Höhere Mathematik II. (Vorlesungskript)

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1 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Universität der Bundeswehr München Höhere Mathematik II (Vorlesungskript) Univ. Prof. Dr. sc. math. Kurt Marti 2 2 L A TEX-Satz des Manuskripts: Christian Pappert und Dennis Thielsen

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3 Inhaltsverzeichnis I. Folgen und Reihen 7 1. Zahlenfolgen Einfachste Eigenschaften von Zahlenfolgen Konvergente Zahlenfolgen Konvergenzkriterien Einige spezielle Zahlenfolgen Häufungspunkte Limes superior, Limes inferior Unendliche Reihen Summe einer Reihe Bestimmte Divergenz Elementare Eigenschaften von Reihen Konvergenzkriterien Reihen mit nichtnegativen Gliedern Quotienten- und Wurzelkriterium Das Integralkriterium Kriterium für alternierende Reihen Absolute Konvergenz Eigenschaften absolut konvergenter Reihen Multiplikation von Reihen Funktionenreihen Gleichmäßige Konvergenz Ein Kriterium für gleichmäßige Konvergenz Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen

4 Inhaltsverzeichnis 4. Potenzreihen Konvergenzverhalten von Potenzreihen Berechnung des Konvergenzradius r Eigenschaften von Potenzreihen Identitätssatz für Potenzreihen Rechnen mit Potenzreihen Addition, Subtraktion, λ-faches Multiplikation Division Taylorreihen Praktische Bedeutung der Taylorentwicklung Taylorentwicklung einiger Funktionen II. Differentialrechnung im R n Definition, Beispiele Graphische Darstellung von Funktionen 2er Variabler Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variabler Stetigkeit Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen 1.Ordnung Partielle Ableitungen im R Partielle Ableitungen im R n Partielle Ableitungen höherer Ordnung Die verallgemeinerte Kettenregel 85 1.Mittelwertsatz Folgerungen aus dem MWS Anwendungen des totalen Differentials in der Fehlerrechnung Implizite Funktionen, implizite Differentiation Implizite Funktionen zweier Variabler Implizite Funktionen mehrerer Variabler Auflösbarkeit Berechnung der ersten partiellen Ableitungen

5 Inhaltsverzeichnis 12.Die Richtungsableitung Eine weitere Eigenschaft des Gradienten f Satz von Taylor Eigenschaften von F (t) Anwendung der Taylorformel für Funktionen einer Variablen auf die Funktion F Extremwertaufgaben Kriterien für lokale Extremalstellen Notwendige Bedingung 1. Art Notwendige Bedingungen 2. Art Hinreichende Bedingung Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Notwendige Optimalitätsbedingungen Verfahren von Lagrange Hinreichende Optimalitätsbedingungen für (P ) Parameterintegrale Fourier-Reihen Periodische Funktionen Harmonische Analyse Fourierreihen Periodische Funktionen mit speziellen Eigenschaften (Symmetrien) Einige konkrete Fourierentwicklungen Transformation von f mittels eines Tiefpasses: Filterung von f Die Laplace-Transformation von DGLn Die Laplace-Transformation von Funktionen Anwendung der L-Transformation Anfangswertprobleme bei Systemen linearer DGLn Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Systeme von DGLn m-ter Ordnung Index 193 5

6 Inhaltsverzeichnis 6

7 Teil I. Folgen und Reihen 7

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9 1. Zahlenfolgen Definition 1.1 (Zahlenfolge) Eine Zahlenfolge (a n ) oder a n, a n +1, a n +2,..., a n,... liegt dann vor, wenn jeder natürlichen Zahl n n (häufig ist n = oder n = 1) in 1 deutiger Weise eine Zahl a n R (auch b n, x n usw.) zugeordnet ist: n a n = f(n), a n R für n n ; a n heißt n-tes Glied der Folge (a n ). Eine Zahlenfolge ist also eine Funktion f mit Definitionsbereich D f = {n N : n n } für ein n =, 1,.... Praktische Bedeutung: reelle Zahlen lassen sich als konvergente Folgen rationaler Zahlen darstellen: 2 : 1, 1.4, 1.41, 1.414,... mathematische Behandlung unendlicher Summen (Reihen) Diskretisierung technischer Prozesse zur numerischen Verarbeitung in Computern Numerik: Iterationsverfahren zur Lösung von Gleichungen Beispiel: (a) arithmetische Zahlenfolge: a, d seien beliebige Zahlen, d a n = a + nd, n =, 1,... (b) geometrische Zahlenfolge: a, q beliebige Zahlen a n = aq n, n =, 1,... 9

10 1. Zahlenfolgen (c) a n = 1 n, b n = n = 4 ( n) n, n = 1, 2,..., c n = 1 (n 1)(n 2)(n 3), n Die Folgen in (a-c) sind durch Rechenvorschriften definiert, die nächsten Folgen sind definiert durch sogenannte Rekursionsvorschriften. (d) Sei c R fest. (e) a = 1, a n+1 = 1 2 a = 1 a n = 1 + ca n 1, n = 1, 2,... (a n + 2an ), n =, 1,... (a n ) lässt sich zur Berechnung von 2 verwenden. } = a n = 1 + c + c c n Definition 1.2 (Teilfolge) Sei ν < ν 1 < ν 2 <... < ν k < ν k+1 <... eine Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (b k ) eine Teilfolge von (a n ). b k := a νk, k =, 1,..., Beispiel: b k = (q 5 ) k ist eine Teilfolge von a n = q n (setze ν k = 5k) Einfachste Eigenschaften von Zahlenfolgen Definition 1.3 (Monotonie) (a) Eine Zahlenfolge (a n ) heißt monoton wachsend bzw. monoton fallend, wenn a n a n+1 bzw. a n a n+1 für alle n n. (b) Eine Zahlenfolge (a n ) heißt streng monoton wachsend bzw. fallend, wenn a n < a n+1 bzw. a n > a n+1 für alle n n. Definition 1.4 (Alternierende Folge) Eine Zahlenfolge (a n ) heißt alternierend, wenn sgn a n+1 = sgn a n für alle n n. 1

11 1.1. Einfachste Eigenschaften von Zahlenfolgen Satz 1.1 Sei q R. Die Folge a n = q n, n =, 1,..., also 1, q, q 2, q 3,..., ist (a) streng monoton wachsend für alle q > 1 (b) streng monoton fallend für alle < q < 1 (c) konstant für q = (n 1) und q = 1 (d) alternierend für alle q < Definition 1.5 (Beschränkte Folgen) Eine Zahlenfolge (a n ) heißt (a) beschränkt nach unten, wenn a n s für alle n n, (b) beschränkt nach oben, wenn a n S für alle n n, (c) beschränkt, wenn s a n S oder a n C für alle n n, wobei s, S, C, von n unabhängige Zahlen sind. Beispiel: a n = q n (a) q 1 = a n ist beschränkt (b) q > 1 = a n ist beschränkt nach unten Bemerkung: Für < q < 1 ist a n = q n streng monoton fallend und beschränkt. Definition 1.6 (Grenzwert, Konvergenz, Divergenz) Sei (a n ) eine Zahlenfolge. a R heißt Grenzwert von (a n ), wenn zu jedem, auch beliebig kleinem ε > eine Zahl N = N(ε) existiert, so dass a n a < ε für alle n > N(ε). Falls (a n ) einen Grenzwert a besitzt, dann heißt (a n ) auch konvergent (gegen a), und man schreibt lim n a n = a oder a n a, n. Eine nicht konvergente Zahlenfolge heißt divergent. 11

12 1. Zahlenfolgen Bemerkung: (a) Geometrische Bedeutung: Für hinreichend großes n liegen sämtliche Glieder der Folge in einer beliebig kleinen Umgebung von a. U ε (a) = {x : a ε < x < a + ε} (b) Der Grenzwert ist, falls er existiert, 1 deutig bestimmt. Beispiel: (a) Geometrische Folge a n = q n mit q < 1 Sei h := 1 q 1 = h > 1 q = 1 + h = 1 = (1 + h)n q n 1 q n = (1 + h)n 1 + nh (Bernoulli-Ungleichung) nh = q n 1 nh = qn 1 nh Sei ε >. Dann gilt: q n < ε = 1 nh < ε 1 εh < n. Definitionsmöglichkeit für N(ε) : N(ε) = 1 εh = q n, n. Satz 1.2 Für jedes q < 1 gilt lim n q n =. (b) a n a = lim n a n = a (c) a n = 1 für ein festes q N, q 1 nq lim n 1 = für alle q = 1, 2,.... nq 1 (aber auch εh + ϕ(ε) ) }{{} 12

