i 3 =. 2 [ ] 2 (k + 1) { + (k + 1) 3 k 2 + 4(k + 1) } (k + 2) 2 = x n = 1 + n 1 n?

Transkript

1 Musterlösungen zur Klausur Analysis I Vollständige Indution Man beweise durch vollständige Indution: Für alle n N ist [ ] nn + ) i 3 i Beweis: Wir führen den Beweis mit vollständiger Indution Die Aussage gilt für n, denn für n gilt i 3 i i 3 i und [ ] [ ] nn + ) + ) Wir nehmen nun an, dass die Aussage für n N richtig ist, dass also [ + ) i 3 i gilt Unter dieser Annahme folgt + ) i 3 i ) 3 i i [ ] + ) + + ) 3 [ ] + ) { ) } [ ] [ ] + ) + ) + ) + ) Also gilt die Aussage auch für n + Grenzwerte a) Wie lautet der Grenzwert x der Folge x n ) n, wenn ] x n +? b) Zu jedem ε > 0 gebe man eine Indexschrane n 0 ε) an, so dass für alle n > n 0 ε) : x n x < ε Lösung:

2 a) Aus den Gesetzen für das Rechnen mit Grenzwerten folgt: x b) Wir suchen eine Indexschrane, so dass x n x + n < ε n Dies ist genau dann der Fall, wenn > ε bzw n > gilt Eine mögliche Indexschrane ist somit n 0 ε) : + ε) + ) ε 3 Vollständigeit von metrischen Räumen a) Wann heißt eine Folge im metrischen Raum E, d) Cauchyfolge? b) Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? c) In E, d) mit E : 0, ) R, dx, y) : x y betrachten wir die Folge x n ) n N mit x n 3n Ist die Folge x n) n N Cauchyfolge in E, d)? d) Warum ist E, d) nicht vollständig? Lösung: a) Eine Folge x n ) n N heißt im metrischen Raum E, d) Cauchyfolge, wenn es zu jeder Toleranzschrane ε > 0 eine Indexschrane n 0 ε) gibt, so dass für alle m, n > n 0 ε) die Beziehung dx m, x n ) < ε gilt b) Ein metrischer Raum E, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge in diesem Raum onvergiert c) Variante : Ohne Einschränung der Allgemeinheit dürfen wir m n annehmen Dann gilt dx m, x n ) 3m 3n 3 n ) < m 3n

3 Nun ist aber 3n < ε n > 3ε : n 0ε), also gibt es zu jedem ε > 0 ein n 0 ε), so dass für alle m, n > n 0 ε) die Beziehung dx m, x n ) < ε gilt Die betrachtete Folge ist also Cauchfolge in E, d) Variante : E, d) ist Teilraum des metrischen Raumes R Die Folge ) 3n onvergiert gegen x 0 in R Als onvergente Folge muss die Folge Cauchyfolge in R sein Beide Räume sind aber mit der gleichen Metri versehen, so dass die Folge auch Cauchyfolge in E, d) ist d) Die Folge onvergiert in R gegen das Grenzelement x 0, dass nicht zu E 0, ) gehört n N 4 Konvergenz von Reihen Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz + a) + 0! b) Lösung: a) Für alle gilt die Abschätzung die Reihe + + +, ist eine Minurante zur Reihe Minurante divergiert, divergiert auch divergieren + Da die + b) Wir wenden das Quotientenriterium für Reihen mit positiven Gliedern an: a + + )! + a + ) +! ) ) 3

4 Wegen a + a ist die Reihe onvergent Stetigeit Gegeben sei die Abbildung f : R R xy für x fx, y) + y 0, x + y 4 0 für x + y 0 ) e < a) Zeigen Sie, dass f entlang jeder Geraden durch den Ursprung eine auf R stetige Funtion ist b) Ist f : R R im Ursprung stetig? c) Zeigen Sie, dass fx, y) + für alle x, y) R gilt Lösung a) Jede Gerade durch den Ursprung ann in der Form y mx, x R oder x 0, y R beschrieben werden Im ersten Fall gilt: Die Abbildung m x 3 für x 0, x fx, mx) x + m 4 x 4 0 für x 0 ist auf R stetig, denn die gebrochen rationale Funtion x m x 3 x + m 4 x 4 ist für alle x 0 stetig und es gilt m x + m 4 x x 0 m x fx, mx) 0 f0, 0) x 0 x 0 + m 4 x Wir müssen nur noch zeigen, dass f entlang der Geraden x 0, y R stetig ist Zunächst haben wir y f0, y) { 0 für y 0, 0 für y 0, also f0, y) 0 für alle y R Als onstante Funtion ist y f0, y) stetig auf R 4

5 b) Wir zeigen mit dem Folgenriterium, dass f : R R im Ursprung nicht stetig ist Die Folge ) x n, y n ) n N n, n onvergiert in R gegen den Ursprung 0, 0), die Folge der zugeordneten Funtionswerte wegen fx n, y n ) n n + n aber gegen / und damit nicht gegen den Funtionswert f0, 0) 0 c) Im Fall x, y) 0, 0) gilt f0, 0) 0 + Betrachten wir nun den Fall x, y) 0, 0) Aus x y ) 0 erhalten wir durch Ausrechnen und Umstellen woraus schließlich x x y + y 4 0 n N x + y 4 x y fx, y) xy x + y 4 folgt Die letzte Ungleichung ist äquivalent zu 6 Potenzreihen fx, y) + a) Bestimmen Sie in der Menge der omplexen Zahlen C den Konvergenzbereich D der Reihe z n fz) : n)! n0 b) Durch Reihenmultipliation zeige man für z, z D Hinweis: Die Beziehung ) n m m0 [fz)] + fz) darf ohne Nachweis benutzt werden 5 { n für n für n 0

6 Lösung: a) Mit dem Quotientenriterium untersuchen wir die Potenzreihe auf absolute Konvergenz Wegen z n+ n + )! z n z n + )n + ) 0 z C n)! ist die Reihe auf D C onvergent b) Die Anwendung der Cauchyschen Produtbildung ergibt zunächst ) [fz)] z n n)! n0 z n ) n n)! m n0 m0 n n0 m0 z m z n m m)! n m)! Um für die innere Summe den Hinweis anwenden zu önnen, spalten wir in der äußeren Reihe den ersten Summanden ab und erhalten z n ) n z n ) ) n + n)! m n)! m n0 m0 n m0 z n z) n + n)! n + n)! Die Reihe stimmt bis auf den fehlenden Summanden für n 0 mit fz) überein Es gilt also n0 z n n)! m0 ) n + m n0 z) n n)! n + fz) 6