6 Übungsaufgaben. 6.1 Übungsaufgaben zu Kapitel ÜBUNGSAUFGABEN

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1 0 6 ÜBUNGSAUFGABEN 6 Übungsaufgaben In diesem Kapitel sind Übungsaufgaben zusammengestellt, die den Stoff der Vorlesung vertiefen und die für Prüfungen erforderliche Praxis und Schnelligkeit vermitteln sollen. Dem Studierendem wird daher dringend empfohlen zumindest einige der Aufgaben selbstständig zu bearbeiten. 6. Übungsaufgaben zu Kapitel. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 5bn+m 5b, n, m Z b) (a2 + y 2 ) 4a 2b m (a 2 + y 2 ) 3a 3b, a, b Z c) an + 2a n a n 2 + 2an 3, n Z d) 2. Berechnen Sie ohne Taschenrechner: ( ) 2a 4 3 ( ) b 2 2 : 3b 5 a 2 a) 0 5 /0 8 b) (0.2) 3 c) d) 5 ( ) e) 64 f) 4 3. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a) 4 a 3 x a+4 x a b) a y + b+5 x b a+3 y a+7 a 6+b y 8+a, c) x x 6 x 8 d) a a 2 + e) 4 5 z 5 : z 4 3 f) Vereinfachen Sie: 0 6. ( ) 2a 3. 3b a gerade, b ungerade 6 b b2, a > 0, b > 0 a) 3 2 a a 0 9 a 6, a 0 b) a b + a 2 + b 2 a + b a 2 + b 2( a 2 + b 2 a) c) Man bestimme sämtliche Lösungen der Gleichungen a) 8x + 0x + 6 = b) 20x + 2 6x + 6 6x 4 2x + 2 = c) x x 3 = 3 d) x + 3x 2 = 0.

2 6. Übungsaufgaben zu Kapitel 6. Man berechne 4 a) 5 k b) k=0 4 5 k p c) k=0 j=k j (durch Fakultäten). 7. Man zeige: n k=0 k = n(n+) Man zeige, daß n k 2 = k= n(n + )(2n + ) 6 gilt. (Hinweis: Man benutze (n + ) 3 = n k= n k=0 k + 3 n k=0 k 2.) 9. Man zeige, daß n ( k=2 k 2) = n + 2n gilt. (Hinweis: Hauptnenner geeignet aufspalten!) 0. Man zeige durch Nachrechnen, daß gilt: ( ) n + k ( ) n = k ( ) n +. k. Man berechne mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes a) (2x 5y) 3 b) Man beweise die Dreiecksungleichung: x + y x + y. 3. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen: a) 2x + x + 4 b) x 2 3x 2 < 0 2x c) 4 x 2 0 d) x + x 2 e) 3 x 5 < 2 x Zeigen Sie, daß lim n n n = gilt. 5. Um zu zeigen, daß lim n ( + n )n existiert, gehe man folgendermaßen vor: a) Man setze zunächst a n := ( + n )n und zeige mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung, daß der Quotient a n /a n monoton wächst. b) Für k 2 zeige man: ( n k ) <. n k 2 k c) Unter Verwendung von Teil b) zeige man mittels Binomischer Formel, daß die Ungleichung ( + n )n < 3 gilt. d) Nun zeige man die Existenz des Grenzwertes.

3 2 6 ÜBUNGSAUFGABEN 6. Zeigen Sie folgenden Zusammenhänge: a) Jedes Element einer arithmetischen Folge (außer dem ersten) ist das arithmetische Mittel (siehe S.8) der beiden Nachbarelemente. b) Jedes Element einer geometrischen Folge (außer dem ersten) ist das geometrische Mittel (siehe S.8) der beiden Nachbarelemente. 7. Sei c eine beliebige reelle Zahl. Man untersuche die Konvergenz der Reihe k= ( ) k ck k!. 8. Man untersuche auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Summenwert: a) k=2 k(k ) b) k= 3 k (3 + ( ) k ) k c) n=0 4 n + ( 2)n+ 3 n. 9. Man untersuche mittels Wurzel- bzw. Quotientenkriterium die folgenden Reihen auf Konvergenz. Ist immer eine Entscheidung möglich? a) k= k 2 b) k= k 2 k!. 6.2 Übungsaufgaben zu Kapitel 2. Gegeben sei das Polynom p(x) = x 3 3x 2 + x +. Man berechne p() mittels Hornerschema. 2. Ermitteln Sie die Nullstellen des Polynoms p(x) = 2x 3 + 2x 2 + 6x Ermitteln Sie ohne Benutzung von Ableitungen folgende Grenzwerte: a) lim x x 4 x 3 3x + 3 x 2 b) lim x x x x 4 a 4 5x 3 7x c) lim, a R d) lim x a x a x 2x 3 e) lim x ( x x 2 + 3x) 4. Ermitteln Sie eine Zahl c, für die gilt: f) lim x 0 lim x ( x 2 + 2cx x 2 + cx) = mx, m IR x 5. Bestimmen Sie den Parameter A so, daß die Funktion überall stetig ist: f(x) = { x 2 /2 für x < 2 A/x 2 für x 2.