13 1.2. Konvergente Zahlenfolgen Definition 1.7 (Nullfolge) Eine Zahlenfolge mit Grenzwert heißt Nullfolge (N.F.). (d) a n = 1 + 3n + 5n2 = n 2 }{{} 4n 2 }{{} 4n 4 N.F. N.F. = lim n a n = 5 4 (e) a n = ( 1) n, b n = sin n, c n = n 2, d n = log 1 n Folgen. sind Beispiele divergenter (f) lim n q n = ± für alle q > 1, lim n log 1 n =. Definition 1.8 (Bestimmte Divergenz) lim a n = + (oder ) bedeutet: Zu jedem beliebig großen A gibt es ein N = N(A), so dass a n > A n bzw. a n < A für alle n > N(A) Konvergente Zahlenfolgen Satz 1.3 Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert. Satz 1.4 Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt. Bemerkung: (a) Aus Satz 1.4 folgt: (a n ) unbeschränkt (a n ) divergent (evtl. bestimmt divergent). (b) (a n ) beschränkt (a n ) konvergent. Beispiel: a n = ( 1) n Satz 1.5 Jede Teilfolge einer konvergenten Folge a n gegen a. a, n konvergiert 13

14 1. Zahlenfolgen Satz 1.6 (Grenzwertsätze) ( Sei ) a n a, b n b für n. Dann sind auch an die Folgen (a n ± b n ), (a n b n ),, wenn b, und a n konvergent, und es gilt b n lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n, n n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n, n n n a n lim = n b n lim a n = n lim a n n lim b, wenn b, n n lim a n n Beispiel: a n = 7 + 3n + 4n2 5n 3 2n + 1n 3 = 7 n n n 5 2 n = 1 2, n Satz 1.7 Die Abänderung von (nur) endlich vielen Gliedern einer Folge ändert deren Konvergenzverhalten nicht. Satz 1.8 Ist a n, n und (b n ) eine beschränkte Folge, dann gilt lim a nb n =. n Satz 1.9 Ist a n a, b n b für n und a n b n für alle n, so folgt a b Konvergenzkriterien Satz 1.1 Ist eine Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt bzw. monoton fallend und nach unten beschränkt, dann ist sie konvergent. 14

15 Beispiel: a n = ! + 1 2! n! = n 1 k! a n ist sicher streng monoton wachsend. Ferner gilt: n 1 n k! = k! k=2 = < = < = (a n ) ist beschränkt. Satz 1.1 n 1 = a = lim n k! existiert! 1.4. Einige spezielle Zahlenfolgen ( ) n ( ) n ( 1 3 = ) k = ( 1 3 )n Satz 1.11 Sei a n a, b n a, n. Ist a n c n b n für alle n n, dann gilt c n a, n. Satz 1.12 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die Zahlenfolge (a n ) ist genau dann konvergent, wenn zu jedem, auch beliebig kleinen ε > ein N = N(ε) existiert, so dass a n a m < ε, wenn m, n > N(ε). Bemerkung: In diesem Konvergenzkriterium kommt der Grenzwert a nicht explizit vor! 1.4. Einige spezielle Zahlenfolgen (a) a n = an für festes a > 1, α > nα lim a n = + bestimmte Divergenz n 15

16 1. Zahlenfolgen (b) lim n n = 1 Sei a n = n n = 1 + d n, d n >. n n ( ) ( ) n n = n = a n n = (1+d n ) n = d i n > d 2 n = i 2 i= 2 = n > n2 4 ( n n 1) }{{} 2 d n 4 n > ( n n 1) 2 2 > n n 1 n > n Satz 1.11 n > 1 = lim n n = 1. n n (c) log a n, n n f(x) = log a x ist stetig in x = 1. Daraus folgt mit (b): (d) Sei a n a, n. Dann gilt: f( n n) f(1), n. }{{}}{{} 1 n log a n n(n 1) d 2 n > n2 2 4 d2 n für n Satz 1.13 (Arithmetisches Mittel der Teilsummen) Sei a n a, n. Dann gilt b n = a 1 + a a n a, n. n (e) lim n ( n) n = e = 2, Häufungspunkte Divergente Folgen besitzen manchmal noch Häufungspunkte. Definition 1.9 (Häufungspunkt) Eine Zahl a heißt Häufungspunkt (H.P.) einer Folge (a n ), wenn zu jedem beliebig kleinen ε > eine Indexfolge n 1 < n 2 <... existiert, so dass a nk a < ε für alle k = 1, 2,..., d.h., in jeder Umgebung eines H.P. von (a n ) liegen viele Glieder der Folge. Beispiel: 16

17 1.6. Limes superior, Limes inferior (a) a n = ( 1) n hat die beiden H.P. a = ±1 (Jede beliebig kleine Umgebung von 1 bzw. +1 enthält alle Glieder a 2k+1 bzw. a 2k für alle k =, 1,...) (b) Sei a n a, n. Dann ist der Grenzwert a der einzige H.P. von (a n ). (c) a n = n! = (a n ) hat keinen H.P. Satz 1.14 Ist a ein H.P. von (a n ), dann gibt es eine Teilfolge (a nk ), so dass a = lim k a n k. Bemerkung: Aus Satz 1.14 folgt: H.P. sind die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen! Satz 1.15 Jede beschränkte Folge hat mindestens einen H.P. und damit mindestens eine konvergente Teilfolge Limes superior, Limes inferior Gegeben sei eine beschränkte Zahlenfolge (a n ), also a n C für alle n. Sei a H.P. von (a n ). = a = lim k a nk = a C (Satz 1.14 und Satz 1.9). = Die Menge aller H.P. von (a n ) ist beschränkt. Satz 1.16 Ist (a n ) eine beschränkte Zahlenfolge, dann hat (a n ) einen größten H.P. a und einen kleinsten H.P. a. Definition 1.1 (Limes inferior, Limes superior) Sei (a n ) eine beschränkte Zahlenfolge, dann heißen a =: lim a n =: lim sup a n limes superior (oberer Grenzwert) und n n a =: lim a n =: lim inf n n a n limes inferior (unterer Grenzwert). Bemerkung: 17

18 1. Zahlenfolgen (a) lim n a n ist der größte Grenzwert einer konvergenten Teilfolge. (b) lim n a n ist der kleinste Grenzwert einer konvergenten Teilfolge. Satz 1.17 Eine beschränkte Zahlenfolge ist genau dann konvergent, wenn a = a. ( Beispiel: a n = ( 1) n ) n a = 1, a = +1 = (a n ) ist divergent 18

19 2. Unendliche Reihen Praktische Bedeutung: Unendliche Reihen dienen der Definition von Summen mit unendlich vielen Summanden: Entwicklung komplizierter Funktionen, z. B. sin, cos, log usw., in Potenzreihen Darstellung periodischer Vorgänge durch Fourierreihen Lösung von Differentialgleichungen, die nicht durch elementare Integrationsmethoden lösbar sind, mittels Funktionsreihen-Ansatz Definition 2.1 (Reihe) Ist a, a 1,..., a k,... eine Zahlenfolge, dann heißt der rein formale Ausdruck a + a 1 + a a k + oder eine unendliche Reihe (kurz Reihe). Die Zahlen a k heißen Glieder oder Summanden der Reihe. a k 2.1. Summe einer Reihe Definition der Summe s der Reihe: Wir betrachten die sog. n-ten Partialsummen s n, n =, 1, 2,...: s = a s 1 = a + a 1 s 2 = a + a 1 + a 2. s n = a + a 1 + a a n =. n a k 19

