2 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen

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1 2 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen Wachstumsprozess, so ist die Wachstumsgeschwindigkeit von Interesse oder auch die relative Wachstumsrate. Ist f eine Steuerfunktion, so ist die Frage bedeutend, welcher Steuerprozentsatz auf einen kleinen Zuverdienst zu zahlen ist. Für ein Unternehmen ist interessant, wie sich die (relative) Nachfrage nach einem Produkt bei (relativ) kleinen Preisänderungen ändert. Wichtig ist auch die Bestimmung von Extremwerten ökonomischer Größen, etwa die Minimierung von Kosten oder die Maximierung von Gewinnen. Bei der Beantwortung dieser Fragen ist die Differenzialrechnung nützlich. 1

2 Alle Funktionen in diesem Kapitel sind stets von der Form f : D R wobei D R der Definitionsbereich ist. Also gibt es für jedes x D einen Funktionswert f(x). Beispiel 2.1 Angenommen, die Kostenfunktion eines Unternehmens für die Produktion von x Stücken eines Gutes sei gegeben durch K(x) = 20 x Nun ist das Unternehmen daran interessiert, wie sich die Kosten bei kleiner Änderung der Produktionsmenge verändern. Eine standardisierte Information ist hierbei zum Beispiel, wie sich K(x) ändert, wenn man x um eine Einheit erhöht. Die Änderung ist dann K(x + 1) K(x). Es sollte klar sein, dass eine solche Änderung von der Ausgangszahl x abhängt. Etwa ist K(101) K(100) = 20( ) 0, 998, K(1001) K(1000) = 20( ) 0,

3 Zieht man auch andere Änderungen von x in Betracht, so ist es sinnvoll, die relative Änderung der Kosten im Verhältnis zur Änderung von x zu berechnen. Das ist der Quotient K(x + h) K(x) (x + h) x = K(x + h) K(x) h (etwa für die Werte h = 1, 0.1, 0.01) und gibt die durchschnittliche Kostenänderung pro zusätzlicher Mengeneinheit an. In der folgenden Tabelle sind diese relativen Änderungen für einige Werte von x und h angegeben. K(x+1) K(x) 1 K(x+0,1) K(x) 0,1 K(x+0,01) K(x) 0,01 x 10 3,087 3,154 3, ,998 0,1 0, ,316 0,316 0,316 Man sieht, dass sich für kleine Werte von x die Änderung von x stärker auf die relative Änderung der Kosten auswirkt als für große 3

4 Werte. Das kann man auch am Graphen sehen, denn die Funktionswerte unterscheiden sich in der Nähe von x = 10 stärker voneinander als etwa bei x = 100 oder x = x Man sieht, dass die obige Situation durch die Steigung des Graphen erklärt wird. 4

5 2.1 Differenziation Bevor wir eine formale Definition der Ableitung einer Funktion angeben, soll zunächst beschrieben werden, wie man die Steigung einer (krummlinigen) Funktion in einem Punkt festlegen und bestimmen kann. Steigung einer Funktion in einem Punkt 1. Ist f : R R eine Gerade, so ist die Steigung des zugehörigen Graphen an jeder Stelle gleich und lässt sich durch ein Steigungsdreieck ermitteln. Die Steigung ist definiert als Höhe durch Breite eines Steigungsdreiecks, also f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ). (x 0 + h) x 0 h 5

6 70 60 x0=2, h=2 x1=5,h = f(x1+h )-f(x1) h h f(x0+h)-f(x0) x Hierbei spielt es offensichtlich keine Rolle, wo das Dreieck eingezeichnet wird und wie weit die beiden Stellen x 0 und x 0 + h auseinanderliegen. Sie ist also unabhängig von x 0 und h. Ist f(x) = cx + d, so ist f(x 0+h) f(x 0 ) h = ch h = c. 2. Ist nun f : D R eine Funktion mit einem krummlinigen Graphen, so lassen sich immer noch Steigungsdreiecke zu gegebenen Stellen x 0 und x 0 +h zeichnen; die daraus resultierende 6

7 Größe f(x 0 + h) f(x 0 ) (2.1) h hängt nun aber im allgemeinen sowohl von x 0 als auch von h ab (siehe Beispiel 2.1). Sie gibt die (relative) Veränderung der Funktionswerte im Verhältnis zu den x-werten an. Außerdem lässt sie sich als durchschnittliche Steigung von f auf dem Abschnitt [x 0, x 0 +h] auffassen. Das ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x 0 + h, f(x 0 + h)) geht. In diesem Zusammenhang heißen diese Geraden auch Sekanten. Man benutzt nun diese Steigungsdreiecke für einen Grenzprozess: wählt man h immer kleiner, so rückt der Punkt x 0 + h immer näher an x 0, das Steigungsdreieck wird immer kleiner und die Größe (2.1) liefert die Steigung auf einem sehr kleinen Abschnitt in der Nähe von x 0. Falls dieser Grenzprozess einen Grenzwert hat, etwa lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 7 = a,

8 so nennt man a die Ableitung von f an der Stelle x 0. Als Grenzwert der Sekanten erhält man dann gerade die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x 0. Deren Steigung ist a. 8