4 6.3 Übungsaufgaben zu Kapitel Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Definitionslücken und Unstetigkeitsstellen : f(x) = x4 9x 2 5x Seien a > 0, b > 0 und a, b. Man zeige, daß gilt: 8. Bestimmen Sie die Logarithmen: log b x = log a x log a b. a) log 0.0 b) ld 32 c) ld 3 d) log e) ln ( ) e 2x e y2 9. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf: a) e 2x = ( ) a 3 y b) y = ln b + x 0. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: f) log c) y = ex + e x d) y = ln(x + ) + ln(x ). a) 4 3x 3 = 8 x b) e x+ 6e 3 x + e 2 = 0 c) x 3 log x = 00 d) ln(3x 2) 2 ln(2x 3) = 0 e) ld 5 + ld x ld( + x 2 ) =. 6.3 Übungsaufgaben zu Kapitel 3. Gegeben sei f(x) = 3+x 3 x a) der Definition der Ableitung, b) den Ableitungsregeln., x 3. Berechnen Sie f (2) mit 2. Ermitteln Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen und vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) y = + x b) f(x) = ln x. 3. Bilden Sie die Ableitung von f(x) = e x x 3, x > 0 a) mit Hilfe der Ableitungsregeln, b) durch logarithmische Differentiation.

5 4 6 ÜBUNGSAUFGABEN 4. Berechnen Sie durch Ableitung der Umkehrfunktion die erste Ableitung von y = log x Ermitteln Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim x 2x x4 3 x 4 b) lim (cosx) x 3 x 2 x 0 c) lim x 0+ x2 ln x 6. Diskutieren Sie die Exponentialfunktion f(x) = e 2x2. D.h. untersuchen Sie Definitionsbereich, Symmetrie, Monotonie- und Krümmungsverhalten. Ermitteln Sie mögliche Nullstellen, lokale und globale Extrema sowie Wendepunkte. Skizzieren Sie den Graphen von f. 7. Gegeben sei die Erlösfunktion E(x) = 0 x(x 8) des gewinnmaximierenden Unternehmens aus der Vorlesung. Ermitteln Sie auf [0, 8] das globale Maximum 8! 8. Ein Unternehmen hat vor 8 Jahren ein neues Produkt eingeführt, dessen Tagesumsatz (in 000 Euro) sich durch die Funktion U(t) = t 2 9 t3 beschreiben läßt. t sei dabei die Zeit in Jahren seit Produkteinführung. a) Zu welchem Zeitpunkt t trat eine Wende im Umsatz ein? b) Welches war der größte Tagesumsatz in den 8 Jahren? c) Skizzieren Sie den Umsatzverlauf! 9. Man zeige: a) Die Elastizität ε(f, x) von y = f(x) ist der Quotient der logarithmischen Ableitungen von f(x) und x. b) Ist g(y) = f (y) = x die Umkehrfunktion von f(x), dann ergibt sich die Elastizität der Umkehrfunktion zu ε(g, y) = ε(f, x), y = f(x). 0. Gegeben sei die Nachfragefunktion x = N(p) = 8 p+8 mit dem Preis p eines Produktes und der zugehörigen nachgefragten Menge x. Dann heißt ε(n, p) Preiselastizität 0 der Nachfrage. Mit P(x) = N (p) heißt ε(p, x) Preisflexibilität der Nachfrage. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion P von N(p). Wie ändert sich ungefähr die Nachfrage, wenn ausgehend von p = 6, 25 der Preis um % erhöht wird? Welche Preissenkung ist nötig, wenn ausgehend von x = 3 die Nachfrage um % wachsen soll?