20 2. Unendliche Reihen Definition 2.2 (Summe, Konvergenz, Divergenz) Eine Reihe a k heißt konvergent bzw. divergent, wenn die Folge (s n ) ihrer n-ten Partialsummen konvergent bzw. divergent ist. Der Grenzwert s = lim s n heißt Summe der Reihe, und n man schreibt auch s = a k oder s = a + a 1 + a Bemerkung: Das Zeichen a k ihren Grenzwert s, falls dieser existiert. Beispiele: bezeichnet sowohl die formale Reihe, als auch (a) Geometrische Reihe: 1 + q + q 2 + q q k +..., also a k = q k 1 q n+1 s n = 1 + q + + q n, q 1 = 1 q n + 1, q = 1 Es sind dann 4 Fälle zu unterscheiden: i) 1 < q < +1 = q n, n = s n 1 1 q, n = s = 1 1 q ii) q = 1 = s n = n + 1 = (s n ) ist bestimmt divergent nach + iii) q = 1 = s n = 1 2 (1 ( 1)n+1 ) = = (s n ) ist divergent iv) q > 1 = q n ist nicht beschränkt = (s n ) ist unbeschränkt = (s n ) ist divergent (Satz 1.4) Insgesamt erhalten wir also Satz 2.1 (Geometrische Reihe) wenn 1 < q < +1, wobei dann q 1. { 1, n gerade, n ungerade 1+q+q 2 + +q n + ist konvergent, q k 1 = und divergent, wenn 1 q 2

21 2.2. Bestimmte Divergenz (b) Harmonische Reihe: k +..., also a k = 1 k 1 Behauptung: ist divergent. k k=1 Man betrachte die Glieder s 2 i, i = 1, 2,... s 2 1 = s 2 = > 2 2 s 2 2 = s 4 = s > = 3 2 s 2 3 = s 8 = s > = 4 2 s 2 4 = s 16 = s 8 = > = 5 2. = s 2 i > 1 (i + 1) 2 = s n > 1 2 (i + 1) n > 2i und jedes i = 1, 2,... = (s n ) ist nicht beschränkt = (s n ) ist divergent 1 = ist divergent. k k= Bestimmte Divergenz Definition 2.3 (Bestimmte Divergenz) wenn (s n ) bestimmt divergent ist. Man schreibt dann Beispiele: a k a k = ±, wenn lim n s n = ±. heißt bestimmt divergent, (a) k=1 1 k = + 21

22 2. Unendliche Reihen (b) q k = +, q Elementare Eigenschaften von Reihen Satz 2.2 Verändert man in einer Reihe sich deren Konvergenzverhalten nicht. a k endlich viele Glieder a k, so ändert Satz 2.3 (Grenzwertsätze) (a) Ist a k = s R, dann ist auch c a k konvergent für jedes c R, und es gilt c a k = c a k. (b) Sind a k = s, b k = t konvergente Reihen, dann konvergiert auch (a k + b k ), und es gilt (a k + b k ) = a k + b k. Bemerkung: a k = s, b k = t i.a. a k b k = s t (vgl. Satz 2.18) Konvergenzkriterien Satz 2.4 (Notwendiges Konvergenzkriterium) Ist gilt lim a k =, die Folge (a k ) ihrer Glieder ist also eine Nullfolge. k a k konvergent, dann Bemerkung: (a k ) Nullfolge a k konvergent 22

23 2.4. Konvergenzkriterien Beispiel: ist aber divergent. ( ) 1 ist eine Nullfolge. Die (harmonische) Reihe k k=1 1 k Satz 2.5 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die Reihe a k ist genau dann konvergent, wenn zu jedem ε >, auch beliebig klein, eine Zahl N(ε) existiert, so dass a n+1 + a n a n+p < ε für alle n > N(ε) und jedes p =, 1,... Beweis: Mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums für die Folge (s n ). 1 Beispiel: k(k + 1) k=1 1 k(k + 1) = 1 k 1 k + 1 a n+1 + a n a n+p = 1 n n n n n + p 1 n + p + 1 Gegeben: ε >, man wähle = Die Reihe ist konvergent nach Satz 2.5. Berechnung des Grenzwertes: n 1 n ( 1 s n = k(k + 1) = k 1 ) k + 1 = k=1 k=1 k=1 1 k(k + 1) = 1 = i=2 = 1 n n + p + 1 < 1 n + 1 p 1 1 n + 1 < ε 1 ε 1 < n, also N(ε) = 1 ε 1 1 (i 1)i = 1 1 n + 1 1, n Reihen mit nichtnegativen Gliedern Man betrachte Reihen a k mit a k k =, 1, 2,... 23

24 2. Unendliche Reihen = s n = n a k Daraus folgt mit Satz 1.1: ist monoton wachsend. Satz 2.6 Eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern ist genau dann konvergent, wenn (s n ) beschränkt ist. Satz 2.7 (Vergleichskriterium I) Eine Reihe a k mit nichtnegativen Glie- dern ist konvergent, wenn eine Reihe b k existiert, so dass (a) b k ist als konvergent bekannt, (b) a k b k für alle k k, mit einem gewissen (festen) k. Bemerkung: b k heißt konvergente Majorante von a k. Das Vergleichskriterium I heißt daher auch Majorantenkriterium. 1 Beispiel: k, also a 2 k = 1 k 2 k=1 Es ist 1 k = 1 2 k 1 k < 1 k 1 1 k für alle k k = 2 1 = (k 1)k ist eine konvergente Majorante von k=2 Das Majorantenkriterium liefert dann: Später zeigt sich: k=1 1 k = π2 2 6 k=1 k=1 1 k 2 1 ist konvergent. k2 Satz 2.8 (Vergleichskriterium II) Eine Reihe a k ist divergent, wenn eine Reihe b k existiert, so dass 24

25 (a) b k ist als divergent bekannt, (b) a k b k für alle k k mit einem gewissen (festen) k. Bemerkung: 2.4. Konvergenzkriterien b k heißt divergente Minorante von a k. Das Vergleichskriterium II heißt daher auch Minorantenkriterium. 1 Beispiel:, a k = 1 k k Sei k 1. k=1 = k k = 1 k = a k b k = 1 k = = k=1 k=1 1 k ist divergente Minorante von 1 k ist divergent. k=1 1 k Quotienten- und Wurzelkriterium Gegeben: Reihe a k mit nichtnegativen Gliedern a k. Satz 2.9 (Quotientenkriterium) (a) Quotientenkriterium: i) Existiert ein festes q < 1 und eine Zahl N, so dass a k > für k N und a k+1 a k q für alle k N, dann ist a k konvergent. ii) Gilt hingegen a k >, k N, und dann ist a k divergent. a k+1 a k 1 für alle k N, 25

26 2. Unendliche Reihen (b) Limesform des Quotientenkriteriums: Für die Reihe a k existiere der Grenzwert Q = lim Bemerkung: (a) Gilt a k+1 a k a k konvergent, wenn Q < 1 divergent, wenn Q > 1 < 1 für alle k N i.a. Konvergenz. a k+1 k a k. Dann ist (b) Ist Q = 1, dann ist sowohl Konvergenz als auch Divergenz möglich! Beispiele: (a) (b) a k, a k = k! 2 k (2k)! > = a k+1 1 = a k 4(2k + 1) 1 4 = a k ist konvergent k=1 (c) a k = 1 k 1 k : a k+1 a k = k k + 1 < 1 k = a k+1 a k =, α feste positive Zahl α ( k α k (k + 1) = α k + 1 = Q = 1 für alle α > α = 1 = Divergenz, α 2 = Konvergenz ) α 1, k für alle α > Satz 2.1 (Wurzelkriterium) (a) Wurzelkriterium: i) Existiert ein < q < 1 und eine Zahl N, so dass k ak q für alle k N, dann ist a k konvergent. 26

27 2.4. Konvergenzkriterien ii) Gilt hingegen dann ist a k divergent. k ak 1 für alle k N, (b) Limesform des Wurzelkriteriums: Für a k existiere der Grenzwert W = lim k a k. k Dann ist a k konvergent, wenn W < 1 divergent, wenn W > 1 Beispiel: a k = ( ) k 2k + 1 3k + 1 = k a k = 2k + 1 3k + 1 < 7 8 für k N = 3 = W = 2 3 ( ) k 2k + 1 = ist konvergent. 3k + 1 Bemerkung: W = 1 bringt keine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz. Beispiel: a k = 1 = k a k = = W = 1 k α ( ) 1 1 k 1 = k α k α k = ( 1 k k ) α 1, k = α = 1: Divergenz und α 2: Konvergenz Das Integralkriterium Satz 2.11 (Integralkriterium) Die Reihe a k mit nichtnegativen Gliedern a k sei definiert durch k=1 a k = f(k), k = 1, 2,..., 27

