3. Potenzreihen. Definition 7.5. Eine unendliche Reihe der Form. a k x k. Es handelt sich also um eine Funktionenreihe mit f k (x) = a k x k.

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1 3. Potenzreihen Definition 7.5. Eine unendliche Reihe der Form a x mit x R (veranderlich und a R (onstant heit Potenzreihe, die Zahlen a ( heien Koezienten der Potenzreihe. Es handelt sich also um eine Funtionenreihe mit f (x = a x. Beispiel Die Reihe ( x 2+ (2 +! = x x3 3! + x5 5! +... hat die Koezienten a =, a =, a 2 =, a 3 =, a 3! 4 =, a 5 =,... bzw. 5! a 2 =, a 2+ = (. (2+! Das Ziel ist, eine Funtion f auf einem Intervall I durch eine Potenzreihe darzustellen. Dafur untersuchen wir, wann und wo eine Potenzreihe puntweise onvergiert. 3.. Konvergenzradius. Definition 7.6. Es sei { } M := x R; a x onvergiert. und die Zahl { sup{ x, x M}, falls M beschrant ist, R :=, falls M unbeschrant ist. Man nennt R den Konvergenzradius der Potenzreihe. Es gibt die drei Moglicheiten R =, < R <, R =. 3

2 4 Satz 7.8. Konvergenz der Potenzreihen. Fur eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R gilt ( R = Die Reihe onvergiert nur fur x =. (2 Ist R > und ρ R mit < ρ < R, dann onvergiert die Reihe a x absolut und gleichmaig auf dem abgeschlossenen Intervall ρ x ρ. (D.h. die Reihe onvergiert puntweise auf dem oenen Intervall R < x < R. (3 Fur alle x mit x > R ist die Reihe a x divergent. Beweis: Beweisidee: Rucfuhrung auf die geometrische Reihe: { q, q <, q = divergent, q >. Dies folgt aus der Folge der Partialsummen und N q = qn q mit q. ( oensichtlich. (2 Es sei ρ < R, dann gibt es ein x M mit ρ < x R, wegen der Denition des Supremums. Da die Glieder einer onvergenten (Zahlenreihe eine Nullfolge bilden, gibt es ein C > mit a x C fur alle. Fur x ρ und alle bedeutet das, dass a x = a x x Cq, mit q := ρ <. Nach dem M-Test (vgl. Satz 7.6 ist die Reihe gleichmaig onvergent. (3 folgt aus der Denition von R. # x x auf ρ x ρ absolut und Uber das Konvergenzverhalten der Reihe in den Randpunten der Konvergenzmenge M macht der Satz eine Aussage, diese Punte mussen extra untersucht werden... Divergenz absolute & gleichmäßige Konvergenz Divergenz x x=-r Randpunte extra betrachten x=r

3 3. POTENZREIHEN 5 Beispiel Die Reihe x hat den Konvergenzradius R =, denn diese Reihe onvergiert nach dem Wurzel- oder Quotientenriterium fur lim x + + x = lim x + x ( + = lim x + = x <, fur x = erhalt man die alternierende Reihe (, die nach dem Leibniz Kriterium onvergent ist, und fur x = erhalt man die divergente harmonische Reihe ist folglich das halboene Intervall [,.. Das Konvergenzintervall der Reihe x Satz 7.9. Berechnung des Konvergenzradius. Es sei a x eine Potenzreihe und existiert der eigentliche oder uneigentliche Grenzwert lim a + a = c oder lim a = c, so ist R = (falls c =, so ist R = und fur c = ist R = der c Konvergenzradius der Reihe. Beweis: Quotienten- bzw. Wurzelriterium fur Zahlenreihen. # Beispiel Die Potenzreihen x, x, haben alle den Konvergenzradius R =, da x 2 lim = lim + = lim ( =. In den Randpunten ist das Konvergenzverhalten jedoch sehr verschieden: Die Reihe x divergiert fur x = und x =. Die Reihe Die Reihe x onvergiert fur x = und divergiert fur x =. x 2 onvergiert fur x = und x =.

4 Summe und Produt. Aus den Eigenschaften onvergenter Reihen und des Cauchy-Produts folgt: Satz 7.2. Summe und Produt. Fur die Summe und das Produt zweier Potenzreihen a x und b x gilt im gemeinsamen Konvergenzbereich bzw. a x + b x = (a + b x ( ( a x b x = c x mit c := a l b l = a b + a b a b. (Cauchy-Produt l= Beispiel Wie wir spater sehen werden gilt e x x =! = + x + x2 2 + x3 3! + x4 4! +... Hieraus folgen unmittelbar die Eigenschaften der e-funtion: e =, e x ist fur alle x R deniert, Konvergenzradius =, es gilt e x+y = e x e y fur alle x, y R, e x =, e x e x > fur alle x R. Beweisideen: e = folgt durch Einsetzen, Konvergenzradius der Potenzreihe ist a lim + =! = a lim (+! lim =, + folglich onvergiert die Reihe fur alle reellen x. ( ( e x e y x y x ( j x j = =!! ( j! j! =! = e x+y. j= j= Cauchy-Produt x! ( j! j! =! (x + y Binomischer Satz

