dann gibt es zu jedem A Ê eine Bijektion β A : Æ N, so dass a βa (n) = A ist. n= Beweis. Wir schreiben Æ = P N, wobei { } P = n Æ a n 0 { } N = n Æ a n < 0. Dann ist P = {p, p 2,... }, N = {n, n 2,... }. Sei nun A > 0 (A < 0 wird ganz entsprechend behandelt und auch A = 0 bedarf nur einer kleinen Modifikation). Wir addieren die ersten Elemente aus P und zwar sei j der erste Index, so dass A = j p i > A. i=

10 68 KAPITEL 3. REIHEN Ein solcher Index existiert, denn die Reihe der P j ist divergent (Warum?). Setze n = k. Dann addieren wir bis zum ersten Index l, so dass A 2 = A + l n k < A, und setzen n 2 = l. Entsprechend nehmen wir an, es seien Zahlen A 2n+ > A > A 2n, p k2n+ und n k2n bereits definiert. Setze k 2n+2 als kleinsten Index, so dass k= A 2n+2 = A 2n+ + k 2n+2 und k 2n+3 wiederum als kleinsten Index, so dass A 2n+3 = A 2n+2 + j=k 2n n j < A, k 2n+3 j=k 2n+ > A. Alle diese Indizes existieren und damit ist eine Folge {A k } k Æ definiert. Diese Folge konvergiert gegen A, denn A A 2k n 2k, bzw. A A 2k+ p 2k+. Da die Folge der a nn Æ eine Nullfolge bildet, gilt dies auch für die p k, bzw. n k und damit folgt lim k A k = A. 3.3 Konvergenzkriterien In diesem Abschnitt wollen wir Reihen auf Konvergenz untersuchen. Wir wissen bereits, dass die geometrische Reihe konvergent ist, d.h. für 0 < γ < ist die Reihe absolut konvergent. Wir beweisen zunächst einen Vergleichssatz, der auch als Majorantenkriterium bekannt ist. Satz 3.3. (Majorantenkriterium, Vergleichssatz) Ist n= a n eine absolut konvergente Reihe mit a n 0 für alle n Æ und gilt für eine komplexe Folge {z n } n Æ γ n z n a n für alle n Æ so ist die Reihe n= z n absolut konvergent.

11 3.3. KONVERGENZKRITERIEN 69 Beweis. Sei A k = k n= a n und Z k = z n. Von der letztgenannten Folge müssen wir zeigen, dass sie eine Cauchyfolge in ist, während wir als bekannt voraussetzen dürfen, dass die Folge der A k eine reelle Cauchyfolge ist. Sei ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es ein N Æ mit k, l > N impliziert Dann ist für l > k Z k Z l = l n=k+ z n A k A l < ε. l n=k+ z n l n=k+ a n = A l A k < ε. Korollar (Quotientenkriterium) Es sei {a n } n Æ eine Folge, so dass höchstens endlich viele n Æ existieren, so dass a n = 0 ist. Gibt es ein N Æ und eine reelle Zahl 0 < θ <, so dass n > N impliziert a n+ θ. a n Dann ist die Reihe a n absolut konvergent. Beweis. Sei c = a N+. Dann ist (wie man leicht durch vollständige Induktion überprüft,) a N+m cθ m. Da die Reihe cθ m m= konvergiert, gilt dies nach Satz 3.3. auch für die Reihe Dann ist natürlich auch die Reihe konvergent. a m+n. m= a n

12 70 KAPITEL 3. REIHEN Korollar (Wurzelkriterium) Ist {a n } n Æ eine Folge komplexer Zahlen, so dass es ein 0 < θ < gibt, so dass für alle n Æ gilt n a n θ, dann ist die Reihe absolut konvergent. a n Satz (Verdichtungssatz) Es sei {a n } n Æ eine reellwertige, monotone Folge. Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die verdichtete Reihe konvergiert. a n 2 k a 2 k Beweis. Sei o.b.d.a. a n 0 für alle n Æ und die Folge monoton fallend. Sei S(n) die Teilsummenfolge der ursprünglichen Reihe. Dann ist S(2 k ) = 2 k n= a n = k j=0 2 j+ r=2 j a r k 2 j a 2 j. Die Konvergenz der ursprünglichen Reihe folgt nun aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der verdichteten Reihe. Wir müssen noch die andere Richtung beweisen. Die verdichtete Reihe konvergiert genau dann, wenn die Reihe 2 k a 2 k = 2 k= 2 k a 2 k konvergiert. Dies lässt sich aufgrund der Voraussetzungen abschätzen durch a 2 + 2a 4 + 4a 8 + (a + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + a 6 + a 7 + a 8 )..., k= j=0 allgemein gilt 2 k a 2 k 2 k a j j=2 k +