28 2. Unendliche Reihen wobei f : [1, + ) R eine monoton fallende, stetige Funktion ist. Dann ist a k genau dann konvergent, wenn der Grenzwert existiert. + 1 f(x) dx := A lim A + 1 k=1 f(x) dx Beispiel: k=1 1 k α = f(x) = 1 mit α > stetig und monoton fallend auf [1, + ) xα { 1 1 = f(x) dx = x dx = α α + 1 x α+1, α 1 ln x, α = 1 = A 1 = lim A + = k=1 = Es ist f(x) dx = A 1 { 1 1 α (A1 α 1), α 1 ln A, α = 1 f(x) dx = { 1 α 1, α > 1 existiert nicht für < α 1 { 1 konvergiert für α > 1 k α divergiert für < α 1 k=1 1 k α = +, < α Kriterium für alternierende Reihen Satz 2.12 (Leibnizsches Konvergenzkriterium) Eine alternierende Reihe ist konvergent, wenn die Folge ( a k ) monoton fallend und eine Nullfolge ist. a k 28

29 2.5. Absolute Konvergenz Beispiel: a k = ( 1) k 1 1 k, k = 1, 2,..., = = a k = 1 k ist monoton fallend, ( a k ) ist Nullfolge = ( 1) k 1 1 ist konvergent. k k=1 Bemerkung: a k ist divergent k= Absolute Konvergenz Definition 2.4 (Absolute Konvergenz) Eine Reihe a k heißt absolut kon- vergent, wenn die Reihe a k konvergiert. Satz 2.13 Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Bemerkung: (a) Konvergenz i.a. Absolute Konvergenz. (b) Eine konvergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern a k auch absolut konvergent. ist natürlich Beispiel: ist konvergent, nicht aber absolut konvergent. 4 Satz 2.14 (Majoranten- und Minorantenkriterium) (a) Majorantenkriterium: a k ist absolut konvergent (und damit auch konvergent), wenn eine Reihe b k mit nichtnegativen Gliedern b k existiert, so dass i) b k konvergent ist und ii) a k b k für alle k N (für eine Zahl N ). 29

30 2. Unendliche Reihen (b) Minorantenkriterium: Gilt a k b k für alle k N, wobei nicht absolut konvergent. b k divergent ist, dann ist a k Satz 2.15 (Quotientenkriterium) (a) Quotientenkriterium: i) Existiert ein < q < 1 und eine Zahl N, so dass dann ist a k absolut konvergent. ii) Gilt hingegen so ist a k divergent. a k+1 a k q für alle k N, a k+1 a k 1 für alle k N, (b) Limesform des Quotientenkriteriums: Es existiere Q = lim k a k+1 a k. Wenn Q < 1 bzw. Q > 1, so ist a k absolut konvergent bzw. divergent. Bemerkung: Für Q = 1 ist kein Entscheid zwischen Konvergenz und Divergenz möglich. Beispiele: (a) , a k = ( 1) k 1 1 k Q = lim a k+1 k a k = 1, Reihe konvergiert Aber = Q = 1, Reihe divergiert 3

31 2.5. Absolute Konvergenz (b) x k für eine feste Zahl x. k! Q = lim a k+1 k a k = lim x k k + 1 = = absolute Konvergenz für alle x R. Satz 2.16 (Wurzelkriterium) (a) Wurzelkriterium: i) Existiert ein < q < 1 und eine Zahl N, so daß k ak q für alle k N, dann ist a k absolut konvergent. ii) Gilt hingegen dann ist a k divergent. (b) Limesform des Wurzelkriteriums: Es existiere k ak 1 für alle k N, W = lim k k a k. Wenn W < 1 bzw. W > 1, dann ist a k absolut konvergent bzw. divergent. Bemerkung: Für W=1 ist kein Entscheid zwischen Konvergenz und Divergenz möglich! Beispiel: = W = 1, Konvergenz = W = 1, Divergenz 4 31

32 2. Unendliche Reihen Eigenschaften absolut konvergenter Reihen Satz 2.17 Ist a k eine absolut konvergente Reihe, so ist ihre Summe unabhängig von der Reihenfolge ihrer Glieder a k. Ist also k, k 1, k 2,... eine beliebige Umordnung der Folge, 1, 2,..., so gilt a k = a kj. (2.1) Definition 2.5 (Bedingte Konvergenz) Reihen mit der Eigenschaft (2.1) heißen auch unbedingt konvergent. Andernfalls heißt die Reihe bedingt konvergent. Beispiel: j= (a) k=1 ( 1) k 1 1 ist absolut und damit unbedingt konvergent. k2 (b) = ln 2 (siehe Taylor-Reihen) ist nur bedingt konvergent. 5 Bemerkung: Ist eine Reihe bedingt konvergent, so lässt sich durch Umordnung der Glieder jede Zahl s als Summe der Reihe darstellen Multiplikation von Reihen Geg.: Reihen a k, b k. b b 1 b 2 b 3... a a b a b 1 a b 2 a b 3... c = a b a 1 a 1 b a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3... c 1 = a b 1 + a 1 b a 2 a 2 b a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3... c 2 = a b 2 + a 1 b 1 + a 2 b a 3 a 3 b a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3... c 3 = a b 3 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b... 32

33 2.6. Multiplikation von Reihen Definition 2.6 (Cauchysche Produktreihe) Die Produktreihe c k ist definiert durch k c k = a j b k j, k =, 1,.... j= Satz 2.18 Sind a k, b k absolut konvergente Reihen mit Summen s bzw. t, dann ist auch c k absolut konvergent und hat die Summe s t. 33

34 2. Unendliche Reihen 34

35 3. Funktionenreihen Definition 3.1 (Funktionenfolge, Funktionenreihe) Eine Folge (f k ) bzw. eine Reihe f k, deren Glieder Funktionen f k = f k (x) einer reellen Variablen x aus dem Intervall I sind, heißt Funktionenfolge bzw. Funktionenreihe auf I. Beispiele: (a) f k (x) = x k, x X = R, = x k (b) f k (x) = xk k!, x X = R, = x k k! (c) f k (x) = a k sin kωx + b k sin kωx = (a k sin kωx + b k sin kωx) (trigonometrische Reihe) Definition 3.2 (Konvergenz, Konvergenzbereich, Summenfunktion) (a) Die Funktionenreihe f k heißt konvergent bzw. divergent in x I, wenn die Zahlenreihe f k (x ) konvergent bzw. divergent ist. (b) Die Menge M = {x I : f k (x) ist konvergent} heißt Konvergenzbereich (oder Konvergenzmenge) der Funktionenreihe f k. 35

36 3. Funktionenreihen (c) Die Funktion Beispiel: s(x) = f k (x), x M heißt Summenfunktion (oder Grenzfunktion) der Reihe f k. (a) f k (x) = x k = f k (x) = x k geometrische Reihe mit q = x Satz 2.1 = M = ( 1, +1), s(x) = 1 1 x, x < 1 (b) f k (x) = xk k! = x k k! Q.K. = Die Reihe konvergiert für alle x R = M = R x k s(x) = k!, x R Bemerkung: Später zeigt sich, dass s(x) = e x. (c) f k (x) = 1 k + cos kx, k 2 = 1 k + cos kx k=2 1 Es ist cos kx 1 = k + cos kx 1 k + 1 = M =, d.h. die Reihe ist überall divergent = s(x) existiert nicht! Problem: Welche Eigenschaften (Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit) hat die Summenfunktion? Zur Behandlung dieses Problems benötigen wir noch den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz einer Funktionenreihe. Sei s n (x) = f k (x). Konvergenz von f k in x I: Zu jedem ε > und jedem x I existiert eine Zahl N = N(ε, x), so dass s n (x) s(x) < ε für alle n N(ε, x). Bemerkung: Im allgemeinen ist N eine Funktion von ε > und vom Punkt x. 36

37 3.1. Gleichmäßige Konvergenz 3.1. Gleichmäßige Konvergenz Definition 3.3 (Gleichmäßige Konvergenz) Die Reihe f k heißt gleichmäßig konvergent in einem Intervall I mit der Summenfunktion s = s(x), wenn zu jedem ε > eine von x unabhängige Zahl N = N(ε) existiert, so dass s n (x) s(x) < ε für alle n N(ε) und jedes x I. Bemerkung: (a) f k gleichmäßig konvergent in I f k konvergent in I, (b) f k konvergent in I i.a. (c) I kann auch ein Intervall sein. f k gleichmäßig konvergent in I, Beispiel: f k (x) = x 2 (1 x 2 ) k mit x X = [ 1, +1] (a) x = = s(x) = (b) < x 1 = 1 x 2 < 1 = x 2 (1 x 2 ) k = x 2 = s(x) = {, x = 1, < x 1 Problem: Für welche n gilt (1 x 2 ) k = x (1 x 2 ) = 1 s n (x) s(x) < ε(< 1). (3.1) i) x = = s n (x) = s(x) = = (3.1) ist stets erfüllt ii) < x 1: n s n (x) = x 2 (1 x 2 ) k = x 2 1 (1 x2 ) n+1 1 (1 x 2 ) = 1 (1 x 2 ) n+1 (3.1) s(x) s n (x) = (1 x 2 ) m+1 < ε stets erfüllt, wenn x = ±1 37