6 6.4 Übungsaufgaben zu Kapitel 4 5. a) Man zeige, daß das Iterationsverfahren x n+ = 2 (x n + Q x n ) zur Bestimmung von Q einen Spezialfall des Newton-Verfahrens darstellt. b) Man berechne für Q = 2 mit dem Startwert x 0 = die ersten fünf Glieder der Iterationsfolge. 6.4 Übungsaufgaben zu Kapitel 4. Ein Unternehmer hat für einen Produktbereich die Grenzerlösfunktion e(x) = 35 5x + 3x 2 ermittelt. Wie lautet die zugehörige Erlösfunktion E(x), wenn sich bei der Produktion von x = 20 Einheiten ein Erlös von 2000 Euro ergibt? 2. Berechnen Sie mittels partieller Integration e ax cosbx dx. 3. Berechnen Sie mittels Substitution die bestimmten Integrale a) 5 3 x dx b) x 2 4 Anleitung zu b): Substitution mit u = + x 2 4. Konvergieren folgende Integrale? 3 0 x 3 + x 2 dx a) 0 e x dx b) dx x c) 0 x 2 e x dx 5. Es sei x = N(p) eine Nachfragefunktion: wenn ein Produzent ein bestimmtes Gut zum Preis von p GE/ME auf dem Markt anbietet, werden x ME verkauft (nachgefragt). Der Produzent bietet das Gut zunächst zum Preis p S auf dem Markt an und senkt dann den Preis (stetig) auf den Wert p R. Angenommen wird dabei, daß die Preisreduzierungen in Schritten p so langsam erfolgen, daß alle zu einem bestimmten Preis Kaufwilligen das Gut auch zu diesem Preis erwerben (mathematisch Grenzübergang p 0.) x N(p) x R x S p R p S p a) Machen Sie sich anhand obiger Skizze klar, daß der Produzent durch die Preisreduzierung einen Gesamtumsatz von U G = p R x R + p S p R N(p) dp erzielt. Berechnen Sie den Gesamtumsatz für die konkrete Nachfragefunktion N(p) = 8 (p 0) und die 0 Werte p S = 9, p R = 3.

7 6 6 ÜBUNGSAUFGABEN b) Zeigen Sie allgemein, daß sich der Gesamtumsatz auch durch die Formel U G = p S x S ps p R pn (p) dp ermitteln läßt. Berechnen Sie damit den Umsatz für die konkrete Nachfragefunktion. 6. Gegeben seien für ein bestimmtes Produkt auf einem Markt die Angebotsfunktion { 0, für 0 p 2 x = A(p) = 3 (p 2 2)2, für 2 p und die Nachfragefunktion x = N(p) = 6 (p 0)2 für 0 p 0. a) Skizzieren Sie beide Funktionen und ermitteln Sie rechnerisch den Marktpreis p M. b) Wie hoch sind Konsumenten- und Produzentenrente? 7. Wir betrachten Ertragsströme bei stetiger Verzinsung zu i s. a) Berechnen Sie Bar- und Endwert eines stetigen konstanten Ertragsstroms K(t) = c für 0 t T. b) Welcher Bar- bzw. Endwert ergibt sich für den stetigen Kapitalstrom K(t) = t mit 0 t 0 für i s = 0 %? c) Welchen Barwert hat der konstante Ertragsstrom aus Teil a) bei unendlicher Laufzeit? 6.5 Übungsaufgaben zu Kapitel 5. Welche Eigenschaften hat die Relation a) Schwester von auf der Menge aller Frauen? b) Schwester von auf der Menge aller Menschen? c) Mutter von auf der Menge aller Menschen? d) es gibt Straße zwischen auf der Menge aller Städte? 2. Eine Relation R IN 2 sei definiert durch (n, m) R, falls n m = 0. Welche Eigenschaften hat diese Relation? Welche nicht? (Begründung!) 3. Stellen Sie die Relation R = {(, 2), (, 5), (, 6), (2, 2), (2, 4), (3, 4), (3, 5),(4, 6)} auf A = {, 2, 3, 4, 5, 6} als Tabelle und Graph dar. Ist die Relation transitiv? 4. Drücken Sie die Relationseigenschaften reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv einer binären Relation R auf A durch geordnete Paare (x, y) aus.

8 6.5 Übungsaufgaben zu Kapitel Gegeben sei die Menge 3 Z = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,...}. Ist (3 Z, +) bzgl. der üblichen Addition eine Gruppe? Ist diese abelsch? 6. Bildet die Potenzmenge P(G) einer Menge G zusammen mit der Operation : G G G (symmetrische Differenz), die durch definiert ist, eine abelsche Gruppe? A B := (A B) (Ā B) 7. Auf der Menge Z der ganzen Zahlen betrachten wir die Relation R mit (x, y) R, falls x bei Division durch 3 denselben Rest hat wie y. a) Zeigen Sie, daß R eine Äquivalenzrelation ist. b) Geben Sie sämtliche Äquivalenzklassen und ein Repräsentantensystem an. c) Auf den in b) ermittelten Äquivalenzklassen, die wir jetzt mit 0,, 2 bezeichnen wollen, definieren wir die binäre Operation durch ā b = a + b für ā, b { 0,, 2}. Erstellen Sie die Verknüpfungstafel für diese Operation. Bildet die Menge der Äquivalenzklassen zusammen mit eine abelsche Gruppe? 8. Auf der Menge M = {0, } seien zwei binäre Operationen durch folgende Verknüpfungstafeln definiert: Bildet das System (M,, ) einen Körper?