13 3.4. PRODUKTE VON REIHEN 7 und damit folgt die Behauptung aus dem Majorantenkriterium. Korollar (n α -Reihe) Die Reihe konvergiert genau dann, wenn α >. n α Beweis. Wir betrachten die verdichtete Folge 2 k (2 k ) = 2 k( α). α k= Für α ist die Folge a k = 2 k( alpha) keine Nullfolge, für α > hat man eine geometrische Reihe. 3.4 Produkte von Reihen Wir definieren ein zunächst etwas merkwürdig aussehendes Produkt und zeigen, dass es geeignete Konvergenzeigenschaften besitzt und sich die Grenzwerte so verhalten wir wir es von Produkten erwarten. Seien a = {a n } n Æ, b = {b n } n Æ Folgen in Ê oder. Wir definieren eine neue Folge {c n } n Æ durch n c n = a k b n k. k= Sei c = {c n } n Æ. Wir schreiben dafür c = a b. Satz 3.4. (Cauchy-Produkt) Sind a,b Folgen, so dass a n, absolut konvergent sind, so ist mit c = a b absolut konvergent und es gilt ( ) ( ) c n = a n b n. c n b n

14 72 KAPITEL 3. REIHEN Beweis. Sei A = k= a k und B = k= b k. Es gilt zu zeigen, dass es zu ε > 0 ein N Æ gibt, so dass n > N impliziert n c k AB < ε. Wir beginnen mit dem Fall, dass alle a n > 0 und alle b n > 0 sind. Dann ist ( 2n ) ( 2n ) 2n 2n a k b k = a k b j j=0 2n j=0 n j=0 k a k j b j n a k b j Wir bilden die Differenz = 2n 2n j=0 a k b j n n a k b j. j=0 Wir können abschätzen 2n 2n k=n j=0 a k b j + 2n 2n j=n a k b j. Da beide Terme gleich aussehen, reicht es einen abzuschätzen. Dazu beachten wir, dass die Teilsummenfolge konvergiert, also beschränkt ist, und zu einer konvergenten Folge und jedem ε > ein N Æ existiert, so dass n > N impliziert, dass die entsprechenden Folgenglieder durch ε abgeschätzt werden können. Sei B eine obere Schranke für die Teilsummenfolge der b n. Also gilt: 2n 2n 2n 2n a k b j = a k b j k=n j=0 k=n j=0 2n 2n = b j a k Insgesamt können wir die Differenz klein machen. Damit konvergiert die Reihe ( k ) a j b k j. j=0 j=0 Bε. k=n

15 3.5. DIE EXPONENTIALREIHE 73 Damit ist auch die Reihe ( k ) a j b k j j=0 j=0 j=0 konvergent. Das bisherige Argument zeigt, dass 2n k n n 2n 2n a k j b j a k b j a k b j j=0 n n a k b j j=0 ist, und dieser Ausdruck kann mit großem n beliebig klein werden. 3.5 Die Exponentialreihe Wir definieren für z die Exponentialreihe durch E(z) = Zunächst beweisen wir, dass die Exponentialreihe für alle z definiert ist. z n n!. Satz 3.5. (Absolute Konvergenz der Exponentialreihe) Die Exponentialreihe ist für alle z absolut konvergent. Beweis. Sei z, dann existiert ein N Æ mit z < N. Dann ist z n n! z n+ (n+)! = n + z > n + N > N + N für n > N +. Damit ist das Quotientenkriterium anwendbar und die Reihe konvergiert. Definition (e) Wir definieren die Eulersche Zahl 2 e durch e = E(). Diese Zahl ist eine der zentralen Zahlen der Mathematik, sie taucht in vielem 2 Leonhard Euler ( ) stammt aus der Schweiz und ist Schüler von Johann Bernoulli. Sein Werk ist äußerst umfangreich (ca. 900 Publikationen) und behandelt Fragen aus allen Bereichen der Mathematik und Physik. Er verbrachte lange Zeit in St. Petersburg, wo er zunächst Professor für Physik war. Später folgte er dem Ruf Friedrich des zweiten nach Berlin, wo er Direktor der math. Klasse der Akademie der Wissenschaften war. Im Jahre 766 kehrte