9 Differenzenquotient, Differenzialquotient, Ableitung Sei D ein offenes Intervall, f : D R eine Funktion und x 0 D. ein Differenzenquoti- 1. Für h R\{0} heißt f(x 0+h) f(x 0 ) h ent von f. 2. Die Funktion f heißt an der Stelle x 0 differenzierbar, falls der Grenzwert lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h In diesem Fall wird die Notation f (x 0 ) := lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h existiert. benutzt. Der Grenzwert f (x 0 ) heißt Ableitung von f an der Stelle x 0. 9

10 Ist f an jeder Stelle x D differenzierbar, dann heißt f differenzierbar auf D, und die Funktion f : D R heißt Ableitung von f. Beachte, dass das Symbol lim h 0 für den beidseitigen Grenzwert steht. Man muss also sowohl positive als auch negative Werte für h betrachten! Die Größe h wird in der Literatur oft als x geschrieben. Sie steht für eine (kleine) Änderung der Argumente x. Für die zugehörige Änderung der Funktionswerte f(x + h) f(x) wird dann f geschrieben. 10

11 Bemerkung: Oft werden statt der Bezeichnungen x 0 und x 0 +h für die zwei Stellen auch x 0 und x gewählt. Setzt man h := x x 0, also x = x 0 + h, so lautet dann der Differenzenquotient f(x) f(x 0 ) x x 0 und die Ableitung, falls sie existiert, ist der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim. x x 0 x x 0 11

12 Für kleine Werte von h (oder für x nahe bei x 0 ) ist der Differenzenquotient eine Annäherung an die Ableitung: f (x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) h = f(x) f(x 0) x x 0. Geometrisch bedeutet diese Approximation, dass die Funktion in der Nähe von x 0 durch die Tangente an der Stelle x 0 angenähert wird. Denn f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) und der Ausdruck auf der rechten Seite ist die Gleichung der Geraden mit Steigung f (x 0 ) durch den Punkt (x 0, f(x 0 )). 12

13 Beispiel Lineare Funktion: Eine Funktion der Form f : R R, f(x) = c x + d ist eine lineare Funktion. Der Funktionsgraph ist die Gerade {(x, c x + d) x R} mit Steigung c. Sei nun x 0 R, dann ist für alle h R \ {0} der Differenzenquotient gegeben durch c(x 0 + h) + d (cx 0 + d) = ch h h = c. Der Differenzenquotient hängt weder von x 0 noch von h ab. Insbesondere ist f (x 0 ) = c für alle x 0 R. Die Funktion hat überall die gleiche Steigung. Die Ableitung f : R R ist somit die konstante Funktion f (x) = c für alle x R. 13

14 2. f(x) = x 3 : Mithilfe des binomischen Lehrsatzes erhält man für den Differenzenquotienten an der Stelle x f(x + h) f(x) h = (x + h)3 x 3 h = x3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 x 3 h = h(3x2 + 3xh + h 2 ) h = 3x 2 + 3xh + h 2 Damit ist der Grenzwert lim h 0 f(x + h) f(x) h Ähnlich lässt sich zeigen: = 3x 2 = f (x). f(x) = x n, dann ist f (x) = nx n 1. 14

15 3. f(x) = x : Die Betragsfunktion f : R R mit f(x) = x ist an der Stelle x 0 = 0 nicht differenzierbar x Offensichtlich lässt sich an der Stelle x 0 = 0 keine eindeutige Tangente einzeichnen. Die Steigung springt hier abrupt von 1 auf 1. Genauer gesagt: Steigungsdreiecke, die links von x 0 = 0 liegen, liefern alle die Steigung 1, die, die rechts liegen, die Steigung 1. Daher existiert der beidseitige Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle x 0 = 0 nicht und die Funktion 15

16 ist dort nicht differenzierbar. Etwas genauer: lim h h 0 h h = lim h 0 h = lim h 0 weil h = h für h < 0 gilt. Entsprechend gilt h h = 1, lim h h 0 h weil h = h für h > 0 gilt. h = lim h 0 h = lim h 0 h h = 1, 16

17 Hat eine Funktion eine Sprungstelle an der Stelle x 0, so hat sie dort sicherlich keine Tangente. Genauer: Ist die Funktion f : D R in x 0 D differenzierbar, dann ist f auch stetig im Punkt x 0. Aber nicht jede stetige Funktion ist auch differenzierbar, wie die Betragsfunktion in Beispiel zeigt. 17

18 Beispiel 2.3 (Ableitung einiger Grundfunktionen) Die Definitionsbereiche der unten stehenden Funktionen haben wir bereits in Kapitel 2 untersucht. f(x) c x n x α (α R) e x f (x) 0 n x n 1 α x α 1 e x f(x) a x (a > 0) ln( x ) log a ( x ) (a > 0, a 1) f (x) ln(a) a x 1 1 x x ln(a) f(x) sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) f 1 1 (x) cos(x) sin(x) cos 2 (x) sin 2 (x) Speziell ist für f(x) = 1 x = x 1 die Ableitung f (x) = x 2 = 1 x 2 und allgemein f(x) = 1 x = n x n, dann f (x) = nx n 1 = n x n+1. 18

19 Mit den obigen Grundfunktionen und folgenden Rechenregeln lassen sich leicht die Ableitungen vieler Funktionen berechnen. Seien f, g : D R in einem Punkt x D differenzierbar. Dann sind auch die Funktionen f + g, f g : D R in x differenzierbar, und es gilt: Summenregel: (f + g) (x) = f (x) + g (x), Produktregel: (fg) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Als Spezialfall der Produktregel ergibt sich (λ f) (x) = λ f (x) für jede differenzierbare Funktion f und jede Zahl λ R. 19

