Klausur zur Vorlesung Analysis 1 (240003) 1. Termin: Aufgaben und Lösungen

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1 Prof Dr M Kaßmann Wintersemester 9/ Faultät für Mathemati Universität Bielefeld Klausur zur Vorlesung Analysis () Termin: 5 Aufgaben Lösungen Aufgaben: Die omplexen Lösungen der Gleichung z = i sind ( + i) ( i) ( cos 8 i sin ) ( 8 cos 8 + i sin 8) ( i) ( + i) ( cos 8 + i sin ) ( 8 cos 8 i sin ) 8 (Genau eine der obigen Aussagen ist wahr Kreuzen Sie diese an) Sei = a z eine omplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius R > Diese Reihe onvergiert, falls z = R Sie onvergiert in diesem Fall jedoch nicht absolut, falls z R In diesem Fall onvergiert sie auch absolut genau dann, wenn (a ) eine Nullfolge ist z C genau dann absolut, wenn z R genau dann, wenn z = R (Genau eine der obigen Aussagen ist wahr Kreuzen Sie diese an) Entscheiden Sie, ob die angegebenen Folgen (a n ) n N reeller Zahlen onvergieren oder divergieren Beweisen Sie Ihre Behauptungen bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert (a) a n = n n +9 (b) a n = (n ) n+n +n (c) a = 5, a n+ = 6 a n Seien (a n ) n N (b n ) n N zwei onvergente Zahlenfolgen Beweisen Sie, dass die Produtfolge (a n b n ) n N onvergiert 5 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz/Divergenz Beweisen Sie Ihre Behauptungen (a) = +

2 (b) (c) (d) = = (+) 99/99 (i) ( ) ( ( + ) / /) = 6 Bestimmen Sie alle reellen Zahlen a, für welche die durch ( a f(x) = exp(exp(/x))) für x, a für x =, gegebene Funtion f : R R stetig ist Beweisen Sie Ihre Behauptung 7 Sei f : R R beschränt Für n N seien Funtionen g n : R R durch g n (x) = n f(x + n) definiert Entscheiden Sie, ob die Funtionenfolge (g n ) nun gleichmäßig onvergiert Beweisen Sie Ihre Aussage 8 Berechnen Sie die folgenden Ausdrüce: (a) 8 8 (b) lim b b 9 x dx (x ) e x +x dx 9 Geben Sie den maximalen Definitionsbereich I R für die Funtion f : I R, f(x) = x ln(x) an disutieren Sie die Funtion umfänglich (Maxima, Minima, Monotonie, Verhalten der Funtion am Rand von I) Lösungen Die omplexen Lösungen der Gleichung z = i sind ( + i) ( i) ( cos 8 i sin 8) ( cos 8 + i sin 8) ( i) ( + i) ( cos 8 + i sin ( 8) cos 8 i sin ) 8 Es gilt z = (cos(/) + i sin(/)) Da sich beim Quadrieren einer omplexen Zahl der Betrag uadriert der entsprechende Winel sich verdoppelt, ommen nur die Antworten in Frage; für z wie in Antwort läge z jedoch nicht wie gefordert im ersten Quadranten der Gaußschen Zahlenebene

3 Sei = a z eine omplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius R > Diese Reihe onvergiert, falls z = R Sie onvergiert in diesem Fall jedoch nicht absolut, falls z R In diesem Fall onvergiert sie auch absolut genau dann, wenn (a ) eine Nullfolge ist z C genau dann absolut, wenn z R genau dann, wenn z = R Im Inneren des Konvergenzbereiches onvergieren Potenzreihen absolut Für z = R ist nicht sichergestellt, dass die Reihe onvergiert In Antwort ist die Bedingung nicht hinreichend; in Antwort 5 weder notwendig noch hinreichend (a) a n = n /n /n n n = /n = (n ) (b) a n = n + n + n = 8n 6n + 5n 7 n + n + n = 8 6/n + 5/n 7/n n + /n + /n 8 = 8 (c) Die Iterationsvorschrift lautet a n+ = 6 a n, a = 5 Falls (a n ) gegen ein a R onvergiert, muss aufgr der Stetigeit der Wurzelfuntion auch 6 an gegen 6 a onvergieren Daher muss für den Grenzwert a (sofern er existiert) gemäß der Iterationsvorschrift gelten 6 a = a a = Wir zeigen nun, dass (a n ) n N eine Cauchy-Folge ist Zunächst ist a n+ a n = 6 a n 6 a n (6 a n ) 6 a n = 6 an + a n a n = 6 a n 6 an + 6 a n Durch Indution nach n zeigen wir: n N : 6 a n 5 Der Indutionsanfang ist lar Die Behauptung gelte für ein n Dann gilt sie auch für n +, denn = 6 5 IV 6 6 a n = 6 a n+ = 6 IV 6 a n 6 = 5 5 Damit erhalten wir a n+ a n a n a n Sei nun obda n m Dann gilt ( ) n a a = ( ) n a n a m a n a n + a n a n + + a m+ a m n ( ) ( (/) n = ) (/)m / / =m ( ( ) m ( ) ) n ( ) m ( ) m = 8 8 = 6 ln 6 (a n ) ist eine Cauchy-Folge, denn zu beliebigem > wähle N = + Dann gilt für alle n, m N : a n a m ; die Folge onvergiert also gegen den Grenzwert a = ln