16 74 KAPITEL 3. REIHEN wichtigen Formeln auf, ohne diese Zahl ist die Analysis nicht denkbar! Wir werden ihr oft begegnen und dadurch wird diese Bedeutung offenbar werden. Will man diese Zahl mittels dieser Definition ausrechnen, so kann man natürlich nur endlich viele Summanden berücksichtigen und man braucht eine Abschätzung für den Fehler, der durch den Abbruch der Reihe entsteht. Eine solche Abschätzung ist auch oft von theoretischem Interesse und wir werden am Ende dieses Kapitels noch eine Anwendung sehen. Satz (Fehler beim Abbruch der e-reihe) Der Abbruchfehler beim Abbruch der Exponentialreihe nach dem k-ten Glied f k (z) = n! zn k n! zn lässt sich für z + k 2 d.h. abschätzen durch das doppelte des k + -Summanden, f k (z) 2 (n + )! z n+. Beweis. f k (z) = n! zn n=k+ = z k+ (k + )! z k+ (k + )! z k+ (k + )! = 2 z k+ (k + )!. z n n j= (k + + n) ( ) n z k für z n k + 2 < 2 er nach St. Petersburg zurück. Selbst seine Erblindung stoppte sein wissenschaftliches Schaffen nicht. Neben der Zahl e gibt es noch viele mathematische Objekte, die nach ihm benannt sind, wir werden einige davon kennenlernen. Für die Analysis ist besonders wichtig, dass er an der Formulierung des Funktionsbegriffes arbeitete, dies ist Grundlage der modernen Analysis und ihrer Anwendbarkeit durch die Beschreibung von physikalischen (und anderen) Phänomenen durch sogenannte Differentialgleichungen.

17 3.5. DIE EXPONENTIALREIHE 75 Bemerkung (e Numerischer Wert) Der numerische Wert von e ergibt sich nach Abbruch mit k = 0 zu e = mit einer Fehlergenauigkeit von Satz (Funktionalgleichung der Exponentialreihe) Für z, z 2 gilt E(z ) E(z 2 ) = E(z + z 2 ). Beweis. E(z + z 2 ) = = = = n! (z + z 2 ) n n n! n n! zn ( ) n z n k z2 k k (n k)! zn k j=0 j! zj 2. k! zk 2 Korollar (Funktionalgleichung der Exponentialreihe) Für z gilt E( z) = (E(z)). (3.) Beweis. = E(0) = E(z z) = E(z)E( z). Die Gleichung (3.) wird als Funktionalgleichung des Exponentialfunktion bezeichnet. Lemma (Positivität der E-Reihe) Für x Ê ist E(x) > 0. Beweis. Zunächst ist für x 0 nach Definition E(x) = + x + x ,

18 76 KAPITEL 3. REIHEN wobei alle Summanden nicht negativ sind. Also ist E(x) 0. Für x > 0 gilt = E(0) = E(x x) = E(x) E( x). Damit ist E( x) > 0. Wir wollen nun die komplexen Winkelfunktionen einführen und reelle Argumente etwas genauer betrachten. Sie werden später noch eingehender untersucht werden. Definition (Sinus und Cosinus) Für z setzen wir cos(z) = sin(z) = ( ) n z2n (2n)! ( ) n z 2n+ (2n + )! Lemma (Konvergenz der Sinus/Kosinusreihen) Die Reihen für cos(z) und sin(z) sind für jedes z absolut konvergent. Beweis. Aus dem Beweis der Konvergenz der Exponentialreihe folgt sofort, dass für jedes z beide Reihen absolut konvergent sind. Wir betrachten nun einen Spezialfall, die Exponentialreihe für rein imaginäre Argumente, also für komplexe Zahlen der Form ix, wobei x Ê ist. Lemma (Cosinus/Sinus und E-Reihe) Für x Ê gilt cos(x) = Re E(ix) sin(x) = Im E(ix). Beweis. Für gerades n = 2j gilt Im(i n ) = 0 und Re(i n ) = Re(i 2j ) = Re(( ) j ) = ( ) j und für ungerades n = 2j+ gilt Re(i n ) = 0 und eine entsprechende Rechnung zeigt, dass die Folge alternierendes Vorzeichen hat. Damit ergeben sich die behaupteten Darstellungen. Satz 3.5. (Euler) Für x Ê gilt E(ix) = cos(x) +i sin(x). Beweis. Folgt aus dem bereits gesagten.