20 Ist zusätzlich g(x) 0 für alle x D, dann ist die Funktion f g : D R in x differenzierbar mit Quotientenregel: ( ) f (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g g(x) 2 Etwas komplizierter ist die folgende Regel: Seien f : D R und g : E R Funktionen mit f(d) E, d.h. f(x) E für alle x D). Sei f in x D differenzierbar, und sei g in f(x) E differenzierbar. Dann ist auch g f an der Stelle x differenzierbar und es gilt Kettenregel: (g f) (x) = g (f(x)) f (x). 20

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22 Beispiel Für f(x) = 3x 5 10x 4 + 2x 3 7x ist f (x) = 15x 4 40x 3 + 6x 2 14x. 2. Sei f(x) = 3x2 2x + 1. Dann ist 7x 5 f (x) = (6x 2)(7x 5) 7(3x2 2x + 1) (7x 5) 2 = 21x2 30x + 3 (7x 5) 2 21

23 3. Für S(x) = sin 2 (x) können wir schreiben S = g f mit f(x) = sin(x) und g(x) = x 2. Daher ist S (x) = 2 sin(x) cos(x) Allgemein ist für eine Funktion f(x) = g(x) n f (x) = ng(x) n 1 g (x). 4. Für f(x) = e (ax2 +bx+c) 2 ist mit der Kettenregel f (x) = e (ax2 +bx+c) 2 2 (ax 2 + bx + c) (2ax + b) 22

24 Als letzte Differenziationsregel betrachten wir Ableitung der Umkehrfunktion: Sei f : D R eine injektive stetige Abbildung, und sei f 1 : f(d) R die Umkehrfunktion von f. Ist f in einem Punkt x D differenzierbar mit f (x) 0, dann ist f 1 im Punkt y = f(x) differenzierbar, und es gilt (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)) = 1 f (x). 23

25 Beispiel 2.5 Sei f(x) = e x. Die Funktion ist injektiv. Die Umkehrfunktion ist gegeben durch g(y) = f 1 (y) = ln(y). Nach Beispiel 2.3 ist f (x) = e x und daher f (x) 0 für alle x R. Die obige Rechenregel liefert g (y) = 1 f (g(y)) = 1 e ln(y) = 1 y, wie es auch schon in Beipiel 2.3 angegeben ist. Es gilt sogar g ( y ) = 1 y. 24

26 Man kann den Differenziationsprozess unter Umständen auch auf die Ableitung anwenden. Ableitungen höherer Ordnung: Sei f : D R eine differenzierbare Funktion. Ist die Ableitung f : D R ihrerseits in jedem Punkt x D differenzierbar, dann heißt f (x) = (f ) (x) die zweite Ableitung von f im Punkt x und die Funktion f : D R heißt zweite Ableitung von f. Allgemein heißt eine Funktion f : D R n-mal differenzierbar, n N, wenn die (n 1)-te Ableitung differenzierbar ist. Die n-te Ableitung wird auch mit f (n) : D R bezeichnet. Insbesondere wird f (0) = f gesetzt und es ist f (1) = f und f (2) = f. 25

27 Die Funktion f heißt oft differenzierbar, wenn alle Ableitungen f (n), n N, existieren. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung wird im nächsten Abschnitt erklärt. Beispiel 2.6 Mithilfe von Beispiel 2.3 und den üblichen Rechenregeln lassen sich folgende Ableitungen berechnen. 1. f(x) = ln(x): f (x) = 1 x, f (x) = 1 x 2, f (3) (x) = 2 x 3 = 2x 3, f (4) (x) = 6 x 4,... f (n) (x) = ( 1) n 1 (n 1)! x n 26

28 2. f(x) = x 5 2x 3 + x 2 10: f (x) = 5x 4 6x 2 + 2x, f (x) = 20x 3 12x + 2, f (3) (x) = 60x 2 12, f (4) (x) = 120x, f (5) (x) = 120, f (6) (x) = 0 = f (n) (x), für n 6 3. f(x) = 3e x : f (x) = 3e x, f (x) = 3e x,..., f (n) (x) = 3e x. Polynome, rationale Funktionen, die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich unendlich oft differenzierbar. 27

29 Es folgt nun noch ein Nachtrag zum Thema Grenzwerte von Funktionen. Wir hatten Beispiele von Funktionen gesehen, bei denen die üblichen Grenzwertregeln nicht weiterhelfen, etwa bei Quotienten von Funktionen, wo Zähler und Nenner für x x 0 beide gegen Null (oder beide gegen unendlich) konvergieren. Mithilfe der Differentiation ist es nun möglich, weitere Grenzwertregeln aufzustellen, mit denen sich etwa bestimmen lassen. lim x 0 ln(x 2 ) x x 3 oder lim x e x 28

30 Regeln von de L Hospital: Seien D = (a, b)\{x 0 } mit a < x 0 < b und f, g : D R differenzierbare Funktion, sowie g (x) 0 auf D. Außerdem gelte lim f(x) = lim g(x) = 0 (2.2) x x 0 x x0 oder Dann gilt: lim f(x) = ± und lim g(x) = ±. (2.3) x x 0 x x0 Ist lim x x0 f (x) g (x) = α R, so ist lim x x 0 f(x) g(x) = α. (2.4) f(x) Die gleichen Aussagen gelten auch für Grenzwerte der Form lim x x0 g(x), f(x) lim x x0 g(x) und lim x ± f(x) g(x). 29