38 3. Funktionenreihen Sei jetzt < x < 1: (3.1) (n + 1) ln (1 x 2 ) < ln ε, < ε < 1 n + 1 > ln ε ln (1 x 2 ) n ln ε > ln (1 x 2 ) 1 }{{} N(ε, x) = N ist abhängig von ε und x = auf [ 1, +1] ist x 2 (1 x 2 ) k nicht gleichm. konvergent! Bemerkung: Man betrachte nur das Teilintervall I = [a, 1], a >, von X = [ 1, +1] ((3.1) gilt für alle n, falls x = 1 oder x = 1). a x < 1 = < 1 x 2 1 a 2 < 1 = ln (1 x 2 ) ln (1 a 2 ) 1 = ln (1 a 2 ) 1 ln (1 x 2 ) = ln ε ln (1 a 2 ) ln ε ln (1 x 2 ) ln ε Man wähle N(ε) := unabhängig von x I = [a, 1] ln (1 a 2 ) ln ε n N(ε) = n ln (1 x 2 ) = s n(x) s(x) < ε x I = gleichmäßige Konvergenz auf I = [a, 1] < a Ein Kriterium für gleichmäßige Konvergenz Satz 3.1 (Kriterium für gleichmäßige Konvergenz) Eine Funktionenreihe ist gleichmäßig konvergent in einem Intervall I, wenn eine konvergente Zahlenreihe a k, a k, existiert, so dass f k (x) a k für alle k =, 1, 2,... und jedes x I. f k Beispiel: k=1 1 sin (kx) k2 38

39 3.1. Gleichmäßige Konvergenz f k (x) = 1 sin (kx) k2 1 k = a 2 k = gleichmäßige Konvergenz auf I = R Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen Satz 3.2 (Stetigkeit der Summenfunktion) Ist f k gleichmäßig konvergent in einem Intervall I und sind die Glieder f k stetig auf I, dann ist auch die Summenfunktion s(x) stetig auf I. Beispiel: Siehe Reihe x 2 (1 x 2 ) k Satz 3.3 (Gliedweise Integration) Ist f k im Intervall I gleichmäßig konvergent gegen die Summenfunktion s(x), dann gilt für beliebige a, b I b b ( ) b s(x) dx = f k (x) dx = f k (x) dx. a a a Satz 3.4 (Gliedweise Differentiation) Die Reihe f k sei in I konvergent gegen die Summenfunktion s(x), die Glieder f k seien differenzierbar auf I, und die Reihe f k sei gleichmäßig konvergent auf I. Dann ist die Reihe f k gleichmäßig konvergent in I, ihre Summenfunktion s(x) ist differenzierbar in I, und es gilt ( s (x) = f k (x)) = f k(x) für alle x I. 39

40 3. Funktionenreihen 4

41 4. Potenzreihen Zur Entwicklung von Funktionen in Reihen braucht man den Begriff der Potenzreihe. Definition 4.1 (Potenzreihe) Eine Funktionenreihe der Form c k (x x ) k heißt Potenzreihe mit Mittelpunkt x. Die Zahlen c k heißen Koeffizienten der Potenzreihe. Bemerkung: Beispiele: Mittelpunkt x Substitution x x = x x = (a) c k = f (k) (x ) k! Taylorreihe (b) x =, c k = 1 geometrische Reihe 4.1. Konvergenzverhalten von Potenzreihen Sei P x := c k (x x ) k. (a) P x konvergiert sicher für x = x. (b) Satz 4.1 Ist c k (x x ) k konvergent für ein x 1 x, so konvergiert die Reihe absolut für alle x {x : x x < x 1 x }. Ist hingegen c k (x x ) k divergent für ein x = x 2, so divergiert sie auch für alle x {x : x x > x 2 x }. 41

42 4. Potenzreihen Beweis: Folgerung: i) P x sei konvergent für ein x 1 x und x x < x 1 x = c k (x x ) k = c k (x 1 x ) k k x x x 1 x = c k (x 1 x ) k q k }{{} q c k (x 1 x ) k konvergent = ( c k (x 1 x ) k) ist N.F. = ck (x 1 x ) k C k =, 1,..., mit einem festen C. x x < x 1 x = q < 1 = Cq k ist konvergente Majorante von c k (x x ) k Satz 2.13 = x 1 x ii) x x > x 2 x, c k (x x ) k ist absolut konvergent für x x < c k (x 2 x ) k divergent Annahme: P x konvergiert für ein x mit x x > x 2 x a) = P x2 ist konvergent = Widerspruch = P x divergent für alle x mit x x > x 2 x Satz 4.2 Zu jeder Potenzreihe oder aber das Zeichen +, so dass i) P x ist konvergent für x = x ist divergent, wenn x x }, falls r = P x ist absolut konvergent für alle x mit x x < r ii),falls r > ist divergent für alle x mit x x > r c k (x x ) k gibt es genau eine Zahl r 42

43 4.2. Berechnung des Konvergenzradius r iii) P x ist absolut konvergent für alle x R, wenn r = + Die Zahl r oder das Zeichen r = + heißt Konvergenzradius der Potenzreihe Berechnung des Konvergenzradius r Satz 4.3. (a) Existiert der Grenzwert µ = lim k c k, so ist r = 1, wenn µ >, r = k µ +, wenn µ =, r =, wenn µ = (bestimmte Divergenz), also r = lim k 1 k ck (b) Existiert der Grenzwert ν = lim c k+1 k c k, so ist Beweis: also r = +, wenn ν = r = 1 lim c k+1 c k k (a) W.K. für c k (x x ) k = P x = a k Man betrachte: k ck (x x ) k = k c k x x = W = x x lim k k c k = µ x x µ = = W = x x = für alle x R = P x konvergiert überall absolut = r = + = 1 µ µ > = P x konvergiert absolut, wenn µ x x = W < 1 43

44 4. Potenzreihen x x < 1 µ P x divergiert, wenn µ x x > 1 r = 1 µ x x > 1 µ µ = + = W = +, wenn x x, W =, x = x = r = (b) Q.K. für P x = c k (x x ) k Man betrachte: c k+1 (x x ) k+1 c k (x x ) k = c k+1 c k x x = Q = x x lim c k+1 k c k Rest wie oben! Bemerkung: Die allgemeinste Formel für den Konvergenzradius r lautet r = 1 lim sup k c k k Beispiele: x k k! = c k = 1 k! c k+1 c k = 1 k + 1 k=1 c k+1 c k = x k k = c k = 1 k, k = ν = = r = + k k + 1 1, k = ν = 1 = r = 1 ν = 1 44

45 4.3. Eigenschaften von Potenzreihen = absolute Konvergenz im offenen Intervall I = ( 1, +1) x = 1= k=1 x = +1= k=1 ( 1) k 1 k k konvergiert divergiert = Am Rande des Konvergenzintervalls x r < x < x + r kann P x sowohl konvergent als auch divergent sein. Achtung: Satz 4.3 liefert über das Konvergenzverhalten in keine Aussage! x = x ± r 3. x k k p für ein festes p > = c k = 1 k p ck = (k p ) 1 k = (k 1 k k ) p 1 p = 1, k = µ = 1 = r = 1 µ = 1 für alle p > x = ±1 = (±1) k k p konvergiert für p > Eigenschaften von Potenzreihen Satz 4.4 ( Gleichmäßige Konvergenz) Eine Potenzreihe konvergiert in jedem abgeschlossenen Teilintervall ihres Konvergenzintervalls (x r, x + r) absolut und gleichmäßig. Beweis: Man betrachte ein Intervall I ϱ = [x ϱ, x + ϱ] für ein < ϱ < r. x = x + ϱ = c k ((x + ϱ) x }{{} ) k konvergiert absolut. ϱ Sei nun x x ϱ 45

