Mathematik I - Woche 10

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1 Mathematik I - Woche 0 Philip Müller Reihen. Was ist eine Reihe Wir hatten bis jetzt Folgen. Eine Folge (a n ) n N ist eine Vorschrift, die von den natürlichen Zahlen, in die reellen Zahlen abbildet. Ein Beispiel ist: (a n ) n N = n + Es ist relativ einfach etwas über die Konvergenz einer Folge auszusagen, man berechnet einfach den Grenzwert lim n a n. Wenn man eine Folge (a n ) n N hat, kann man sich fragen, ob man daraus eine neue Folge definieren kann und diese natürlich untersuchen. Wir definieren deshalb: s n := n a k = a 0 + a + a a n + a n (2) lim s n = lim n n () n a k = a k (3) Der obige Ausdruck (2) ähnelt zwar einer Folge, er wird aber Reihe genannt. Gleichung (3) ist der Grenzwert der Reihe, man sagt auch Wert der Reihe dazu. Ihn zu berechnen ist anders als bei Folgen sehr schwierig..2 Konvergenz von Reihen Zuerst will ich sagen, dass Reihen nicht intuitiv sind. Auch ist es sehr Konter intuitiv, dass es Reihen gibt, die konvergent sind, dennoch gibt es konvergente Reihen. Satz Wenn gilt dass a k eine konvergente Reihe ist, so muss zwingend gelten, dass die Folge a k eine Nullfolge ist, also lim k a k = 0. Es sei hier erwähnt, dass die Umkehrung von Satz nicht gilt. Das bedeutet, dass eine Nullfolge nicht zwingend zu einer konvergenten Reihe führt. Das beste Beispiel hier ist die harmonische Reihe..3 Feststellen von Konvergenz Es gibt verschiedene Methoden, um die Konvergenz einer Reihe zu zeigen. In der Regel, sagen diese Kriterien nichts über den Wert der Reihe aus. Ausser bei einigen spezial Fällen, werdet Ihr niemals eine Reihe selber bestimmen müssen. Generell gibt es zwei Vorgehensweisen bei Reihen. Abschätzen oder anwenden eines Satzes. Welche Methode man anwenden soll, kommt sehr auf die Funktion an..3. Quotientenkriterium Eine Reihe, S := a k, ist konvergent, wenn für den Grenzwert der Quotienten folgendes gilt: lim a n+ n a k < (4) Wenn eine Reihe (.3.) nicht erfüllt ist sie divergent. Wenn Ihr jemals einen Mathematiker um Rat fragen müsst und es hat mit einer Reihe zu tun, sagt unter gar keinen Umständen unendliche Summe dazu.

2 .3.2 Wurzelkriterium Das Wurzelkriterium testet auch die Konvergenz, es ist etwas besser als das Quotientenkriterium. Es besagt, dass wenn für die Summanden der Reihe S := a k gilt n lim n so ist die Reihe S konvergent, anderen Falls ist sie divergent..3.3 Majorantenkriterium und MinorandenKriterium an < (5) Hier ist die Idee, dass man seine Reihe, S := a k, mit einer anderen Reihe, von der man bereits weiss ob sie divergent oder konvergent ist, vergleicht. Hierzu sein T := c k eine bekannt Reihe mit nichtnegativen reellen Summanden c k. Nun unterscheiden wir: Konvergenz Wenn die Reihe T konvergent ist und a n c n, für fast alle n N, gilt. Dann ist auch die Reihe S divergent. Man kann sich das anschaulich so vorstellen, dass die Reihe S kleiner ist als die Reihe T, und da T konvergiert, muss auch etwas kleineres konvergieren. Divergenz Wenn die Reihe T divergent ist und c n a n, für fast alle n gilt. Dann ist auch die Reihe S divergent. Anschaulich, kann man sich vorstellen, dass S grösser ist als T, also wenn T gegen Unendlich explodiert, dann muss auch S gegen unendlich explodieren..3.4 Alternierende Reihe Sei (a n ) n N eine Nullfolge, bei der für alle n gilt, dass a n 0 ist. Dann ist die Reihe S := ( )k a k konvergent. Die Reihe S ist dabei eine alternierende Reihe, das Vorzeichen der Terme wechselt immer zwischen Plus und Minus, hin und her..4 Bekannte Reihen Es ist immer gut einen Satz von bekannten Reihen zu haben, die man für Vergleiche heranziehen kann..4. Exponentialreihe Diese Reihe ist konvergent mit dem Wert e..4.2 Geometrische Reihe k! = e (6) q k = q q < (7) Sie ist konvergent, es gibt auch eine Darstellung wie sie als Funktion aussieht. Man kann sie auch als Grundlage benutzen um die Potenzreihen anderer Funktionen zu finden, wie.4.3 Harmonische Reihen q ( q) 2. k= k = ( ) k k = log(2) (8) Die linke Seite von Gleichung (8) ist als harmonische Reihe bekannt, sie ist auch ein Beispiel für eine divergente Reihe, die aus einer konvergenten Nullfolge gebildet wird. Die rechte Seite ist die alternierende harmonische Reihe. Sie ist konvergent, dies ist eine Konsequenz aus dem Leibniz-Kriterium aus Abschnitt