31 Man beachte, dass die Implikation (2.4) auch beinhaltet, dass im f (x) f(x) Falle der Konvergenz von lim der Grenzwert lim x x0 g (x) x x 0 g(x) überhaupt existiert. Es ist ganz wichtig, dass die Voraussetzungen (2.2) oder (2.3) erfüllt sind. Andernfalls liefert die Implikation (2.4) ein falsches Ergebnis. Das wird in Beispiel illustriert. Wenn (2.2) und (2.3) beide nicht gelten, lässt sich der Grenzwert sowieso direkt bestimmen. Beispiel Seien f(x) = e x 1, g(x) = x und x 0 = 0. Dann ist (2.2) erfüllt und wegen ist mit (2.4): lim x 0 e x 1 lim x 0 x f (x) g (x) = lim x 0 = e x 1 = 1

32 2. Seien f(x) = x3 und g(x) = e x. Dann ist (2.3) für x erfüllt und iterative Anwendung der Regel von de L Hospital liefert: lim x x 3 e x = lim x f(x) g(x) = lim x = lim x f (x) g (x) = lim x = lim x f (3) (x) g (3) (x) = lim x f (x) g (x) = lim x 6x e x 6 e x = 0. 3x 2 e x 3. Seien f(x) = ex + 2 und g(x) = e 2x 2. Dann ist (2.3) für x erfüllt und daher lim x e x + 2 e 2x 2 = lim x e x = lim 2e2x x 1 2e x = 0. 31

33 4. 0 Es soll lim ln(x)x bestimmt werden. Dies ist zwar kein x 0 Quotient, aber durch Umformen erhält man lim ln(x) x = lim x 0 x 0 = lim x 0 ln(x) 1 x = 1 x 1 x 2 = lim x 0 ( x) = 0. 32

34 5. 1 Seien f(x) = 1 + a x lim x und g(x) = x. Dann ist ( 1 + x) a x = lim f(x) g(x) = lim e ln(f(x)) g(x) x x = lim e ln(1+a x ) x. x Nun ist der Exponent für x vom Typ 0 und daher ist wie in 3. lim (1 ln + a ) ( ) ln 1 + a x x = lim = x x x lim x a x 2 1+ a x 1 x 2 1 x = lim x a 1 + a x = a. Also ist lim (1 + a ) x = e a. x x 33

35 6. 0 Seien f(x) = x + 1 und g(x) = 2 ln(x). Dann gilt 2 lim (x + 1) ln(x) = lim f(x) g(x) = lim e ln(f(x)) g(x) x x x = lim e ln(x+1) 2 ln(x). x Der Exponent ist für x vom Typ. Somit ist lim x Also ist 2 ln(x + 1) ln(x) = lim x 2 1 x+1 1 x lim (x + 1) ln(x) 2 = e 2. x = lim x 2 x x + 1 = 2. 34

36 Für f(x) = x 3 x und g(x) = 1 ln(x) gilt ( lim ) x3 x ln(x) 1 = lim f(x) g(x) = lim x 0 x 0 x 0 e ln(f(x)) g(x) = lim e ln( x3 x ) 1 ln(x) = lim e x 0 x ln(x)+x ln(3) ln(x). Der Exponent ist für x 0 vom Typ, also lim x ln(x) + x ln(3) ln(x) = lim x 0 = lim x 0 1 2x + ln(3) 1 ( x 1 ) 2 + x ln(3) = 1 2. ( Damit ist lim ) x3 x ln(x) 1 = e. x 0 35

37 8. Abschließend noch ein Beispiel, das die Notwendigkeit der Voraussetzung (2.2) oder (2.3) zeigt. Betrachte f(x) = e 2x 2 und g(x) = e x + 2. Es soll lim x f(x) g(x) bestimmt werden. Allein die Regel (2.4) würde wegen f (x) lim x g (x) = lim 2e 2x x e = lim x x 2ex = 0 (2.5) den Grenzwert 0 für (2.5) liefern. Das ist aber falsch, denn wegen lim x ex = 0 ist lim f(x) = 2 und lim g(x) = 2, x x folglich erhalten wir den korrekten Grenzwert f(x) lim x g(x) = 1. Offensichtlich sind weder (2.2) noch (2.3) erfüllt, deshalb darf man (2.4) nicht anwenden. 36

38 2.2 Kurvendiskussion Viele ökonomischen Zusammenhänge werden durch Funktionen beschrieben. Daher ist es wichtig, das Verhalten der Funktionen bestimmen zu können. Hierzu gehören 1. Definitionsbereich, 2. Nullstellen, 3. Monotonieverhalten und (lokale) Extremwerte, 4. Krümmungsverhalten und Wendepunkte, 5. Asymptotisches Verhalten, d. h. das Aussehen des Graphen an den Rändern des Definitionsbereichs, 6. Verhalten von f an Sprungstellen, Polstellen und Definitionslücken Dabei ist die Differenzialrechnung ein nützliches Hilfsmittel. 37