46 4. Potenzreihen = ck (x x ) k = ck x x k c k ϱ k }{{} k-tes Glied einer konvergenten Reihe Satz 3.1 = c k (x x ) k konvergiert gleichmäßig in I ϱ. = c k (x x ) k konvergiert in jedem abgeschlossenen Teilintervall von (x r, x + r) gleichmäßig. Folgerungen aus 3: Satz 3.2 = Satz 4.5 Die Summenfunktion s(x) einer Potenzreihe c k (x x ) k ist im ganzen Konvergenzintervall (x r, x + r) stetig. Beweis: f k (x) = c k (x x ) k ist stetig für jedes k. Satz 4.4 Satz 3.3 = Satz 4.6 Eine Potenzreihe c k (x x ) k darf über jedes abgeschlossenes Intervall [a, b] mit x r < a, b < x + r gliedweise integriert werden. Es gilt also b a s(x)dx = = b a ( c k (x x ) k ) dx = c k b a (x x ) k dx c k ( (b x ) k+1 (a x ) k+1) für alle x r < a, b < x + r k

47 4.3. Eigenschaften von Potenzreihen Bemerkung: Auch mit Hilfe der obigen Sätze beweist man, dass die Reihe auf der rechten Seite von = absolut konvergiert. c k k + 1 (x x ) k+1 = x x } k {{ + 1 } beschränkt c k (x x ) k }{{} konvergiert für x r < x < x + r = mindestens gleicher Konvergenzradius! Beispiel: x k = 1 1 x für 1 < x < +1, x =, r = 1 a =, b = x, x < 1 x x 1 dx = ln (1 x) 1 x x ( ) = x k dx = Satz 3.4 = = = ln (1 x) = ln x x k dx 1 1 x x k+1 k + 1 = x + x2 2 + x = ln 1 1 x für alle x < 1 Satz 4.7 Sei c k (x x ) k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r. Die durch gliedweise Differentiation entstehende Reihe absolut konvergent im Intervall (x r, x + r), und es gilt kc k (x x ) k 1 ist ebenfalls k=1 ( c k (x x ) k ) = kc k (x x ) k 1 für alle x x < r k=1 Beweis: Man betrachte ein x mit x x < r 47

48 4. Potenzreihen = Es existiert ein x 1 mit x x < x 1 x < r = c k (x 1 x ) ist absolut konvergent. Man betrachte die Reihe k=1 kc k (x x ) k 1 i) x = x = Konvergenz (absolute) ii) x x = kc k (x x ) k 1 = 1 x x kc k (x x ) k c k (x 1 x ) k = 1 c k (x 1 x ) k kc k(x x ) k x x c k (x 1 x ) k = kck (x x ) k 1 1 = ck (x 1 x ) k x x k x x x 1 x konvergent = ck (x 1 x ) k C für alle k = kck (x x ) k 1 C x x }{{} kqk mit q = x x x 1 x, < q < 1 α k k α k+1 α k = (k + 1)qk+1 = k + 1 q q, k kq k k kq k ist konvergent! Satz 2.13 = kc k (x x ) k 1 ist absolut konvergent für alle x x < r Satz 3.4, Satz 4.4 = ( c k (x x ) k ) = kc k (x x ) k 1, x x < r }{{} Potenzreihe, die im Intervall x x < r konvergiert 48

49 4.3. Eigenschaften von Potenzreihen Satz 4.7 = Satz 4.8 In ihrem Konvergenzintervall (x r, x + r) ist eine Potenzreihe c k (x x ) k beliebig oft differenzierbar. Die Ableitungen s (k) (x) der Summenfunktion s(x) erhält man durch gliedweise Differentiation. Also gilt in x r < x < x + r s(x) = c + c 1 (x x )+ c 2 (x x ) 2 + c 3 (x x ) c k (x x ) k +... s (x) = c 1 + 2c 2 (x x )+ 3c 3 (x x ) kc k (x x ) k s (x) = 2c c 3 (x x )+...+k(k 1)c k (x x ) k s (x) = 3 2c c 4 (x x ) +... = s (j) (x) = k=j c k k(k 1)... (k j + 1)(x x ) k j = s (j) (x ) = c j j(j 1)(j 2) = c j j! = j!c j Beispiel: 1 1 x =1+ x+ x2 + x x k +..., x < 1 (1 x) 2 = ( ) 1 = 1+ 2x+3x kx k , x < 1 1 x 2(1 x) 3 = = ( ) 1 = 2+ 6x+... +k(k 1)x k , x < 1 1 x 1 (1 x) = 1 ( ) (n) 1 = n+1 n! 1 x ( ) n + j x j, x < 1 n j= 49

50 4. Potenzreihen 4.4. Identitätssatz für Potenzreihen Satz 4.9 Gegeben seien zwei Potenzreihen c k (x x ) k und d k (x x ) k, die im Intervall x ϱ < x < x + ϱ konvergieren und dort die gleiche Summenfunktion haben. Dann gilt c k = d k für alle k =, 1, 2,..., d.h. die beiden Reihen sind identisch. Beweis: Voraussetzung: c k (x x ) k = d k (x x ) k für alle x x < ϱ x = x = c = d = k=1 Differentiation= k=1 c k (x x ) k = d k (x x ) k, x x < ρ k=1 c k k(x x ) k 1 = d k k(x x ) k 1 für x x < ϱ k=1 x = x = c 1 = d 1 Vollständige Induktion = c k = d k für alle k =, 1, 2, Rechnen mit Potenzreihen Addition, Subtraktion, λ-faches Gegeben: c k (x x ) k Konvergenzradius r 1 d k (x x ) k Konvergenzradius r 2 5

51 4.5. Rechnen mit Potenzreihen Satz 4.1 Für alle x mit x x < r = min {r1, r2} gilt (a) (b) λ Beispiel: c k (x x ) k ± c k (x x ) k = d k (x x ) k = λc k (x x ) k (c k ± d k )(x x ) k für alle λ R sin x = x x3 3! + x5 5! x (siehe Kapitel 5), r = + 7! λ = x = sin x x = 1 x2 3! + x4 5! x6 7! +... (gerade) Multiplikation c k (x x ) k Konvergenzradius r 1 d k (x x ) k Konvergenzradius r 2 r = min {r 1, r 2 } Satz 2.17 (Cauchysche Produktreihe) = Satz 4.11 Für alle x mit x x < r gilt ( ) ( ) c k (x x ) k d k (x x ) k = Beispiel: ( k j= c j d k j ) (x x ) k x = e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! +..., r 1 = x = 1 + x + x2 + x , r 2 = 1 r = 1 51

52 4. Potenzreihen e x 1 x = = ( k ) c j d k j x k mit c j = 1 j!, d k j = 1 j= ( ! + 1 2! ) x k k! = 1 + 2x x x Division Ohne Beweis geben wir den folgenden Satz 4.12 Eine Potenzreihe c k (x x ) k mit Konvergenzradius r habe die Summe s(x), und es sei c. Dann gibt es ein ρ > und eine Potenzreihe d k (x x ) k, so dass 1 s(x) = d k (x x ) k für alle x x < ρ. Bestimmung der Koeffizienten d k : Sei x x < min {r, ϱ} = r 52

53 4.5. Rechnen mit Potenzreihen 1 s(x) = d k (x x ) k, x x < r 1 = s(x) Satz 4.11 }{{} = d k (x x ) k = ( c k (x x ) k ) ( ( k ) c j d k j (x x ) k für alle x x < r j= d k (x x ) k ) = 1 = α k (x x ) k mit α = 1, α k =, k 1 Satz 4.9 (Identitätssatz) = k c j d k j = α k, k =, 1, 2,..., α = 1, α 1 = α 2 =... = j= = k = : c d = α = 1 = d = 1 c k = 1 : c d 1 + c 1 d = α 1 = = d 1 = c 1 c 2 k = 2 : c d 2 + c 1 d 1 + c 2 d = = d 2 = c 1 2 c c 2 c 3 usw. Analog stellt man den Quotienten zweier Potenzreihen b k (x x ) k c k (x x ) k 53

54 4. Potenzreihen wieder als Potenzreihe dar! Beispiel: 1 + x + x , x < 1, x =, r = 1, s(x) = 1 1 x = c k = 1, k =, 1,... 1 x = 1 s(x) = d + d 1 x + d 2 x 2 + d 3 x d = 1 c = 1 d 1 = c 1 c 2 = 1 d 2 = c 1 2 c c 2 c 3 = usw. 54