3 .4.4 Dirichlet-Reihen Dirichlet-Reihen sind von der folgenden Form: S := a k k α (9) Die Dirchlet-Reihen konvergieren für jedes α >, wenn (a k ) k N eine beschränkte Folge ist. Sie eignet sich sehr als Vergleichsreihe im LCT (??). 2 Potenzreihen Wir hatten in Woche 6 schon einmal Kontakt mit Taylor-Reihen. Taylor-Reihen, sind eine spezielle Art von Potenzreihen. Aber zuerst einige allgemeine Bemerkungen zum Thema Reihen. 2. Von der Reihe zur Potenzreihe Eine Potenzreihe ist nun eine Modifikation einer Potenzreihe. Man nimmt den Term a k und multipliziert ihn mit x k. Man erhält im Endeffekt folgendes: a k a k x k (0) Die rechte Seite von Gleichung (0) kann man nun als eine Funktion auffassen. Dies führt zur Frage, wie kann ich die Potenzreihe als normale Funktion darstellen und wie finde ich die Potenzreihe einer gegeben Funktion? 2.2 Schreibweise Gleichung (0) ist noch nicht ganz vollständig. Wie bei Taylor-Reihen, kann man eine Reihe um verschieden Entwicklungspunkte x 0 entwickeln. Dem muss Rechnung getragen werden, darum ist die vollständige Schreibweise einer Potenzreihe: a k (x x 0 ) k () Dabei ist x 0 wie bei der Taylor-Reihe der Entwicklungspunkt. 2.3 Eindeutigkeit von Potenzreihen Hat man eine Potenzreihe für eine Funktion und einen gegeben Entwicklungspunkt gefunden, so ist diese Potenzreihe eindeutig. Es gibt also keine zweite Potenzreihe. Dies bedeutet, dass die Potenzreihe und die Taylor-Reihe, sofern diese existiert, gleich der Potenzreihe ist. Wenn ihr die Potenzreihe einer Funktion finden wollt, so könnt ihr auch die Taylor-Reihe der Funktion berechnen. Noch einfacher ist, wenn die Funktion, die ihr suchen wollt ein Polynom ist. Denn jedes Polynom ist bereits eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt Konvergenz Wie man sehen kann, ist die Konvergenz einer Potenzreihe Abhängig ist von der Wahl von x. Dies führt zum Begriff des Konvergenzradius ϱ. Es gilt folgendes x x 0 < ϱ Dann konvergiert die Reihe. x x 0 = ϱ Man ist also direkt auf dem Konvergenzradius. Hier ist keine Aussage möglich. x x 0 > ϱ Hier ist die Potenzreihe divergent. 3

4 2.5 Bestimmung des Konvergenzradius Um die Konvergenz zu untersuchen, modifiziert man das Quotientenkriterium zu: ϱ = lim a n (2) n Man bemerke, dass (2) fast gleich aussieht wie (4), aber Zähler und Nenner vertauscht sind, man darf die beiden nicht verwechseln. Ein Extrem ist der Fall, wenn der Konvergenzradius unendlich ist. In diesem Fall ist die Funktion auf ganz R konvergent. Das andere Extrem ist, wenn der Konvergenzradius 0 ist. Dann ist die Potenzreihe nur in einem Punkt, dem Entwicklungspunkt, konvergent. 2.6 Wichtige Potenzreihen a n+ Hier nun eine Auflistung von wichtigen Funktion und ihrer Darstellung als Potenzreihe Exponentialreihe exp(x) = Diese Reihe hat einen unendlichen Konvergenzradius Sinus x k k! = ex (3) sin(x) = ( ) k x 2k+ (2k + )! Diese Reihe hat einen unendlichen Konvergenzradius. (4) Cosinus cos(x) = Diese Reihe hat einen unendlichen Konvergenzradius. ( ) k x2k (2k)! (5) Geometrische Reihe Diese Funktion ist um 0 entwickelt und ihr Konvergenzradius ist. 2.7 Taylor-Reihe f(x) = x = x k x < (6) Der sagt dass man eine Funktion in eine Taylor-Reihe entwickeln kann. Die vollständige Reihe, ist gegeben durch (nur der Vollständigkeit wegen). f (n) x 0 Dabei ist: f(x) = n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 2 Die n-te Ableitung. Die 0-te Ableitung ist die Funktion selber. Ist der sogenannte Entwicklungspunkt n! Ist die Fakultät. (x x 0 )

5 2.7. Berechnen einer Taylor-Reihe Eine Taylor-Reihe zu bestimmen, ist eigentlich ganz einfach. Man muss nur einen Ausdruck, für die n-te Ableitung finden. 3 Tipps Ich gebe euch hier ein paar Tipps. Ich rate euch aber nicht, diese Tipps einfach zu lesen, sondern versucht zuerst die Aufgaben selbst 2 zu lösen, bevor Ihr die Tipps lest, es bringt euch mehr. Auch wenn ihr die Tipps gelesen habe, benutzt sie nicht einfach, sondern denkt darüber nach, wieso es so ist! 2 oder in Gruppen 5

6 3. Aufgabe Betrachtet in einem ersten Schritt nur einmal Abschnitt.3 von Seite in Verbindung. n α für n, α > 0. Bringt es nachher mit einem der Kriterien von 3.2 Aufgabe 2 Hier empfehle ich euch auf n + < n 2 n n + > n 2 6

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