39 An dem folgenden Beispiel (wir nennen es Beispiel A) werden alle Begriffe illustriert. Beispiel A: g(x) = 2x 2 x 2 2x x Der maximale Definitionsbereich einer gegebenen Funktion und seine Bestimmung wurde bereits in Abschnitt 2.2 behandelt. 38

40 Beispiel A: Da das Nennerpolynom keine Nullstellen hat, ist D(g) = R. 2. Die Bestimmung der Nullstellen, also der Schnittpunkte des Graphen mit der x-achse, kann ein schwieriges Problem sein. Für Polynome (und folglich auch rationale Funtionen) wurde dies in Abschnitt 2.4 diskutiert. Beispiel A: Das Zählerpolynom und damit die Funktion g hat die einzige Nullstelle x 0 = 1. Im allgemeinen lassen sich graphisch Näherungswerte für die Nullstellen finden. Ein Verfahren zur approximativen Bestimmung der Nullstellen einer gegebenen Funktion ist das 39

41 Newtonverfahren: Sei f : D R eine differenzierbare Funktion. Wähle einen Wert x 1 D und setze für alle n N x n+1 = x n f(x n) (Newtoniteration) f (x n ) Dann gilt: Wenn die Newtonfolge (x n ) n N konvergiert, dann ist der Grenzwert eine Nullstelle von f. Die dieser Methode zugrunde liegende Idee ist wie folgt: Ist x n ein Schätzwert für eine Nullstelle, dann wird in (x n, f(x n )) die Tangente an den Graphen von f gelegt. Sie hat die Gleichung y = f (x n )(x x n ) + f(x n ). Ihre Nullstelle ist gerade obiger Wert x n+1, der dann als neue Schätzung benutzt wird. Die Frage, in welchen Situationen die Newtoniteration (x n ) n N konvergiert, bleibt hier unbehandelt. 40

42 Beispiel 2.8 Sei f(x) = x 2 a mit a R +. Dann ist die Newtoniteration x n+1 = x n x2 n a = 1 ) (x n + axn 2x n 2 Man kann zeigen, dass die Folge gegen a konvergiert, wenn wir mit x 1 > 0 beginnen. Genau so rechnet übrigens ein Computer die Wurzel aus a aus! 3. Monotonieverhalten und lokale Extremwerte Monotonie einer Funktion auf einem Intervall ist bereits in Abschnitt 2.2 definiert worden. Im Falle einer differenzierbaren Funktion lässt sich Monotonie mithilfe der ersten Ableitung klären. 41

43 Monotonieverhalten Sei f : D R eine differenzierbare Funktion, I D ein Intervall. Dann gilt: f ist konstant in I genau dann, wenn f = 0 auf I. f ist monoton wachsend in I genau dann, wenn f (x) 0 für alle x I. f ist monoton fallend in I genau dann, wenn f (x) 0 für alle x I. f ist streng monoton wachsend in I, wenn f (x) > 0 für alle x I. f ist streng monoton fallend in I, wenn f (x) < 0 für alle x I. 42

44 Beispiel A: Die Ableitung von g ist g (x) = 2(x2 2x + 2) (2x 2)(2x 2) (x 2 2x + 2) 2 = 2x(2 x) (x 2 2x + 2) 2 Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2 Also ist g auf (0, 2) streng monoton wachsend sowie auf (, 0) und auf (2, ) streng monoton fallend. Außerdem ist g (0) = 0 = g (2) und dies sind die einzigen Nullstellen von g (x). An dieser Stelle ist Vorsicht geboten, denn es gibt Funktionen, die auf einem Intervall streng monoton wachsend sind, obwohl die Ableitung dort nicht überall positiv ist. 43

45 Beispiel 2.9 Die Funktion f(x) = x 3 ist streng monoton wachsend auf R, aber die Ableitung f (x) = 3x 2 ist nicht überall positiv. Wenn eine Funktion von wachsend in fallend übergeht, so liegt dort ein lokales Maximum vor. Lokale/Globale Extremwerte: Sei f : D R eine Funktion. Dann hat f an der Stelle x 0 D ein lokales (relatives) Maximum (bzw. lokales (relatives) Minimum), wenn eine kleine Umgebung von x 0 noch im Definitionsbereich von f liegt und f(x 0 ) mindestens so groß (bzw. klein) ist wie alle anderen Funktionswerte in dieser Umgebung von x 0. Genauer: wenn es ein ε > 0 gibt, so dass gilt (x 0 ε, x 0 + ε) D und f(x 0 ) f(x) für alle x 0 ε < x < x 0 + ε bzw. f(x 0 ) f(x) für alle x 0 ε < x < x 0 + ε. 44

46 Die Funktion f hat an der Stelle x 0 ein globales Maximum (bzw. globales Minimum), falls f(x 0 ) f(x) (bzw. f(x 0 ) f(x)) für alle x D. Gilt dabei in den Ungleichungen nur für x 0 Gleichheit, so sprechen wir von isolierten lokalen oder globalen Maxima und Minima. Die Stelle x 0 heißt in all diesen Fällen lokale (bzw. globale) Minimalstelle oder Maximalstelle oder einfach Extremalstelle. Der Punkt (x 0, f(x 0 )) auf dem Graphen heißt lokales (bzw. globales) Minimum oder Maximum oder einfach Extremum. 45