55 5. Taylorreihen Aus Satz 4.8 folgt: Die Summenfunktion s(x) einer Potenzreihe ist im Konvergenzintervall beliebig oft differenzierbar, und es ist s (k) (x ) k! = c k, k =, 1,.... Problem: Lässt sich umgekehrt eine oft differenzierbare Funktion durch eine Potenzreihe darstellen? Geg.: Offenes Intervall I; Funktion f, die unendlich oft differenzierbar ist; x (fest) I. Definition 5.1 (Taylorreihe) Unter der Taylorreihe von f mit Entwicklungspunkt x I versteht man die Potenzreihe f (k) (x ) T (x) := (x x ) k k! = f(x ) + f (x ) 1! (x x ) + f (x ) (x x ) ! Aus Satz 4.2 folgt: Als Potenzreihe konvergiert T (x) in einem Intervall (x r, x + r). Problem: Zusammenhang zwischen T (x) und f(x), d.h. wo gilt T (x) = f(x)? Bemerkung: Sicher ist T (x) = f(x) für x = x. Betrachte das n-te Taylorpolynom: also T n (x) = T (x) = f(x ) n T 1 (x) = f(x ) + f (x )(x x ) f (k) (x ) (x x ) k, k! T 2 (x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x ) 2 2!. 55

56 5. Taylorreihen Satz 5.1 (Satz von Taylor) Ist f auf dem offenen Intervall I mindestens n + 1 mal differenzierbar und x I eine feste Zahl, dann gilt f(x) = T n (x) + R n (x) für alle x I (Taylorformel) mit und T n (x) = n f (k) (x ) (x x ) k (n-tes Taylorpolynom) k! R n (x) = (x x ) n+1 f (n+1) (x + ϑ(x x )) (Restglied nach Lagrange), (n + 1)! wobei ϑ = ϑ(x, x ) zwischen und 1 liegt. Beweis: M.W.S. Bemerkung: Andere Restgliedformen: (a) R n (x) = (x x ) n+1 (1 n! ϑ) n f (n+1) (x + ϑ(x x )), < ϑ < 1 (Cauchy-Form) x (b) R n (x) = 1 f (n+1) (t)(x t) n dt (Integralform) n! x Anwendung der Taylorformel: Voraussetzung: f sei oft differenzierbar auf dem offenen Intervall I. In diesem Fall gilt die Taylorformel für alle n =, 1, 2,..., d.h., es ist f(x) = T n (x) + R n (x), x I, für alle n =, 1, 2,.... Satz 5.2 Sei x I. Genau dann ist T (x) konvergent und T (x) = f(x), wenn lim n R n(x) =. = Die Entwicklung einer Funktion f(x) in eine Taylorreihe T (x) erfordert somit die Untersuchung, ob das Restglied R n (x) für n gegen Null konvergiert. 56

57 5.1. Praktische Bedeutung der Taylorentwicklung 5.1. Praktische Bedeutung der Taylorentwicklung Voraussetzung: Für alle x I sei (R n (x)) eine Nullfolge. Aus Satz 5.2 folgt: Für alle x I ist f(x) = T (x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x ) = lim T n (x). 2! n Daraus folgt: (a) f(x) T n (x) = n f (k) (x ) (x x ) k, x I, für hinreichend großes n k! = Approximation von f durch ein Näherungspolynom, das Taylorpolynom T n (b) Approximationsfehler: e = e f (x, n) (Absolutfehler) e = f(x) T n (x) = R n (x) }{{} Restglied Kriterium für die Konvergenz des Lagrangeschen Restgliedes gegen Null: R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x ) (n+1), ξ zwischen x und x, ξ = x + ϑ(x x ), < ϑ < 1 = x x n+1 f (n+1) (ξ) (n + 1)! Falls f (n+1) (ξ) C(x, x ) < + für alle ξ zwischen x und x, n =, 1, 2,... so folgt: R n (x) C x x n+1, n. (n + 1)! Satz 5.3 Falls f (n+1) (ξ) C für alle ξ zwischen x und x und n = 1, 2,..., dann gilt R n (x), n und damit f(x) = lim n T n (x), also T (x) = f(x). 57

58 5. Taylorreihen 5.2. Taylorentwicklung einiger Funktionen (a) f(x) = e x, x = f (k) (x) = e x, k =, 1,... f (k) (x ) = 1, k =, 1,... Daraus folgt: T (x) = = f (k) (x ) (x x ) k k! x k k! Taylorreihe ist überall konvergent (Q.K.)! Restglied: R n (x) = f (n+1) (x + ϑ(x x )) (x x ) (n+1) (Lagrange) (n + 1)! e ϑx = (n + 1)! xn+1 Wegen ϑx ϑ x x folgt: R n (x) e x x n+1 (n + 1)! }{{} Nullfolge Daraus folgt: ( ) x k x k konvergiert nach dem Q.K. absolut = k! k! muss eine Nullfolge sein! Aus Satz 5.2 folgt für alle x I = R: e x = T (x) = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xk k! + 58

59 5.2. Taylorentwicklung einiger Funktionen Aus Kapitel 5.1 folgt: e x 1 + x + x2 2! + + xn mit dem absoluten Fehler n! e f (x, n) e x x n+1 (n + 1)!. (b) f(x) = sin x, x = f (2ν) () =, ν =, 1, 2,... f (2ν+1) () = ( 1) ν, ν =, 1, 2,... Daraus folgt: T (x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! ± + ( 1)k x 2k+1 (2k + 1)! +. Taylorreihe ist überall konvergent (Q.K.)! Restglied: R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x ) n+1 (Lagrange) = sin(n+1) (ξ) x n+1. (n + 1)! Daraus folgt: da sin (n+1) (ξ) 1. Aus Satz 5.2 folgt: R n (x) x n+1, (n + 1)! }{{} N.F. sin x = T (x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! ±... für alle x I = R. Aus Kapitel 5.1 folgt: sin x x x3 3! + x5 5! x7 7! ± + x 2k+1 ( 1)k (2k + 1)! mit dem absoluten Fehler e f (x, n) x 2k+2 (2k + 2)!. 59

60 5. Taylorreihen (c) f(x) = cos x, x = Analog zu f(x) = sin x ergibt sich für alle x I = R: cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 x2k ± + ( 1)k 6! (2k)! +... mit dem absoluten Fehler cos x 1 x2 2! + x4 4! x6 x2k ± + ( 1)k 6! (2k)! e f (x, n) x 2k+1 (2k + 1)! (d) f(x) = ln(1 + x), x > 1, x = f (k) k 1 (k 1)! (x) = ( 1), k = 1, 2,... (1 + x) k f (k) (x ) = ( 1) k 1 (k 1)!, k = 1, 2,... f () (x ) = Daraus folgt: T (x) = = k=1 ( 1) k 1 (k 1)! x k k! ( 1) k 1 k=1 k x k = x x2 2 + x3 3 x ( 1)k 1 x k + k 6

61 5.2. Taylorentwicklung einiger Funktionen Restglied: R n (x) = f (n+1) (ϑx) x n+1 mit < ϑ < 1 (Lagrange) (n + 1)! = = ( 1) n n! (1 + ϑx) n+1 x n+1 (n + 1)! ( 1) n (1 + ϑx) n+1 x n+1 n + 1 Konvergenzradius r der Taylorreihe (Satz 4.3): ( r = lim c k+1 1 ( ) 1 k k c k ) = lim = 1 k k + 1 Daraus folgt: Taylorreihe für ln(1 + x) konvergiert für x < 1, divergiert für x > 1. Gilt T (x) = ln(1 + x) für x < 1? i) Intervall x < 1: Lagrange-Form des Restgliedes: R n (x) = ( 1) n xn+1 (1 + ϑx) n+1 n + 1, < ϑ < 1. Für x 1 ist 1 + ϑx 1 und daher R n (x) 1 n + 1 Aus Satz 5.2 folgt für alle x < 1:, n. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + x Da aber (R n (1)) ebenfalls eine Nullfolge ist, erhält man aus Satz 5.2 die Konvergenz von T (x) und T (x) = f(x) auch noch im rechten Randpunkt x = +1 des Konvergenzintervalls ] 1, +1[ von T (x). Es gilt also ln 2 =