4 Seien a, b R die Grenzwerte der Folgen (a n ) (b n ) Dann gilt: a n b n ab = (a n a)(b n + b) + (a n + a)(b n b) n (b) + (a) = Damit ist bewiesen, dass die Folge (a n b n ) gegen den Grenzwert ab onvergiert Alternative: Zunächst halten wir fest, dass onvergente Folgen insbesondere beschränt sind, es existieren also Zahlen A, B (, ) mit n N : a n A n N : b n B Wir beweisen nun, dass (a n b n ) eine Cauchyfolge ist wählen > Dann existieren wegen der Konvergenz von (a n ) bzw (b n ) natürliche Zahlen N a bzw N b, sodass n, m N a : a n a m B n, m N b : b n b m A Also gilt für n, m max(n a, N b ) a n b n a m b m = (a n + a m )(b n b m ) + (a n a m )(b n + b m ) (A) A + (B) B = Somit ist bewiesen, dass (a n b n ) n N eine Cauchyfolge ist; sie onvergiert also in R 5 (a) Die Reihe divergiert nach dem Minorantenriterium, denn für beliebiges N N ist = divergiert N = + N = N = (b) Die Reihe onvergiert nach dem Majorantenriterium, denn für beliebiges N N ist = N = < für s > s N ( + ) 99/99 = = N 99/99 = = /99 (c) Die Reihe onvergiert nach dem Quotientenriterium Denn mit a = (i) gilt a + ( + ) a = + = ( + ) <, für alle 5 (d) Wir wenden das Leibniz-Kriterium an, um die Konvergenz der Reihe zu beweisen Dazu zeigen wir, dass die durch a = ( + ) / / definierte Folge eine monoton fallende Nullfolge ist Zunächst ist + a = ( + ) / / = ( + ) / + / = (( + ) / + / ) ( + + ) Damit ist (a ) als monoton fallende Nullfolge nachgewiesen

5 6 f ist für x als Vernüpfung stetiger Funtionen stetig Es ist lediglich die Stetigeit an der Stelle zu überprüfen Dafür berechnen wir den rechts- linsseitigen Grenzwert: ( ) lim f(x) = lim a = a xց y exp(exp(y)) ( ) lim f(x) = lim a xր y exp(/e y = (a ) ) Damit die beiden Grenzwerte übereinstimmen, muss a = (a ), also a = gelten es gilt dann lim x f(x) = Für a = ist f() = definiert, also ist die Funtion genau dann stetig, wenn a = 7 Wegen der Beschräntheit von f existiert M R, sodass x R : f(x) M Deshalb gilt n N x R : g n (x) n M, also sup g n (x) für n, x R die Funtionenfolge g n onvergiert also gleichmäßig gegen die Nullfuntion 8 (a) x dx = 8 8 ( x ) dx = / / = arcsin( ) arcsin( ) = / Alternative: Substituiere x = sin(z) z = arcsin( x ) Dann gilt y dy (b) 8 8 arcsin( /) dx = 9 x arcsin( /) sin (z) cos(z)dz = cos(z) cos(z) dz = b b (x ) e x +x dx = (x ) e (x ) dx = (b ) e y dy = [ e y] (b ) 9 I = (, ) [ Punte] = lim b = e e (b ) b (x ) e x +x dx = e lim xց f(x) = f(x) für x [ Punte] f (x) = xln(x) + x = x( ln(x) + ) [ Punte] f (x) < für x (, e / ), f (e / ) = f (x) > für x > e / [ Punte] f fällt streng monoton auf (, e / ) wächst streng monoton auf (e /, ) [ Punte] f hat ein globales Minimum in x = e /, eine weiteren Minima weder loale noch globale Maxima [5 Punte] 5