47 Beispiel A: Die Überlegungen zum Monotonieverhalten zeigen, dass x 0 = 0 eine isolierte lokale Minimalstelle und x 1 = 2 eine isolierte lokale Maximalstelle ist. Zugehöriges Minimum und Maximum sind die Punkte (0, g(0)) = (0, 1), (2, g(2)) = (2, 1). Beispiel Die Funktion f : [0, 1] R mit f(x) = x hat in x 0 = 1 ein isoliertes globales Maximum aber kein lokales Maximum, denn es gibt kein ɛ > 0 mit (1 ɛ, 1 + ɛ) [0, 1]. 2. Die konstante Funktion f : R R mit f(x) = 5 hat an der Stelle x 0 = 2 ein lokales Maximum, aber kein isoliertes lokales Maximum. Ebenso hat sie an jeder anderen Stelle ein lokales Maximum, welches kein isoliertes lokales Maximum ist. Die gleichen Aussagen gelten auch, wenn man Maximum durch Minimum ersetzt. 46

48 3. Die Funktion f(x) = x 3 2x 2 x x hat ein lokales Maximum zwischen 1 und 0 sowie ein lokales Minimum zwischen 1 und 2. Die genauen Werte lassen sich (manchmal) über die Ableitung bestimmen. 47

49 Notwendiges Kriterium für lokale Extrema: Sei f : D R differenzierbar, und sei x 0 D eine lokale Extremalstelle von f. Dann gilt: f (x 0 ) = 0. Die Nullstellen von f heißen kritische Punkte oder auch stationäre Punkte von f. In Beispiel ist f (x) = 3x 2 4x 1. Die Nullstellen sind gegeben durch , 55, , 22. An diesen Stellen liegen daher die beiden lokalen Extrema. Dies bestätigt auch der Graph. Die Koordinaten von Maximum und Minimum sind 48

50 (2 7, ) ( 0.22, 2.11) (2 + 7, ) (1.55, 0.63) 3 27 Die Umkehrung der obigen Aussage gilt nicht, siehe Beispiel 2.9. Um sicher zu sein, ob eine Nullstelle der Ableitung zu einem lokalen Extremum gehört, muss man auch noch die weiteren Ableitungen auswerten. 49

51 Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema: Sei f : (a, b) R eine n-mal differenzierbare Funktion und sei x 0 (a, b). Weiterhin gebe es ein m N mit 2 m n, so dass f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (m 1) (x 0 ) = 0 f (m) (x 0 ). Ist m gerade, dann besitzt f an der Stelle x 0 ein isoliertes lokales Extremum und zwar ein isoliertes lokales Maximum falls f (m) (x 0 ) < 0 ein isoliertes lokales Minimum falls f (m) (x 0 ) > 0 Ist m ungerade, so hat f in x 0 kein isoliertes lokales Extremum; der Punkt (x 0, f(x 0 )) heißt in diesem Fall Sattelpunkt. 50

52 Beispiel 2.11 Sei f(x) = x n. 1. Ist n = 3, so ist f (x) = 3x 2, f (x) = 6x, f (x) = 6. Daher ist der Punkt (0, 0) ein Sattelpunkt von f. Dies gilt ebenso für alle ungeraden n, da stets f (n 1) = n! x und f (n) = n! 2. Ist n = 4, so ist f (3) = 4! x und f (4) = 4! = 24. Somit ist (0, 0) ein isoliertes lokales Minimum von f. Dies gilt ebenso für alle anderen geraden n. 51

53 Beispiel A: Nach der Quotientenregel ist Also ist g (x) = (4 4x)(x2 2x + 2) 2 (x 2 2x + 2) 4 + 2(x2 2x + 2)(2x 2)(4x 2x 2 ) (x 2 2x + 2) 4 = 4(x3 3x 2 + 2) (x 2 2x + 2) = 4(x 1)(x2 2x 2) 3 (x 2 2x + 2) 3 g (0) = 1 > 0, g (2) = 1 < 0. Auf Seite 43 hatten wir bereits g (0) = g (2) = 0 festgstellt. Folglich hat g an der Stelle x 0 = 0 ein isoliertes lokales Minimum und an der Stelle x 1 = 2 ein isoliertes lokales Maximum, was wir auch schon auf Seite 46 festgestellt hatten. 52

54 Beispiel 2.12 Sei f(x) = (x x)ex. Zur Bestimmung eventueller lokaler Extrema bestimmen wir die erste Ableitung f (x) = (2x 3 2 )ex + (x x)ex = (x x 3 2 )ex = (x 1) ( x Folglich sind die kritischen Punkte Mit der zweiten Ableitung x 0 = 1 und x 1 = 3 2. ) e x f (x) = (2x )ex + (x x 3 2 )ex = (x x 1)ex erhalten wir f (1) = 5 2 e > 0, f ( 3) 5 = 2 2 e 3 2 < 0. 53

55 Also liegt ein isoliertes lokales Minimum an der Stelle x 0 = 1 vor und ein isoliertes lokales Maximum an der Stelle x 1 = 3 2. Die ungefähren Koordinaten der isolierten Extrema sind Man erkennt außerdem (1, 1.36) und ( 1.5, 1). f (x) > 0 für x (1, ) oder x (, 3 2), f (x) < 0 für x ( 3 2, 1). Damit ist die Funktion f auf (1, ) sowie (, 3 2) streng monoton wachsend und auf ( 3 2, 1) streng monoton fallend. Hier ist der Graph 54