5 3. POTENZREIHEN Differentation und Integration von Potenzreihen. Auf relativ einfache Weise ann man durch Dierentation und Integration aus onvergenten Porenzreihen weitere onvergente Reihen gewinnen. Es sei a x eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R > und der Reihensumme f(x, fur x > r. Man sagt, die Funtion f wird auf ( R, R durch die Potenzreihe dargestellt. Satz 7.2. Differentation von Potenzreihen. Eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funtion f ist im oenen Konvergenzintervall R < x < R, R >, beliebig oft dierenzierbar. Die Ableitungen erhalt man durch gliedweise Dierentation: f (x = a x, f (x = ( a x 2, usw. Die abgleiteten Reihen a x, =2 ( a x 2,... haben alle den =2 Konvergenzradius R. Integration von Potenzreihen. Fur alle a, b aus dem oenen Konvergenzintervall ( R, R der Potenzreihe f(x = a x gilt b a f(x dx = b Insbesondere ist mit a = und b = x a F (x := a x dx = a + x+ a + (b+ a +. eine Stammfuntion von f auf ( R, R; der Konvergenzradius von F ist ebenfalls R. Beweis: Jedes x ( R, R liegt in einem abgeschlossenen Teilintervall x ρ < x R, in dem die Reihe und die Ableitungen gleichmaig und absolut onvergieren, denn es gilt a x Cq mit q = ρ x <.# Beispiel Die geometrische Reihe liefert: ( f(x = x = (2 f (x = ( x 2 x fur x <. = x fur x <. (3 f (x = ( x 3 = 2 ( x 2 fur x <. =2

6 8 Beispiel Wir betrachten die speziellen geometrischen Reihen: f(t = + t = ( t bzw. g(t = + t = ( t 2. 2 durch gliedweise Integration erhalt man dann f(t dt = fur x < und g(t dt = + t dt = ln( + x = + t dt = arctan x = 2 ( t dx = ( t 2 dx = ( + x+ ( 2 + x2+ ebenfalls fur x <. Mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums fur Zahlenreihen ann man zeigen, dass diese Reihen auch fur x = onvergieren, man erhalt ln 2 = und π 4 = Potenzreihen mit dem Zentrum a. Definition 7.7. Eine unendliche Reihe der Form a (x a heit Potenzreihe mit dem Zentrum (oder Entwiclungspunt a, die Zahlen a heien ihre Koezienten. ( Durch die Substitution z := x a geht die Potenzreihe mit dem Zentrum a in eine Potenzreihe mit dem Zentrum uber. (2 Als Konvergenzradius der Reihe mit dem Zentrum a bezeichnet man den Konvergenzradius R der entsprechenden Reihe mit dem Zentrum. Wegen x a < R a R < x < a + R gilt (a x (a R, a + R a (x a onvergiert, Bemerung 7.7. (b x < a R oder x > a + R a (x a divergiert. Beispiel Wegen e x = e a e x a folgt die Darstellung der e-funtion als Potenzreihe mit Zentrum a diret aus der Potenzreihe fur e x mit dem Zentrum : e x e a =! (x a, x R.

7 3. POTENZREIHEN Koeffizientenvergleich. Falls eine Funtion f uber (a R, a + R, R >, als eine Potenzreihe f(x = a (x a mit dem Zentrum a darstellbar ist, ann man sofort die Koezienten berechnen (vgl. Satz 7.2: In der n-ten Ableitung f (n (x = ( ( n + a (x a n =n = n(n a n + (n + n 2 a n+ (x a + setzt man x = a und erhalt f (n (a = n! a n. Satz Eindeutigeitssatz für Potenzreihen. Aus f(x = a (x a = b (x a fur alle x (a R, a + R, R >, folgt a = b = f ( (a, =,, 2,....! Die beiden wichtigsten Interpretationen des Satzes sind: ( Wenn es uberhaupt moglich ist, f uber (a R, a + R als Potenzreihe darzustellen, dann nur als Taylor-Reihe F (x = f ( (a (x a.! (2 Wird eine Funtion f auf zwei verschiedene Arten als Potenzreihe mit Zentrum a dargestellt, dann sind die Koezienten entsprechender (x a-potenzen gleich. (Prinzip des Koeffizientenvergleichs. Binomialreihe. Dies ist eine Verallgemeinerung der binomischen Formel. F ur alle x mit x < und alle α R gilt ( + x α α = x α(α = + αx + x 2 α(α (α 2 + x (6 2! 3! α α(α (α 2 (α + wobei :=.!

8 ( Beweis: Die Reihe g(x = α x hat den Konvergenzradius, da α + lim = lim α(α (α! α α(α (α + ( +! = lim α ( + =. Fur < x < erhalt man durch gliedweise Dierentation α x 2α(α 3α(α (α 2 = α + x + 2! 3! = α ( α x = α ( (α (α (α 2 + x + x ! 2! x = g (x. Dann ist ( + xg α (x = ( + xα x α = α x ( + x ( [ ] α = α x α + x α α = α + + x ( α = α + x α = α x = αg(x und wir erhalten, dass ( + xg (x = αg(x ist. Fur h(x = g(x (+x α ergibt sich damit h (x = g (x( + x α α( + x α g(x ( + x 2α = (( + xg (x αg(x ( + x α ( + x 2α =, also h(x = const. Wegen h( = ist folglich h(x = = g(x (+x α bzw. g(x = ( + x α. #