62 5. Taylorreihen ii) Intervall 1 < x < : Hier ist die Lagrange-Form des Restgliedes ungeeignet. Cauchysche Form des Restgliedes: R n (x) = xn+1 (1 n! ϑ) n f (n+1) ( ϑx) mit < ϑ < 1 R n (x) = Ferner gilt: Also 1 < x < < ϑ < 1 (1 n! ϑ) n ( 1) n n! (1 + ϑx) = ( 1)n (1 ϑ) n n+1 (1 + ϑx) n+1 xn+1, ( 1 ϑ ) n ϑx xn ϑx. = xn+1 = < 1 ϑ < 1 + ϑx 1 + ϑx > 1 + x > = R n (x) x x n+1, für n. < 1 ϑ 1 + ϑx < ϑx < x Aus Satz 5.2 folgt: ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 ±... für 1 < x < 4 und somit ( 1) k 1 ln(1 + x) = x k 1 < x +1. k k=1 k=1 Bemerkung: T (x) divergiert für x = 1 ( 1) k 1 ( 1) k 1 T ( 1) = = k k k=1 (e) f(x) = (1 + x) α, x > 1, α R beliebig, x = harmonische Reihe. f (k) (x) = α(α 1)... (α k + 1) (1 + x) α k, k = 1, 2,... f (k) () = α(α 1)... (α k + 1), k = 1, 2,... f() = 1 62

63 5.2. Taylorentwicklung einiger Funktionen Daraus folgt: T (x) = f (k) (x ) (x x ) k = k! ( ) ( ) α α x + x = 1 + Lagrange-Restglied: ( α k ) x ( α 3 ) x k Binomische Reihe ( ) α x k +... k R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x ) n+1 α(α 1)... (α n) = (1 + ϑx) α n 1 x n+1 (n + 1)! ( ) α = (1 + ϑx) α n 1 x n+1, < ϑ < 1 n + 1 Cauchy-Restglied: R n (x) = xn+1 (1 n! ϑ) n f (n+1) ( ϑx) ( ) α = (n + 1) (1 n + 1 ϑ) n (1 + ϑx) α n 1 x n+1, < ϑ < 1 Konvergenz der Taylorreihe: ( ) α c k = k c k+1 c k = α(α 1)(α 2)... (α k) k (k + 1) α(α 1)... (α k + 1) = α k k + 1 1, für k Aus Satz 4.3 folgt: Konvergenzradius r = 1, d.h. T (x) = ( ) α x k k konvergiert für x < 1 divergiert für x > 1 Gilt T (x) = (1 + x) α für alle x < 1? 63

64 5. Taylorreihen i) Intervall x < 1: Es gilt 1 + ϑx 1, da < ϑ < 1. Falls nun n > α 1 ( > α n 1 (α ist fest!)) gilt (1 + ϑx) α n 1 = 1 1. (1 + ϑx) n+1 α Lagrange-Restgliedform: ( ) ( ) R n (x) = α x (1+ϑx) n+1 α n 1 α n + 1 x n+1 für n > α 1. n + 1 ( ) α Dabei ist x n+1 das (n + 1)-te Glied der Taylorreihe T (x) von n + 1 (1 + x) α. ( ) α Also konvergiert T (x) für x < 1 = x n+1, für n. n + 1 ii) Intervall 1 < x < : Cauchy-Restglied: ( ) α R n (x) = (n + 1) (1 n + 1 ϑ) n (1 + ϑx) α n 1 x n+1, < ϑ < 1 ( ) α = (n + 1) ( 1 ϑ n ϑx )n (1 + ϑx) α 1 x n+1 Ferner gilt 1 < x < = < 1 ϑ < 1, 1 + ϑx < ϑ < 1 (1 + ϑx) 1 < (1 + x) 1. Daraus folgt: ( ) R n (x) α (n + 1) (1 + n + 1 ϑx) α 1 x n+1. Sei α 1( 1 α ). Dann gilt: ϑx < x = 1 (1 + ϑx) < 1 1 α (1 + x) = (1+ ϑx) α 1 < (1+x) α 1 1 α 64

65 5.2. Taylorentwicklung einiger Funktionen Für α 1( α 1 ) hingegen gilt: α 1 (1 + ϑx) 1. }{{} <1 = (1 + ϑx) α 1 max {1, (1 + x) α 1 } =: γ(x) ( ) = R n (x) γ(x) α (n + 1) x n+1 n + 1 ( ) α Behauptung: a n+1 = (n + 1) x n+1 ist eine Nullfolge. n + 1 Beweis: a n+1 α(α 1)(α 2)... (α n) = (n + 1) a n (n + 1) = α n x n = a n+1 a n x < 1 für n. Aus dem Quotientenkriterium folgt: x n+1 a k ist konvergent n n α(α 1)... (α n + 1) x n = a k für k = R n (x) für n und für 1 < x <. Aus i), ii) folgt schließlich: (1 + x) α = ( ) α x k für alle x < 1 und jedes α R. k Beispiel: x = (1+x) 1 2 = ( ) 1 2 x k = 1 1 k 2 x x x3 + Bemerkung: Taylorentwicklung von f(x) außerhalb x x < r: (a) Entwicklung von ln z, z = 1 + x, im Intervall (, 2]: ln(1 + x) = ( 1) k 1 x k, 1 < x 1, x =. (5.1) k k=1 65

66 5. Taylorreihen Betrachte nun a > beliebig und f(x) = ln(a + x), a + x > ( ( ln(a + x) = ln a 1 + x )) ( = ln a + ln 1 + x ). a a Aus (5.1) folgt somit: ln(a + x) = ( 1) k 1 ( x ) k x ln a +, 1 < k a a 1 k=1 = ( 1) k 1 ln a + x k, a < x +a. k a k }{{} f() k=1 }{{} f (k) () k! = Taylorentwicklung von f(x) = ln(a+x) in x = konvergiert im Intervall a < x +a. = Entwicklung von ln z im Intervall (, 2a] für beliebiges a >. (b) Entwicklung von z α, z = 1 + x, im Intervall (, 2): (1 + x) α = Betrachte nun a > beliebig und (a + x) α = a α ( 1 + x a) α = aα = a α a k ( ) α x k, x < 1, α R, x =. k ( ) α x k = k ( α k ( α a α k k ) (x ) k a ) x k, x a < 1. = Taylorentwicklung von f(x) = (a+x) α in x = konvergiert im Intervall a < x < +a. = Entwicklung von z α im Intervall (, 2a) für beliebiges a >. 66

67 Teil II. Differentialrechnung im R n 67

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69 6. Definition, Beispiele Definition 6.1 (Funktion) Sei D R n eine Teilmenge des R n. Eine Funktion von n (unabhängigen) Variablen x 1,..., x n ist eine Abbildung f : D R, die jedem Vektor x D 1-deutig eine Zahl z = f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ) zuordnet; D ist dann der (Mindest-) Definitionsbereich von f., BN O O N N 4 Bemerkung: (a) Statt f(x 1, x 2 ) schreibt man oft z = f(x, y) für n = 2. (b) Statt f(x 1, x 2, x 3 ) schreibt man oft w = f(x, y, z) für n = 3. Beispiele: (a) Gleichung eines idealen Gases p = p(t, V ) = R T V, V > } mit D = {(T, V ) : T (b) Volumen eines Quaders V = V (x, y, z) = xyz, D = {x R 3 : x, y, z } (c) Ohmsches Gesetz I = I(U, R) = U R mit U = Spannung, R = Widerstand 69

70 6. Definition, Beispiele 6.1. Graphische Darstellung von Funktionen 2er Variabler Entsprechende Graphik-Software (2D, 3D) ist heute für alle Arten von Rechnern verfügbar. (a) (Perspektivische) Darstellung der Fläche Φ einer Funktion f = f(x, y): Φ = {(x, y, z) : z = f(x, y)} Beispiel: D = {(x, y) : x, y 1}, f(x, y) = x + 2y + 1 Stück einer Ebene (b) Karte einer Funktion f = f(x, y): Definition 6.2 (Karte) Unter der Karte von f versteht man die Menge aller Niveaulinien von f, d.h. die Menge aller Kurven y = y(x; C), so dass f(x, y) C mit beliebigem C R. Beispiel: 6 y 4 xy = 1 xy = 4 xy = 8 i) f(x, y) = x y, x, y R Sei x y = C. C = f = f(x; y = C x ) C = = x = oder y = ii) f(x, y) = x α y 1 α, x, y iii) f(x, y) = x + y x y 2 x Praktische Anwendung: } Höhenlinien {{}, Isobaren, Isothermen }{{} Landkarten Wetterkarten 7