56 x So wie wir es gerade getan haben, lassen sich allgemein die kritischen Punkte anhand des Vorzeichenverhaltens der ersten Ableitung klassifizieren. 55

57 Sei f : D R differenzierbar, und sei x 0 D mit f (x 0 ) = 0. Gibt es ein ε > 0 mit { f > 0 für x 0 ε < x < x 0, (x) < 0 für x 0 < x < x 0 + ε, so besitzt f in x 0 ein isoliertes lokales Maximum. Ist { f < 0 für x 0 ɛ < x < x 0, (x) > 0 für x 0 < x < x 0 + ɛ. so besitzt f in x 0 ein isoliertes lokales Minimum. Besitzt die Ableitung f keinen Vorzeichenwechsel im Punkt x 0, dann hat f an der Stelle x 0 kein isoliertes lokales Extremum. Zur Bestimmung der globalen Extrema einer Funktion f : I R, wobei I ein abgeschlossenes oder halboffenes Intervall ist, ist es immer notwendig, die Funktionswerte an den Intervallgrenzen zu bestimmen und mit den Werten an den lokalen Extrema vergleichen. 56

58 Beispiel Sei f : [ 4, 2] R mit f(x) = x 2 + x 2. Dann ist f( 4) = 10 und f(2) = 4. Außerdem ist f (x) = 2x+1, also x 0 = 1 2 ein kritischer Punkt. Wegen f (x) = 2 > 0 für alle x liegt an der Stelle x 0 ein isoliertes lokales Minimum mit den Koordinaten ( 1 2, 9 4). Dies muss dann auch ein globales Minimum (auf [ 4, 2]) sein, denn an den Rändern sind die Funktionswerte größer und weitere lokale Minima gibt es nicht. Die Funktion hat keine isolierten lokalen Maxima. Ein globales Maximum liegt am linken Rand x 1 = 4 vor. 2. Die Funktion f : (0, ) R mit f(x) = 1 x Maximum und kein globales Minimum. hat kein globales 57

59 4. Krümmungsverhalten und Wendepunkte Das Krümmungsverhalten einer Funktion liefert Aussagen darüber, wie stark sich das Wachstum auf einem Intervall ändert. Beispiel A: Wir wissen bereits, dass die Funktion g zwischen 0 und 2 wachsend ist. Der Graph zeigt darüberhinaus, dass er bei 0 ansteigt und irgendwo zwischen 0 und 2 am steilsten ist und dann das Wachstum langsamer wird um schließlich an der Extremstelle 2 eine waagerechte Tangente zu haben. Dies Phänomen lässt sich auch mit Sekanten an den Graphen beschreiben. Auf einigen Intervallen liegt der Graph von f stets oberhalb von all seinen Sekanten, auf anderen stets unterhalb. 58

60 Konvex, Konkav, Wendepunkt: Sei f : D R eine Funktion und sei I D ein Intervall. Gilt für alle x 1, x 2 I ( x1 + x ) 2 f f(x 1) + f(x 2 ), 2 2 dann heißt f konvex (linksgekrümmt) in I. Gilt für alle x 1, x 2 I ( x1 + x ) 2 f f(x 1) + f(x 2 ), 2 2 dann heißt f konkav (rechtsgekrümmt) in I. Die Funktion f heißt konvex bzw. konkav, wenn diese Bedingung für I = D erfüllt ist. 59

61 Ein Punkt x 0 D heißt Wendestelle von f, wenn die Funktion an diesem Punkt ihr Konvexitätsverhalten ändert, d.h. es gibt ein ε > 0, so dass f in [x 0 ε, x 0 ] konvex (aber nicht konkav) ist, und in [x 0, x 0 + ε] konkav (aber nicht konvex) ist, bzw. umgekehrt. Der Punkt (x 0, f(x 0 )) heißt dann Wendepunkt von f. 60

62 Im Falle einer zweimal differenzierbaren Funktion lässt sich das Krümmungsverhalten anhand der zweiten Ableitung feststellen. Konvexitätsverhalten: Es sei f : D R eine zweimal differenzierbare Funktion und sei I D ein Intervall. Dann ist f in I genau dann konvex (bzw. konkav), wenn gilt f (x) 0 (bzw. f (x) 0) für alle x I. Gibt es eine ungerade Zahl m N mit m 3 und f (x 0 ) = f (3) (x 0 ) = f (m 1) (x 0 ) = 0 f (m) (x 0 ), dann besitzt die Funktion f an der Stelle x 0 einen Wendepunkt. 61

63

64 Beispiel A: Die zweite Ableitung von g hatten wir bereits berechnet: g (x) = 4(x 1)(x2 2x 2) (x 2 2x + 2) 3. Nun ist wegen x 2 2x + 2 > 0 für alle x g (x) = 0 x 1 = 0 oder x 2 2x 2 = 0 x = 1 oder x = oder x = 1 3. Damit wechselt g (x) nur an diesen drei Stellen das Vorzeichen. Durch Einsetzen von x-werten aus den 4 Intervallen (, 1 3), (1 3, 1), (1, 1 + 3) und (1 + 3, ) erhält man das Vorzeichen von g (x) und damit das Krümmungsverhalten von g auf dem jeweiligen Intervall. Wegen 3 1, 7 betrachten wir folgende 62