19 3.6. DER LOGARITHMUS 77 Lemma (E-Reihe mit rein imaginären Argumenten) Für x Ê gilt E(ix) =. Beweis. Es gilt E(ix) 2 = E(ix)E(ix) = E(ix)E(ix) = E(ix)E( ix) = E(ix ix) =. Damit ist E(ix) =. Lemma (Quadrate von Sinus und Kosinus addieren sich zu ) Für x Ê gilt cos(x) 2 + sin(x) 2 =. Beweis. Folgt aus dem Satz von Euler 3.5. und dem Lemma über die E-Reihe mit rein imaginären Argumenten Satz (Additionstheoreme) Für x, y Ê gilt cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x). Diese Gleichungen werden oft als Additionstheoreme bezeichnet. Beweis. Da E(i(x + y)) = E(ix + iy) = E(ix)E(iy) folgt mit Satz von Euler 3.5. cos(x + y)+isin(x + y) = (cos(x) +isin(x))(cos(y)+isin(y)) und damit die Behauptung. 3.6 Der Logarithmus In diesem Abschnitt definieren wir die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, den Logarithmus. Es ist eine der wichtigen Funktionen, die überall in Naturwissenschaften und Technik auftauchen.

20 78 KAPITEL 3. REIHEN Lemma 3.6. (Monotonie der Exponentialfunktion) Für x, y Ê, x > y ist E(x) > E(y). Beweis. E(x) = E(y + (x y)) = E(y) E(y x) > E(y). Als ist die Funktion E : Ê Ê + : x E(x), D(E) = Ê streng monoton steigend auf Ê. Wir wollen nun den Bildbereich B(E) ermitteln. Satz (Bijektivität der Exponentialfunktion) E : Ê Ê + ist eine Bijektion. Beweis. Wir wissen bereits, dass E streng monoton steigend, also injektiv ist. Weiter wissen wir e = E() >, denn für alle x > 0 ist aufgrund der obigen Monotonieaussage E(x) >. Es gilt e n = E(n), denn e = E() und angenommen e n = E(n) gilt, so erhalten wir e n+ = e n e = E(n) E() = E(n + ) nach der Funktionalgleichung für die Exponentialreihe. Da e = + (e ) gilt nach der Bernoullischen Ungleichung e n + n(e ). Also konvergiert die Folge {e n } n Æ in Ê erw gegen. Da es zu jedem K Ê damit eine Zahl N Æ gibt, so dass n > N impliziert e n > K, folgt lim n e n = 0. Damit würde man nun vermuten B(E) = Ê +. Um die Surjektivität zu zeigen, greifen wir auf das Dedekindsche Schnittaxiom zurück. Sei y Ê +. Wir betrachten die Mengen A = {q É E(q) y}, B = {q É E(q) > y}. Dann sind beide Mengen nicht leer, da ein n Æ existiert mit E( n) = e n < y < e n = E(n). Wegen der strengen Monotonie ist A B = und natürlich gilt für jedes q É entweder E(q) y oder E(q) > y, da Ê vollständig geordnet ist. Also, nach dem Dedekindschen Schnittaxiom, gibt es ein x Ê mit a x b für alle a A und alle b B. Bleibt zu zeigen E(x) = y. Mit a A und b B gilt a x b und damit Nun ist für a A und b B E(a) E(x) E(b). E(b) E(a) = E(a + (b a)) E(a) = E(a)E(b a) E(a) wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion = E(a)(E(b a) ).

21 3.6. DER LOGARITHMUS 79 Gibt es nun zu jedem ε > 0 ein Paar a, b mit 0 < E(b) E(a) < ε, so ist E(x) y < ε und damit E(x) = y. Wir müssen also zeigen, dass zu jedem ε > 0 ein Paar a A und b B existiert mit E(b) E(a) < ε. Dazu reicht es aber zu zeigen, dass zu jeder ε > 0 ein s É, s > 0 existiert mit E(s) < ε. Wähle ( ε s < min 2, ) ε. 2 Dann ist mit der Fehlerabschätzung für k = der Wert von E(s) < + s + f (s) und damit Damit B(E) = log : Ê + Ê mit E(s) < s + f (s) < ε 2 + 2s2 2! < ε 2 + ε 2 = ε. { r Ê } r > 0 = Ê + und es existiert eine Umkehrfunktion log(x y) = log(x) + log(y). (3.2) Definition (Logarithmus) Diese Funktion log wird als Logarithmus bezeichnet. Gleichung (3.2) nennt man die Funktionalgleichung des Logarithmus.

22 80 KAPITEL 3. REIHEN