65 Werte g ( 1) = < 0, g (0) = 1 > 0, g (2) = 1 < 0, g (3) = > 0. Also ist g auf (, 1 3) sowie (1, 1 + 3) konkav und auf (1 3, 1) sowie (1+ 3, ) konvex. Die Stellen x 0 = 1 3, x 1 = 1, x 2 = sind demnach Wendestellen (da wir direkt den Wechsel des Krümmungsverhaltens festgestellt haben, müssen wir nicht mehr die nächste Ableitung überprüfen). Die Wendepunkte haben die Koordinaten ( 1 3, 3 2 ) ( 3 ), (1, 0), 1 + 3, 2 63

66 An dem folgenden Beispiel (wir nennen es Beispiel A) werden alle Begriffe illustriert. Beispiel A: g(x) = 2x 2 x 2 2x x Der maximale Definitionsbereich einer gegebenen Funktion und seine Bestimmung wurde bereits in Abschnitt 2.2 behandelt. 38

67 Beispiel 2.14 Wir betrachten wieder die Funktion f(x) = (x x)ex. Die zweite Ableitung war in Beispiel 2.12 berechnet worden und ist f (x) = (x x 1)ex. Lösen der quadratischen Gleichung x x 1 = 0 liefert die Nullstellen x 0 = , 85, x 1 = , 35. Das sind also mögliche Wendestellen der Funktion f. Da nur an diesen Stellen f (x) das Vorzeichen ändert, könen wir wieder das Vorzeichen von f (x) auf den Intervallen ( ) (, , 5 ) ( 41 4, und , ) durch Einsetzen geeigneter x- 64

68 Werte ermitteln: f ( 3) = 0, 5e 3 > 0, f (0) = 1 < 0, f (1) = 2, 5 e > 0. Also ist f auf ( ) (, sowie auf , ) konvex und auf ( 5 ) 41 konkav. Die Wendepunkte habe die ungefähren Koordinaten 4, ( 2.85, 0.72) und (0.35, 0.57). 65

69 5. Asymptotisches Verhalten Hierunter versteht man das Verhalten des Funktionsgraphen an den Rändern des Definitionsbereichs. Das ist lim f(x) oder lim f(x), x x falls ein Intervall der Form (, a) oder (b, ) im Definitionsbreich von f enthalten ist. Das kann aber auch das Grenzwertverhalten lim f(x) oder lim f(x) x x 0 x x0 sein, falls es ein Intervall (x 0, b) oder (a, x 0 ) im Definitionsbereich von f gibt. Letzteres trifft typischererweise auf Definitionslücken von f zu. Die Bestimmung solcher Grenzwerte war in Abschnitt 2.6 behandelt worden. Hierbei können ggf. die Regeln von l Hospital hilfreich sein. 66

70 Beispiel A: Für die Funktion g ist D(g) = R und es sind nur die Grenzwerte für x ± zu bestimmen. Das liefert in diesem Fall 2 lim g(x) = lim x 2 x 2 x ± x ± 1 2 x + 2 = 0. x 2 Jetzt haben wir genügend viel qualitative Information, um eine Skizze des Funktionsgraphen anzufertigen. Im folgenden Bild sind die Extrema als und die Wendepunkte als eingetragen x

71 Vergleichen Sie noch mal den Verlauf des Graphen mit den gefundenen Monotonie- und Krümmungsaussagen. Beispiel 2.15 Ist f(x) = ln(x), so ist der Definitionsbereich x 2 1 D(f) = R + \{1}. Damit sind die Grenzwerte zu untersuchen. Es ist lim f(x), lim f(x), lim f(x), lim f(x) x 0 x 1 x 1 x lim x 0 ln(x) x 2 1 = da der Zähler gegen und der Nenner gegen 1 konvergiert. Außerdem ist wegen lim ln(x) = 0 = lim(x 2 1) nach den Regeln x 1 x 1 von de l Hospital lim x 1 ln(x) x 2 1 = lim x 1 1 x 2x = lim x x 2 = 1 2.

72 Die Funktion hat also an der Stelle x 0 = 1 eine hebbare Definitionslücke. Schließlich ist wegen lim ln(x) = = lim (x 2 1) x x ebenfalls nach den Regeln von de l Hospital lim x Der Graph von f ist: ln(x) x 2 1 = lim x 1 x 2x = lim x 1 2x 2 = x 69

73 Abbildung 1: p(x) Abbildung 2: g(x) Abbildung 3: r(x) Abbildung 4: s(x) (5) (a) (6 Punkte) Sie sehen oben in den Abbildungen 1. bis 4. die Graphen von vier Funktionen p(x), q(x), r(x) und s(x). Ordnen Sie die Graphen so, dass der zweite Graph die Ableitung des ersten, der dritte Graph die Ableitung des zweiten und der vierte Graph die Ableitung des dritten ist! (b) Sie sehen rechts den Graphen einer Funktion a(x) (Abbildung 5.). Von den vier weiteren Graphen in den Abbildungen 6. bis 9. ist genau einer der Graph der zweiten Ableitung a (x). i) (2 Punkte) Geben Sie an, welcher! ii) (2 Punkte) Geben Sie eine knappe Begründung für Ihre Antwort.

74 Abbildung 5: a(x) Abbildung 6: a 1 (x) Abbildung 7: a 2 (x) Abbildung 8: a 3 (x) Abbildung 9: a 4 (x)